Реферат: М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра математической теории интеллектуальных систем Бокк Надежда Германовна Реферат


Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

Кафедра математической теории интеллектуальных систем


Бокк Надежда Германовна


Реферат по истории математики

«Абстрактные объекты»


Научный руководитель: проф., д.ф.-м.н. Алёшин С.В.


Ведущий семинары: к.ф.н. Катречко С.Л.


Москва, 2010

Поводом для данной работы послужило прочтение мной двух современных статей (если быть точной, статьи Г. Розена из SEP и тезисов М. Габбая), посвященных различным подходам к разделению конкретного и абстрактного. Так же достаточно весомый вклад внесло обсуждение на семинаре статьи из SEP, которое показало, что примеры, приведенные автором, вызывают разнообразную реакцию и многочисленные возражения.

Наверное, это можно объяснить характером самой статьи, изначально не ставящей себе целью придерживаться одной общей линии. Более того, направленной, скорее, на эпистемологию и даже преимущественно на психологический аспект восприятия абстрактных объектов, а так же на характерные виды речи о них.

Можно было бы сказать, что такого рода примеры не предлагают никакой онтологии и мало проясняют суть дела. Вооружившись какой-нибудь достаточно проработанной эпистемологической теорией было бы соблазнительно показать, что Розен смешивает различные аспекты восприятия, и что в этом вопросе у него нет ясности. Всё это означало бы навязать автору игру на чужом – в первую очередь для меня – поле и разом отказать в рассмотрении всем интересным, тонко подмеченным примерам.

С другой стороны, такие примеры из области психологии знакомы, доступны и понятны всем. Кроме того, любая теория, даже если она вовсе не интересуется психологией, несомненно, должна иметь адекватный «выход» и на этот уровень. Лично меня именно согласованность моих внутренних переживаний с теорией и склоняют в её пользу, и лишь во вторую очередь её отвлеченная красота, лаконичность или оригинальность. Поэтому, в первую очередь, я поставила своей задачей не критику из общих соображений, а по возможности внимательное и вдумчивое чтение и изложение возникающих по его ходу возражений, преимущественно того же, психологического, характера. Исключение, пожалуй, составляет только попытка сравнения подходов Габбая и неологицистов к формализованным принципам абстрагирования, в частности, к принципу абстракции Юма.

Определённая сложность состоит в том, что Розен придерживается характерного для логицизма определения объекта как объекта высказывания, что для меня приближается к значению по Фреге. Мне, в свою очередь, ближе феноменологический подход Гуссерля, по крайней мере, он наложил сильный отпечаток на некоторые мои изначально лишь смутные взгляды. Как следствие, значение мне сложно рассматривать как некий объект материального мира. Если взять классический пример, странно говорить, что значение словосочетания «утренняя звезда» есть планета Венера. Скорее, у этих двух словосочетаний общее значение, которое само есть некая абстракция, определенным образом связанная ещё и с материальным астрономическим телом. При этом реальный объект всегда позволяет всё новое и новое доопределение, граница его со средой (другими объектами) размыта, в то время как значение более ясно и цельно. В значении слова «стена» для меня нет тех мучительных вопросов, которые встают в реальной комнате: где же заканчивается стена и начинается потолок.

Так или иначе, обратимся к статье и будем стараться не просто предъявлять альтернативное мнение, но и прояснять, в чем кроются корни расхождения.

Розен начинает статью со списка характерных случаев разделения объектов на абстрактные и конкретные. И сразу же этот список, призванный, судя по всему, проиллюстрировать, что иногда распределение очевидно и неоспоримо, вызывает вопросы. Воспроизведем его:


Абстрактное

Конкретное

Классы

Звезды

Высказывания

Протоны

Понятия

Электромагнитное поле

Буква А

Стэндфордский университет

«Ад» Данте

Экземпляр «Ада» Данте ДжеДжеймса Джойса


Иногда непонимание связано с тем, что не ясна позиция автора в том, что же скрывается за приведенным словосочетанием. Например, в случае с «Адом» Данте, понимается ли эта часть романа как последовательность символов или как смысл того текста, который может быть переведён на другой язык, издан с опечатками, но останется «Адом» Данте. К счастью, при любом решении едва ли это выведет нас за пределы первой колонки. Сложнее обстоит дело с примерами конкретного. На мой взгляд, протоны и электромагнитное поле не могут выступать в таком качестве. Удивительно, что на семинаре эту позицию даже не пришлось отстаивать: аспиранты двух разных кафедр мехмата согласились с абстрактным статусом упомянутого единогласно.

