Реферат: Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана

www.diplomrus.ru ®

Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок

Содержание

Оглавление

Введение...5


Исторический обзор...5


Описание работы...10


Цель работы...20


Научная новизна...20


Применение результатов...21


Глава 1. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием


Грассмана...22


§ 1. Многообразие Грассмана в проективном пространстве...23


§ 2. Главное расслоение, ассоциированное с многообразием


Грассмана...24


§ 3. Фундаментально-групповая связность в ассоциированном


расслоении...25


§ 4. Объект кривизны...28


§ 5. Оснащение Бортолотти, связность первого типа...33


§ 6. Ковариантный дифференциал оснащающего квазитензора


Бортолотти...38


§ 7. Связность второго типа в расслоении, ассоциированном с


* многообразием Грассмана...40


§ 8. Связность третьего типа в расслоении над многообразием


Грассмана...41


§ 9. Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех


типов...42


§ 10. Геометрическая характеристика индуцированных связностей с


помощью отображений...44


§11. Пучок связностей 1-го типа...45


§ 12. Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных


№ связностях многообразия Грассмана...47


§13. Связность над областью проективного пространства...51


^ Глава 2. Связность в расслоении, ассоциированном с пространством


центрированных плоскостей...58


§ 1. Пространство центрированных плоскостей в проективном


пространстве...59


§ 2. Главное расслоение, ассоциированное с пространством


центрированных плоскостей...59


§ 3. Фундаментально-групповая связность...61


§ 4. Объект кривизны...63

§ 5. Аналог сильной нормализации Нордена, связность первого типа...68


§ 6. Ковариантный дифференциал и ковариантные производные


оснащающего квазитензора...70


§ 7. Связность второго типа в расслоении над пространством


центрированных плоскостей...72


§ 8. Связность третьего типа в расслоении над пространством


центрированных плоскостей...74


§ 9. Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех


типов...75


§ 10. Тензор неабсолютных перенесений...76


§11. Геометрическая характеристика индуцированных связностей с


помощью отображений...77


§ 12. Параллельные перенесения в связности 1-го типа...78


§ 13. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный аналогом


нормализации Нордена пространства центрированных


плоскостей...80


§ 14. Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных

связностях пространства центрированных плоскостей...82


^ Глава 3. Геометрические связности в пространстве центрированных


плоскостей...89


§ 1. Геометрическая связность в расслоении S(Pn)...90


§ 2. Геометрическая связностьв расслоении T(V)...96


Библиографический список...100


Введение

^ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР


Основной идеей теории расслоенных пространств в ее дифференциально-геометрическом аспекте является идея связности. Теории связностей имеет уже давнюю историю [60]. Этой теории положила начало в 1917 году работа Т. Леви-Чивита о параллельном перенесении вектора в римано-вом пространстве. Эта идея немедленно нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. В 1918 году Г. Вейль для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности [31].


Новый этап в развитии теории связностей открывается работами Э. Картана в 20-х годах. Э. Картан заменяет касательные векторные пространства аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году он применил понятие связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве.


Следующий этап [44] в развитии теории связностей начался в 40-х годах работами В. В. Вагнера.


Общая теория связностей [41] в расслоениях, получившая свое начало в работах Вагнера и Эресмана, позже интенсивно развивалась в самых **' различных направлениях. Г. Ф. Лаптевым [27] был предложен известный


теоретико-групповой метод на основе исчисления Э. Картана. Следуя идеям Э. Картана., Г. Ф. Лаптев дал строгое определение пространства аффинной связности и выделил естественным образом комплекс внутренних геометрий на многомерной поверхности пространства аффинной связности. Затем параллельно с развитием общей теории погруженных многообразий Г. Ф. Лаптев ввел пространство с фундаментально-групповой связностью.


