Реферат: Валентина Коровина "Окно в Болонью"

ЗАЧЕМ ФИЛОЛОГАМ МАТЕМАТИКА

Соглашаясь с большинством положений действительно интересной и острой статьи Валентина Коровина "Окно в Болонью" ("ЛГ", № 38), один момент всё-таки хочу оспорить: «…радетели стандарта ввели для филологов математику (?) и естественные науки (?), которые будущими учителями русского языка и литературы преподаваться никогда не будут».

Во-первых, не все филологи обучаются для преподавания в школе. Во-вторых, не все предметы, с которыми их знакомят, предназначены для непосредственного изложения в будущей деятельности. В-третьих, всё зависит от того, какова цель введения математики и как следует её преподавать. Сопровождение этого курса кратким содержанием – перечнем основных понятий и терминов - и выделение на него всего 12 лекционных часов (!) действительно обрекает это нововведение на пустую трату времени.

Введение математики обусловлено растущей "агрессией" этой науки, активно вторгающейся в «святая святых» филологов – в оценку достоверности различных гипотез и версий, в проблемы исторического изменения различных языков, в криптографию, «черновой» перевод и т.д. Но есть и другая сторона проблемы. Вряд ли можно считать культурным человека, незнакомого с творчеством Баха и Толстого, Кафки и Рильке. И в то же время считается вполне нормальным, когда гуманитарии слыхом не слыхивали об именах и смысле работ Декарта и Коши, Ковалевской и Пуанкаре, Дедекинда и сообщества «Бурбаки»! Известно отношение Эйнштейна к творчеству Достоевского, но я не слышал, чтобы крупные учёные-филологи отмечали бы положительное влияние на свои исследования работ великих математиков! Хотя такое взаимовлияние двух основных способов познания мира - образного и аналитического - несомненно, имеет место.

Вот на преодоление этого диссонанса и направлен, на мой взгляд, новый курс. Конечно, за 12 часов никак нельзя научить студентов основным понятиям и методам современной математики, но можно (и нужно) дать им методологические основы и исторический обзор развития этой науки.

В течение ряда лет поощрялось внедрение в образование «естественников» гуманитарной компоненты. Сейчас, видимо, настало время обратного. Конечно, не за счёт ущемления специальных дисциплин.
^ "Литературная газета", № 44
ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА, КОМУ И ЗАЧЕМ ОНА НУЖНА ?

Испокон веков противопоставлялись холодная, рассудочная математика и яркие, образные гуманитарные науки, сухие математики («А ему хорошо и не нудно, /что живёт он сух и покорен! /Зато он может ежесекундно/ извлекать квадратный корень!») и яркие поэты, артисты, художники («Юноша бледный со взором горящим,/ ныне даю я тебе три завета./ Первый прими – не живи настоящим, /только грядущее область поэта…»).

Наступило время, когда такое противопоставление не вполне корректно.

И дело не только в том, что любопытные и агрессивные математики активно вторгаются в «святая святых» гуманитариев – анализируют стихи и прозу, корректируют художественные фотографии, расшифровывают древние письмена, пытаются разобраться в причинах и факторах исторических событий (от Пелопоннесских войн до перспектив атомной войны).

И не в том, что теперь почти невозможно гуманитариям обойтись без достижений математиков – без использования компьютеров с автоматическим анализом и коррекцией текста, без электронных копий картин и симфоний.

Дело в гораздо более глубоких связях, очень чётко отмеченных математиком и богословом Ю.А. Шрейдером. Он показал, что «точные» науки совсем не так точны, как кажется и как нередко заявляют их представители – в них всегда присутствуют многие ограничения, условия, выделяющие объект исследования из действительности и требующие со временем снятия хотя бы части условий, уточнения, приближения к действительности. С другой стороны, гуманитарные науки во многом определяют менталитет, систему мировоззрения исследователя во всех науках, в том числе и «точных». Кроме того, эти науки вынуждены «идти на выучку» друг к другу. Математики, создавая языки общения с компьютерами обязаны изучать естественные языки, гуманитарии всё чаще вынуждены для обоснования своих положений пользоваться математическими методами вместо «мне нравится…» или « я полагаю…».

