Реферат: Н. И. Лобачевский и его взгляды на геометрию

Муниципальное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 3


Р Е Ф Е Р А Т


«Развитие взглядов

на современную геометрию»


Авторы: ученики 8 «Б» класса

Цветков Денис,

Цветков Егор


Руководитель: учитель математики

Реброва Е.А.


г. Рыбинск

2007 г.


СОДЕРЖАНИЕ


Стр.


Введение …………………………………………………. 2


1. Евклид е его книга «Начала» ………………………… 3

1.1. Что мы знаем о Евклиде …………………………… 3

1.2. Что такое Евклидова геометрия …………………… 4

1.3. Коротко о книге «Начала» ………………………… 5


2. Н.И.Лобачевский и его взгляды на геометрию ……. 10

2.1. Биографическая справка …………………………... 10

2.2. Отношение Н.И.Лобачевского к геометрии

Евклида …………………………………………….. 11

2.3. Вклад Лобачевского в развитие геометрии ………. 13


Заключение ……………………………………………… 14


Список используемой литературы …………………….. 15


ВВЕДЕНИЕ


Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в кантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально – еще М.В.Ломоносов говорил: «Алхимия – мать химии: дочь не виновата, что ее мать глуповата».

Участь эта не обошла и геометрию.

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть «евклидовой» в отличие от появившейся в ХIХ веке «неевклидовой геометрии».

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каковы пути развития геометрии как науки?


В этой работе будет представлено историческое сравнение евклидовой геометрии с его современниками, разработавших на основе критики его геометрии, более совершенные свои теории в области геометрии. Краткий обзор деятельности выдающихся математиков позволит определить их вклад в развитие геометрии как науки.

Особое место в работе отводится Евклиду и его «Началам». В течении двух тысяч лет геометры относились к «Началам» Евклида с большим уважением, подвергали их критике, указывали на те или иные недостатки. Именно в такой критике рождались новые идеи и наработки в области геометрии.

В противовес евклидовой геометрии в работе представлен обзор труда Н.И.Лобачевского, поставившего вопрос об исследовании всей структуры системы аксиом, как евклидовой геометрии, так и других, возникших к этому времени.

Цель работы – попытаться показать и раскрыть часть творчества выдающихся математиков Евклида и Лобачевского, кратко рассмотреть и сравнить основные положения наиболее известных их теорий, которые широко используются в настоящее время не только в образовании, но и нашли применение в области высоко точных технологий, инженерного проектирования в различных областях промышленного производства.


1. Евклид и его книга «Начала»


1.1. Что мы знаем о Евклиде


Евклид, или Эвклид (ок. 365-300 г. до н.э.) – древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. К сожалению, сведения о жизни Евклида до нас не дошли. Известно только, что жил он около 300 года до нашей эры, что расцвет его творчества приходится на александрийский период развития культуры и науки, когда после смерти Александра Македонского и распада его огромной империи на первое место по своему экономическому, политическому и культурному значению выдвинулся город Александрия, новопостроенная столица Египта.

Некоторые биографические данные сохранились лишь на страницах арабской рукописи ХII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по месторождению сириец, родом из Тира».





Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же еще дошло до нас?

Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V веке н.э., - первый серьезный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, сто Евклид был современником царя Птоломея 1, который царствовал с 306 по 283 годы н.э.

До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птоломея 1, начавшей превращаться в один из центров научной жизни.

Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию.


^ 1.2. Что такое геометрия Евклида


Одна из легенд рассказывает, что царь Птоломей

решил изучать геометрию. Но оказалось, что

сделать это не так-то просто. Тогда он призвал

Евклида и попросил указать ему легкий путь к
математике. «^ К геометрии нет царской дороги»,
ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло
до нас это ставшее крылатым выражение.


Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеровавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны. И это была геометрия Евклида.

Что же в течение почти двух тысяч лет ученые понимали под геометрией Евклида, что мы по настоящее время в геометрии понимаем и формулируем по Евклиду?