Голосование, конечно, сомнительный критерий, но согласно статье, один из подходов к выявлению источника рассматриваемой дихотомии как раз и заключается в накоплении различных примеров классифицированных объектов в надежде, что причина проявит себя. Столь единодушное и массовое сопротивление ставит под сомнение уже первый, накопительный, этап такого пути.

Для разъяснения альтернативной позиции о статусе элементарных частиц можно дать отсылку к Гейзенбергу, который во всех своих статьях философской тематики говорил о губительности применения стандартных языковых форм высказывания к процессам микромира, в частности, о бессмысленности таких выражений, как «состоит из», «делится на» и «количество» по отношению к частицам. В одном из своих докладов он резюмирует, что «физика частиц информирует нас, строго говоря, о фундаментальных структурах природы, а не о фундаментальных частицах». На мой взгляд, мы впадаем в ошибку, объективируя некоторый набор свойств или даже состояний, названный частицей.

Здесь можно было бы возразить, что свойство в определённом смысле может быть рассмотрено как конкретное, возможно, мы хотели бы различать по степени абстрактности красноту вообще и красноту данного конкретного яблока. По крайней мере, часто под абстрагированием понимается как раз усмотрение в свойстве конкретного предмета общей идеи этого свойства. Но в случае протонов не идет речи о том, что они свойства некоторых различных предметов, которые в свою очередь поддаются исчислению, длятся определённое время.

Розен справедливо отмечает, что современной трактовкой вопроса о различении абстрактного/конкретного на уровне объектов мы обязаны Фреге и его «третьему миру», и дальше в статье пытается разобраться, что же может означать принадлежность к этому независимому от сознания и неэмпирическому миру.

Традиционно объекты третьего мира рассматриваются как не-пространственные и не-временные. В качестве примера Розен говорит о бессмысленности вопроса «Когда возникла теорема Пифагора?» Здесь, мне кажется, даёт о себе знать различие русского и английского языков. В рамках русского языка приемлемо ответить, указав дату, когда теорема была сформулирована. Бессмысленным, скорее, покажется вопрос о том, когда стало истинным то, что утверждает теорема Пифагора. Второй пример статьи говорит о законности вопроса «Когда появилась игра в шахматы?», поскольку такого рода вопросы регулярно задаются и никому не кажутся абсурдными.

Для того чтобы «уравновесить» ситуацию, можно было бы спросить, когда появилась Евклидова геометрия, и когда данная позиция шахматных фигур стала шахом. Уязвимость этого примера в том, что мы слишком привыкли отождествлять эмпирическое пространство с какой-либо математизированной моделью и рискуем получить ответ, что геометрия Евклида была столько, сколько есть мир, хотя это и сомнительно. По поводу шахматной диспозиции естественным ответом кажется «так было всегда, в соответствии с правилами игры». Приблизительно то же самое можно сказать и о теореме Пифагора.

Относительно данных двух примеров можно предложить различать наборы правил, очерчивающих некоторые возможные действия, и сами очерченные «пространства».

Вопрос, скорее, в том, создаём ли мы сами эти пространства или просто получаем к ним доступ, и если создаём, то в каком смысле. Интересно было бы рассмотреть какое-нибудь литературное произведение, если не «Ад» Данте, то, к примеру, трилогию Толкина. В его мире предполагается некое внутреннее время, и каждый увлеченный читатель может иметь свое мнение о том, как оно согласуется со временем объективного мира и даже непосредственно это ощущать. Но это будут лишь частные фикции читателей. Сам смысл произведения, по всей видимости, безжизненный, безвременный.