В дальнейшем связности в расслоенных пространствах строились к Г.Ф. Лаптевым не только при помощи определяющего связность отобра-


жения. Они задавались как погруженное многообразие специального типа и как поле некоторого объекта, называемого объектом связности [39]. Характерной особенностью этих построений Лаптева является исследование последовательности полей геометрических объектов, возникающих из поля исходного фундаментального объекта при помощи операции продолжения полей и теоретико-групповой операции охвата имеющимися полями новых полей.


В связи с исследованием связностей расслоенных многообразий теория геометрических объектов продолжала интенсивно развиваться, обогащаясь новыми фактами, включая в свою сферу новые области, смыкаясь со многими традиционными направлениями [55].


Благодаря работам Э. Картана, Ш. Эресмана, В. В. Вагнера, А. П. Нордена, П. К. Рашевского, Г. Ф. Лаптева, Б. Л. Лаптева, А. М. Васильева, Ю. Г. Лумисте, В. И. Близникаса, Н. М. Остиану, А. П. Широкова, Л. Е. Евтушика, В. Ф. Кагана и др. теория связностей [50], [51] представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств и занимает существенное место в дифференциальной геометрии.


Специальное место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях [30], [31]. Связность в однородном расслоении вводится как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Другие возможности указываются в более ранних работах В. В. Вагнера и Г. Ф. Лаптева. В. В. Вагнер рассматривает не только однородные расслоения, но также расслоения, типовыми слоями которых являлись гладкие многообразия, и вводит в них связности с помощью систем дифференциальных уравнений определенного вида в локальных координатах. Г. Ф. Лаптев ограничивается линейными связно-* стями, определяя их как множества отображений бесконечно близких ело-


ев расслоения, удовлетворяющие определенным условиям. Нелинейные связности аппаратом, разработанным Г. Ф. Лаптевым, рассматривал Л. Б. Евтушик [30].


Задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой [43], [58].


Задача внутреннего оснащения (в смысле А. П. Нордена, Э. Картана, Э. Бортолотти) подмногообразий стояла как одна из проблем дифференциальной геометрии. Усилиями ряда геометров удалось решить ряд трудных проблем в этом направлении.


Поверхность Vm проективного пространства Рп называется оснащенной в смысле Э. Картана, если к каждой точке As Vm сопоставлена (n-m-1)-мерная плоскость Кп_т_х(А), не пересекающая касательную плоскость Тт(А) рассматриваемой поверхности.


А. П. Норден предложил назвать поверхность Vm нормализованной, если к каждой точке А этой поверхности Vm сопоставлены две плоскости:


1) (п-т)-мерная плоскость Nn_m{A), проходящая через точку А и не имеющая с касательной плоскостью Тт (А) других точек пересечения (нор- маль 1-го рода);


2) (т-1)-мерная плоскость Nm_x(A), лежащая в касательной плоскости


Тт(А) и не проходящая через точку А (нормаль 2-го рода).


Впервые задачи оснащения для семейств многомерных плоскостей, т.е. многообразий Gr(m,n,r) в обозначении Близникаса [18], рассматривались в работах Бортолотти [56].


В исследованиях Бортолотти под оснащением многообразия Gr(m,n,r) понимается процесс, согласно которому каждой m-мерной плос-


кости TB,eGr(m,n,r) сопоставляется (п-т-1)-мерная плоскость Вп_тЛ{т), не имеющая общих точек с плоскостью тт. В несколько другом смысле аналогичные задачи рассматривал Галвани [57].


Независимо от исследований Бортолотти и Галвани, задачами оснащения гиперкомплексов Gr(l,n,2n-3) занимался К. И. Гринцевичюс.


Ю. Г. Лумисте [29] удалось построить глубокую и развернутую теорию различных оснащений произвольных подмногообразий Gr(m,n,r), включавшую в себя как частные случаи оснащения Бортолотти и Галвани. Для некоторых классов подмногообразий Gr(m,n,r) Ю. Г. Лумисте указал внутренние оснащения.


Статья [18] В. И. Близникаса посвящена построению внутренних оснащений для гиперкомплекса прямых Gr(l,n,2n-3) и тесно примыкает к исследованиям К. И. Гринцевичюса (1956-1960 гг.).