Во-первых, Евклид дал определение точки, линии и поверхности, а также прямой линии и плоскости; определение плоской фигуры, угла, треугольника, круга и его частей, дает классификацию плоских фигур: треугольников и четырехугольников. О традиционности этих определений свидетельствует то, что Евклид дал определение ромба и «ромбомоида» (параллелограмма, не являющегося ромбом). В этом же определении Евклид дал и определение параллельных линий.

Во-вторых, геометрия Евклида – это аксиомы геометрических построений с помощью идеальной линейки и идеального циркуля.


^ 1.3. Коротко о книге Евклида «Начала»

«От «Начал» Евклида шли все замыслы

дальнейшего, более совершенного

обновления геометрии».

В.Ф.Каган




«Начала» Евклида (греч. Stoichtia, буквально – «азбука»; переносное значение – основные начала), научное произведение, написанное Евклидом в 3 веке н.э.(полагают, что оно написано около 325 года н.э), содержащее основы античной математики; элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований.

«Начала» Евклида не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Началах» Евклида не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

«Начала» Евклида – главный труд его жизни:

«Там, где с морем сливается Нил,

В древнем жарком краю пирамид

Математик греческий жил –

Многознающий,

Мудрый Эвклид.

Геометрию он изучал,

Геометрии он обучал.

Написал он великий труд.

Эту книгу «Начала» зовут».


Как современников, так и последователей Евклида в его работе привлекала систематичность и логичность изложенных сведений.

«Начала» Евклида построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путем их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат).

Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых». Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из других основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н.И.Лобачевского, построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется. За постулатами в «Началах» Евклида приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома): «И целое больше части» (8-я аксиома).

С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Начал» Евклида недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Начала» Евклида полностью выяснились лишь в конце 19 в. До этого на протяжении более 2 тыс. лет «Начала» Евклида служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращенном и переработанном виде изучали геометрию.

«Начала» Евклида состоят из тринадцати книг (отделов, или частей).

Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы.

В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора.

В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т.е. строится геометрически аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Началах» Евклида отсутствует).

В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом во 2-й половине 5 в. до н.э.).

В книге IV рассматриваются правильные многоугольники.

В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Кенийским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине IXX века.

Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу.

В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входят теории делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел.

В книге X даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей, и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н.э.).

В книге XI излагаются основы стереометрии.

В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом.

Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует.

Последующими греческими математиками к «Началам» Евклида были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Начал» Евклида.

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается первая книга «Начал».

Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по-видимому, заимствовано Евклидом у предшественников восходит к Демокриту).

Линия есть длина без ширины.

Границы линии суть точки.

Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Границы поверхности суть линии.

Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, граница и т.д.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определения туманны и непонятны, например, 4 и 7. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки, следует исходить не только из основных неопределенных понятии, но также из некоторых немногих и простых утверждений, то есть недоказуемых предложений, называемых иногда постулатами (требованиям), чаще же аксиомами (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение», а также «почитаемое», с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обосновать, то есть доказать все другие предложения, называемые уже теоремами (Этот термин был введен Аристотелем, его употреблял не Евклид, а его комментаторы. Первоначальный смысл этого греческого слова был «рассматриваемое».

У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют за выше названными определениями. Вот они:

Постулаты.

Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

И, чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

И, чтобы все прямые углы равны.

И, чтобы всякий раз, когда прямая образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы.

Равные порознь третьему равны между собой.

И если к равным прибавить равные, то получим равные.

И если от равных отнимем равные, то получим равные.

И если к неравным прибавим равные, получим не равные.

И если удвоим равные, то получим равные.

И половины равных, равны между собой.

И совмещающиеся равны.

И целое больше части.

И две прямые не могут заключить пространства.

Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятием. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательство этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которого строго логическое доказательство теорем невозможно.

Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении несколько веков и ставшая особенно острой в IХХ столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.

О «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный рукописный памятник древности. Книга имеет свою весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах; с папируса они перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До конца ХХ века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными, переведены на множество языков.

На русском языке «Начала» были изданы три раза в ХVIII в. и четыре раза в ХIХ в.


