Реферат: М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Реферат

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет


Реферат (перевод) по философии на тему


Философия математики Л. Витгенштейна


Выполнил: Петюшко А.А., аспирант 1 г.о. кафедры

Математической теории интеллектуальных систем


Москва, 2010

Введение


В данной статье из Стэнфордской философской энциклопедии последовательно рассматриваются взгляды Людвига Витгенштейна на философию математики в т.н. начальный период (прежде всего, это «Логико-философский трактат», 1922 г.), средний, или переходный, период («Философские заметки», 1929-1930 гг, и «Философская грамматика», 1931-1933 гг) и поздний период («Замечания по основаниям математики», 1937-1944 гг, и «Философские исследования», 1953). В целом, взгляды Л. Витгенштейна на философию математики остаются постоянными на протяжении всей его жизни, начиная с зачаточного состояния в ЛФТ, получая свое формирование в средний период, и развиваются в поздний, добавляя ко всему прочему важный критерий математического приложения, который нужен прежде всего для отличения математики от простых игр со знаками, к которым Витгенштейн прежде всего относил теорию множеств.

В ЛФТ Витгенштейн противопоставляет подлинные (контингенциальные, эмпирические) предложения математическим предожениям, заявляя, что элементарное контингенциальное предложение истинно тогда, когда соответствующий атомарный факт имеет место в реальном мире, и ложно в противоположном. Математические же предложения - это уравнения, которые показывают, что два выражения эквивалентны по значению и поэтому взаимозаменямы. «Возможность доказательства» математических предложений означает, что мы можем воспринимать их корректность без надобности сравнивать того, «что они выражают», с фактами. Т.о., математические предложения могут быть разрешены в чисто формальной, синтаксической манере.

Формальная теория математики в ЛФТ – это теория формальных операций. В частности, общая форма натурального числа дается как , где первый член в скобках – это начало ряда форм, второй – форма элемента x, произвольным образом выбранного из ряда, а третий член – форма элемента, который непосредственно следует за x в этом ряду.

Также в статье приводятся доказательства, почему, несмотря на кажущееся сходство, философия математики Витгенштейна в ЛФТ не является вариантом логицизма.

В средний период, начало которому было положено, как считается, лекцией «Наука, математика и язык» Л. Брауэра в начале 1928 г., основными моментами являются финитизм, разрешимость и отношение Витгенштейна к иррациональным числам и теории множеств.

В этот период Витгентейн явно следует усиленному формализму, говоря, что «мы создаем математику», а математические символы «не представляют» вещи. Единственное значение (т.е., смысл), которое имеет математическое предложение, - это внутрисистемное значение, которое полностью определяется своими синтаксическими связями с другими предложениями исчисления. Также, Витгенштейн утверждает, что внешнее приложение математики – вовсе не обязательное условие математического исчисления.

Для понимания финитизма Витгенштейна в средний период нужно ясно себе представлять различие между математическими экстенциями (например, символы, конечные множества, конечные последовательности, предложения, аксиомы) и математическими интенциями (например, правила вывода и преобразования, иррациональные числа как правила), которые составляют всю полноту математики. Витгенштейн не принимал бесконечных экстенций, для него «математическая бесконечность» существует только в рекурсивных правилах (интенциях). Из этого следует как то, что иррациональные числа – это правила, так и то, что все математические предложения разрешимы, ибо конечны. Подобным образом он отвергал и навешивание кванторов над бесконечной областью определения. Наши же заблуждения о «бесконечности» происходят из-за того, что мы смешиваем понятия «интенция» и «экстенция».

Что же касается разрешимости, то Витгенштейн в средний период определяет математическое исчисление (и математическое предложение) в эпистемологических терминах: выражение является значащим предложением в данном исчислении если только оно уже разрешено (и т.о. доказана его истинность или ложность), или мы знаем применимую процедуру разрешимости. Неразрешимых значащих предложений в математике нет, что позволяет использовать закон исключенного третьего – математическое предложение либо истинно, либо ложно.

Интересна позиция Витгенштейна в средний период в вопросе о математической индукции. Если ранее мы использовали в качестве шага индукции « n(φ(n) →φ(n + 1))», а в качестве утверждения – « nφ(n)», то Витгенштейн предлагает использовать вместо них «n(φ(n) →φ(n + 1))» и «φ(m)», учитывая, что ‘m’ есть любое конкретное число, в то время как ‘n’ – это любое произвольное число. Это сделано из-за того, что, поскольку мы не можем навешивать кванторы над бесконечной областью определения, то изначальный шаг индукции и утверждение – не значащие математические предложения, и их необходимо подправить. Хотя индуктивное доказательство не может доказать «бесконечную возможность применения», оно позволяет нам «осознать», что прямое доказательство любого конкретного предложения может быть построено в конструктивной манере.

