Реферат: Урок 96 21. 01. Метод математической индукции

Урок 96

21.01.

Метод математической индукции.

1. Проверка д/з: вопросы?

2. Устно: Докажите, что |a + b| £ |a| + |b| [Полная индукция!].

3. Новый материал. Рассмотрим применение метода математической индукции к доказательству неравенств и формул. Некоторые из вас, сделав необязательное домашнее задание, уже столкнулись с этим.

Пример 1 (свойство модуля).

Докажите, что "nÎN | n ³ 2 |x1 + x2 + ... + xn| £ |x1| + |x2| + ... + |xn|.

1) При n = 2 верно (см. устные упражнения).

2) Пусть неравенство верно при n = k, то есть ... . Докажем, что неравенство верно при n = k + 1, то есть ... . |(x1 + x2 + ... + xk) + xk + 1| £ |x1 + x2 + ... + xk| + |xk + 1| £ |x1| + |x2| + ... + |xk + 1|, ч. т. д. Следовательно, неравенство верно "nÎN | n ³ 2.

Пример 2 (неравенство Бернулли).

Докажите, что при а ³ –1 "nÎN выполняется неравенство (1 + а)n ³ 1 + na.

1) При n = 1 1 + а ³ 1 + na – И.

2) Пусть неравенство верно при n = k, то есть ... . Докажем, что неравенство верно при n = k + 1, то есть ... . (1 + а)k + 1 – 1 – (k + 1)a = (1 + а)k×(1 + a) – 1 – (k + 1)a ³ (1 + kа)×(1 + a) – 1 – (k + 1)a = ka2 ³ 0 Þ (1 + а)k + 1 ³ 1 + (k + 1)a, ч. т. д.

Следовательно, неравенство верно "nÎN. В каком месте доказательства использовано, что а ³ –1? [Умножение верного неравенства на (1 + а)]

4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):

Зад.: №12.69; №12.72.

Домашнее задание: Пос.: №279; Зад.: №12.50; №12.67; №12.68; №12.70. В траншею, имеющую в сечении форму параболы, уравнение которой y = x2, требуется уложить трубу круглого сечения так, чтобы она касалась дна параболы. При каком наибольшем радиусе трубы это возможно?