Последний и самый совершенный перевод с греческого был осуществлен советским ученым, профессором Д.Л.Мордухай-Болтовским и опубликован в 1948-1950 г.


^ 2. Лобачевский и его взгляды на геометрию


2.1. Биографическая справка


Лобачевский Николай Иванович родился: 01.12.1792, в Нижнем Новгороде. Умер: 24.02.1856, в Казани. Ему поставлен памятник, поэт В. Фирсов написал на нем:

Высокий лоб, нахмуренные брови

В холодной бронзе – отраженный луг…

Но даже неподвижный и суровый,

Он как живой, - спокоен и могуч.

Когда-то здесь, на площади широкой,

Задумчивый, неторопливый, строгий,

Он шел на лекции – великий и живой.

Пусть новых линий не начертят руки,

Он здесь стоит, взнесенный высоко,

Как утверждение бессмертья своего,

Как вечный символ творчества науки.

Детство Лобачевского было тяжелым и бедным. В Казанской гимназии он был казеннокоштным студентом, что накладыавало определенные обязанности и ограничения. Самым простым было учиться лучше других. Но уже с самого начала жизни Лобачевский интересовался геометрией. Это неудивительно, ведь его отец был землемером. Лобачевский проявил также большую склонность к языкам – например, французский он выучил за три месяца. Он писал стихи – его поэмы о Волге считаются одними из лучших. Но при этом он не забывал учиться – в 1807 году он студент, а в 1811 – магистр.

В 1811 году окончил Казанский университет и был оставлен при нем для подготовки к профессорскому званию. В 1814-46 году преподавал в этом университете (с 1816 года - профессор, заведовал астрономический обсерваторией университета, в 1820-22, 1823-25 – декан физико-математического факультета, в 1827-46 – ректор). С 1846 - помощник попечителя Казанского учебного округа.

Лобачевский оказал влияние на развитие астрономии. Лобачевский является создателем новой геометрической системы - неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского, изложенной в его труде «О началах геометрии» (1829). Первым попытался использовать данные астрономических наблюдений (параллаксы звезд) для определения свойств пространства и времени и решения вопроса о том, какая из двух геометрий – классическая евклидова или созданная им – соответствует реальным условиям в физическом пространстве. Однако имевшиеся в его распоряжении величины параллаксов, опубликованные французским астрономом – любителем Дасса – Мондидье, были весьма завышенными и далекими от реальности.

Лобачевский пришел к выводу, что в пределах пространства, ограниченного расстояниями до ближайших звезд, различие в обеих геометриях настолько мало, что выявить его методами того времени невозможно. Вопрос о геометрии физического пространства, впервые поставленный Лобачевским, был решен в теории относительности, созданной в xx в. А.Энштейном: геометрия Вселенной определяется распределением вещества в ней и не является евклидовой.

В Казанском университете Лобачевский, наряду с математическими дисциплинами, читал лекции по астрономии, расширяя и углубляя их содержание. Его лекции, например, были посвящены определению элементов орбит, их вековым изменениям, теории приливов и отливов, теории возмущенного движения комет и спутников планет. Проводил в 1811-42 астрономические наблюдения, в частности наблюдал комету 1811 и комету Энке в 1832, но дневники его наблюдений сгорели во время пожара обсерватории Казанского университета.

Также он вместе со своим учеником М.В.Ляпуновым участвовал в экспедиции в Пензу для наблюдения полного солнечного затмения 8 июля 1842. Подробно описал свои наблюдения и размышления по поводу загадочных в то время явлений протуберанцев и солнечной короны. Занимался также усовершенствованием методов обработки астрономических наблюдений. Будучи ректором Казанского университета, способствовал развитию астрономии в Казани. По его инициативе при университете в 1833-37 годах была построена новая обсерватория, одна из лучших по тому времени. Она начала работать в 1838, на год раньше Пулковской.

В 1895 году Казанское физико-математическое общество учредило премию имени Лобачевского за выдающиеся работы в области геометрии. В настоящее время эту премию присуждает АН СССР.


^ 2.2. Отношение Лобачевского к геометрии Евклида


«Начала» – величайший памятник деятельности Евклида. Однако не все написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергался критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой».

Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показало историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

Идея неевклидовой геометрии пришла в голову не только Лобачевскому. Одним из «конкурентов» был Гаусс. Гаусс узнал о Лобачевском, прочитав «Геометрические исследования по теории параллельных линий Николая Лобачевского». Гаусс говорил, что, читая этот труд, он видел в первую очередь себя.

Лобачевский впервые упоминает о так называемой неевклидовой геометрии в своих мемуарах «О началах геометрии» (1829).

Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата. Впоследствии, от чего и происходит две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов.

Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире – «употребительная» или «воображаемая», для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и, считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. «После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений всей геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными».

Это объясняет, что под «строгим доказательством теоремы о параллельных» в докладе 1826 года Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться «употребительной геометрией», не рискуя впасть в ошибку.

Наиболее полно изложена система Лобачевского в его «Новых началах с полной теорией параллельных» (1835-18380). Изложение геометрии Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.

В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (Казан. университет, 1836), многие, из которых были включены в дальнейшие справочники.


^ 2.3. Вклад Н.И.Лобачевского в развитие науки


Если геометрия Евклида является только часть геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир – не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы?

Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6.

Как мы уже знаем, на поверхностях с отрицательной кривизной работает геометрия Лобачевского. Но именно эту кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей. Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского.

Но наглядно геометрию Лобачевского можно устроить и на бумаге. Если нарисовать окружность, то мы можем, не выходя за ее пределы, провести сколько угодно прямых, не пересекающих данную. Взяв сферу, можно построить стереометрическую модель. Такая модель называется модель Клейна.

Все эти модели служат одной цели – полнее представить наш мир, не прибегая к вселенским масштабом.

Только в XIX веке Н.И.Лобачевский и другие математики пришли к мысли, что эти следствия образуют непротеворичивую геометрию, которую мы в настоящее время называем геометрией Лобачевского, и V поступает, не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида. Критика теории отношений Евклида, которая у него была оторвана от теории числовых отношений, состояло в предложении объединить эти две теории в единую теорию, для чего, и следовало рассматривать геометрические величины как числа нового типа, мы в настоящее время эти числа называем действительными, или вещественными (Евклид знал только натуральные числа). Также подвергалось критике стремление Евклида избегать движение и наложение, к которому призывал Аристотель, эта установка Евклида критиковалась многими последующими геометрами, которые в своих трудах пользовались движением. Но все же, Евклид кое-где применял движение, следуя за своим предшественником.

Создание и разработка геометрии Лобачевского поставили вопрос об исследовании всей структуры системы аксиом, как евклидовой геометрии, так и других возникающих к этому времени геометрий и выяснение независимости этих аксиом друг от друга.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Наука прошла большой и сложный путь развития. Вместе с тем и человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.

И пример тому - труды великих ученых-математиков: геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.

Возникшая из попыток доказательства пятого постулата неевклидова геометрия, открытая Н.И.Лобачевским, стала в наши дни необходимым аппаратом для изучения механики, физики, астрономии. Особенно важна геометрия Лобачевского для теории относительности. С другой стороны, открытие неевклидовой геометрии привело к новым исследованиям в области оснований геометрии и, в частности, к аксиоматике Гильберта.

Открытие неевклидовой геометрии не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике, естествознании, но и имеет и философское значение. Господствующее до Лобачевского мнение о незыблемости геометрии Евклида в значительной мере основывалось на учении известного немецкого философа И.Канта (1724-1804), родоначальника немецкого классического идеализма.

Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как называл Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной.

Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.


^ СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.




Евклид. Начала. Перевод и комментарии Д.Л.Морхудой-Волтовского. М.: Просвещение, 1950.




Колесников М. Лобачевский // серия «Жизнь замечательных людей» - М. «Молодая гвардия», 1965.




Лаптев В.Л. Н.И.Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1970.




Основания геометрии. Перевод И.С.Градштейна. М.: Просвещение, 1948.




Самин Д.К. Сто великих ученых. – М.:Вече, 2002.




Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского // М.: Наука, 1983.