В результате и возникла необходимость включения в учебные планы подготовки гуманитариев хотя бы поверхностного курса математики (и связанной с ней информатики). Математическая неграмотность приводит и к стратегическим ошибкам в политике и экономике, к недопустимой неграмотности в языке журналистов и писателей.

Современная культура едина, она в равной степени включает знания гуманитарных и естественных наук (шутливое противопоставление им «неестественных» наук, разумеется, шутка). И если вряд ли можно считать культурным человека, не имеющего представления о Пушкине, Толстом, Чайковском и Ренуаре, то так же трудно считать культурным человека, ничего не знающего об Архимеде, Декарте, Эйнштейне.

Взаимоотношения математики и гуманитарных наук, прежде всего – искусства, всегда являлись предметом размышлений поэтов и мыслителей. Примером тому являются работы А. Белого, В. Хлебникова, Н. Гумилёва и современных поэтов:

Между поэтом и учёным

Лежит извечно полоса:

Один пришёл открыть законы,

Другой – на мир открыть глаза.

(А. Марков, Лит. Россия, 13 июня 1986 г)

Интересно сопоставить два «слогана»: математики говорят «Бог создал 0 и 1, остальное – дело рук человеческих» (то есть из первых простейших абстракций математики вывели огромное множество достаточно тонких законов мира), а на телевидении в последнее время введена рубрика «Как искусство создало мир».

Существенно и то, что многие гуманитарии интересовались возможностью применения математики, а многие учёные, специалисты естественных наук пытались изучать проблемы искусства. Опять же примером являются работы А. Колмогорова, Ю. Шрейдера, Б. Раушенбаха.

Известный «компьютерщик» В.Губайловский в последние годы регулярно публикует статьи в журнале «Новый мир». Название одной из его статей звучит характерно: «Геометрия Достоевского». А в другой статье, изучая процессы изменения языка, он отмечает: «Учёным удалось построить математическую модель распространения новых слов»!

Один из самых популярных писателей последнего времени Ю. Давыдов отмечает: «Ошибки математические, будучи и логическими, свидетельствуют об изъянах нравственных» (разрядка моя).

Определений математики существует множество. От философского определения Ф. Энгельса (существенно устаревшего и по объектам, и по методам исследования) до анекдотических «определений Шерлока Холмса» или фразы «Математика это то, чем занимаются математики». Одно из наиболее корректных определений таково:

«Математика – это методы построения формальных моделей различных процессов и анализа этих формальных моделей».

Разумеется, при этом возможны такие упрощения, которые выхолащивают смысл изучаемых явлений и процессов, и обнаружение таких фактов требует пересмотра моделей (а не реплики «Тем хуже для фактов»). Яркие примеры несоответствия формальной логики действиям реальных людей неоднократно приводились Д.А. Поспеловым.

Как всякая формальная система, математика имеет и порождает свои «внутренние» проблемы, которые столь же важны для развития математики, как и поставляемые ей «внешние» задачи и проблемы. В этом отношении у математики много общего с гносеологией, наукой о познании, а формализованность моделей позволяет «в чистом виде» изучать закономерности познания.

«Потребители» математики (прежде всего физики) давно и неоднократно отмечали «непостижимую эффективность математики», обусловленную прежде всего общностью и абстрактностью моделей изучаемых объектов. Так, например, законы развития заболеваний и эпидемий формально совпадают с законами распространения публикаций, посвящённых различным проблемам.

Естественно, как и в гуманитарных науках, нас многому учит история развития математических знаний, подходов и методов.

Огромна заслуга арабской культуры – в создании позиционной системы счисления (в ней до сих пор легко найти «арабские» следы – в чтении чисел «справа налево»), во введении символьных обозначений, в многих терминах от алгебры до алгоритма.

Замечательны работы древнегреческих учёных – от Евклида (до недавних времён преподавание геометрии шло непосредственно по его «Началам…»), Пифагора, Диофанта до Архимеда (по существу заложившего почву для исчисления бесконечно малых величин).

В последнее время имеются попытки формального рассмотрения проблем филологии. Примером могут служить теория мифа и классификация сюжетов сказок и преданий, предпринятая Леви-Строссом, а также попытки классификации методов рекламы в СМИ и «иммунитета» к ним, опубликованные в Литературной газете (2006, № 29) Г. Дубовым.

