Реферат: «математическая логика»

Министерство образования РФ

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 2


Реферат на тему:

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА»


Выполнила ученица 8А класса

Малова Анна Игоревна


Руководитель

Мосенкова Любовь Анатольевна


Вязьма

2007

I.Вступление.


Логика ведет свое происхождение от ораторского искусства. Убедить собеседника невозможно, если оратор сам себе противоречит ( уж если ты сказал, что снег белый, не следует ссылаться на его черноту…). В Древней Греции, где важнейшие вопросы решались на советах, всякий уважающий себя философ, политический деятель или литератор старался строить речь так, чтобы она была доходчива и разумна. В античном мире чрезвычайно ценилось умение высказываться точно, кратко и остроумно. Не потеряло актуальности это умение и потом, недаром появилось выражение «краткость – сестра таланта». Зачастую не имея никаких данных о жизни многих выдающихся древних мудрецов, мы, тем не менее, знаем о них хотя бы по одному афоризму, некогда произнесенному ими. Как жил Евклид, чем интересовался, кроме геометрии? Эти факты неизвестны, зато все знают, как он ответил ученику, спросившему: « Какая польза будет мне от изучения математики?». Разгневанный Евклид позвал слугу и сказал: «Дай ему грош, он ищет выгоды, а не знаний».

Любовь к точной фразе привела древнегреческих философов к логике. Что из чего следует и почему? Можно ли, например, утверждать, что Сократ смертен, если дано, что все люди смертны и Сократ человек? Можно. А если дано, что все люди смертны и Сократ тоже смертен, верно, ли, что Сократ человек? Неверно: вдруг Сократом зовут не только древнегреческого мудреца, но и его собаку?

Законы логики, правила вывода верных утверждений из заданных посылок наиболее полно исследовал великий древнегреческий философ Аристотель.

Пристрастия к логическим выражениям, игре ума, оказало важнейшее влияние на математику. Лишь в мире, где была развита наука о истинности и ложности высказываний, о правильности выводов, о том, что из чего может следовать и что не может, могло появиться доказательство. В сущности, чем отличаются две такие цепочки фраз:

1.Ночью все кошки серы. Мой зверь – кот. Значит, ночью он серый.

2.Треугольник с равными сторонами правильный. У этого треугольника все стороны равны. Значит он – правильный.

Ничем! Если первая и вторая фразы верны, верен и вывод. Именно так и была построена геометрия Евклида: несколько фраз были объявлены верными; если же они верны, то истинны все выводы, правильно построенные (по законам логики) на основе этих нескольких фраз…

Логика изучает познавательную деятельность человека. Oб этом говорит сам термин «логика», происходящий от греческого слова «логос», что означает слово, понятие, рас­суждение, разум. Однако вопросом о том, как человек поз­нает окружающий мир, занимаются и другие дисциплины: философия и психология, физиология высшей нервной де­ятельности и языкознание, семиотика и эвристика. Для того, чтобы уяснить суть логического подхода к познанию, необходимо хотя бы вкратце описать, в чем специфика фи­лософского, психологическою и проч. подхода к этой же проблеме.

Философия рассматривает познание как диалектичес­кий процесс отражения действительности в сознании лю­дей. Он осуществляется в двух основных формах: в форме чувственного познания и в форме абстрактного мышления, Чувственное познание позволяет нам отражать отдельные предметы и их свойства в виде ощущений, восприятий и представлений. Например, покупая какой-либо товар, мы оцениваем его вкусовые и обонятельные качества, прики­дываем, радует ли он наш глаз и т. и. Логическое познание, существующее в форме понятий, суждений и умозаключе­ний, позволяет нам проникать в глубинные структуры ве­щей и явлений. С его помощью мы даем название покупае­мому товару, судим о цене и целесообразности покупки. Если философия дает нам общее представление о ступенях, этапах познания, то логика занимается преимущественно логической ступенью. В центре ее внимания понятия, суждения и умозаключения как важнейшие инструменты мыслительной деятельности людей. Если философия оценивает результативность познания с помощью понятия ис­тины, то логика рассматривает вышеназванные формы как способы получения истинного знания. Если философия интересуется наиболее общими законами природы, общес­тва и мышления, то предметом логики являются те законы


II. Основная часть

1. Теоретические основы математической логики, ее законы.

