Реферат: Статистический анализ и оптимизация САР. Привод сопла ракеты носителя

--PAGE_BREAK--2.      Теоретическая часть 1     Случайные процессы и их математическое описание
Пусть t принадлежит T (допустимому множеству). Если t пробегает непрерывные значения на множестве T, то x(t) принято называть случайным процессом.

При каждом фиксированном t=t* возникает случайная величина x(t*) которую принято называть значением случайного процесса.

Случайный процесс характеризуется совокупностью плотностей распределения вероятностей <img width=«175» height=«24» src=«ref-1_1985776825-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">с возрастающей размерностью k=1,2,...,n. Действительно величина

<img width=«249» height=«24» src=«ref-1_1985777117-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">
равна вероятности того, что

<img width=«393» height=«24» src=«ref-1_1985777520-572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">

Поэтому чем больше n, тем более полной информацией о поведении x(t) в интересующем нас интервале времени мы располагаем. Практически ограничиваются рассмотрением только одномерных и двумерных плотностей распределения либо иных характеристик случайных процессов (главным образом моментов первого и второго порядков), которые определяются данными плотностями.

Примером случайного процесса, полностью характеризуемого одномерной и двумерной плотностями, является марковский случайный процесс. Зависимость между значениям x(ti) является простейшей, так как распространяется лишь на соседние значения x(ti-1) и x(ti). Наличие подобной зависимости приводит к тому, что вероятность нахождения x(ti) в интервале [xi, xi+dxi] в момент времени t=ti является условной и зависит от значения случайного процесса в предыдущий момент времени ti-1.Зависимость x(ti) от более ранних моментов времени t1, t2,
ti-2, (т. е. от более глубокой предыстории процесса) отсутствует. Это означает, что для марковского процесса условная (или переходная) плотность:

<img width=«359» height=«24» src=«ref-1_1985778092-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

Отсюда:

<img width=«393» height=«45» src=«ref-1_1985778596-760.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">

Таким образом, начальная безусловная одномерная плотность и совокупность условных (переходных) плотностей полностью описывают марковский случайный процесс.

Абсолютно случайным процессом принято называть такой процесс, любые два значения которого суть независимые случайные величины. В этом случае плотность вероятности имеет следующий вид:

<img width=«268» height=«45» src=«ref-1_1985779356-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">

Случайный процесс называется стационарным, если все его плотности вероятностей не зависят от выбора начала отсчета времени, т. е. инвариантны к временному сдвигу t:

<img width=«489» height=«24» src=«ref-1_1985779917-620.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">

Из этого следует, что одномерная плотность распределения стационарного процесса вообще не зависит от времени.

Гауссовский процесс -это такой случайный процесс сколь угодно мерная плотность вероятности которого гауссовская.

<img width=«248» height=«61» src=«ref-1_1985780537-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">

n-размерность вектора X,

Kx-матрица ковариации

mx-математическое ожилание.
Гауссовский случайный процесс является стационарным и марковским.

К наиболее важным моментным характеристикам стационарного случайного процесса относятся математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция.

Математическое ожидание

<img width=«111» height=«49» src=«ref-1_1985781211-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">

характеризует среднее течение процесса x(t) по времени.

Дисперсия случайного процесса

<img width=«180» height=«49» src=«ref-1_1985781604-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">

Корреляционная функция

<img width=«399» height=«49» src=«ref-1_1985782124-957.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">где <img width=«103» height=«33» src=«ref-1_1985783081-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">, <img width=«149» height=«33» src=«ref-1_1985783316-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">;эта функция представляет собой среднее произведение центрированных значений случайного процесса в моменты времени t и t+t. Корреляционная функция характеризует степень линейной связи (корреляции) между значениями процесса, отстоящими друг от друга на время t. При t=0, корреляционная функция равна дисперсии.

Понятие корреляционной функции может быть использовано и для характеристики степени связи двух случайных процессов x(t) и y(t). В этом случае она называется взаимной корреляционной функцией:

<img width=«405» height=«49» src=«ref-1_1985783610-969.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">
В теории автоматического управления широко используются описания случайных процессов в частотной области или, по иному, спектральное представление случайных процессов.

Рассмотрим преобразование Фурье от корреляционной функции:

<img width=«241» height=«49» src=«ref-1_1985784579-645.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">

Полученная функция есть четная вещественная функция называемая спектральной плотностью стационарного случайного процесса.

