Реферат: Сопромат 2

--PAGE_BREAK--
4. КРУЧЕНИЕ

4.1.Кручение бруса с круглым поперечным
сечением

        Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. Nz
 , Qx
 , Qy
 , Mx
 , My
   равны нулю.

        Для крутящего момента, независимо от формы поперечного се­чения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюда­тель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Mz
 направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

        При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две ос­новные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

        Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, зало­женное в основу теории кручения, носит название гипотезы пло­ских сечений.

Рис. 4.1

        Для построения эпюры крутящих моментов Mz
 применим тра­диционный метод сечений - на расстоянии zот начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SM
z
  = 0, получим:

M
z = M.                                                                (4.1)

        Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сде­лать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент Mz
 в данном случае постоянен по всей длине бруса.

        Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами rи r + drвыделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол gи займет положение АВ ¢. Дуга BВ ¢равна с одной стороны, r dj, а с другой стороны - g d
z. Следовательно,

<img width=«60» height=«39» src=«ref-2_233952411-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">.                                                         (4.2)

        Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и раз­вернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол gпредставляет со­бой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверх­ности под действием касательных напряжений t, вызванных дейст­вием крутящего момента. Обозначая

<img width=«52» height=«39» src=«ref-2_233952611-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">,                                                           (4.3)

где Q - относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к рас­стоянию между ними. Величина Qаналогична относительному уд­линению при простом растяжении или сжатии стержня.

        Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

g = r Q.                                                                (4.4)

        Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

t = G Q r,                                                            (4.5)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Пар­ные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осе­вых сечениях.       Величину крутящего момента Mzможно определить через tс помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси zот дей­ствия касательных напряжений tна элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = t r dF.



        Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

<img width=«92» height=«36» src=«ref-2_233954469-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">.                    (4.6)

        Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

        <img width=«163» height=«36» src=«ref-2_233954788-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">.(4.7)

        Откуда

                <img width=«61» height=«45» src=«ref-2_233955242-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">.                           (4.8)

        Величина G 
Irназывается жесткостью бруса при кручении.

        Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

          <img width=«101» height=«49» src=«ref-2_233955459-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">.                                             (4.9)

        Если крутящий момент Mzи жесткость G 
Irпо длине бруса пос­тоянны, то из (4.9) получим:

<img width=«133» height=«44» src=«ref-2_233955839-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">,                                             (4.10)

где j (0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

        Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:

        t (r)=<img width=«49» height=«44» src=«ref-2_233956198-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">.                                                    (4.11)

        Величина <img width=«72» height=«44» src=«ref-2_233956406-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом  R. Определяется эта величина из следующих соображений:

<img width=«271» height=«43» src=«ref-2_233956639-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">                   (4.12)

        Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость ра­диусом r = <img width=«17» height=«37» src=«ref-2_233957168-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">, то для кольца

             <img width=«207» height=«40» src=«ref-2_233957280-643.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">,                          (4.13)

где с = <img width=«48» height=«37» src=«ref-2_233957923-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">.

4.2.Кручение бруса с некруглым
поперечным сечением

        Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным се­чением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипо­теза плоских сечений, оказывается неприемлимой. В данном случае поперечные сечения существенно искривляются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.

        Таким образом, при определении углов сдвига, в данном слу­чае, необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но и деформации сечений в своей плоскости, связанная с искрив­лением сечений.

        Задача резко усложняется тем, что для некруглого сечения, на­пряжения должны определяться как функции уже не одного неза­висимого переменного r, а двух - xи y.    

        Отметим некоторые особенности законов распределения напря­жений в поперечных сече­ниях некруглой формы. Ес­ли поперечное сечение име­ет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль. Если наружная поверхность бруса при кручении свобод­на, то касательные напряже­ния в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю.



        На рис. 4.3 показана, по­лученная методом теории упругости, эпюра касатель­ных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видно, напряже­ния равны нулю, а наиболь­шие их значения возникают по серединам больших сторон:

в точке А                   tA = tmax =<img width=«29» height=«41» src=«ref-2_233961534-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">,    (4.14)

где WК = b b3 - аналог полярного момента сопротивленияпопереч­ного сечения прямоугольного бруса;

в точке В               tB = h tmax ,           (4.15)

здесь необходимо учесть, что b - малая сторона прямоугольника.

        Значения угла закручивания определяется по формуле:

                          <img width=«85» height=«41» src=«ref-2_233961760-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">,                                   (4.16)

где IK = a b4 - аналог полярного момента инерции поперечного сечения бруса.

        Коэффициенты a, bи hзависят от отношения сторон m = h/b, и их значения приведены в табл. 3.

Таблица 3

        Геометрические характеристикинаиболее представительных форм сечений обобщены в табл. 4.

4.3.Пример расчета (задача № 4)

        Стальной валик переменного сечения, испытывающего круче­ние, закручивается крутящими моментами, действующими в двух крайних и двух пролетных сечениях. Расчетная схема валика, ее геометрические размеры, величины и точки приложения внешних крутящих моментов указаны на рис. 4.4, а.

   Требуется:

        1. Построить эпюру крутящих моментов;

        2. Найти допускаемую величину момента М;

        3. Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки;

        4. Построить эпюру углов закручивания;

        Модуль упругости при сдвиге материала вала G = 8×107 кН/м2. Расчетное сопротивление материала вала срезу RC = 105кН/м2.

   Решение


1.     Построить эпюру крутящих моментов
. Для опре­деления величины крутящих моментов используется метод сечений. Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, а) для I участка (0 £ z £ 0,5 м):

<img width=«163» height=«27» src=«ref-2_233962083-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">    откуда    <img width=«80» height=«23» src=«ref-2_233962487-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">.

        Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, б) для участка II (0,5 м ££ z £ 1,0 м):

<img width=«211» height=«27» src=«ref-2_233962674-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">    откуда    <img width=«83» height=«23» src=«ref-2_233963147-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">.

        Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, в) для участка III (1,0 м ££ z £ 1,8 м):

<img width=«153» height=«27» src=«ref-2_233963372-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">    откуда    <img width=«72» height=«23» src=«ref-2_233963775-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">.

        По полученным данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.4, б).

        2. Найти допускаемую величину момента М. Допус­каемая величина момента МP определяется из условия прочности:

<img width=«89» height=«40» src=«ref-2_233963974-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">.


Рис. 4.4

        Сначала определим моменты сопротивления сечения валика для каждого участка.

I участок (трубчатое сечение)согласно (4.13):


<img width=«121» height=«40» src=«ref-2_233971294-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">   где <img width=«75» height=«36» src=«ref-2_233971600-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">;

<img width=«260» height=«51» src=«ref-2_233971798-708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">м3.

II участок (круглое сечение):

Рис. 4.5

<img width=«256» height=«51» src=«ref-2_233974616-708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> м3.
III участок (прямоугольное сечение):

<img width=«71» height=«24» src=«ref-2_233975324-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">    продолжение
--PAGE_BREAK--