Научные работы К. И. Гринцевичюса в основном посвящены геометрии подмногообразий многообразия Грассмана Gr(m,n), причем главное внимание уделяется случаю т=1. Для всех исследований К. И. Гринцевичюса характерно то обстоятельство, что они выполнены теоретико-групповым методом дифференциально-геометрических исследований (методом Г. Ф. Лаптева). Кроме того, он первый применял этот метод для систематических исследований линейчатых многообразий как трехмерного, так и многомерного проективного пространства. Он решал ту или иную задачу в наиболее общем репере (как правило, почти всегда исследования ведутся в реперах первого порядка) [19].


Проблема инвариантного построения геометрии многообразия, образующим элементом которого является фигура [33], отличная от точки исходного пространства, давно интересовала геометров [2], [32], [62]. Достаточно глубоко разработана линейчатая геометрия в трехмерном пространстве [17]. Имеется много работ по теории семейств и пар семейств плоскостей в многомерных пространствах [45, с. 51] и, особенно, по теории ли-


нейчатых многообразий в 4-х и 5-ти мерных пространствах [20], [21], [23], Ф [25]. В [23] рассмотрено множество всех прямых пространства Ръ — мно-


гообразие Грассмана Gr(l,3), m-мерные подмногообразия многообразия Грассмана Gr(l,3,m) при т=1,2. В [21] рассматриваются комплексы Gr(l,3,3) — трехмерное подмногообразие многообразия Грассмана Gr(l,3). В работе [37] методом Г. Ф. Лаптева построено внутреннее оснащение произвольного семейства плоскостей в n-мерном проективном пространстве Рп.


Геометрия распределения m-мерных плоскостей в n-мерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением развита в работе Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [28]. В. И. Близникас рассматривал распределение (п-1)-мерных плоскостей в n-мерном римановом пространстве. В [54] Ю. И. Шинкунас рассмотрел некоторые вопросы геометрии распределения m-мерных плоскостей в n-мерном римановом пространстве.


Работы [1], [38] посвящены изучению дифференциальной геометрии распределений гиперплоскостей в аффинном и проективном пространствах.


В [46, с. 62] рассмотрено многообразие Грассмана k-мерных плоскостей, проходящих через начало координат в n-мерном евклидовом пространстве.


Многообразия Грассмана изучались в той или иной степени в работах [59], [61].


В случае многообразия Грассмана некоторые главные расслоения рассматривались И. В. Близникене [22].


В [34], [35] Э. Г. Нейфельдом задавались аффинные связности в нормализованном пространстве т-плоскостей.


В многомерном проективном пространстве Ю. И. Шевченко [47]


рассмотрел многообразия плоскостей и центрированных плоскостей. Дока-


* зал, что оснащение Бортолотти и аналог сильной нормализации Нордена

позволяют задать связности в соответствующих ассоциированных расслоениях.


^ ОПИСАНИЕ РАБОТЫ


Предметом исследования настоящей работы являются связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей. Работа относится к исследованиям в области дифференциальной геометрии, осуществляется методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева, который обобщает метод подвижного репера и внешних форм Э. Картана и опирается на исчисление внешних дифференциальных форм.


В диссертации разработаны основы нового метода исследования многообразий Грассмана и его обобщений — теория индуцированных связностей пространств плоскостей и центрированных плоскостей в проективном пространстве. Многообразия плоскостей уже изучались в этом направлении [22], [28], [54]. Для семейств плоскостей успешно применялся метод ассоциированных главных расслоений [47]. В настоящей работе завершается создание аналогичного метода для пространств плоскостей и пространств центрированных плоскостей. В этом направлении имеется лишь результат Нордена [36] о нормализации проективного пространства, которое является многообразием Грассмана 0-мерных плоскостей. Хотя обширная теория оснащенных грассмановых подмногообразий была развита школой прибалтийских геометров, в основном, работами Ю. Г. Луми-сте [29], В. И. Близникаса [18], И. В. Близникене [22], К. И. Гринцевичюса и др., здесь получены принципиально новые результаты, а подходы к исследованиям отличаются от ранее применяемых.