^ ЯЗЫК МАТЕМАТИКИ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Каждая наука имеет свой язык, понять который «непосвящённому» трудно. Вряд ли любой человек поймёт смысл медицинского диагноза, утверждений механиков, химиков, лингвистов. Имеет такой язык (м.б. точнее – диалект) и математика. Основой его являются символьные, буквенные обозначения рассматриваемых величин. Смысл их в том, что сформулированные законы сохраняют общность, какие бы конкретные значения ни принимали эти величины:

a+ b = b+a, ab= ba, (a+b)2 = a2 + 2ab+ b2 ,

какие бы значения ни принимали a и b (2, 3, 10, 100). Это придаёт общность получаемым соотношениям и объясняет, почему рассуждения и выкладки ведутся «в буквах, а не в цифрах» ( что, к сожалению, вызывает нередко вопросы у студентов-экономистов).

Переход к понятию величины легко проследить и в лингвистике: знаменитая фраза Щербы

«Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка»,

построена по всем законам русского языка и допускает различные «наполнения» условных «слов». Например:

«Рыжая корова сильно толкнула козла и гоняет козлёнка» или

«Милая студентка щедро одарила парнишку и ласкает ребёнка».

Хотя основные элементы математических рассуждений, формальной логики были заложены Аристотелем, их формализация введена в ХУ111 –Х1Х веках и составила предмет «математической логики». Её основные элементы понятие «истинности» (true) и «ложности» (false) , а также «кванторы» (значки) всеобщности и существования . Их перевод очевиден («всегда имеет место» и «существует»). А придание им цифровых значений и введение обозначений для основных операций (И, ИЛИ, НЕТ или and, or, not) позволяет превратить логические рассуждения в своеобразное исчисление, формализовать и передать логику компьютерам.

Подобно обычным, естественным языкам эти формальные правила «исчисления высказываний» играют роль грамматики такого специального языка. Но эти правила определяются АКСИОМАМИ, некоторыми простейшими исходными положениями, принимаемыми без доказательства и основанными на некоторых априорных свойствах изучаемых явлений. Такой аксиоматический подход – постулирование некоторых минимальных свойств и формальное изучение всех возможных следствий из них, - характерен для современной математики, хотя в некоторой степени схоластичен, является наследием средневекового стиля.. Но он чётко выделяет ту область изучаемых явлений, её упрощённое представление, которое позволяет выяснить те менее очевидные свойства, которые являются следствием принятых аксиом.

Выделяя условия, при которых справедливы доказываемые теоремы, математики чётко ограничивает возможности неправомерного расширения области применения полученных результатов. Иначе из теоремы Маркова о случайных процессах с поглощающим состоянием следует, что «Все альпинисты кончают жизнь в трещине», а из теоремы о глобальности локального оптимума в задаче выпуклого программирования следует, что «Всякий первый парень на деревне является первым парнем во всей стране».

Как уже было отмечено выше, реальные процессы не всегда идут «по Аристотелю» и с интерпретацией формальных выводов нужно быть осторожным. Но аксиоматический подход исключает «различное понимание» тех или иных терминов и понятий, что нередко возникает в гуманитарных науках и является источником напряжённых споров. Однако существует область применения этой формальной системы, где её использование даёт безусловно верные результаты и чрезвычайно важной для применений – это теория электронных схем, лежащая в основе всех приборов, использующих микроэлектронику – от простейших электронных замков до сложнейших регуляторов, анализаторов и компьютеров.

Вследствие этого основным «внутренним» языком почти всех компьютеров является двоичная система счисления («арифметика гуингмов» - мыслящих лошадей из романа Дж. Свифта)1.

Двоичная система счисления обладает неоценимым техническим преимуществом: она позволяет по неточным сигналам (значениям тока) получать точное кодирование – ведь легко отличить наличие сигнала (1) от его отсутствия (0), но гораздо труднее отличить сигнал уровня 7 от сигнала уровня 6 или 8!