Несмотря на то, что Витгенштейн считал гипотезу Гольдбаха и ей подобные бессмысленными гипотезами, однако он оставлял за ними право дать математику стимул для расширения исчисления. Если, например, нам удастся доказать гипотезу Гольдбаха методом математической индукции (т.е., мы докажем “G(1)” и “G(n) →G(n + 1)”), то мы получим доказательство индуктивного шага, но поскольку индуктивный шаг не был предварительно алгоритмически разрешим, то при конструировании доказательства мы построили новое исчисление. До доказательства индуктивный шаг не является осмысленным математическим предложением (в конкретном исчислении), тогда как после доказательства шаг индукции уже является математическим предложением с новым, определенным смыслом, и в новом, только что созданном исчислении.

В средний период Витгенштейн много времени уделял вопросу действительных и иррациональных чисел. По мнению Витгенштейна, иррациональное число является экстенцией только в той мере, что оно написано знаком (например, ‘√2’ или ‘π’). По сути же оно ялвяется уникальным рекурсивным правилом, или законом – т.е., интенцией. При непрерывном движении из т. А в т. Б по числовой прямой мы должны замести не только рациональные числа, но и иррациональные. Но поскольку «множество всех рекурсивных иррациональных» все еще оставляет зазоры, то существуют еще и иррациональные, «не подчиняющиеся закону». Однако, по мнению Витгенштейна, т.к. на числовой прямой изначально нет никаких зазоров, и поскольку нет такой вещи, как математический континуум, псевдо-иррациональные не подчиняющиеся закону иррациональные и не нужны для теории действительных чисел. Также, на основании введенных им критериев действительного числа, Витгенштейн показывает, что не все рекурсивные действительные числа – подлинно действительные числа (т.е., являются псевдо-иррациональными).

Критика теории множеств Витгенштейна в средний период основывается на двух вещах. Во-первых, в теории множеств смешиваются понятия интенции и экстенции в области бесконечности. Во-вторых, Витгенштейн критикует принятую в теорию множеств идею о трактовке несчетности в качестве мощности множества.

В поздний период философия математики Витгенштейн почти полностью повторяет оную в средний период, дополняя и развивая ее. Так, если раньше Витгенштейн говорил, «мы создаем математику», то теперь он говорит «мы изобретаем математику». Изобретая новое доказательство, мы изобретаем новое математическое исчисление. В своей критике теории множеств Витгенштейн подчеркивает, что понятие «действительное число» имеет мало общего с понятием «мощность множества», однако люди зачастую смешивают эти понятия.

Принципиальное и наиболее значительное отличие от публикаций Витгенштейна в средний и поздний период – введение критерия внешнего по отношению к математике приложения, который используется для различения простых «игр со знаками» от математических языковых игр. Причинами можно назвать: во-первых, т.о. Витгенштейн подчеркивал, что математика играет разнообразные прикладные роли во многих формах человеческой деятельности, а во-вторых, внешне-математическое приложение смягчает напряжение между критикой Витгенштейна в средний период теории множеств и его сильным формализмом, согласно которому «одно исчислении ничем не лучше другого». Т.о., отделяя математические языковые игры от нематематических игр со знаками, Витгенштейн мог заявить, что «на тот момент» теория множеств – это просто игра со знаками. Теория множеств – неинтересна и бесполезна, по его мнению. Но, тем не менее, вопрос, является ли предложение предложением данного математического исчиления – это внутренний, синтаксический вопрос, никаким образом не связанный с внешне-математическим приложением.

Также, в конце статьи излагается взгляды Витгенштейна на теоремы Геделя, и доказывается, что Витгенштейн их неправильно толковал (и т.о. пытался опровергать рассуждения Геделя).

В заключении статьи становится понятным, что главная цель Витгенштейна в области философии математики было предоставить «философскую ясность» на многие аспекты математики. Математики будущего, по его мнению, будут стремиться к упрощению математических конструкций, и философская ясность, в итоге, позволит математикам и философам «возвратиться к неопровержимым фактам».
^ Философия математики Витгенштейна
Стэнфордская философская энциклопедия

Впервые опубликовано 23 февраля 2007 г.


Философия математики Людвига Витгенштейна, несомненно, наиболее неизвестная и недооцененная часть его философского творчества. На самом деле, более половины работ Витгенштейна с 1929 по 1944 было посвящено математике, что сам Витгенштейн признал в 1944, написав, что его «наибольший вклад был сделан в области философии математики» (Monk 1990, 466).