Работа состоит из введения, в котором описывается история развития данного направления и дается анализ исследования, и трех глав.

В главе 1 в проективном пространстве Рп размерности п изучается многообразие Грассмана V=Gr(m,n) m-мерных плоскостей Lm. Осуществляется специализация подвижного репера и строится главное расслоение G(V), типовым слоем которого является подгруппа стационарности плоскости Lm, а базой — многообразие Грассмана V. Пространством расслоения G(V) является проективная группа GP(n), а проекция п: GP(n) -» V относит произвольному элементу группы GP(n) ту плоскость Lm многообразия V, которая инвариантна под действием этого элемента. Способом Г.Ф. Лаптева задается фундаментально-групповая связность Г в главном расслоении. С помощью теоремы Картана-Лаптева находятся дифференциальные уравнения компонент объекта, задающего групповую связность в ассоциированном расслоении G(V). Производится оснащение Бортолотти многообразия Грассмана, которое состоит в присоединении к каждой плоскости Lm (п-т-1)-плоскости Рп_т^, не имеющей общих точек с плоскостью Lm. Находятся дифференциальные уравнения квазитензора, задающего оснащающую плоскость.


Доказано, что


оснащение Бортолотти, задаваемое полем квазитензора Х = {Лаа,Ха)

на многообразии V, индуцирует связность (1-го типа) T = {La,Ta ,Гаа,П6а,


Lbafca>LpY,Tpy,rap,UarLap,Gap} в расслоении G(V).


Формы групповой связности вносятся в дифференциальные уравнения оснащающего квазитензора. Это дает возможность получить ковари-антный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора относительно групповой связности.


Показано, что


ковариантные производные оснащающего квазитензора Л в групповой связности Г образуют тензор.

С помощью ковариантных производных удается охватить компонен- ты объекта групповой связности компонентами оснащающего квазитензора вторым способом, т.е.


оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок связностеи 2-го типа в ассоциированном расслоении G(V), из которого выделяется единственная связность 2-го типа


02 0а 0аЬ 0 0а 0а 0аЬ 0а йаа 02„ 02ай 02 02а Г = <Аг>Га Д аа»П4а5 А,аД са>^^,Т^,1 а/},lla/}, L^, (Jар} .


Еще один охват получается с учетом пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора и доказывается, что


оснащение Бортолотти индуцирует связность 3-го типа


«_ К Кь о оа о оаЬ о оаа оза озой оз оза


Связности всех трех типов совпадают тогда и только тогда, когда выполнены условия:


Ла/3 ~ ЛрЛа' Лар ~ ЛаЛ/3> Ла/3 ~ ЛаЛ/3> Аар ~ ЛаЛр-


Все построенные охваты связаны между собой, так как


связность 1-го типа является средней [36, с. 129] по отношению к


01 I 02 03


связностям 2-го и 3-го типов, т.е. Г = —(Г+Г).


Совпадение групповых связностеи трех типов эквивалентно неподвижности оснащающей плоскости Бортолотти Рп_т_х.


Геометрическая интерпретация полученных связностеи дается при помощи центральных проектирований:

простейший подобъект T1={La,Ta,Lba,rca,Ylba,Tga} характеризуется центральным проектированием плоскости Lm + dLm, смежной с образующей плоскостью Lm, на исходную плоскость, из центра — плоскости Бортолотти Pw_m_j

Рассмотрен объект Г3 (объект псевдосвязности), который дополняет простейший подобъект r1={Laa,Tf,Laba,rabca,Taa,Tlbaa} до простого подобъекта Г2 ={Г1,1?1зг,Га?} и не является геометрическим объектом.

