Реферат: Задачи на делимость чисел в егэ 17 Разностные уравнения 18

Министерство образования и науки РФ

ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Математический факультет

V фестиваль

рефератов по математике

учащихся школ г. Екатеринбурга

Сборник тезисов докладов

Екатеринбург

2010


Редакционная коллегия:

Толстопятов В.П., кандидат физико-математических наук, доцент (отв.ред)

Дударева Н.В., кандидат педагогических наук, доцент

Хохлова О.В.

Сборник тезисов докладов V фестиваля рефератов по математике учащихся школ г. Екатеринбурга, г. Екатеринбург, 27 февраля 2010 г. / Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 2010, 55 с.

В сборнике представлены тезисы докладов участников V фестиваля рефератов по математике учащихся школ г. Екатеринбурга, состоявшегося на базе математического факультета Уральского государственного педагогического университета 27 февраля 2010 г.

© Уральский государственный педагогический университет, 2010

Содержание

Принцип Дирихле 4

^ Способы решения диофантовых уравнений 5

Необыкновенная алгебра 6

Теория графов 8

Графы и их применение к решению задач 9

Фрактал как понятие неклассической геометрии 11

^ Правильные многогранники 12

Гармоническая пропорция 13

Фракталы и фрактальные деревья 14

Лента Мёбиуса в жизни современного человека 15

^ Задачи на делимость чисел в ЕГЭ 17

Разностные уравнения 18

«Золотое сечение» в архитектуре 20

Вневписанные окружности 21

Оригами 22

Почему 2×2 = 10 ? 24

Инверсия и её применение в геометрии циркуля 25

Различные приёмы доказательства теоремы Пифагора 26

^ Тайны золотого сечения 27

Оригами и три великие задачи древности 28

Роль нумерологии в современном мире 29

Проценты в современном мире 31

Методы распознавания ритма музыкального произведения в реальном времени 32

Решение различных задач с применением красочной комбинаторики 35

^ О различных способах решения задачи нахождения суммы внутренних острых углов пятиконечной звезды 36

Как сохранить свой секрет в тайне? 37



^ Принцип Дирихле
А. М. Амиева,

МОУ СОШ № 128

В своей работе я изучила принцип Дирихле. Создателем этого принципа является немецкий математик Дирихле Петер Густав Лежен. Несмотря на совершенную очевидность этого принципа, его применение является весьма эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и изящное решение. С помощью принципа Дирихле обычно доказывается существование некоторого объекта, не указывая, вообще говоря, алгоритм его нахождения или построения. Это даёт так называемое неконструктивное доказательство. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени.

Сам принцип звучит так: если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента.

По традиции принцип Дирихле объясняют на примере кроликов в клетках: если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из клеток наверняка сидит более одного кролика. Этим принципом в неявном виде пользовался, например, Ферма в XVII веке; но широко применяться в доказательствах он стал лишь с прошлого века. Однако, во всех этих задачах часто нелегко догадаться, что нужно считать "кроликом", а что – "клеткой", и как использовать наличие двух "кроликов", попавших в одну "клетку" (мы не можем сказать, в какой именно клетке сидят два "кролика", а знаем только, что такая "клетка" есть).

В своей работе я рассмотрела 40 задач. Из них: 6 геометрических задач, 5 задач на пары, 8 задач на знакомство и дни рождения, 7 задач на среднее арифметическое, 5 задач на делимость, 6 задач на комбинаторику, 3 задачи на теорию чисел. При решении каждой задачи была использована соответствующая формулировка принципа Дирихле. Мы классифицировали задачи по используемым формулировкам.

Утверждение 1: "Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка",– использовалось 3 раза.

Утверждение 2: "Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть "клетка", в которой не менее 2-х "кроликов",– использовалось 24 раза.

Утверждение 3: "Если в n клетках сидят не более nk-1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не более k-1 "кроликов"",– использовалось 1 раз.

Утверждение 4: "Если в n клетках сидят не менее n k+1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "кроликов"",– использовалось 5 раз.