Фундаментальную роль в оценке возможностей аксиоматического подхода играет теорема Гёделя, доказанная в 1931 году и утверждающая, что в любой формальной аксиоматической системе есть факты (утверждения), которые в рамках этой системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть. То есть обнаружение таких фактов требует обобщения, расширения этой формальной системы, пополнения или изменения аксиом. Тем самым выявляется путь развития математики как способа познания мира: выделение формальной упрощённой системы, её изучение, выявление фактов, недоступных изучению в рамках этой системы, её расширение и обобщение.

Простейшей формальной системой, с которой знакомы мы все, является арифметика – выделяющая понятие числа и правила действий с ними. И на этом примере легко проследить отмеченный выше процесс познания.

Начальная система – арифметика целых чисел, на которых определены операции сложения и умножения. Но уже в этой простейшей системе попытка обращения операций (по сумме и одному из слагаемых определить второе слагаемое, по произведению и одному из сомножителей найти второй сомножитель) заставило человечество довольно давно расширить эту систему: ввести понятия отрицательных и дробных, рациональных чисел. Кстати, это обобщение довольно трудно воспринималось греками и египтянами и не так уж легко воспринимается и сейчас школьниками.

Обобщение операции умножения – возведение в степень, an ,введение не целой степени и обращение этой операции опять таки потребовало расширения системы и её аксиоматики – появились понятия логарифма иррационального и трансцендентного числа.

Аналогия между методами математики и приёмами построения художественных произведений также легко прослеживается. Один из наиболее распространённых методов доказательства «от противного» встречается во многих художественных произведениях: стихи Б.Слуцкого «Последнею усталостью устав…», К. Симонова «Если бог нас своим могуществом…» и др.,

7-я симфония Д. Шостаковича – начальный тезис опровергается в дальнейшем.

Для иллюстрации взаимодействия между математикой и филологией характерно, что в своих книгах «творец кибернетики Н. Винер многократно обращается… к образам Льюиса Керрола из «Алисы в стране чудес»

^ 3. ФУКЦИИ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Следующим за понятием числа и его обобщением, величины – исторически и логически, – объектом математики является понятие функции: результат некоторых действий над одной величиной x, приводящий к значению другой величины f(x), зависимость f от x. Действительность даёт неисчислимое множество таких объектов, зависимостей: скорости и пути от времени, требуемой теплоты нагрева от температуры, затрат и прибыли от объёма выпуска продукции и т.п.

Неявно это понятие было освоено уже в древней Греции, но тогда же были обнаружены и некоторые парадоксы – знаменитые апории2 Зенона (догонит ли Ахиллес черепаху, летит ли стрела и др.).

Простейшей формой описания функции является её график – кривая на плоскости, где абсцисса - аргумент , а ордината – значение функции. Для работы с компьютером надо задать порядок действий, вычисления f по x или достаточно густую таблицу значений f и x. Изучение возможных графиков функций и апорий Зенона привели (уже значительно позже) к понятию непрерывности функции, формализованному с помощью теории пределов, связанной с изучением динамики изменения величин и функций.

Важной характеристикой функции, зависимости f(x) является быстрота, скорость изменения её при изменении аргумента, то есть отношение приращений

 f/x или его предельная форма (при x 0) f (x), введённая Ньютоном и Лейбницем в конце ХУ11 века. Правила вычисления производных составляют предмет дифференциального исчисления и, как всякий язык, имеют свою грамматику (общие правила ) и словарь (таблицы производных). Эти правила позволяют вычислять производные практически всех обычно встречающихся функций (кроме исключительных случаев, важных для теории, но для практики не существенных). Знание производных позволяет применять их для решения важных прикладных задач: отличать рост функции от её убывания, оценивать приближённые значения прироста функций ( f  f (x) x), решать уравнения, искать экстремальные значения (максимум и минимум) функции, которые отвечают нулевым значениям производной.

Тот же аппарат позволил решать и ещё одну важную прикладную задачу: получать зависимость, отвечающую некоторым наблюдаемым данным. Зависимость выбранного вида (например, многочлен) определяется параметрами (коэффициентами), значения которых должны дать минимум сумме квадратов отклонений теоретических значений от наблюдаемых. Этот метод получил название метод наименьших квадратов.