Объект псевдосвязности Тг={Ьрг,Т^ характеризуется центральным проектированием плоскости Pn_m_l +dPn_m_x, смежной с оснащающей плоскостью Р„_т_1г на исходную плоскость, из центра — образующей плоскости Lm

Простой подобъект Г2={Г15Г3> характеризуется парой этих отображений.


Выделяется пучок связностей 1-го типа [42].


Оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок групповых связностей 1-го типа в расслоении G(V).


Параллельное перенесение вектора удобно описывать с помощью его ковариантного дифференциала [48]. Аналитически параллельное перенесение вдоль линии определяется путем обращения в нуль ковариантного дифференциала. Для многообразия Грассмана параллельные перенесения оснащающей плоскости вырождены:


1. При обращении в нуль ковариантных производных оснащающего квазитензора специальных смещений оснащающей плоскости Бортолотти Р„-т-\, вообще говоря, не выделяется. Иначе говоря, параллельное перенесение плоскости Р„_т_! в произвольной связности Г является свободно


вырожденным [52].


2. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости 2*„_;и_1 будет связанно вырожденным, т.е. плоскость

Бортолотти ?„_„,_, неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.


3. В групповой связности 2—го и 3—го типов параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп_т^ будет свободно вырожденным.


Тензор /, компоненты которого служат коэффициентами при базисных формах в выражении дифференциалов базисных точек оснащающей плоскости при введении в них ковариантных дифференциалов, и обращение которого в нуль характеризует связанно вырожденные параллельные перенесения оснащающей плоскости, назовем тензором подвижности параллелизма.


Тензор а, при обращении которого в нуль связности совпадают, будем называть тензором деформации [36, с. 128], [40]. Найдены деформации связности одного типа по отношению к связности другого типа.


Введенный тензор подвижности параллелизма в связности 1-го типа обращается в нуль; в связности 2-го типа совпадает с тензором деформации; а в связности 3-го типа противоположен тензору деформации.


В конце главы 1 рассматривается многообразие Грассмана точек Gr(O,n). Все полученные результаты для многообразия Грассмана, т.е. для общего случая, подтвердились и для этого частного случая, который рассматривал Норден. Основные результаты главы 1 опубликованы в работах


Глава 2 посвящена исследованиям в проективном пространстве Рп пространства П центрированных плоскостей ?т (плоскостей размерности m с фиксированным центром). При дифференциально-геометрических исследованиях используются деривационные формулы подвижного репера и структурные уравнения проективной группы, действующей в проективном пространстве. Специализация подвижного репера для данного пространства центрированных плоскостей приводит к построению главного расслое-


15


ния G(II), типовым слоем которого является подгруппа стационарности G центрированной плоскости ?т. В данном расслоении задается фундаментально-групповая связность. Осуществляется сильное аффинное оснащение Ю. Г. Лумисте (аналог сильной нормализации Нордена [36, с. 197, 206]) пространства центрированных плоскостей полями аналогов плоскости Картана и нормали 2-го рода: (п-т-1)-плоскости, не имеющей общих точек с центрированной плоскостью, и (т-1)-плоскости, принадлежащей центрированной плоскости и не проходящей через ее центр. Доказывается, что


оснащение пространства П центрированных плоскостей Ёт полями


плоскостей Р , и R , позволяет задать связность (1-го типа) в ассо-циированном расслоении с объектом

Оказывается, лишь часть ковариантных производных оснащающего квазитензора пространства центрированных плоскостей образует тензор; совокупность ковариантных производных


vр\=ФРКЯ\К^'ьКУЛ^'Л^\К) (р = 1,п + т(п-т)) компонент максимального подквазитензора Я0={Хаа,Ха) образует тензор, содержащий 4 простейших подтензора {V^^},{V*Aa},{V'ЬЯ°},{V\Xa} и 2 простых подтензо-


pa {V^.VJ^.V^}, {VA, ККЯъК)-щ


При помощи этих ковариантных производных найден второй охват: аналог сильной нормализации Нордена пространства П центрированных плоскостей индуцирует пучок подсвязностей (2-го типа) в максимальном подрасслоении, из которого выделяется максимальная подсвяз-


ность 2-го типа {Lba, Lbc,Tca>Lpy,Lpa,Tpy, Taa,Tab, Паа, Lafi,Lab,Tafi}.