Утверждение 5: "Если сумма n чисел больше S, то по крайней мере одно из этих чисел больше S/n",– использовалось 4 раза.

Утверждение 6: "Если сумма n чисел меньше S, то по крайней мере одно из этих чисел меньше S/n",– использовалось 1 раз.

Утверждение 7: "Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток",– использовалось 2 раза.

Наиболее применяемая вторая формулировка, она применялась 24 раза, 60% от числа рассматриваемых задач. Это объясняется простотой применения данной формулировки.

Наглядное представление о частоте использования утверждений мы показали в виде таблицы и диаграмм.

Мною разработано электронное пособие по принципу Дирихле, оно поможет желающим познакомиться с этим принципом. Также были рассмотрены некоторые теоремы из теории чисел, которые легко доказываются при помощи принципа Дирихле, что показывает важную роль этого принципа в становлении теории чисел.
^ Способы решения диофантовых уравнений
И.И. Астрюхина
Руководитель: А.В. Кутенев
учитель математики высшей категории
МОУ Гимназия №176

Диофант – древнегреческий математик из Александрии. О его жизни нет почти никаких сведений. Неизвестно ни даты рождения, ни даты смерти этого человека. Сохранилась лишь часть математического трактата Диофанта "Арифметика" (6 кн. из 13) и отрывки книги о многоугольных (фигурных) числах. Реферат посвящен решению диофантовых уравнений, решения которых отыскиваются в натуральных, целых и рациональных числах. Существуют уравнения, для которых стандартные методы решения не подходят. Именно в таких случаях нам помогут следующие методы решения диофантовых уравнений.

1. ^ Метод «спуска», «рассеивания». Исходное уравнение сводится к цепи уравнений со все уменьшающимися по абсолютной величине коэффициентами.

Пример: ; ; ; ;

; ; ; ;

; ;

2. Метод разложения на множители.

Пример:

Делителями числа 91 являются ±1, ±91, ±7, ±13. Составим системы с положительными делителями:

Решая данные системы, получаем

Аналогично составляем системы с отрицательными делителями, решая которые получаем еще 2 решения

3. Использование четности чисел, входящих в уравнение.

При решении диофантовых уравнений данным способом рассматривается два случая в зависимости от четности переменной x.

Пример: Решить в простых числах уравнение x2–2y2=1.

a) Пусть x=2t+1; (2t + 1)2 – 2y2 = 1; 2y2 = 4t (t + 1); значит y2 делится на 2. Так как y – простое число, то y = 2. Отсюда x2 = 9 => x = 3.

b) Пусть x = 2t, так как x - простое число, то x = 2 и в данном случае уравнение неразрешимо в простых числах.

Ответ: (3;2)

4. Пример невозможности решения уравнения в целых числах.

Уравнение х5 + 3х4у – 5х3у2 – 15х2у3 + 4ху4 + 15у5 = 33 неразрешимо в целых числах.

Доказательство: Разложим левую часть уравнения на множители, получим: (x - 2y)(x - y)(x + y)(x + 2y)(x + 3y).

Если y ≠ 0, то в этом выражении все 5 множителей различны. Но число 33 раскладывается только на 4 различных множителя

Случай y = 0, также не может быть, поскольку тогда исходное уравнение принимает вид: x5 = 33, и – иррациональное число.

Изучение Диофантовых уравнений дает пищу для пытливого ума и побуждает к постижению непознанного. Вместе с тем я прихожу к выводу о том, что математика не только прикладная наука, но это наука, которая находится в динамике, то есть постоянно совершенствуется и развивается в стремлении человечества к новым познаниям устройства мироздания.
^ Необыкновенная алгебра
А. А. Базыльников
Научный руководитель: Г.А. Борисова
учитель математики первой категории
МОУ Лицей № 12

Вы знаете, что в алгебре чисел: «А+А» дает результат «2А», но с точки зрения алгебры логики, выражение «А+А» равно «А». Где же здесь логика?