При обсуждении вне-пространственности абстрактных объектов Розен набрасывает целую серию интересных примеров, связанных с понятием множества. Чистые множества все безоговорочно относят к непространственным объектам, но как быть со смешанными множествами, вроде, {Пётр, Павел} или {{Пётр}, {Павел, Пётр}}. Автор тут же сам отмечает, что, как правило, мы не задаёмся вопросом, где же располагаются такие множества, даже если под Петром и Павлом понимаются конкретные люди. И всё же он настаивает на том, что достаточно естественно было бы считать, что находятся они там же, где и Пётр с Павлом в данный момент. В качестве аргумента выступает распространенный способ речи о множествах, например, можно сказать, что на полке в библиотеке стоит некоторый набор (a set) книг.

Все эти примеры кажутся мне до некоторой степени абсурдными. Здесь, наверное, нужно пояснить, как я воспринимаю фигурные скобки. Если говорить о психологической стороне вопроса, для меня множество (или, если быть точной, употребление слова «множество») неразрывно связано с критерием объединения. Заключение в фигурные скобки означает для меня объединение по признаку единичности объектов. То есть на житейском уровне – беспричинное объединение.

Кажется достаточно правдоподобной картина, что мы выделяем множества, замечая объекты с одинаковыми признаками (неважно даже, считаем ли мы, что у нас есть идея общего признака, или же он как-то в процессе выявляется). Или же мы знаем, что собираемся говорить об объектах с определённого рода сходством: одного цвета, принадлежащих одному человеку, интересных нам. Слово «множество» констатирует факт усмотрения общности, когда у нас нет подходящего слова для обозначения такой группы объектов как целого. Поэтому множество книг из примера – это вовсе не бессмысленное объединение единиц, а в зависимости от контекста, либо совокупность интересующих нас книг, либо совокупность того, что стоит на полке.

Теперь, если утверждается, что некоторое множество – пространственный объект, значит, я должна быть в состоянии его воспринять. В этом смысле множество, образованное заключением в фигурные скобки, вообще не может быть усмотрено. Если допустить, что мы спонтанно начали воспринимать в объектах единичность и объединять их, то мы тут же обнаружим бессчётное множество единичностей вокруг и внутри нас. По признаку единичности мы никогда не сможем объединить ровно 2 объекта. Поэтому запись {Павел, Пётр}, где Павел и Пётр не специфические обозначения для произвольной единичности, а живые Павел и Пётр, изначально кажется мне противозаконной. То есть, в повседневной жизни мы никогда не задаем множества перечислением элементов или не пользуемся словом «множество» в таких ситуациях.

Заметим, что для задания абстрактных подмножеств также часто указывается критерий объединения, к примеру {a | f(a)}, при этом предполагается, что a пробегает некоторое множество A. Такие множества тоже не могут быть восприняты, потому что базовое A никогда не совпадает со всем многообразием предметов, состояний, идей, действительных или возможных, – всем тем, что может восприниматься.

Положение можно спасти, предположив, в духе Гуссерля, способность усматривать непосредственно не только единичное, а сразу двойственное, тройственное, множественное. Тогда в качестве двойственных объектов можно как раз рассматривать множества {x1, x2}, где x1 и x2 произвольные единичные объекты. Теперь любая группа объектов может попасть под объединяющий взгляд, и, кажется, что становятся ненужными рассуждения об усмотрении сходства. Хотя какие-то тройки нам выхватить естественнее, например, три красные книги, а не кусок сахара, треугольник и дождь за окном. Встает вопрос, а всегда ли мы в тройке объектов видим именно тройку. Как раз случай красных книг сомнителен. Если бы мы хотели рассматривать их как тройку, нам было бы, скорее, безразлично, что они красные.

Наверное, не обязательно расставаться с прежними психологическими описаниями, можно считать, что они дают приемлемую картину того, как на этом уровне для нас сливаются разные объекты во что-то единичное. Всё-таки, мне кажется, для нас характерно воспринимать именно единичности, говорить о них, хотя они иногда и называются множеством чего-то, но в этом множестве мы не собираемся уже интересоваться его составом. В примере с книгами, множественность книг на полке я усматриваю, когда собираюсь пересортировать их, но в большинстве случаев мне достаточно оперировать этим «множеством книг» как монолитной единичной массой.

О сходных ощущения говорит сам Розен, начиная раздел о каузальной неэффективности абстрактных объектов с рассмотрения совместных действий Петра и Павла. Он замечает, что мы не можем сказать, какое именно из множеств, состоящих из Петра и Павла, а может наоборот составляющее их (множество их молекул, например), произвело действие.