Справедливо обратное:

<img width=«156» height=«49» src=«ref-1_1985785224-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">

Для стационарного случайного процесса n(t) (с нулевым математическим ожиданием) типа белого шума, корреляционная функция имеет вид:

<img width=«81» height=«24» src=«ref-1_1985785714-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">

где d(t)-дельта-функция Дирака, а N -интенсивность шума.

Спектральная плотность этого процесса будет:

<img width=«212» height=«49» src=«ref-1_1985785908-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">

что может быть принято в качестве определения белого шума. Выражение означает, что мощность парциальных составляющих случайного процесса n(t) для любых частот одна и та же. Поэтому белый шум является наиболее интенсивным видом помехи.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2     Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему
Рассмотрим линейную динамическую систему с постоянными коэффициентами. На ее вход поступает стационарный случайный процесс x(t), на выходе имеет место процесс y(t). Теоретически выходной случайный процесс y(t) является стационарным только после затухания свободных колебаний в системе, то есть при
t®¥. Однако, в инженерных приложениях мы будем считать, что переходный процесс в системе заканчивается за время, определяемое в соответствие с правилами теории управления.

Иными словами мы будем считать процесс y(t) стационарным по истечении времени затухания.

Спектральная плотность выходного процесса имеет вид:

<img width=«159» height=«29» src=«ref-1_1985786516-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">

Дисперсия выходного процесса:

<img width=«115» height=«49» src=«ref-1_1985786892-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">

Корреляционная функция выходного процесса:

<img width=«157» height=«49» src=«ref-1_1985787307-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">
3     Формирующий фильтр
Как было показано выше белый шум имеет постоянную спектральную плотность во всем диапазоне частот.

Спектральная плотность всех физически существующих стационарных случайных процессов представляют собой дробно-рациональную функцию частоты:

<img width=«109» height=«47» src=«ref-1_1985787801-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">

Причем степень полинома в знаменателе выше степени полинома в числителе. Такие функции допускают факторизацию:

<img width=«243» height=«29» src=«ref-1_1985788177-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">,

где <img width=«67» height=«29» src=«ref-1_1985788681-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">квадрат модуля амплитудной характеристики некоей фиктивной минимально-фазовой динамической системы, которую в дальнейшем мы будем называть формирующем фильтром соответствующим спектральной плотности <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1985788895-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> некоего случайного процесса.
4     Априорный статистический анализ
Под априорным статистическим анализом (или анализом точности) понимается определение статистических характеристик (математических ожиданий, дисперсий, спектральных плотностей, распределение вероятностей и т. п.) координат управляемого динамического объекта по известному его дифференциальному уравнению движения и статистическим характеристикам случайных факторов.

Пусть линеаризованные уравнения возмущенного движения управляемого объекта имеют вид:

   
где x(t)-вектор состояния (фазовый вектор), размерности nx1,

A(t)-матрица коэффициентов, размерности nxn.

B(t)- матрица коэффициентов, белых шумов, размерностиnxm.

n-вектор белых шумов, размерности mx1.

Тогда дифференциальные уравнения для вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций имеют следующий вид:

 


 


Размерность матрицы ковариации nxn.

N-диагональная матрица интенсивностей  белых шумов.
Дифференциальные уравнения (1)-(3) решаются одним из численных методов интегрирования. Таким образом, мы определяем вектор состояния и статистические характеристики системы в любой момент времени. Перед началом интегрирования, должны быть известны априорные значения вектора состояния, вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций в начальный момент времени.
5     Статистическая линеаризация
Легко видеть, что для решения уравнений из пункта 2.4 необходимы линейные системы уравнений. Однако на практике системы управления могут содержать (и чаще всего содержат)  нелинейные элементы, и уравнение для вектора состояний принимает вид:

 



В этом случае применяется метод статистической линеаризации, когда нелинейный элемент заменяется линейным в некотором смысле эквивалентным.

Пусть нелинейный элемент имеет следующий вид:

Введем

 




линейный элемент следующего вида:

 

,

  где
Необходимо чтобы величина на выходе линейного элемента была эквивалентна, в некотором смысле, величине на выходе нелинейного элемента.

Существуют два подхода:

1.                 Критерий вида:

M{z}=M{h}

D{z}=D{h}

  Формулы для коэффициентов статистической линеаризации:


 



2.                 Второй способ заключается в выполнении критерия вида:

M{z}=M{h}

D{h-z}®min

Коэффициент b вычисляется по формуле

 


    продолжение
--PAGE_BREAK--