Это выражение истинно с точки зрения булевой алгебры. Она так названа по имени ученого, который ее изобрел. Его зовут Джорж Буль. Всем известно, что логика широко используется в математике. Буль совершил обратное: он записал логические рассуждения математическими формулами. Он осуществил мечту многих поколений математиков и философов: механизировать не только вычисления, но и рассуждения. Они надеялись, что когда-нибудь при возникновении споров между людьми скажут: «Перейдем к вычислениям» – и таким образом смогут разрешить все возникшие проблемы.

И только в 19 – 20 веке его последователь Кантор создал алгебру множеств, аналогичную алгебре чисел, но не сводящуюся к ней. Алгебра чисел занимается количественными вычислениями, а алгебру множеств интересует не количество, а качество предметов, свойства их объединяющие. Итак, что такое множество? Множество – это любой набор предметов (или понятий), обладающих рядом специфических одинаковых свойств.

Суммой двух множеств А и В, или их объединением называют такое множество, в которое входят все те, и только те элементы, которые входят в множество А или в множество В.

Произведением двух множеств А и В, или пересечением А и В называют такое множество, в которое входят те и только те, элементы которые входят как в множество А так и в множество В.

В алгебре Буля, как и в привычной нам математике, существует такой элемент «нуль», что прибавление его к любому множеству А не меняет этого множества. Это возможно только в том случае, если нулевое множество совсем не содержит элементов, т.е. является «пустым».

«Единичное множество» – это множество, состоящее из всех элементов всех рассматриваемых множеств. Обладающее тем свойством, что произведение его на любое множество А дает нам А.

В алгебре множеств выполняются все известные нам законы:

Коммутативный закон (переместительный) А×В = В×А

Ассоциативный закон (сочетательный закон) (А×В) × С = А × (В×С)

Дистрибутивный закон (распределительный) (А + В) × С = А×С + В×С

Алгебра множеств обладает многими удивительными законами, не имеющими места в обычной алгебре:

1) идемпотентные законы: А + А = А А×А = А

2) второй дистрибутивный закон: А×В + С = (А + С) × (В + С)

Алгебру Буля часто называют алгеброй высказываний. Назовем высказыванием любое утверждение, о котором можно сказать лишь одно из двух – либо оно истинно, либо ложно. Например, высказываниями являются утверждения: «дважды два – четыре», «сейчас идет дождь», «если 2х2=5, то существуют ведьмы» и т.п.

Из нескольких заданных утверждений можно получить более сложные. Это делается с помощью союзов «и», «или», «либо …,либо…», «если…, то…», а также отрицания «не». Чтобы высказывание имело смысл, надо каждому из союзов придать точно определенное значение. Это делают с помощью таблицы двух чисел. Аналогично я составил таблицу для четырёх чисел.

В своей работе я рассмотрел Алгебру максимумов и минимумов. Здесь сумма двух чисел равна большему из них, а произведение меньшему. А так же я изучил Алгебру наименьших и наибольших делителей. И с её помощью доказал первый и второй дистрибутивный закон.

Законы булевой алгебры используют при конструировании электрических цепей и вычислительных устройств. При этом высказываниями являются предложения типа «ток по участку … проходит». Параллельное соединение выключателей будет обозначать сложение, а последовательное соединение – произведение. Для электрических цепей выполняются все законы алгебры множеств.

Разберем, например, пойдет ли ток по цепи, изображенной на рисунке. Для этой цепи по участкам ^ В, С, Е ток проходит, а по участкам A, D, F – нет. Нам надо вычислить значения выражения: , если, А, D, F соответственно 0, а В, С, Е – соответственно 1. Получаем . Таким образом, по цепи ток пойдет, а высказывание, составленное из истинных высказываний В, С, Е и ложных высказываний A, D, F будет истинным.

Теория множеств – является фундаментом математики, как высшей, так и школьной. Сегодня знание законов логики помогает учёным продвигаться вперёд в совершенствовании искусственного интеллекта и создании «электронного мозга». При изучении алгебры Буля я расширил свои знания в области арифметики. Эта тема мне очень понравилась, и я собираюсь продолжить её изучение.