Помимо законов материалистической диалектики человеческое мышление подчиняется еще законам логики. Вот основные законы логики: закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания и т.д. Они используются при оперировании понятиями и суждениями, применяются в умозаключениях, доказательствах и опровержениях. Первые три были открыты Аристотелем, четвертый - В. Г. Лейбницем. Логические законы отражают в сознании человека определенные отношения, существующие между объектами, или отражают такие обычные свойства предметов, как их относительная устойчивость, определенность, несовместимость в одном и том же предмете одновременного наличия и отсутствия одних и тех же признаков. Законы логики отражают объективное в субъективном сознании человека, поэтому их нельзя отменить или заменить другими. имеют общечеловеческий характер, т. к. они едины для людей всех рас, наций, профессий. Основные логические законы сложились исторически в результате многовековой практики познания. Они отражают такие важные свойства правильного мышления, как его определенность, непротиворечивость, обоснованность, четкость мышления, выбор "или-или" в определенных "жестких" ситуациях. Кроме основных, существует много неосновных законов логики, которые надо выполнять при оперировании понятиями, или суждениями, или умозаключениями. Законы логики, как основные, так и неосновные в мышлении функционируют в качестве принципов правильного рассуждения в ходе доказательства истинных суждений и теорий и опровержения ложных суждений и ложных гипотез. Законы логики играют роль универсальных связей мышления и общих принципов любой мыслительной деятельности, выражающих требования методологического характера. Нарушение Законов логики приводит к логической ошибке - как непреднамеренной - паралогизму (от греч. paralogismos), так и сознательной - софизму (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), хотя эти типы ошибок возникают и в других ситуациях.

В логике, как и в любой науке, главное – законы. Логических законов бесконечно много и этим она отличается от большинства других наук. Однородные законы объединяются в логические системы, которые тоже обычно называются логиками, где каждая из них дает описание логической структуры определенного фрагмента или типа наших рассуждений.

Без логического закона невозможно понять, что такое логическое следование, а без логического следования невозможно понять, что такое доказательство. Правильное, или логическое, мышление – это мышление по законам логики, по тем абстрактным схемам, которые фиксируются ими. Эти законы составляют невидимый каркас, на котором держится последовательное рассуждение и без которого оно превращается в хаотичную бессвязную речь.

Закон непротиворечия.

Закон непротиворечия формулируется так: "Два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении.

В предметах объективного мира невозможно одновременное присутствие и отсутствие какого-либо свойства или отношения (например, невозможно в один и тот же момент делать какую-то работу и ничего не делать). Одновременное утверждение о каком-нибудь предмете, действии, признаке предмета и т. д. и отрицание этого утверждения есть формально-логическое противоречие. Идея, выражаемая законом непротиворечия, проста: высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Пусть х обозначает непроизвольное высказывание, не-х – отрицание этого высказывания. Тогда закон можно представить так: « неверно, что х и не-х ». Неверно, например, что Солнце – звезда и Солнце не является звездой, что человек – разумное существо и вместе с тем не является разумным, таких примеров можно привести множество.

К противоположным относятся суждения простые следующих 4 типов (здесь S - одинаковые термины и Р - одинаковые термины).

1. А - "Данное S есть Р" и Е - "Данное S не есть Р".

2. А - "Все S есть Р" и Е - "Ни одно S не есть Р".

3. А - "Все S есть Р" и О - "Некоторые S не есть Р".

4. Е - "Ни одно S не есть Р" и J - "Некоторые S есть Р".

1, 3, 4-я пары суждений таковы, что если одно из суждений этой пары истинно, то другое обязательно ложно, поэтому они называются противоречащими или отрицающими друг друга, и их можно обозначить а и а (не-а). Конъюнкция их, т. е. формула а \/ а выражает формально-логическое противоречие. Суждения 2-й пары А и Е могут быть одновременно ложными, поэтому их нельзя обозначить как а и а (например, "Все богатые люди счастливы" и "Ни один богатый человек не является счастливым"). В исчислении высказываний двузначной логики закон непротиворечия выражается формулой а, /\ а. (Неверно, что а и не-а). Но эта формула не полностью, неадекватно представляет закон непротиворечия, открытый Аристотелем, т. к. она не распространяется на суждения А и Е, а закон непротиворечия Аристотеля распространяется на них. Противоречия не возникают, если речь идет о разных предметах или об одном предмете, но взятом в разном отношении или рассматриваемом в разное время (например, суждение "Эта книга является новой" и суждение "Эта книга не является новой" не противоречат друг другу, если речь идет об одной и той же книге, но рассматриваемой в разное время).