Аналог сильной нормализации Нордена пространства П индуцирует связность 2-го типа

02 °о °а °nb °а °а ° аа 02 02 02л а а аЬ

х V^ia» -^йс'1 ca>-Lj0y>J-'/}a>x fr> X aa>1 ab> •L1a«» ay?' ai' «/?' ayS'1 ав»


Третий охват строится при помощи пфаффовых производных оснащающего квазитензора:


аналог сильной нормализации Нордена индуцирует связность 3-го


оз оа оа оаЪ ott oa ояа оз оз оз4 оза оза озо6 оз оз оз0 типа T—{Lba,Lbc,Tca,Lfir,Lfia,r^, Гаа,ГаЬ, Пйа, Laj},Lab,Taf},Yар,Гаа,Т1ар}.


Связь построенных охватов для пространства центрированных плоскостей немного отличается от их зависимости для многообразия Грассма-на.


Связности 1-го, 2-го и 3-го типов совпадают тогда и только тогда, когда выполняются условия:


Кр - К^р> Kb ~ ЛА' Кф =Л1)К> Kb ~ ~КК' Ка ~^а^а-> Ка = КМа•


Связности 1-го, 2-го и 3-го типов находятся в зависимости:

Г = Г+Г?-Гр, где Р означает транспозицию индексов.


Как и в главе 1 дается характеристика подобъектов объектов связно-стей при помощи центральных проектирований:


0 ° а °а ° ас 01 02 03


1. Простой подобъект Г\ ={Lba,Lbc,TbJ объектов связности Г, Г и Г характеризуется центральным проектированием плоскости Рт__х + dPm_x, смежной с плоскостью РпЫ, на исходную плоскость Рш_,, из центра — плоскости Рп_т = [Рп_т_х, А]


Г\: P^+dP^-^-* Pm_v


0 0 а 0 а 0 аа 01 02


2. Простой подобъект Y2={L ,Lpa,Yрг} объектов связности Г, Г и

Г характеризуется центральным проектированием плоскости


п-т-\' смежной с оснащающей плоскостью Рп_т_х, на исходную плоскость -?„_„,_!, из центра — образующей плоскости ?„,

Г • Р 4-iiP L"' \ P


1 2 ¦ Гп-т-\ + иГп-т-\ * Гп


п—т—\'

Различные параллельные перенесения иллюстрируют следующие теоремы;

1. Оснащающую плоскость Р„_„,_х в групповой связности 1-го типа Г переносить параллельно нельзя.


2. Аналог нормали 2—го рода Рт_х переносится параллельно в связности 1-го типа тогда и только тогда, когда он смещается в гиперплоскости Рп_х=Рт_х®Рп_т_х.


3. Плоскость Р„_т_х переносится параллельно в связности, определяемой подобъектом Г'4 = {Laba, L^T^L^T^, L^, YabafsXafiXab } объекта

связности Г, тогда и только тогда, когда она смещается в плоскости


4. Плоскость Рп_т_х переносится параллельно в линейной комбинации [49], [53] связности 1-го типа тогда и только тогда, когда она смещается в гиперплоскости Рп_х.


5. При обращении в нуль ковариантных производных оснащающего квазитензора X специальных смещений оснащающих плоскостей Р„_т_Х) Рт_х, вообще говоря, не выделяется. Иначе говоря, параллельные перенесения плоскостей Р„_„,_х, Рт_х в произвольной связности Г являются свободно вырожденными [52].


6. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Р„_т_х будет связанно вырожденным, т.е. плоскость Рп-т-\ неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.


7. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение гиперплоскости Рп_х=Р„_т_х®Рт_х будет связанно вырожденным, т.е. гиперплоскость Рп_х неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.


8. В групповой связности 3—го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп_т_х будет свободно вырожденным.