Литература

Басова, Л. А. Лекции и задачи по математике [Текст] / Л. А. Басова, М. А Шубин, Л. А. Эпштейн. – М. : Просвещение, 1981. – 96 с.

Калужнин, Л. А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики [Текст] / Л. А. Калужнин – М. : Просвещение, 1978. – 88 с.

Яглом, И. М. Необыкновенная алгебра [Текст] / И. М. Яглом ; изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 72 с.
^ Теория графов
Е.О. Басмаджян
Руководитель: Г.А. Борисова
учитель математики первой категории
МОУ лицей № 12

Дискретная математика приобретает все большее значение в связи с развитием теории вероятностей, математической логики и информационных технологий. Одним из разделов дискретной математики является теория графов.

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Решая задачу про Кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, следующие три свойства графа.

1. Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (то есть рисуя непрерывно и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.

2. Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

3. Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Сейчас почти в любой отрасли науки и техники встречаешься с графами: в электротехнике – при построении электрических схем, в химии и биологии – при изучении молекул и их цепочек, в экономике – при решении задач о выборе оптимального пути для потоков грузового транспорта и во многих других задачах. О математике и говорить не приходится. С теорией графов связаны не только математические развлечения и головоломки, но и такие серьезные науки как теория отношений и теория групп.

В своей работе, решая разные по содержанию задачи, я приходила к общему решению задач с помощью теории графов. Например, теорию графов целесообразно применить к решению таких задач.

Задача 1. В трех различных домах живут три поссорившиеся между собой соседа. Недалеко от их домов имеются три колодца. Можно ли от каждого дома проложить к каждому из колодцев тропинку так, чтобы никакие две из них не пересекались?

Задача 2. В магазине "Все для чая'' есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Чтобы задача была понятнее и доступнее в решении я применила теорию графов.

Благодаря теории графов я научилась решать сложные логические задачи. Графы помогли мне понять, что многие задачи можно решить не только стандартным методом, но и графически. Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать много различных, внешне не похожих друг на друга задач.

Литература

Берж, К. Теория графов и ее приложения [Текст] / К. Берж . – М. : ИЛ, 1962. – 320 c.

Зыков, А. А. Основы теории графов [Текст] / А. А. Зыков – М. : «Вузовская книга», 2004. – 664 С.

Оре, О. Теория графов [Текст] / О. Оре. – М. : Наука, 1980. – 336 с.

Уилсон, Р. Введение в теорию графов [Текст] / Р. Уилсон ; пер с англ. – М. : Мир, 1977. – 208 с.

Харари, Ф. Теория графов [Текст] / Ф. Харари. – М. : Мир, 1973.
^ Графы и их применение к решению задач
О.И. Бородина
Руководитель: А.Р Нусратуллина.,
Учитель математики первой категории
МОУ Гимназия № 35

В школьной программе по математике термин «граф» отсутствует. При этом в различных областях математики, а также в компьютерных науках, в электронике, в экономике и других дисциплинах графы используются повсеместно. Теория графов – относительно молодая область математики (первая работа Леонарда Эйлера о Кёнигсбергских мостах, с которой началось развитие теории графов, была опубликована в 1736 году, а сам термин граф появился лишь спустя 200 лет). Его впервые использовал в 1936 году венгерский математик Денеш Кёниг. Но, несмотря на это, изложить все результаты, полученные математиками в этой области, невозможно даже в очень толстой книге.

Мы рассмотрели основные понятия и теоремы теории графов и применили их к решению задач.

Задача 1. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими? [1]

Представим этот граф с 15 вершинами. Подсчитаем количество ребер в этом графе (для этого надо 15 умножить на 5, разделить на 2, т.к. при подсчете каждое ребро учтено дважды). Если это число целое, данный граф построить можно. Таким образом, указанным способом телефоны соединить нельзя.

Задача 2. В государстве 15 городов, каждый из которых соединен дорогами не менее чем с семью другими. Докажите, что из любого города можно добраться в любой другой (возможно, проезжая через другие города). [1]

Рассмотрим произвольный город ^ А и 7 городов, в которые можно добраться из А. Всего мы рассмотрели 8 городов. Пусть какой-нибудь из оставшихся городов не соединен ни с каким из этих восьми городов. Тогда он соединен только с шестью городами, что противоречит условию.