Описывая эмпирические взаимодействия, мы, как и в остальных случаях, склонны указывать единичное, как причину. «Камень разбил окно» – это снова пример Розена. Можно сказать, что человек разбил окно или человек с помощью камня разбил окно. Но есть ли у нас форма речи, чтобы сказать, что {человек, камень} разбили окно и насколько это будет оправдано.

Пожалуй, в качестве примера, когда для меня ощущается не-единичность причины можно указать ситуацию, когда Пётр и Павел уравновешивают друг друга, скажем, на качелях. Здесь я действительно говорю о паре, сохраняя разделённость её единиц.

Быть может, именно на эту особенность языка – отдавать предпочтение единицам – указывал Гейзенберг, тогда как набор возможных квантовых состояний – это множественность и даже, в некотором смысле, неопределенная множественность.

Здесь стоит остановиться. Мы изменили понятие множества настолько, что исходный вопрос, конкретны ли смешанные множества, просто потерял смысл. Безусловно, {Павел, Пётр} в качестве двойного объекта конкретен, но саму множественность мы вынесли из сферы объектов (как она понимается в статье) и обозначили как нашу способность смотреть определенным образом. Бессмысленно поэтому приводить причинные взаимодействия смешанных множеств в качестве примера или контрпримера каузальной неэффективности абстрактных объектов. Если в статье и ставился вопрос об абстрактности объектов, то речь шла о единичных объектах в нашем новом понимании – необходимо к ним и вернуться.

Обсуждая пример камня, разбившего окно, Розен делает другое наблюдение: на самом деле каузальные отношения – это отношения между событиями, и камень только неким косвенным образом участвует в раскалывании стекла. Дальше он отмечает, что теорема Пифагора тоже в косвенном смысле участвует в размышлениях человека, в результате которых он может совершить некоторое действие.

Здесь сложно что-либо сказать, кроме того, что эта проблема кажется мне уходящей гораздо глубже Фреге и его «третьего мира». В таком же смысле не ясно, можно ли вообще считать какие-либо мысли причинами событий материального мира, какой тип причинности мы хотим рассматривать. Это вопрос о соотношении первых двух «миров». С появлением третьего, естественно, путаница только увеличивается. Тем более, складывается ощущение, что мы находимся во власти аналогий с эмпирическим миром, вслед за Аристотелем отрицая, что два тела могут занимать одно и то же место. Отсюда, мне кажется, происходят аспекты предметов, выделяемые вниманием, однако не признающиеся за полноценный объект. Каждый из новых миров мы пытаемся представить в виде нового обособленного места – пространства, в котором находятся свои специфические отдельные, непроницаемые единицы – вещи. Изгнав абстрактные общие предметы из сознания, где находятся мысли, и, не желая идти на поводу у номинализма с его «кучами вещей», мы по необходимости создали третий мир. При таком подходе вообще кажется затруднительным когда-либо разобраться во взаимодействии всех этих разнородных замкнутых вещей.

Традиционно, вместе с абстрактным как таковым рассматривают и различные процедуры абстрагирования. Описания таких процедур обычно имеют психологический характер и относятся больше к формированию абстрактных идей, в силу, как уже отмечалось, довольно молодой постановки вопроса о классификации именно референтов идей – объектов. Однако Розен отмечает, что в последние десятилетия снова возрос интерес к процедурам абстрагирования, и последователям Фреге удалось до некоторой степени формализовать принцип абстракции Юма, состоящий в присоединении общих имен к сходным в чем-либо объектам.

Современная формализация основана на разбиении на классы в соответствии с отношением эквивалентности и выглядит следующим образом: f(a) = f(b) тогда и только тогда, когда aRb, где R – отношение эквивалентности. Так задается абстрактный объект X, который фактически представляет собой множество Kf всевозможных классов эквивалентности отношения R.

