Реферат: Урок повторения по алгебре и началам анализа 11 классе Тема: «Решение уравнений методом оценки (подготовка к егэ)»

Урок повторения по алгебре и началам анализа 11 классе

Тема: «Решение уравнений методом оценки (подготовка к ЕГЭ)»

Цели урока: 1) научить узнавать уравнения, которые можно решать методом оценки;

2) научить заменять сложные конструкции более простыми моделями;

3) научить решать уравнения методом оценки.


Ход урока

Учитель: Завершая изучение школьного курса алгебры и математического анализа, мы повторили и обобщили методы решения различных уравнений. Сегодня остановимся на одном из них – методе оценок или методе мажорант. Вам придется с ним столкнуться на экзамене в заданиях серии С.

Если уравнение f(x) = g(x) можно решить методом оценки, т.е. если можно оценить значения функций f(x) и g(x), то какими свойствами должны обладать данные функции?

- Они должны быть ограниченными.

- Приведите примеры ограниченных функций.



1) y = cos x ;

5) y = arcsin x ;

2) y = sin x ;

6) y = arcos x ;

3) y = ax2 + bx + c ;


7) y =

4)

8) y = f 2n(x).



- Начертите схематично графики функций.

- А если функция сложная и она зависит от ограниченной функции?

Например: Элементарная функция y = logaх является неограниченной, а сложная функция y = – ограничена, т.к. ее аргумент, элементарная квадратичная функция , ограничен. Таким образом, можно сказать, что если неограниченная функция зависит от ограниченной, то она тоже становится ограниченной.

Вывод: Если дана сложная функция, которая при сведении к элементарной, является неограниченной, а ее аргумент задан ограниченной функцией, то полученная функция будет ограниченной.

Итак, метод оценки или метод мажорант используется в уравнениях вида f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) – ограниченные функции, и на ОДЗ данного уравнения наибольшее значение (А) одной из них равно наименьшему значению (А) другой. Тогда исходное уравнение равносильно системе уравнений:

Выберите из предложенных уравнений те, которые можно попробовать решить методом оценки.

1) ;

5) = x2 + x – 13 ;

2) 2x = x + 1 ;

6)

3)

7) cos x + sin = 1 ;

4) cos(2x) = x2 – 2x + 2;

8)

- 1, 4 и 6 уравнения.

- Объясните, почему 2-е уравнение нельзя решить методом оценки?

- Функция у = х + 1 неограниченна.

- Почему 5-е уравнение нельзя решить методом оценки?

- Функция у = log1/3x неограниченна.


- А вот уравнения (3) и (7) можно попробовать решить этим способом, т.к. их можно свести к виду f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) – ограниченные функции. Попробуйте!

- В самом деле:

3)

7) cos x + sin = 1 ; cos x = - sin + 1.

- Кстати, неравенство (8), тоже можно решить данным методом. Кто желает поработать у доски?

- Решите самостоятельно уравнение (4). Проверим:

4) cos(2x) = x2 – 2x + 2 , модель: f(x) = g(x) , где f(x)= cos(2x) и g(x) = x2 – 2x + 2.

f(x)= cos(2x) - определена и непрерывна на R, Е( f ) = ;

g(x) = x2 – 2x + 2- определена и непрерывна на R, ;

наибольшее значение f(x )= 1 и наименьшее значение g(x) = 1, значит исходное уравнение равносильно системе уравнений: корнем второго уравнения является значение х=1, подставим данное число в первое уравнение: cos(2π∙1) = 1, cos(2π) = 1 – верно, значит х = 1 является решением системы, а следовательно и исходного уравнения.

Ответ: 1.

- Кто попробует решить уравнения (3) и (6)?

Примерный вариант решения:

3) составим упрощенную модель уравнения: . Очевидно, что и при всех допустимых значениях переменной х, т.е. наибольшее значение левой части равно нулю и равно наименьшему значению правой части, значит, уравнение равносильно системе уравнений:

х = 1 является решением второго уравнения. Проверкой убеждаемся, что х =1 –корень и второго уравнения.

Ответ: 1

(6)

Модель: рассмотрим функции и f = 3 + log14/2 (g).

E(y) = [0;3], E(f)[3; +) , т.к. E(log14/2 ( g ) )[0; +) (в данном случае можно не находить правую границу множества значений функции f(g) ). Наибольшее значение левой части равно трем и равно наименьшему значению правой части, следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

Решим второе уравнение: log1/2(x2 –x + 1) = 0, x2 – x + 1 = 1, x2 – x = 0, x( x – 1) = 0,

Подставим найденные значения в первое уравнение:

х = 0, не является корнем исходного уравнения;

х = 1, - верно, значит, х = 1 – корень исходного уравнения.

Ответ: 1

Выводы урока: Итак, уравнения следует решать методом оценки, если:

В уравнении присутствуют функции разной природы (тригонометрические и показательные, показательные и логарифмические и т.п.);

Эти функции ограничены;

На ОДЗ наибольшее значение одной из них равно наименьшему значению другой.

Примерная схема решения уравнений методом оценки:

Свести уравнение к виду f(x) = g(x);

Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения;

Если наибольшее значение одной из них равно А и равно наименьшему значению другой, то составить систему уравнений

Решить наиболее простое из них и подставить полученные корни во второе уравнение, те значения переменной х , которые являются корнями двух уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения.

Домашнее задание:

Решить уравнения: 1)

2)

3)

4)