Задача 3. В шахматном турнире по круговой системе, в которой каждый игрок должен встретиться с каждым, участвуют 6 школьников. Известно, что Ваня сыграл 5 партий, Толя – 4, Леша и Дима – по 3, Семен – 2, Женя – 1. С кем сыграл каждый из участников? [2]

Поставим в соответствие каждому игроку точку плоскости – вершину графа. Если два игрока встречались между собой, то будем соединять соответствующие вершины линией – ребром графа. Пусть вершина Ж соответствует Жене, вершина В – Ване, вершина Т – Толе, вершина С – Семену, вершина Л – Леше. Поскольку степень вершины В равна 5, то соединим эту вершину со всеми остальными вершинами графа. Из вершины Т должны выходить 4 ребра, а выходит пока одно. Соединим эту вершину ребрами с вершинами Л, Д и С, поскольку степень вершины Ж уже равна 1. Из вершин Л, Д и С выходит по два ребра, степень вершин Л и Д должна быть равной 3. Поэтому соединим эти вершины ребром. Построенный граф будет описывать встречи, проведенные детьми.

Работа над рефератом помогла мне узнать новое о теории графов и познакомиться с новыми и интересными задачами. Надеюсь в дальнейшем продолжить знакомство с этой теорией.

Литература

Генкин, С.А. Ленинградские математические кружки [Текст] : пособие для внеклассной работы / С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин. – Киров : Изд-во «АСА», 1994. – 272 с.

Мельников, О. И. Обучение элементам теории графов в 4-6 классах [Текст] / О.И. Мельников, В.В. Куприянович. – Математика в школе. – 2004. – №4.– С.63-68
^ Фрактал как понятие неклассической геометрии
М.А.Воронин
Руководитель: С.М. Кадимова
преподаватель первой категории
МОУ гимназия № 35

Фрактал – одно из понятий неклассической геометрии, подходящее для решения многих актуальных задач современной науки и техники. Об этом писал основатель теории фракталов Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, задачи исследования морфологии аморфного» [1].

В нашей работе мы познакомились с основами теории фракталов (понятие фракталов, история их изучения, классификация и применение) и воспроизвели некоторые фрактальные объекты самостоятельно при помощи таких компьютерных программ, как AutoCAD 2006, Adobe After Effects CS3.

Изучением фракталов занимались многие известные математики. Основоположниками теории фракталов являются Г. Кантор, Х. фон Кох, Б. Мандельброт, В. Серпинский. Современные ученые, занимающиеся исследованием этого явления, - Е. Федер, П. Рихтер, В. Жиков и др. Определение фрактала, данное Бенуа Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [2].

По общепринятой классификации фракталы делятся на алгебраические, геометрические и стохастические.

Наиболее известными примерами геометрических фракталов являются пыль Кантора (она не имеет четкой размерности, строится вроде бы на основании одномерной прямой (размерность 1), но состоит из точек с размерностью 0); кривая Коха (строится путем замены каждого звена на уменьшенный образующий элемент) и треугольник Серпинского (при количестве шагов его построения → ∞ сумма периметров треугольников, входящих в него, стремится к бесконечности, а сумма их площадей – к нулю).

Самым ярким примером алгебраического фрактала является множество Мандельброта, а стохастического – так называемая плазма.

В реферате более подробно рассматриваются геометрические фракталы.

Фракталы применяются в самых разнообразных сферах деятельности, прежде всего в компьютерной графике для представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные, например облаков, гор, поверхности моря и т.д.

В практической части реферата приводятся примеры построения фрактальных объектов (треугольник Серпинского, множество Мандельброта) при помощи специальных программ: AutoCAD 2006, Adobe After Effects CS3.