В качестве примера рассматривается концепция направления: направление a = направление b тогда и только тогда, когда a||b. Причем предложенная конструкция претендует не на формализацию понятия направления постфактум, а именно на отражение процесса его формирования. То есть ни в одной из отдельных прямых мы не усматриваем её направления, это всего лишь общее имя для воспринятого нами каким-то образом единства во всём классе параллельных прямых. Более того, это единство может заключаться, судя по всему, только в том, что оно само неким образом отличается от единства другого класса параллельных прямых. Такая трактовка оставляет смутные опасения, что мы нигде не захотим признать никакой воспринимаемой самой по себе сферы отличения, а будем углубляться в различия этих сфер между собой дальше. Это довольно странно, потому что кажется естественным, что там, где нет никакой общности, не может быть и различий.

Помимо этого, раз нам безразлично, какое имя мы присвоим нашей концепции, можно предложить заменить «направление a» на «точка, пополняющая a». Мы получим, таким образом, одно из возможных заданий проективной плоскости, если рассмотрим теперь прямые вместе с нашими новыми точками-направлениями. И действительно, геометр подтвердит, что направление пучка параллельных прямых и соответствующая ему бесконечно удаленная точка – это, в общем-то, одно и то же. Интересно, что каждой «обычной» точке тоже соответствует свой пучок – множество прямых, проходящих через неё. На мой взгляд, как раз последнее множество и может претендовать на житейское понимание направления, которому всегда соответствует некоторая финальная точка. Например, если тот же геометр идет в университет читать лекции, то направление его движения как раз «в университет». Со всех сторон к университету приближаются студенты, и все они идут в направлении «в университет». Кажется довольно осмысленным назвать одинаково направленными те лучи, которые сходятся к университету. И всё-таки конечная цель никогда не сливается с направлением – неопределенным «туда», указанием к действию, – иначе мы не могли бы показать направление, когда объект вне поля зрения.

Естественно, ни один математик не скажет, что пересекающиеся прямые сонаправлены, но приведённый пример, мне кажется, показывает не то, что не математик может понимать под направлением что-то странное, а то, что направление – это некоторое свойство усматриваемое непосредственно в одной прямой. Различаются лишь способы группировки этих направлений. В обычной жизни мы можем назвать одинаково направленными пути, проходящие через одну точку, математики же считают одинаково направленными прямые не имеющие общих конечных точек.

Теперь вернёмся к более формальной стороне вопроса. У нас есть две концепции: «направление a» и «точка, пополняющая a». Заданы они одним и тем же отношением эквивалентности. Но если про направление можно говорить, что это, к примеру, пучок прямых или имя, присоединенное к этому пучку, то про бесконечно удалённые точки этого утверждать нельзя. Бесконечно удалённая точка существует в проективной плоскости в том же смысле, что и соответствующий пучок параллельных прямых, но объективно с ним не совпадает.

Здесь можно заметить, что мы неосторожно использовали в имени концепции слово «точка», которое имеет собственное значение. Остается предположить, что добавленные «точки» – это абстракция, произведенная в две стадии. То есть в концепции «направление» мы можем усмотреть что-то общее с точками Евклидовой плоскости. Похоже, здесь мы попадаем в порочный круг: точки ещё не должны быть определены как некая абстрактная концепция на тот момент, когда у нас «появляется» концепция направления. К тому же, правая часть нашей концепции направления – a||b – теряет смысл, когда мы хотим рассматривать «направление» как общую точку, потому что параллельность предполагает отсутствие такой точки. Или же у нас должно быть по количеству пространств много различных концепций точек.

Мало того, что конструкция становится довольно запутанной, совершенно не ясно, возможно ли задать сами точки в виде какой-нибудь концепции. Равно как и множества. Об этой неопределенности говорит и Розен.

Далее в статье следует забавный пример того, как конкретный объект, поезд, может быть задан с помощью данной концепции абстрагирования: поезд x = поезд y тогда и только тогда, когда x и y вагоны, связанные между собой. Применения нашего принципа к конкретным вагонам напоминает ситуацию с множеством {Петр, Павел}. Видимо, рассматриваемый принцип заведомо работает, только когда исходные его объекты абстрактны. С другой стороны, ограничить его применения сферой абстрактного, значит, отказаться от разъяснения с его помощью интересующей нас дихотомии и свести его роль к методике формализации математических понятий.

Другим классическим примером использования принципа абстракции Юма является концепция чисел как классов эквивалентности отношения 1-1 соответствия: количество F = количество G тогда и только тогда, когда F1 ~ 1G.