Открытие и развитие дифференциального исчисления явилось очень важной вехой в развитии математики, дав общий метод решения этих задач (до тех пор каждая задача требовала индивидуального подхода). Как всякое крупное открытие, оно привлекло внимание и философов, осмысливавших его, – от Готфрида Лейбница до Карла Маркса, Бертрана Рассела и т.д.

Можно отметить ещё один характерный момент исторического развития математики. В школе многим с трудом давалась геометрия, так как для решения геометрических задач нет «железных правил», требуется индивидуальный подход и пространственное воображение. Поэтому величайшей заслугой Рене Декарта было «сведение геометрии к алгебре», разработка основ аналитической геометрии. Но наука, как и всё познание мира человечеством, развивается по спирали! И в ХХ веке возник обратный процесс: далеко продвинутые отрасли математики (алгебра, функциональный анализ и т.п.) получили «геометрическую интерпретацию». Было введено, разработано и использовано понятие функционального пространства. Не давая здесь его определения, отметим, что при этом сложные математические объекты рассматриваются как точки обычного, привычного геометрического пространства. На этом языке удобно описывать и литературные произведения, отмечать сходство и различие классов статей и книг (например, характеризуя их длиной фраз и слов).

^ 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Выше уже отмечалось, что основной путь развития математики и гносеологии – это обобщения введённых понятий и операций, а также обращение введённых операций. То же произошло с дифференциальным исчислением.

Обобщения были связаны с увеличением размерности аргумента – рассмотрение многих аргументов, функций от многих переменных, введение «частных производных» (по одному из многих аргументов), производных по направлению. Эти обобщения не представляли больших трудностей и были легко реализованы.

Обращение операции дифференцирования – поиск исходной функции (первообразной, интеграла) по её производной оказалось более трудной задачей. По шутливому выражению одного из самых остроумных преподавателей РГУ Е.Л. Литвера «дифференцировать можно научить даже обезьяну, а интегрировать – не всякого студента». И дело не только в технических трудностях (они в последнее время могут считаться снятыми, так как в программное обеспечение компьютеров теперь включены блоки, реализующие поиск интеграла, первообразной функции).

Оказалось, что далеко не все элементарные функции имеют первообразную, также выражающуюся через конечную комбинацию элементарных функций!

Как и в обращении арифметических операций, операций над величинами, обращение потребовало расширение класса рассматриваемых функций.

Интегральное исчисление также имеет свою грамматику (общие правила) и свой словарь – значительно более сложный, чем при дифференцировании. Некоторым аналогом является словарь рифм, позволяющий находить слова по их окончаниям, - впрочем, и этот процесс плохо формализуется, оригинальные рифмы конструируются поэтами не всегда формально.

Кроме того, оказалось, что процедура интегрирования тесно связана с широким классом практических задач – вычисления площадей, объёмов, моментов инерции, осреднённых значений, решения уравнений, включающих производные, дифференциальных уравнений, описывающих различные динамические и распределительные процессы.

И для этих задач создание интегрального исчисления позволило предложить общие методы, взамен индивидуальных приёмов, например, «метода исчерпывания», применявшегося Архимедом, или метода тонких слоёв, применявшегося Кавальери. Геометрическая интерпретация производных (как углового коэффициента касательной к кривой в данной точке) и интегралов (как площади под рассматриваемой кривой) позволило разработать процедуры приближённого вычисления этих величин с требуемой точностью, особенно важные в связи с применением компьютеров.

Формализация этих процедур привела к понятию алгоритма – последовательности действий, приводящих к получению нужных величин или функций. Понятие алгоритма является ключевым для работы с компьютером, но аналог его легко проследить в бытовых условиях (алгоритм кипячения воды3 или молока, алгоритм анализа слова или предложения и т. д.). Вопросам построения и анализа алгоритмов будет уделено особое внимание при изучении основ информатики.

^ 5. МНОЖЕСТВА, МЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Для математики, как и для большинства других наук, процесс развития идёт по принципу «шаг вперёд, два шага назад». Сначала, без особых обоснований вводятся новые понятия и подходы. Если такой, несколько авантюрный прорыв оказался удачным, позволил получить новые результаты (шаг вперёд), возникает необходимость вернуться назад, оглядеться, обосновать введённые понятия и методы, найти границы их применимости (два шага назад).

