Реферат: Урок учителя математики Гукасовой А. П. Тема урока: «Уравнение касательной»

Открытый урок учителя математики Гукасовой А.П.

Тема урока:

«Уравнение касательной»


Цель урока: вывести уравнение касательной к графику функции и находить его для конкретных функций


Ребята, мы научились с вами находить производные простых и сложных функций, решать неравенства методом интервалов и, наконец, изучили геометрический смысл производной функции в точке. Итак, цель нашего сегодняшнего урока:

Проверить все полученные вами знания по этим темам

вывести уравнение касательной к графику функции в заданной точке

В начале урока проведём тест (на 10-12 мин) - тест в Приложении №1

пишут на двойных листах, выписывая ответы в свои тетради

после того как работы собраны учителем, ученики проверяют верность своих решений по ответам, выписанным на обратной стороне доски.




Решим у доски задание, аналогичное тому, что было задано на дом. Это задание поможет в объяснении новой темы.

Итак, открываем учебник Калягин, стр. 34, №80 (б)


Дано:

α = П/6 1) Уравнение прямой имеет вид y=kx+b

X0 = 6 2) Что показывает коэффициент k?

Y0 = -5 k =tg α = tg П/6 =

Составим уравнение прямой y = x + b

3) т.к. точка (X0, Y0) этой прямой, то

-5 = *6+b

-5 = 2+b

b = -5- 2

4) уравнение имеет вид y = x -5-2


Дополнительные вопросы:

Какая прямая называется касательной к графику функции

В чем состоит геометрический смысл производной

Если `(x)<0, то какой угол образует касательную с положительным направлением оси OX. А если `(x)>0 ? А если `(x) = 0?

Ребята, а если бы задача звучала бы так:

Составить уравнение прямой, имеющей с графиком функции y=(x) единственную точку (6; -5) и образующую с положительным направлением оси OX угол α=П/6

Тогда, как бы мы назвали эту прямую? Необходимо знать y = x -5-2 - уравнение касательной к графику функции y=f(x).

Решение задачи поможет в составлении уравнения касательной к графику функции в точке

Запишем тему урока «^ Уравнение касательной»




Пусть нам дана дифференциальная функция y = f(x)

Точка - точка касания графика функции y=f(x) с прямой y=kx+b

y=kx+b, т.к. k=`(X0), то уравнение примет вид y = `(X0)*x+b (*)

т.к. касательная проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению

Y0=`(X0)*x+b, т.е. Y0=`(X0)*X0+b

Отсюда b=(X0) -`(X0)*X0

Y=(X0) +`(X0)*(X-X0)

Мы вывели уравнение касательной, где - координаты точки касания.

(x, y) – координаты любой точки этой касательной.


Пример №1 (№84(2), стр.35)

Дано: y=f(x0) + f `( x0)(x-x0)

f(x)=x-3x2 1) f(x0)=2-3*4=-10

x0=2 2) f `( x)=1-6x

___________________ 3) f `( x0)=1-6*2=-11

Написать уравнение 4) y=-10-11*(x-2)

касательной y=-10-11*x+22

y=-11*x+12


Запишем алгоритм решения:

вычислить f(x0)

найти f `(x)

вычислить f `( x0)

подставим в уравнение касательной Y=(X0) +`(X0)*(X-X0)


Пример №2 (№85(3))


Дано: y=f(x0) + f `( x0)(x-x0)

f(x)=1) f(x0)=

x0=0 2) f `( x)=

___________________ 3) f `(0)=

Написать уравнение 4) y=

касательной


Вопрос Какой угол образуется касательной с положительным направлением оси OX?


Самостоятельная работа (№84(1) и 84(4))

На оборотах доски учениками решаются эти задания


№84(1) Решение:

f(x)=x2+x+1 1) f(x0)=3

x0=1 2) f `( x)=2x+1

f `(1)=3

y=3+3(x-1)

y=3x


№84(4) Решение:

f (x) = 1) f(x0)=

x0=-2 2) f `( x) = -2x-3=

3) f `( x0) =(-2)/(-8)=

4) y= +(x+2)= x+

y = x+


Вернёмся к домашнему заданию №89(6). В ней надо было найти точки графика функции y=f(x), в которой касательная к этому графику параллельна прямой y=kx


Вспомним условие II двух прямых: если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.


^ Усложним условие задачи №89


Дана функция f(x)=x2-3x+4.Составим уравнение касательной,параллельной прямой y=3x-1


f(x)= x2-3x+4 Т.к. касательная параллельна прямой y=3x-1, то k=3

y=3x-1 Зная, что k= f `( x0), имеем

2x0-3=3

2x0=6

x0=3

Y=(X0) +`(X0)*(X-X0)

Пусть `(X0)=K

(X0)=32-3*3+4=4

Y=4+3(x-3)=4+3x-9=3x-5

Y=3x-5


Подведём итоги урока:

Перечислить пункты алгоритма. Составить уравнение касательной.

Если надо составить уравнение касательной, параллельной данной прямой, с чего надо начинать решение таких заданий?


Домашнее задание учебник Калягина, стр.32 №84 (3, 5, 8),

№85(1, 2, 4)


Приложение


^ I вариант

II вариант

Найти производную функции

f(x)=(x+1)(x+2)-(x-1)(x-3)=(x+1)(x+2)-(x-1)(x-3)

1) -7 ; 2) -1; 3) -7; 4) 1

Найти производную функции

f(x) =

1) 4x -; 2) 4x3 - ; 3) 4x +; 4) 4x3 +

2.Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику

y = 6x - в его точке с абсциссой (-1)

1) -4; 2) -6; 3) 6; 4) 8

2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y=sin 2x в его точке с абсциссой 0

1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) -1

3. Решить неравенство f `( x)>0, если f ( x)=-x2-4x-2007


1) (2; +∞) ; 2) (-2; +∞) ; 3) (- ∞; 2) ; 4) (- ∞; - 2)


3. Решить неравенство

1) (- ∞; -5) ; 2) (-5; 1) ;

3) (- ∞; -5) ; 4) (-5; 1) ;

4. Найти производную y = 2 sin x +cos x - 3

1) y`( x) = tg x +7; 2) y`( x) = ;

3) y`( x) = 3 sin x - 2; 4) y`( x) = 2 cos x – sin x

4. Найти производную

1) f `( x) = 2x + 7 sin x ;

2) f `( x) =  ;

3) f `( x) =  ;

4) f `( x) =  ;





Ответы: вариант I – 3444,

вариант II - 1312