Не считая, что мы уже некоторым образом знакомы с числами и ограничивая свои способности рассмотрением единичных объектов, но всё же оставляя умение, скользя взглядом, охватывать множества объектов сходных в чем-либо, трудно понять, как мы сможем построить 1-1 соответствие. Допустим, перед нами лежат ракушки и камушки и последних больше. Но мы усматриваем непосредственно только множества «все ракушки» и «все камушки». Можно предположить, что мы теперь положили по ракушке на камень. Перед нами появилось ещё одно множество, «все пирамидки», в котором вообще-то говоря нет ни камней, ни ракушек. Чтобы понять, что множество всех ракушек вложено в множество всех пирамидок нужно сохранять каким-то образом понимание внутренней структуры пирамидок. Точно так же, чтобы увидеть, что остался лишний камень, нужно «видеть» его в составе несостоявшейся пирамидки с ракушкой. Что означает даже больше, чем видеть двойственные и прочие множественные объекты (фактически «видеть» натуральные числа), мы ведь должны воспринять камень как пирамидку с «пустотой» на месте ракушки.

Хотя, возможно, здесь столь резкое ограничение наших способностей неуместно. Если в вопросе пространственного положения смешанных множеств была важна именно способность воспринимать их, конечно, в случае установления 1-1 соответствия может участвовать и наша способность совершать суждения. Но, по крайней мере, такое соответствие не может быть усмотрено непосредственно (в прежних ограничениях) и на первый взгляд не видно, что могло бы заставить нас прийти к идее количества.

Интересную концепцию натуральных чисел предлагает Габбай, с целью показать, что принцип абстракции Юма не достигает своей цели по причине аналогичной той, которая заставила Бенацеррафа отвергнуть какой бы то ни было ряд множеств, претендующий на то, чтобы быть натуральными числами. Габбай говорит о другом принципе абстрагирования и называет его принципом Бенацеррафа, хотя в нашем понимании речь, скорее, о другом отношении эквивалентности в рамках всё того же принципа Юма. В соответствии с первыми буквами фамилий он использует для чисел двух типов индексы B и H.

Предлагается рассмотреть концепцию ux.(...): унитарность F = унитарность G тогда и только тогда, когда, либо ни F, ни G не единичны, либо под F и G подпадают один и тот же объект. Габбай справедливо отмечает, что способность выделять единичные объекты должна предшествовать любым операциям с ними и суждениям о них, в частности установлению 1-1 соответствия, поэтому его концепция достаточно естественна.

В качестве чисел выступают не всевозможные классы, а лишь получающиеся итерационным применением ux.(...) к 0B, то есть Габбай рассматривает ряд:

0^ Bобозначающее ux.(x ≠ x)

1Bобозначающее ux.(x = 0B)

2Bобозначающее ux.(x = 1B)…

Здесь уже очень сложно понять, как можно психологически интерпретировать этот формализм. Не ясно, рассматривать ли F и G как свойства или как множества, уместно ли такое деление. На самом деле, те же вопросы можно задать и в отношении первого принципа, ведь и там мы не рассматриваем никаких действительных объектов, а только некоторые понятия.

Наверное, стоит отвлечься теперь от содержания статьи Розена и от того, что название нашего принципа происходит от концепции Юма, полной психологизма. Самого Фреге вряд ли интересовал такой аспект его аналитических описаний. Мне трудно понять, в каком смысле наши формальные концепции претендуют на эпистемологию, остаётся прислушаться к Габбаю, который более уверен в своем обращении с аналитической философией и в оценках того, что же пытался сделать Фреге.

Габбай показывает, что его принцип задаёт числовой ряд и наравне с принципом 1-1 соответствия не приводит к парадоксам, как, например, Основной закон V Фреге в исходной формулировке. Но он не останавливается подробно на демонстрации того, что новый принцип действительно отличается от предложенного неофрегеанцами. Попробуем сделать это. Рассмотрим произвольное понятие F, не лежащее в 0B. Заметим, что унитарность любого неединичного понятия всегда совпадает с 0B, значит, F единично. Тогда ясно, что все свойства из классов Габбая, отличных от 0B, лежат в классе 1H – единичного по Фреге

Число вслед за Фреге мы рассматриваем как характеристику понятия, но считаем мы, обычно, объекты, поэтому требуется прояснение, в каком смысле концепция неофрегеанцев «задаёт» числа. Габбай как раз предлагает альтернативное соотнесение числа и понятия, без использования мощности объёма понятия. Его возражение по сути основано на том, что выбор того или иного числа, отвечающего понятию, нельзя оправдать без «спуска» к объектам и указания того, что же именно мы хотим считать или упорядочивать, а этого изначально хотелось избежать.