Таким обоснованием и понятия числа, и понятия функции, и роли новых классов функций явилась разработка теории множеств.

Множество – простейшее, первоначальное математическое понятие, не определяемое, а лишь поясняемое примерами. Это – совокупность некоторых объектов (людей, слов, чисел, функций, …).

В качестве иллюстрации множество представляется некоторой двумерной областью как совокупностью принадлежащих ей точек (непрерывной или дискретной). Характеристикой множества является его мера – аналог площади области или числа содержащихся в множестве точек, элементов.

Естественно вводятся операции над множествами – пересечение их, объединение, дополнение (также хорошо интерпретируемые областями на плоскости) и тесно связанные с математической логикой – алгебры множеств.

Связь между элементами различных множеств является отображением, и в это понятие укладываются и свойства чисел (зачастую неожиданные), и понятие функции, и дальнейшие, возникающие в математике понятия.

Одним из таких важнейших понятий является понятие «структура (structura – строение, расположение, порядок), совокупность устойчивых связей объекта, обеспечивающих его целостность и тождественность самому себе, т.е. сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях.»( РЭС –Российский энциклопедический словарь) или «В современной. науке понятие С. обычно соотносится с понятиями системы и организации.» (ФЭС – Философский энциклопедический словарь).

На основе этого понятия можно уяснить смысл введённых ранее математических объектов, ввести классификацию типов отображений и ввести понятие отношения между элементами множеств.

Как всякое понятие, оно также допускает обобщение – основные структуры и построенные на их иерархии составные структуры – например, структура слова (корень, суффиксы. и т.д) и структура предложения, а далее – всего текста, каждая из которых опирается на структуру предыдущего элемента иерархии.

С такой, более общей точки зрения становятся яснее различные обобщения понятия интеграла, во множестве исследованные в ХХ веке. Простейшее рассмотрение интеграла как площади под кривой на некотором отрезке приводит к двум различным подходам:

совокупность «вертикальных» столбиков и их предел (при уменьшении ширины каждого столбика) – по Риману;

совокупность горизонтальных слоёв и их предел (при уменьшении толщины каждого слоя) – по Лебегу.

Второй подход оказался более общим, позволяющим найти интеграл и в тех случаях, когда первый подход приводит к затруднениям. Эти подходы аналогичны двум способам подсчёта рассыпанных на столе денег по отдельным участкам на столе и по количеству монет различного достоинства. На практике, естественно, пользуются именно вторым способом.

^ 6. КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В предыдущих рассуждениях (и в истории развития указанных разделов математики) предполагалось, что значения всех величин – детерминированы, мы можем присвоить им те или иные значения по своему усмотрению. В то же время уже в древности существовали процессы, где этими значениями распоряжаемся не мы, а «его величество Случай», – например, игра в орлянку или игра Morra, где выигрыш определялся сравнением количества выброшенных игроками пальцев.

Разработка теории таких процессов систематически началась лишь в ХУ11 веке, а в последнее столетие очень активно развивалась для описания и изучения всё более сложных процессов в экономике, политике, в военных действиях.

Простейшим случаем является тот, где некоторая (случайная) величина может принимать – независимо от нашего желания, - лишь конечное число значений (исходов). Основной вопрос заключается в том, чтобы как-то оценить возможность интересующих нас, «благоприятных» исходов. К такой оценке можно подойти двумя путями:

по наблюдениям – если в n испытаниях (или реализациях) k раз мы имели благоприятный исход, то частота благоприятных исходов равна k/n и называется частотой появления благоприятного события;

по теоретической возможности – как отношение числа K всех возможных благоприятных исходов к числу N всех возможных исходов, то есть K/N - эта величина называется вероятностью искомого, благоприятного события.

Теоретически доказано, что при большом числе наблюдений эти величины близки, но для априорной оценке вероятности нужно научиться подсчитывать меру множеств всех исходов и благоприятных. Эти множества называются событиями и их мера для дискретных процессов определяется комбинаторными формулами: числом возможных размещений n элементов в k ячейках, их перестановок и сочетаний (размещений без учёта перестановок) . Эти величины определяются соответственно формулами:

Akn =n(n-1)…(n-k+1); Р n= n! = n(n-1)…1= n!; Ckn = (nk )= n! /k! (n-k)!