Так, для того чтобы создать множество Мандельброта в программе Adobe After Effects, мы осуществили следующие действия:

Выбираем пункт меню Composition > New composition и выбираем необходимые размеры нашей композиции > Нажимаем ОК

Для создания новой основы, на которой мы будем генерировать фрактал, во вкладке Layer выбираем пункт New > Solid, настраиваем цвет и размер основы, нажимаем OK

Применим эффект, генерирующий фрактал: в пункте меню Effect выбираем подпункт Generate > Fractal

В конце добавим музыкальное сопровождение, чтобы наш видеоролик приобрел законченный вид.

Литература

Б. Мандельброт. The Fractal Geometry of Nature. Цит. по.: Жиков В. В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. № 12 (13), 1996. С. 109-117.

Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. - М.: Мир, 1991.
^ Правильные многогранники
Л. Галимзянова
Руководитель: И.А. Немировская
МОУ СОШ углубленным изучением английского языка №148

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. В то же время теория многогранников – современный раздел математики. Она имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, в естествознании, в прикладной математике, теории оптимального управления.

В реферате мы изучили геометрические характеристики правильных многогранников и исследовали соотношение между их объемами и объемами вписанных, описанных и полувписанных в эти многогранники шаров.

Пусть F – правильный многогранник, VF – объем правильного многогранника. Обозначим объем шара, проходящего через все вершины правильного многогранника через VВ, объем шара, касающегося всех его граней, через VГ и объем шара, касающегося всех его ребер, соответственно через VР, и найдем отношение VВ, VГ и VР относительно VF.

Нетрудно сообразить, например, что VF < VВ, но VF > VГ. Предсказать, что больше VF или VР нам было бы сложно, поэтому мы сейчас постараемся разрешить эту проблему.

Для того, чтобы нам найти VВ, VГ, VР, мы должны знать радиус описанной окружности RВ, вписанной RГ и полувписанной окружности RР.

Представителей каждого из пяти типов правильных многогранников можно получить, отправляясь от куба. Этим мы и воспользуемся. Приняв сторону куба за d, можно вычислить VF,VВ,VГ,VР. Затем, обозначив объем самого тела VF за 1, мы найдем VВ,VГ,VР относительно VF .

Полученные результаты расчетов приведены в таблице




Тетраэдр (4)

Гексаэдр (6)

Октаэдр (8)

Додекаэдр (12)

Икосаэдр (20)

VГ

0,302

0,524

0,604

0,755

0,828

VF

1

1

1

1

1

VР

1,57

1,48

1,11

1,23

1,02

VВ

8,16

2,72

3,14

1,50

1,65


Из таблицы следует, что с увеличением у правильного многогранника граней объем шара, касающего граней его VГ и объем шара, касающегося его ребер VР, стремятся к объему телаVF, причем VГ <VР.

Работа над рефератом меня увлекла: я узнала много нового, интересного; расширила свои знания о правильных многогранниках, рассчитала их объемы и объемы вписанной, описанной и полувписанной сфер.
^ Гармоническая пропорция
Е.А. Горбунова
Руководитель: И.Д. Говорова
учитель высшей категории
МОУ гимназия №13

Целью данной работы стало изучение «золотого сечения» с теоретической точки зрения (построение геометрических фигур на основе золотого сечения) и в объектах окружающего нас мира и деятельности человека (живопись, архитектура, музыка).

В работе обоснована актуальность поставленной проблемы,


проведен анализ литературных данных по золотому сечению. Изучена история золотого сечения, рассмотрено золотое сечение в различных объектах: архитектуре, живописи, музыке и биологии.

Для этого необходимо было решить следующие задачи:

- исследовать основные принципы «золотого сечения»

- проанализировать практическое применение «золотого сечения» в нашей жизни

- рассмотреть «золотое сечение» в объектах живописи (написанных мною картинах «Любимая Мася», «Автопортрет», «Ангел мира» и «Летний букет»), музыки (исследовать известные музыкальные произведения) и в человеческом организме (рассчитать отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению, измеренных у членов моей семьи).

В работе «Любимая Мася» (портрет кошки) с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Композиционный центр кошки делит картину по золотому сечению по вертикали. Пропорции тела кошки гармоничны.