Закон непротиворечия не раз становился предметом ожесточенных споров. Попытки опровергнуть его чаще всего были связанны с неправильным пониманием логического противоречия. Составляющие его утверждения должны говорить об одном и том же предмете, который рассматривается в одном и том же отношении. Если этого нет, нет и противоречия. Те примеры, которые обычно противопоставляют закону непротиворечия, не являются подлинными противоречиями и не имеют к нему никакого отношения.

Но нет противоречия в утверждении « осень настала и еще не настала». Подразумевается, что, хотя по календарю уже осень, тепло, как летом. Точно так же, как нет его в предложениях: «Речка движется и не движется. Песня слышится и не слышится».

Отношение логики к противоречиям лишено двусмысленности и неопределенности: где есть противоречия, там логика поколеблена.

« Логической противоречивости, -- писал В.И.Ленин, -- при условии, конечно, правильного логического мышления – не должно быть не в экономическом, не в политическом анализе».

Диалектические противоречия – это противоречия самих реальных объектов. Все существующее представляет собой единство двух взаимно предполагающих и вместе с тем взаимно исключающих друг друга сторон. В живой природе это динамическое противоречие ассимиляции и диссимиляции, изменчивости и наследственности и т.д., в науке – противоречия между теорией и опытом, между интеграцией и дифференциацией научного знания и т.д.

В диалектике, являющейся универсальной теорией развития, внутренняя противоречивость всех вещей и явлений рассматривается как источник и движущая сила всякого развития. Закон единства и борьбы противоположностей, составляющих диалектическое противоречие, В.И.Ленин называл ядром диалектики.

Логические противоречия – противоречия непоследовательного, путаного рассуждения – принципиально отличны от противоречий диалектических. Закон непротиворечия запрещает первый, но не распространяется на вторые. О диалектике развития и борьбе противоположных сторон, определяющей развитие, нужно рассуждать последовательно и непротиворечиво, как и обо всем другом.

Неявные противоречия. Никто, пожалуй, не утверждает прямолинейно, что дождь идет и не идет или что трава зеленая и одновременно не зеленая. А если и утверждает, то только в переносном смысле. Противоречия вкрадываются в утверждения, как правило, в неявном виде. Чаще всего противоречия довольно легко обнаружить.

В начале века, когда автомобилей стало довольно много, в английском графстве было издано распоряжение: если два автомобиля подъезжают одновременно к пересечению дорог под прямым углом, то каждый из них должен ждать, пока не проедет другой. Это распоряжение внутренне противоречиво и поэтому невыполнимо.

Однажды актер, исполняющий эпизодическую роль слуги, желая хотя бы чуть-чуть увеличить свой текст, произнес:

-- Сеньор, немой явился…и хочет с вами поговорить.

Давая партнеру, возможность поправить ошибку, другой актер ответил:

-- А Вы уверены, что он немой?

-- Во всяком случае, он сам так говорит…

Этот «говорящий немой» так же противоречив, как и «знаменитый разбойник, четвертованный на три неравных половины» или как «окружность со многими тупыми углами».

Противоречие может быть и более скрытным.

М.Твен рассказывает о беседе с репортером, явившемся взять у него интервью:

-- Если у вас брат?

-- Да, мы звали его Билль. Бедный Билль.

-- Так он умер?

-- Мы никогда не могли узнать этого. Глубокая тайна парит над этим делом. Мы были – усопший и я – двумя близнецами и, имея две недели от роду, купались в одной лохани. Один из нас утонул, но никогда не могли узнать который. Одни думают, что Билль, другие – что я.

-- Странно, но вы-то, что вы об этом думаете?