Последняя величина как раз определяет число k благоприятных исходов («орёл») при игре в орлянку с n бросаниями монеты и при n=5, k =3 равно 10, а вероятность трёх выпадений орла при 5 бросаниях равна 10/32 = 0.3125 (так как всего 25 =32 варианта).

Процесс последовательных испытаний, в каждом из которых благоприятный исход имеет вероятность p (в орлянке, при честном бросании и уравновешенной монете p=1/2) называется процессом Бернулли и вероятности всех исходов описываются известной формулой бинома Ньютона:

1 = (p+q)n = pn + Cn1pn-1q +…+ Cnn-1 p qn-1 + qn , ( q = 1- p ).

Биномиальные коэффициенты этого выражения хорошо известны и легко вычисляются с помощью «треугольника Паскаля»:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

……………………..

Каждый элемент n-й строки, равный сумме двух элементов над ним, даёт соответствующий коэффициент биномиального разложения, а сумма всех элементов строки равна 2n.

Возвращаясь к орлянке, найдём, что вероятность выиграть не менее трёх раз равна сумме трёх первых слагаемых (отвечающих 5, 4 и 3 выигрышам) из 6, то есть

1/32 + 5/32+10/32 = 16/32 =1/2.

Наряду с вероятностями, в изучении случайных процессов важную роль играют математическое ожидание или средний выигрыш (при частотном подходе) – он равен сумме выигрышей, умноженных на вероятности каждого исхода, - среднее квадратическое отклонение от него (при вероятностном подходе его квадрат называется дисперсией).

Если при каждом бросании ставится и выигрывается (или проигрывается)10 рублей, то за 5 бросаний игрок выиграет

^ 50/32 + 40 5/32 + 30 10/32 + 2010/32 + 10 5/32 +01/32 = 800/32 = 25 (рублей) -

половину поставленных денег; этого и нужно было ожидать, так как вероятность одиночного выигрыша равна ½. Отметим, что эти средние характеристики, подтверждающиеся при большом числе испытаний, не исключают на практике более высокого выигрыша или полного проигрыша.

Более детальные исследования игрового поведения представляют предмет отдельного раздела математики – теории игр, широко использующего теорию вероятностей. Теории игр, в частности, посвящён фильм «Игры разума», героем которого является лауреат Нобелевской премии Нэш.

Как и ранее, в рассматриваемой области можно выделить грамматику и словарь. Грамматика состоит из общих положений, почти очевидных:

утверждение полноты – сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице (все возможные состояния погоды – либо дождик, либо снег, либо будет, либо нет);

теорема умножения – вероятность двух независимых исходов определяется произведением их вероятностей (И-теорема);

теорема сложения – вероятность хотя бы одного из независимых исходов равна сумме их вероятностей (ИЛИ-теорема).

Если исходы не являются независимыми (формального определения здесь не приводится), то последняя теорема должна быть подправлена – иначе «вероятность» может стать больше 1 (а, как известно, обязательство пожарных тушить 110% пожаров невыполнимо).

Словарь состоит из расчётов вероятностей для различных типов процессов с дискретными случайными величинами – выше приведен такой расчёт для схемы Бернулли. Приведём ещё вероятность того, что случайная величина принимает значение n при математическом ожидании  (закон редких событий, закон Пуассона):

pn = n e -/ n!

Теория вероятностей всё шире применяется в самых разных областях исследования – в медицине, генетике, истории, криминалистике. Она помогает установить авторство текста, родственные связи, происхождение человека, место производства различных изделий.

Однако следует помнить, что вероятностные связи, мерой которых являются, например, коэффициент корреляции, говорят лишь о возможности причинных связей и вывод о наличии причинной связи может быть ошибочным. Так, коэффициент корреляции между любовью к солёным огурцам и инфарктом миокарда близок к 1, но причинной связи здесь нет. На самом деле в этом случае есть накладка двух явлений: любви к солёным огурцам и склонности к алкоголизму (и то не всегда), и связи между алкоголизмом и сердечными заболеваниями, - тут причинные связи имеют место! Близкими псевдо-доказательствами изобилует «новая хронология» академика Фоменко, смещающая ряд исторических явлений на несколько веков.