Работы «Автопортрет» и «Ангел мира» также построены по законам золотого сечения. В этих работах и горизонтальное (соотношение стола и натюрморта, земли и неба) и вертикальное отношение (соотношение человека и композиции) составляет примерно равно 1,6.

В своей последней работе «Летний букет» я попыталась расположить композицию на листе так, чтобы она соответствовала нормам золотого сечения: кувшин с цветами занимает 0,6 от листа, также центр этого этюда (розовой цветок) выстроен композиционно правильно.

Получилось, что в не зависимости от того, пишешь ты «чувством» или геометрически правильно, в работе сохраняется замечательная пропорция, и картины получаются законченными и правильно построенными.

Живые организмы тоже подчиняются этим же законам золотого сечения.

На примере своей семьи я рассмотрела сердечный ритм всех членов семьи. Как видно, у бабушки, которой 82 года, имеющей много различных заболеваний отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,523, то есть далеко от золотой пропорции. А у остальных членов семьи это отношение близко к 1,64, что говорит о здоровье всех нас.

На основании вышеизложенного я могла сделать вывод, что чувство золотого сечения дано человеку изначально: красивые картины, великолепные музыкальные произведения построены по замечательной пропорции и имеют величайшую ценность, они являются эталоном красоты и гармонии.
^ Фракталы и фрактальные деревья
М. Гордо
Руководитель: Л.И. Курмачева
Учитель математики первой категории
МОУ СОШ 208

В начале XVII века Галилей утверждал, что книга природы написана на языке математики и «письмена» ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры. В XX веке Галилей дополнил бы этот язык еще одним объектом – фракталом.

Фрактал – это то, о чем много людей говорит в наши дни, от физиков до учеников средней школы. Он появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Фрактал – это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах. Отсюда следует принцип самоподобия. Части фракталов подобны всей фигуре, то есть они похожи на всех уровнях. Люди заметили, что, несмотря на известную «новомодность» фрактала, заложенная в нем идея самоподобия восходит к древним традициям.

Все в науке делят на классы и виды. Фракталы не являются исключением. Приведем классификацию фракталов: алгебраические, геометрические, стохастические, рукотворные и природные фракталы.

Мы рассматривали геометрические и природные фракталы, к которым относятся фрактальные деревья. Существует множество заблуждений, связанных с фрактальностью деревьев. Древовидные объекты во многом напоминают фракталы: они строятся пошагово, выглядят фрактально и иногда даже являются фракталами. Однако в большинстве случаев это сходство является только внешним. Остановимся подробнее на Пифагоровом дереве. Это разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны». Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Одним из свойств Пифагорова дерева является то, что, если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице. Если в классическом Пифагоровом дереве угол равен 45 градусам, то также можно построить обобщённое Пифагорово дерево при использовании других углов. Такое дерево называют «обдуваемое ветром Пифагорово дерево». Каждая ветка таких деревьев действительно подобна самим деревьям.

Мною сделаны первые шаги в освоении фрактальной геометрии. Для этого я освоил ЛОГО-миры. С помощью этого инструмента были построены кустик, куст, дерево и как главное завершение этих шагов – Пифагорово дерево.

Фракталы в наше время стали объектом пристального внимания учёных и художников. Их красота является предметом самых заинтересованных обсуждений. Выставка «Границы Хаоса», представляющая портреты фрактальных структур, имела сенсационный успех в мире. Впервые в истории культуры результаты математических расчётов демонстрировались как произведения искусства.

^ Лента Мёбиуса в жизни современного человека
Ю.А. Диметренко и Э.Р. Мустафаева
Руководитель: А.Г. Бормотова
учитель математики высшей категории
МОУ СОШ с углублённым изучением предметов
художественно-эстетического цикла №50

Лента Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (т.е. на 180°), склеенная с его другим концом. Немецкий математик и астроном Август Фердинанд Мёбиус (17 ноября 1790г. – 26 сентября 1868г.) описал ленту еще в XIX веке, однако, открытия связанные с её свойствами, совершаются до сих пор, и до сих пор лента Мёбиуса волнует умы людей различных творческих профессий, сподвигая их на создание предметов искусства. Всё это говорит об актуальности выбранной нами темы. Разговаривая со своими товарищами из других классов, мы обнаружили, что с лентой Мёбиуса практически никто не знаком, так как в курс математики средней школы изучение её не входит. Нам захотелось рассказать о ней как можно большему числу учащихся.