Это возражение можно принять, потому что уже выяснение того, что мы посчитали, при подходе неологицистов вызывает вопросы. Например, троичность какого объекта задаёт факт принадлежности понятия G классу 3H, означает ли это, что тройкой является мереологическое объединение подпадающих под G объектов или, возможно, их множество. Это может иметь значение, если мы захотим использовать наши числа как ординалы, а последние рассматривать как объединения меньших ординалов. Здесь, как и в случае с пополнением Евклидовой плоскости до проективной, происходит «овеществление» абстракции и помещение её в один ряд со своими «предметами» и уже существенно различается объединение первых членов ряда и оно же, рассмотренное само как следующий член ряда. То есть, даже фиксировав способ соотнесения числа с понятием, мы не смогли избежать вопросов в использовании данной концепции.

О неизбежности указанной неопределённости Габбай говорит, когда отвергает возможные предложения интерпретировать его числа как ординалы, а числа Фреге как кардинальные. Процесс соотнесения числа с понятием не должен накладывать ограничений на то, как мы будем использовать наши концепции: какие объекты мы объявим причастными к числу. Если бы мы хотели «считать» всегда только объекты, подпадающие под понятие, то есть, к примеру, полагать, что наше понятие G указывает на троичность исключительно своего объёма, не было бы никакой разницы, рассматривать ли число как характеристику объектов или понятий. Так же можно рассмотреть понятие «быть яблоком или быть его краснотой». Можно сказать, что мы яблоко рассматриваем как пару, но яблоко не является объёмом понятия.

И наоборот, понятие может указывать на числовую характеристику того, что подпадает под него, не только через мощность объёма понятия, значит, с этим понятием можно связать другое число. То есть мы возвращаемся к аргументации Бенацеррафа, признавшего бесполезными оба ряда множеств, всего лишь иллюстрирующих числа.

Подводя итоги, заметим, что при рассмотрении каждого примера мы столкнулись с определёнными трудностями. Они, как мне кажется, происходят из нашего понимания объекта как некой непроницаемой единицы. Мы склонны смешивать единство существования во времени и некую единичность в статичном срезе. Мы задаёмся вопросом, как формируются множества из нескольких элементов, но не интересуемся, как формируется единичность. Рассматривая возможность двойственных и множественных объектов, мы тоже не уделили этому внимания. По аналогии надо сказать, что взгляд, выхватывающий единичность, даёт нам {a}, а не a. И эта единичность, обозначенная фигурными скобками, не предшествует множественности эпистемологически, не яснее и не «естественнее» её. Наши попытки объяснить образование {a, b, c} из {a}, {b}, {c} или из {a, b} и {c} не будут успешными.

Так же мы можем рассмотреть {a}2 и a станет двойственным объектом, как в примере с яблоком, но единство a не претерпит изменений, оно другой природы. Под a я понимаю некоторое сущностное единство, причём вряд ли в аристотелевском смысле, где оно слишком сильно сливается с единичностью формы {.}, а скорее в смысле многообразий монад Лейбница или потоков интенций Гуссерля. Эти единства вряд ли вообще поддаются исчислению. Бессмысленно спрашивать, сколько многообразий перед нами, когда каждое бесконечно делимо и у каждой части будет своя главенствующая монада. Каждая пара, действительно, окажется парой чего-то, но она не будет «составлена» из двух её единиц. Может ли она быть разложена на эти две единицы, не ясно. Математика, которая овеществляет нашу способность смотреть, допускает, конечно, множество {{a}, {b}}, но в нашей трактовке множества – это нечто непонятное.

Переходя к рассмотрению других типов объектов, можно дистанцироваться от вопроса о месте расположения объектов и абстракций, сопутствующих им, и исследовать наши различные способы восприятия. Но здесь мы остановимся.
еще рефераты
Еще работы по разное