-- Слушайте, я открою вам тайну, которой не поверял еще ни одной живой душе. Один из нас двоих имел особенный знак на левой руке, и это был я. Так что тот ребенок, что утонул…

Понятно, что, если бы утонул сам рассказчик, он не выяснял бы, кто же все-таки утонул: он сам или его брат. Противоречия маскируются тем, что говорящий выражается так, как если б он был неким третьим лицом, а не одним из близнецов.

Противоречие недопустимо в строгом рассуждении, когда оно смешивает истину с ложью. Но, как очевидно из приведенных примеров, в обычной речи у противоречия много разных задач.

Оно может выступать в качестве основы сюжета какого-либо рассказа, быть средством достижения особой художественной выразительности и т.д. «Настоящие художники слова, -- пишет немецкий лингвист Фосслер, -- всегда осознают метафорический характер языка. Они все время поправляют и дополняют одну метафору другой, позволяя словам противоречить друг другу и заботясь лишь о связанности и точности своей мысли».

Реальное мышление – и тем более художественное – не сводится к одной логичности. В нем важно все: и ясность и неясность, и доказательность и зыбкость, и точное определение и чувственный образ. В нем может оказаться нужным и противоречие, если оно к месту.

Испанский писатель XVI-XVII вв. Ф.Кеведо так озаглавил свою сатиру: «Книга обо всем и еще, о многом другом». Его не смутило то, что, если книга охватывает «все», для «многого другого» уже не остается места.

Классической фигурой стилистики, едва ли не ровесницей самой поэзии является оксюморон – сочетание логически враждующих понятий, вместе создающих новое представление. «Пышное природы увядание», «свеча темно горит» (А.С.Пушкин), «живой труп» (Л.Н.Толстой), «ваш сын прекрасно болен» (В.В.Маяковский) – все это оксюмороны. А в строках стихотворения А.А.Ахматовой «смотри, ей весело грустить, такой нарядно обнаженной» сразу два оксюморона. Один поэт сказал о Г.Р.Державине: «Он врал правду Екатерине». Без противоречия так хорошо и точно, пожалуй, не скажешь.

«…Все мы полны противоречий. Каждый из нас – просто случайная мешанина несовместимых качеств. Учебник логики скажет вам, что абсурдно утверждать, будто желтый цвет имеет цилиндрическую форму, а благодарность тяжелее воздуха; но в той смеси абсурдов, которое составляет человеческое «Я», желтый цвет вполне может оказаться лошадью с тележкой, а благодарность – серединой будущей недели». Этот отрывок из романа английского писателя С.Моэма «Луна и грош» выражает сложность, а нередко и прямую противоречивость душевной жизни человека. «…Человек знает, что хорошо, но делает то, что плохо», -- с горечью заметил Сократ.

Вывод из сказанного как будто ясен. Настаивая на исключении логических противоречий, не следует, однако, всякий раз «поверять алгеброй гармонию» и пытаться втиснуть все многообразие противоречий в прокрустово ложе логики.

Логические противоречия недопустимы в науке, но установить, что конкретная теория не содержит их, непросто. То, что в процессе развития и развертывания теории не встречено никаких противоречий, еще не означает, что их в самом деле нет. Научная теория – очень сложная система утверждений. Не всегда противоречие удается обнаружить относительно быстро путем последовательного выведения следствий из ее положений.

Вопрос о непротиворечивости становится яснее, когда теория допускает аксиоматическую формулировку, подобно геометрии Евклида или механики Ньютона. Для большинства аксиоматизированных теорий непротиворечивость доказывается без особого труда.

Есть, однако, теория, в случае которой десятилетия упорнейших усилий не дали ответа на вопрос, является она противоречивой или нет. Это математическая теория множеств, лежащая в основе всей математики. Закон непротиворечия не действует в логике “размытых” множеств, ибо в ней к “размытым” множествам, “размытым” алгоритмам можно одновременно применять утверждение и отрицание (напр., “Этот мужчина пожилой” и “Он ещё не является пожилым”, т.к. понятие “пожилой мужчина” является “нечетким” понятием, не имеющим чётко очерченного объёма). До сих пор речь шла о выражении формально-логического противоречия в форме а, но оно может выражаться и без отрицания, когда берутся несовместимые утвердительные суждения (об этом см. Закон тождества). На таком противоречии построен габровский анекдот под названием “Реклама”:

Значит, это самая новая ткань?

