Реферат: Тема: «Интеграл» (заключительный урок) 11 кл

Фалькова Л.А.

МОУ:СОШ п.Горноправдинск



Тема: «Интеграл» (заключительный урок) 11 кл.


Цель: Дополнить знания учащихся по теме. Способствовать достижению более высокого уровня умственного развития учащихся. Развивать интерес к предмету. Апробировать современные подходы в обучении. Способствовать выработке у учащихся инженерного подхода к решению задач, ознакомить их с реализацией численных методов с помощью ЭВМ. Повышать общую математическую культуру.


«Величие человека – в его способности мыслить»

(Б.Паскаль)

^ Ход урока:

Целевая установка.

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Интеграл». На предыдущих занятиях мы изучили понятие первообразная, элементарные правила и формулы вычисления первообразных, научились находить площадь криволинейной трапеции, узнали, что такое интеграл, что великими учеными Ньютоном и Лейбницем была выведена формула, которая носит их имя, с ее помощью можно вычислять интеграл, решать задачи прикладного характера в физике, геометрии. Прослушали доклады, историческую справку, где узнали, что метод суммирования использовал еще в глубокой древности знаменитый Архимед, а в средние века описал метод объема винных бочек Кеплер и ряд ученых продолжили изучение этого вопроса: Эйлер – работавший более 3- лет в Петербургской академии, не надо забывать имена русских ученых 19 века Остроградского, Буняковского, Чебышева. В частности П.Л.Чебышев доказал, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Сегодня мы посмотрим как можно с помощью ЭВМ, если ей задать программу, вычислять интегралы.

Как-то в шутливой форме Пафнутий Львович Чебышев высказал мысль: «В своем развитии математика прошла три периода:

-в первом – задачи ставили боги (задачи удвоения куба по древнегреческому преданию приписывались оракулу),

-во втором – полубоги (т.е.математики, такие как Ферма),

- в третьем периоде задачи ставит жизнь.»

Открытия в физике, астрономии привели к открытию интегрального и дифференциального исчисления. Того математического инструмента, существовавшего ранее, было не достаточно.

Устно

Среди трех данных функций укажите такую, что две другие являются соответственно производной и первообразной для нее:

f (x)=3x+2 cos x

g (x)=3-2 sin x

h (x)=1,5x2+2sinx

Найдите общий вид первообразных:


f(x)=cos 5x

g(x)=


F(x)=

F(x)=


Графики всех первообразных представляют семейство кривых, зависящих от параметра С, получающихся одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси ОУ.

Вычислите интегралы









Рассмотрение задач

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой у=3х2+2х и осью абсцисс. Вычислите самостоятельно.

S=(ед2)





На уроках мы рассматривали физические задачи при изучении производной. Только что решили задачу на вычисление площади криволинейной трапеции. Вот еще две задачи с одной и той же математической моделью:

а)Тело движется прямолинейно со скоростью 3х2+2х. Найдите длину пути, пройденного телом за первую секунду от начала движения.

S=(м)

б) По цепи идет переменный ток. У=3х2+2х. Найдите величину заряда, прошедшего по цепи за первую секунду.

G = (кл)

Использование физического материала расширяет навыки в применении математического аппарата, помогает сформировать представление о роли математики в изучении окружающего мира, формирует дополнительный интерес и мотивацию к учению.


Беседа по выбору метола решения следующих упражнений.

2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

f(x)= и у=0

S= +=0-2+4+2sin








3) Изобразите на координатной плоскости линию заданную уравнением:

, и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.

х>0, у>0 у=х2-4х+4


S=








4)Вычислите площадь фигуры задаваемой на координатной плоскости неравенством:






S=2







Вычисление площадей криволинейных трапеций рассмотрим на факультативе (подготовка к ЕГЭ).



Повторение.

Большинство инженерных расчетов оперирует с величинами, измеряемыми с определенной степенью точности. Иногда аналитическое решение затруднено или невозможно. Например, при проектировании гидроэлектростанции нужно знать площадь поперечного сечения реки или при решении задачи на нахождение пути по заданной скорости.

S=


Функция может оказаться очень сложной и тогда можно прибегнуть к методу, который мы рассматривали на уроках: метод трапеции.

Пусть необходимо вычислить S=

Известно, что значение площади фигуры АВСД, ограниченной кривой у=и прямыми х=а, х=в, у=0 (см. рисунок). Разделим отрезок АВ на n равных частей точками х1, х2, …, хn-1. Через эти точки проведем прямые, параллельные оси ОY до пересечения графиком функции в точках у1, у2, …, уn-1. При этом у1=. Последовательно соединим точки у1отрезками прямой. Таким образом, кривую заменили ломаной линией и получили n трапеций. Площадь каждой из них вычисляется по формуле.

Si=


S= или

S=

Чем больше n, тем точнее расчет, т.к. ломаная стремится к кривой.









Составление программы вычисления площади методом трапеции функции у=3х2+2х и работа на ЭВМ. Сравнение результатов с аналитическим исчислением. Определить значение n, при котором ответы совпадают.

Сообщение учащихся «Из истории интегрального исчисления» (учебник «Алгебра и начала анализа» стр.194-198)

Домашнее задание. Составить программу вычисления площади методом трапеции для f(х)=х2-6х(по желанию).

Заключительное слово учителя: слова П.Л.Чебышева:

«Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не только практика от этого выигрывает».