Мы изучили понятия: односторонняя поверхность и топология. Рассмотрев некоторые топологические объекты, мы убедились в их разнообразии. К топологическим объектам относятся: бутылка и поверхность Клейна, кольца Борромео, невозможные фигуры и тела, а так же фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Проведя опыты с разрезанием ленты Мёбиуса, мы выяснили, что результат зависит от количества полуоборотов и от того, на каком расстоянии производится разрез. Систематизировав и проанализировав собранный материал по применению ленты Мёбиуса, мы убедились, что в жизни современного человека она встречается довольно часто.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Придуманы кассеты для магнитофона и видеокассеты, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время работы. В матричных принтерах красящая лента также имела вид ленты Мёбиуса для увеличения срока годности. Ленточная пила, абразивные ремни для заточки инструментов, наконец, «Американские горки» – во всём этом нашла применение лента Мёбиуса. Ричард Дэвис изобрёл устройство, которое он назвал резистор Мёбиуса. Это электронный элемент, обладающий нулевой реактивностью. В 2002 году исследователи из университета г.Хоккайдо (Япония) создали кристаллические структуры, имеющие одну поверхность, наподобие листа Мёбиуса.

Лента Мебиуса часто встречается в научной фантастике. Это рассказ А. Кларка «Стена Темноты», цикл рассказов Владислава Крапивина «В глубине Великого Кристалла», рассказ «Лист Мёбиуса» А. Дж. Дейча, повесть Э.Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы», рассказ М. Клифтона «На ленте Мебиуса», роман В.Меретукова «Лента Мёбиуса», произведения Х.Кортасара «Лента Мёбиуса» и Г.Салтупы «Лента Мёбиуса» и ещё у многих писателей есть произведения с аналогичным названием. Необычность ленты Мёбиуса вдохновляет и поэтов. В нашем поиске нам встретились не одни стихи, посвященные ленте Мёбиуса. Немало изображений ленты Мёбиуса в живописи и декоративно-прикладном искусстве, начиная от графических работ Мориса Корнелиса Эшера (1898 – 1972 г.г., Голландия), и заканчивая витражами, резьбой по дереву и т.п. Используют ленту Мёбиуса и архитекторы. Есть дачный дом в Австралии, Павильон Свежей воды в США, существует проект библиотеки в Казахстане. Лента Мёбиуса встречается в мини-скульптурах. Среди ювелирных изделий также встречается лента Мёбиуса. Широко применяют форму ленты Мёбиуса дизайнеры. Это и предметы мебели, одежды, обуви, аксессуаров, и всевозможные логотипы (например, всемирный символ переработки), и элементы ландшафтного дизайна. В мире немало памятников ленте Мёбиуса. Памятники есть в Москве, в Нижнем Новгороде, в Риге, в Белоруссии, в Казахстане, в США, в Германии, в Китае. Есть свой памятник ленте Мёбиуса и в Екатеринбурге по улице Свердлова.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Так же существует предположение, что и Вселенная наша имеет форму ленты Мёбиуса. Ещё Эйнштейн предполагал, что космический корабль, летящий всё время вперёд, когда-нибудь вернётся к месту старта, только будет уже своей зеркальной копией.

Таким образом, получается, что в жизни современного человека лента Мёбиуса встречается довольно часто.

Весь собранный материал мы оформили в виде презентации, и познакомили с ней учащихся старших классов нашей школы.

Литература

Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – М.: Наука, 1985. – 136 с.
^ Задачи на делимость чисел в ЕГЭ
А. Дергачёв
С.М. Кадимова
учитель п