Только вчера получил, прямо с фабрики!

А она не линючая?

Да что вы! Больше месяца висела на витрине, и ничего ей не сделалось!

Закон непротиворечия квалифицирует формально-логическое противоречие как серьёзную ошибку, несовместимую с логическим мышлением.

^ Закон исключенного третьего.

Формулировка закона исключенного третьего такова: "Из двух противоположных суждений, одно истинно, другое ложно, а третьего не дано" .

Закон исключенного третьего, как и закон непротиворечия, он устанавливает связь между противоречащими друг другу утверждениями: из двух таких утверждений одно является истинным. У предметов объективного мира какой-либо признак, или присутствует, или его нет. Так, например, из двух суждений: "У птицы есть крылья", и "У птицы нет крыльев", первое истинно, второе - ложно, и третьего - промежуточного - суждения не может быть. Закон исключенного третьего впервые был открыт и сформулирован Аристотелем. Двузначная логика имеет дело с жесткой ситуацией, где суждение может быть либо истинным, либо ложным и каждое суждение может иметь только одно из этих истинностных значений. В противоречащих (контрадикторных) суждениях, отрицающих друг друга, одно суждение истинно, а другое - ложно. К противоречащим относятся суждения простые следующих трех типов, где S - одинаковые термины и P - одинаковые термины: 1. - "Данное S есть P" и Е - "Данное S не есть Р". 2. А - "Все S есть Р" и О - "Некоторые S не есть Р". 3. Е - "Ни одно S не есть Р" и J - "Некоторые S есть Р". Одно из этих суждений в каждой из пар можно обозначить переменной а, а другое - а. Формула закона исключенного третьего в исчислении высказываний двузначной логики записывается так: а \/ а (где знак "\/" обозначает нестрогую дизъюнкцию, союз "или"). Точнее этот закон выражается формулой а \/ а, где "\/" обозначает строгую дизъюнкцию, характеризующую несовместимость а и а. В мышлении закон исключенного третьего предполагает четкий выбор одной из двух взаимоисключающих альтернатив ("да" или "нет"). С другой стороны, действие этого закона ограничено наличием неопределенности в познании, причинами которой являются различные переходные состояния и ситуации, т. е. изменения, переход предметов и их отдельных свойств в свою противоположность (например, теплая еда через некоторое время остывает и становится холодной, новая обувь со временем становится старой и др.). Кроме того, отражение объективного мира на определенном этапе познания всегда неполно, неточно, т. к. соответствует лишь этому этапу знаний человека о мире. Например, нельзя заранее сказать, какое суждение о каком-нибудь будущем событии будет истинным, до тех пор пока действие не закончится. Пример таких суждений: "Завтра я непременно справлюсь с заданием" или "Завтра я ни за что не справлюсь с заданием". Закон исключенного третьего не действует, когда имеются три или более значений истинности суждений. В трехзначной логике используются три значения истинности суждений (например, социологических анкетах предлагаются три ответа: "да", "нет" и "не знаю"; при голосовании предусматриваются следующие позиции: "за", "против" и "воздержался". В неклассических многозначных логиках закон исключенного третьего, т. е. формула а \/ а не является тавтологией (или выводимой формулой).

Рассказывают историю про одного владельца собаки, который очень гордился воспитанием своего любимца. На его команду: «Эй! Приди или не приходи!» -- собака всегда либо приходила, либо нет. Так что команда в любом случае оказывалась выполненной.

Человек говорит прозой или не говорит прозой, кто-то рыдает или не рыдает, собака выполняет команду или не выполняет и т.п. – других вариантов не существует. Мы можем не знать, противоречива некоторая конкретная теория или нет, но на основе закона исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или непротиворечива, или противоречива.

Этот закон с иронией обыгрывается в художественной литературе. Причина понятна: сказать «Нечто или есть, или его нет», значит, ровным счетом ничего не сказать. И смешно, если кто-то этого не знает.

В сказке А.Н.Толстого «Золотой ключик, или Приключения Буратино» народный лекарь Богомол заключает после осмотра Буратино:

-- Одно из двух: или пациент жив, или он умер. Если он жив – он останется, жив или не останется жив. Если он мертв – его можно оживить или нельзя оживить.