Есть ещё один характерный пример, вероятностный парадокс, упомянутый выше. Одна из замечательных теорем А.А. Маркова в применении к альпинизму звучит так: Поскольку у каждого альпиниста имеется ненулевая вероятность упасть в глубокую трещину, из которой нельзя выбраться, то с вероятностью 1 за конечное время он там и окажется! Однако мы видим, к счастью, множество живых альпинистов! Нет противоречия с теоремой – просто альпинисты прекращают восхождения раньше, чем «срабатывает» теорема.

К комбинаторным задачам приводит подсчёт возможного числа списков 6 студентов или путей объезда 6 городов ( перестановки, 6! = 720), вариантов отбора 5 студентов из 10 на практику под руководством различных руководителей

(размещения 5 из 10, А510 = 10*9*8*7*6 = 30240),

или под руководством одного руководителя

(сочетания 5 из 10 , С510 = А510 / 5! = 252).

Эти подсчёты чрезвычайно важны для последующих подсчётов числа вариантов (событий) при оценке дискретных вероятностей.

Отметим ещё один важный подсчёт: число различных выборов вариантов по одному из нескольких ( n пар) – 2n.

^ 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Если случайные величины – скалярные, одномерные или многомерные, векторные, – могут принимать непрерывное множество значений, то указанные подходы необходимо обобщить. При этом частотный подход, развивавшийся Мизесом, уступил место подходу А.Н. Колмогорова, основанному на мере множеств возможных значений случайной величины, и связанных с ними так называемыми -алгебрами. В одномерном случае, которым изложение здесь ограничивается, всё проще, и может излагаться без применения этого аппарата.

Пусть для начала случайная величина Х принимает все возможные значения от - до +. Тогда можно оценить вероятность (^ Pr) того, что случайная величина Х принимает значения, не превосходящие число х и назвать её функцией распределения:
^ F(x) = Pr{ X x}; F(-)=0, F(+ ) =1
(эта функция монотонно растёт).

Производная этой функции f(x) = F (x) 0 называется плотностью распределения случайной величины Х. На этот случай понятия математического ожидания и дисперсии легко переносятся и представляются интегралами, в которых участвует плотность распределения.

Естественно, что разные случайные величины имеют разные функции распределения, среди которых отметим две наиболее употребительных.

^ Экспоненциальное распределение:

F(x) = 1- e - x, f(x)= e - x.

Такому распределению обычно удовлетворяет время обслуживания клиента мастером или прибором. Параметр  равен среднему числу требований (клиентов), обслуженных в единицу времени. Естественно, при этом x 0.

^ Нормальное распределение, возникающее, в частности, когда имеется сумма многих независимых случайных величин с одинаковыми плотностями распределения:

f(x) = exp[ - (x – a)2 / 22 ] /   2 .

Здесь a – математическое ожидание, а 2 – дисперсия случайной величины Х.

При такой плотности распределения интеграл от неё, функция распределения не выражается через элементарные функции («интеграл не берётся»), но имеются удобные таблицы, которыми можно пользоваться, если предварительно преобразовать интеграл к стандартному виду – за счёт масштабов получить нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Рассматриваются и используются и другие функции распределения – их применение обосновывается различными дополнительными свойствами рассматриваемых вероятностных процессов.

Обобщение функций распределения (в том числе и упомянутых выше) на конечный отрезок возможного изменения случайной величины требует её дополнительной нормировки – умножения на множитель, зависящий от величины этого отрезка.

Математических трудностей не вызывает и перенос функций распределения на многомерные случайные величины – возникают соответственно функции многих переменных и многомерные интегралы.

В более сложных случаях строятся эмпирические функции распределения по имеющимся опытным данным на основе уже упоминавшегося метода наименьших квадратов или специфического для вероятностных процессов метода максимума правдоподобия. Однако при этом необходимо помнить о дополнительных условиях: положительнос