Закон исключенного третьего кажется самоочевидным, и трудно представить, что кто-то мог предложить отказаться от него. Немецкий математик Д.Гильберт утверждал даже, что «отнять у математиков закон исключенного третьего – это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками». И, тем не менее в современной логике имеются системы, в которых этот закон отбрасывается. Очевидное в одно время и в одних обстоятельствах способно потерять свою очевидность в другое время и в свете других обстоятельств.

Закон тождества.

Закон тождества формулируется так: “В процессе определённого рассуждения всякое понятие и суждения должны оставаться тождественными самим себе”.

Закон тождества – один из основных законов правильного мышления, соблюдение которого помогает определённости, точности и ясности употребления понятий и суждений. Умозаключение:

Материя вечна.

Сукно – материя.

Сукно вечно.

построено не правильно, ибо понятие “материя” в первой и второй посылках трактуется в разных смыслах, - в философском и обыденном, следовательно, произошло нарушение закона тождества

Закон тождества в традиционной логике (Двузначная логика) для суждений записывают как “а есть а”, а для понятий “А есть А”. В математической логике закон тождества представляется в логике высказываний как а а, или а – а, где а обозначает любое высказывание (суждение). В философии тождество понимается как равенство, сходство двух или нескольких предметов в каком либо отношении. Например, все гейзеры тождественны в том, что они являются источниками, периодически выбрасывающими фонтаны горячей воды и пара до высоты 20-40 м и более. В природе и обществе нет даже двух абсолютно тождественных предметов (например, двух близнецов, двух одинаковых цветков и т.д.), тождество существует в связи с различием. Но мы отвлекаемся от существующих различий и фиксируем своё внимание только на тождестве.

Закон тождества в мышлении представляет собой нормативное правило (принцип), гласящие, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим, иначе возникнут логические ошибки, называемые “подменой понятия” или “подменой тезиса”. Закон тождества означает также, что тождественные мысли нельзя выдавать за различные, и наоборот, различные – за тождественные. Люди, выступающие не по обсуждаемой теме или употребляющие термины и понятия в ином смысле, чем принято, и не предупреждающие об этом, нарушают закон тождества. Например, иногда люди вкладывают различный смысл в такие понятия, как “материалист”, “идеалист”, “наука”, “демократия”, “свобода слова” и др., поэтому происходит отождествление нетождественного, то есть нарушение закона тождества. Логические ошибки часто происходят при употреблении омонимов, то есть слов, имеющих два или более значений (“движение”, “следствие”, ”ребро”, “поле”, “коса”, ”мир” и т.д.). Например, “Из-за рассеянности шахматист не раз на турнирах терял очки”. На нарушении закона тождества строятся анекдоты, каламбуры, двусмысленности. Например, один из габровских анекдотов под названием “Логика”:

Какая температура в комнате? – спросил габровец у жены.

Пятнадцать градусов, - ответила жена.

А на улице?

Двадцать.

Тогда открой окно, - распорядился он, - пусть войдут ещё пять градусов.

Соблюдение закона тождества в мышлении помогает избежать непонимания

Закон тождества, пожалуй, самый простой из всех логических законов Древнекитайский философ Конфуций поучал своего ученика: «То, что знаешь, считай, что знаешь, то, что не знаешь, считай, что не знаешь». Это не просто повторение одного и того же: знать что-либо и знать, что это знаешь, не одно и то же.

Закон тождества кажется в высшей степени простым и очевидным. Однако его тоже ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается той же, то она остается той же.

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного отрицания «Если А, то В» вытекает высказывание «Если не – В, то не – А», и наоборот; из «если А, то не - В» вытекает «Если В, то не - А»; из «Если не – А, то В» следует «Если не – В, то А». Например, из «Если сверкает молния, то гремит гром» следует «Если нет грома, то нет и молнии»; из «Если нет причины, нет и следствия» вытекает «Если есть следствие, есть также причина» и т.п. контрапозиция – это, выражаясь шахматным языком, рокировка высказываний. Редкая шахматная партия обходится без рокировки, и редкое наше рассуждение проходит без использования контрапозиции.

Закон, названный именем шотландского логика прошлого века А. де Моргана, но известный еще со средних веков, связывает между собою «и» и «или»: «неверно, что А и В, только в том случае, когда не –А или не –В; неверно, что А или В, только если неверно А и неверно В».

Два закона, известные еще с глубокой древности, -- это так называемые «модус поненс» и «модус толленс». Первый из них позволяет от утверждения условной связи и утверждения ее основания перейти к утверждению ее следствия. Второй говорит, что если следствие правильной условной связи неверно, то неверным является и его основание. Например, если справедливо, что в случае дождя земля обязательно мокрая, и верно, что идет дождь, то верно, что земля мокрая. Если же верно, что в дождь земля всегда мокрая, а она не является мокрой, то это означает, что дождь не идет.

Шерлок Холмс однажды заметил: «Отбросьте все невозможное, и то, что останется, будет ответом». Имеется в виду закон: «или А, или В, или С; но А неверно и В неверно; следовательно, С».

Еще один логический закон говорит об ошибочных следствиях: «Если А, то В или С; но В неверно и С неверно; значит, неверно и А».

Вот рассуждение, своеобразно комбинирующее два последних закона. Когда-то халиф Омар вознамерился сжечь богатейшую Александрийскую библиотеку. На просьбу сохранить ее этот религиозный фанатик, сам учившийся на ее книгах, ехидно отвечал, что книги библиотеки либо согласуются с Кораном, либо нет; если они согласуются с Кораном, они излишни и должны быть сожжены; если они не согласуются с Кораном, они вредны и поэтому тоже должны быть сожжены; следовательно, книги библиотеки в любом случае должны быть сожжены.

Это рассуждение опирается, конечно, на ложную предпосылку. Оно показывает, что фанатик тоже способен быть иногда логичным.

Итак, современная логика интересуется не столько отдельными законами, сколько их системами. Логический закон вне системы вроде единственного кирпича, который мало на что пригоден.

«И»,»Или»

«Или», «И». всякое высказывание может быть истинным или ложным. Третий вариант трудно себе представить, поэтому древнегреческие философы и пользовались «принципом исключенного третьего» -- считали, что не может утверждение быть и не истинным, и не ложным. Вслед за ними также считаем и мы. Логика без принципа «исключенного третьего» упоминается разве лишь в фантастических романах, да и то в шутку…

А теперь попробуем собрать одно высказывание из двух частей. Как мы часто это делаем, соединим две фразы словечком «или». «В углу шуршит мышь или крокодил». Верно ли это высказывание? Зависит от того, кто на самом деле шуршит в углу. Если это и вправду мышь, фраза верна. Если (как не трудно себе это представить) это крокодил, опять же высказывание верно. Если в углу дружно шуршат мышь с крокодилом, она верна снова! И лишь если в углу нет ни мыши, ни крокодила, а шуршит сбежавший из клетки хомяк, высказывание оказывается ложным. Это – свойство, присущее именно «или»: два утверждения, связанные этим словом, составляют верное высказывание, если хотя бы одно из утверждений справедливо, и ложное, если оба утверждения неверны. А теперь составим маленькую табличку (здесь И – «истинное утверждение», Л – «ложное»):

И или И = И

И или Л = И

Л или И = И

Л или Л = Л

Сравним теперь как себя ведет связка «и». разберем пример: «Мимо окна летят воробей и летающая тарелка». Если за окном нет ни воробья, ни тарелки, это высказывание ложно. Если воробей есть, а тарелки нет – оно все равно ложно. Если есть тарелка, но нет воробья – то же самое. И лишь одновременное присутствие обоих означает, что фраза истинна. Вот таблица истинности для «и»:

И и И = И

И и Л = Л

Л и И = Л

Л и Л = Л

Фраза, связанная этим словом, верна в том единственном случае, когда верны обе части!

В этом тексте несколько раз употреблялась конструкция фразы «если так, то будет этак». Посмотрим, когда верно утверждение такого типа? Оно верно, если верна первая часть (посылка) и одновременно верна вторая (заключение). Оно неверно, если верна посылка, но неверен вывод: несомненно, ложным является высказывание «если разбить чашку, то будет землетрясение». А если посылка неверна? Может показаться невероятным, но в этом случае высказывание истинно. Из ложной посылки следует что угодно! На самом деле ничего удивительного в этом нет: вам самим случалось, и не раз, употреблять фразы вроде «если 2х2=5, то я папа римский». Попробуйте доказать, что такое утверждение ложно! Оно означает лишь, что 2х2 не равно 5, и вы не папа римский, следовательно, оно истинно. Получим такую таблицу истинности:

И → И = И

И → Л = Л

Л → И = И

Л → Л = И

«И» и «или» -- это элементарные действия логики, так же как сложение и умножение – это действия арифметики. Между логическими и арифметическими операциями есть некоторое сходство, и сейчас мы его продемонстрируем. Пусть у нас только две цифры, 0 и 1. будем обозначать истину единицей, а ложь – нулем. Тогда наша табличка истинности для «или» напоминает таблицу двоичного сложения: 0+0=0; 1+0=!; 0+1=1, и только для «сложения» двух истин (1+1=1) мы получим не тот ответ, который дает нам двоичная арифметика (там 1+1=10), но по большому счету он не слишком сильно отличается от арифметического, ибо нуля мы не получим все равно. Результат же логического умножения – «и» -- полностью совпадает с арифметическим: 0х0=0; 1х0=0; 0х1=0; 1х1=1…

Закон достаточного основания.

Данный закон, сформулированный в 17 веке Г. В. Лейбницем, "гласит, что ни одно явление не может быть действительным, ни одно утверждение истинным без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе. В настоящее время она звучит так: " Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованной". При этом речь идет об обосновании только истинной мысли, ибо достаточно обосновать ложный тезис (ложное суждение) невозможно. В отличие от законов тождества, непротиворечия, исключенного третьего, которые имеют содержательную формулировку, а в математической логике выражаются формулами, у закона достаточного основания формулы нет, т. к. ему присущ только содержательный характер.

Достаточным основанием для обоснования истинности тезиса является доказательство с применением удостоверенных фактов, определений понятий, аксиом и постулатов, законов науки и теорем.

Т. к. реальная причина и следствие (например, мы включили электрическую печь, и в комнате стало теплее) не всегда совпадают с логическим основанием и логическим следствием (термометр показывает более высокую температуру, чем прежде, значит, в комнате стало теплее), то часто приходится умозаключать от следствий, из них выводя причину того или иного явления. Так поступают, например, следователи, которые в поисках реальной причины совершенного преступления формулируют всевозможные версии, чтобы затем, отбросив ложные, оставить истинные. Врачи, чтобы поставить диагноз болезни, также идут от реальных следствий к реальным причинам. Проблема доказательности выдвигаемых положений существенна для любого творческого процесса, поэтому знание закона достаточного основания уберегает наше мышление от голословности и немотивированности.

Приведенные формулировки законов и примеров к ним звучат довольно непривычно. Естественный язык, который используется в них, не самое лучшее средство для такой цели. Строго говоря, логические законы вообще не могут быть адекватно переданы на этом языке.

^ Закон контрапозиции

«Закон контрапозиции» — это общее название для ряда логических законов, позволяющих с помощью отрицания менять ме
^ Конструктивная и деструктивная дилеммы

Дилеммами называются рассуждения, посылками которых являются, по меньшей мере, два условных высказывания (высказывания с «если, то») и одно разделительное высказывание (высказывание с «или»).

Выделяются следующие разновидности дилеммы.

^ Простая конструктивная (утверждающая) дилемма:

Если А, то С.

Если В, то С.

А или В. - С

Например: «Если прочту детектив Агаты Кристи, то хорошо проведу вечер; если прочту детектив Жоржа Сименона, тоже хорошо проведу вечер; прочту детектив Кристи или прочту детектив Сименона; значит, хорошо проведу вечер».

Рассуждение этого типа в математике принято называть доказательством по случаям. Однако число случаев, перебираемых последовательно в математическом доказательстве, обычно превышает два, так что дилемма приобретает вид:

Если бы было справедливо первое допущение, теорема была бы верна;

при справедливости второго допущения теорема также была бы верна;

при верном третьем допущении теорема ве