Основа математической концепции Витгенштейна была по большей части изложена в ^ Логико-Философском трактате (1922; далее просто ЛФТ), где главной целью философа было разработать связь «язык-реальность» путем определения, что нужно для языка, или для использования языка, для того, чтобы он был о мире (отражал реальность). Витгенштейн частично отвечает на этот вопрос, утверждая, что подлинные предложения (высказывания), которые мы можем использовать для конструирования утверждений о реальности, – это только контингенциальные [1] («эмпирические») предложения, т.е. они истинны, если отражают реальность, и ложны в противоположном случае (4.022, 4.25, 4.062, 2.222). Отсюда следует, что все другие предложения являются псевдо-предложениями различных типов, и что все остальные использования слов «истина» и «истинный» значительно отклоняются от той «истины в соответствии» (или соглашении), которую имеют контингенциальные предложения в отношении к реальности. Т.о., начиная от даты выхода ЛФТ до, по крайне мере, 1944, Витгенштейн придерживается мнения, что «математические предложения» не являются реальными предложениями, и что «математическая истина» не имеет по существу связи с реальностью и чисто синтаксическая по своей природе. С точки зрения Витгенштейна, мы изобретаем математические исчисления и расширяем область математики с помощью вычисления и доказательства, и т.о. мы узнаем из доказательства, что теорема может быть выведена из аксиом путем определенных правил некоторым способом, и это не тот случай, когда этот метод доказательства уже существует до того, как мы его сами сконструировали.


Как мы увидим далее, философия математики Витгенштейна появляется в зачаточном состоянии в ^ ЛФТ, затем развивается в финитный конструктивизм в средний период (Philosophical Remarks (1929-1930) и Philosophical Grammar (1931-1933), соответственно; далее - PR и PG, соответственно), после чего получила дальнейшее продолжение как по новым, так и по старым направлениям в MSS, использованных в Remarks on the Foundations of Mathematics (1937-1944; далее RFM). В силу того, что содержательный взгляд Витгенштейна на математику эволюционировал с 1918 по 1944, то и его работы и философские стили менялись от утвердительного, афористического стиля в ЛФТ, более ясного, аргументированного стиля в средний период, до диалектического, разговорного стиля в RFM и Philosophical Investigations (далее PI).


1. Витгенштейн о математике в Трактате

2. Финитный конструктивизм Витгенштейна в средний период

2.1 Конструктивный формализм Витгенштейна

2.2 Финитизм Витгенштейна

2.3 Финитизм Витгенштейна и алгоритмическая разрешимость

2.4 Мнение Витгенштейна о математической индукции и алгоритмической разрешимости

2.5 Мнение Витгенштейна об иррациональных числах

2.6 Критика Витгенштейна теории множеств

3. Поздний Витгенштейн о математике: некоторые предварительные положения

3.1 Математика как изобретение человека

3.2 Поздний финитный конструктивизм Витгенштейна

3.3 Поздний Витгенштейн о разрешимости вообще и об алгоритмической разрешимости.

3.4 Поздняя Критика Витгенштейна теории множеств: Не-перечислимость против не-счетности

3.5 Внешнее математическое приложение как необходимое условие математической значимости

3.6 Витгенштейн о Геделе и неразремых математических предложениях

4. Влияние философии математики на саму математику


1. Витгенштейн о математике в Трактате


Формалистская, не привязанная к реальности концепция Витгенштейна в отношении математических утверждений и терминов берет свое начало в ЛФТ [2]. Действительно, он делает набросок своей Философии математики в ЛФТ, противопоставляя математику и математические уравнения с подлинными (контингенциальными) утверждениями, смыслом, мышлением, пропозициональными знаками и их составляющими именами, и истиной-в-соответствии.


В ЛФТ Витгенштейн утверждает, что подлинное предложение, которое опирается на общепринятые соглашения, используется нами для обозначения, что положение дел (т.е., элементарный или атомарный факт; ‘Sachverhalt’) или факт (т.е., несколько положений дел; ‘Tatsache’) имеет место только в реальном мире. Элементарное предложение изоморфно возможному положению дел, которое оно представляет: оно должно содержать столько же имен, сколько объектов в возможом положении дел. Элементарное предложение истинно тогда и только тогда, когда соответствующее возможное положение дел (т.е., смысл; ‘Sinn’) имеет место. Витгенштейн четко обозначил эту теорию соответствия истине в (4.25): «Если элементарное предложение истинно, то атомарный факт существует; если элементарное предложение ложно, то атомарный факт не существует.» Но предложения и их языковые части мертвы – предложение имеет смысл только потому что мы, человеческие существа, снабжаем их общепринятым смыслом (5.473). Более того, пропозициональные знаки могут быть использованы для совершения любого числа вещей (например, обидеть, привлечь чье-то внимание); для обозначения того, что положение дел имеет место, человек должен «проецировать» смысл предложения – его возможного положения дел – путем «мышления» (например, воображая) этого смысла, во время разговора, письма или мыслей об этом предложении (3.11). Витгеншейн связывает использование, смысл, соответствие и истину, говоря «предложение истинно, если мы используем его для того, чтобы сказать о том, что имеет место» (4.062).


Идеи ЛФТ о подлинных (контингенциальных) предложениях и (оригинальная и) основная концепция истины используются для построения теорий логических и математических «предложений» путем противопоставления. Сформулированные отчетливо и прямо, тавтологии, противоречия и математические предложения (т.е. математические уравнения) не истинны и не ложны – мы говорим, что они истинны или ложны, но делая т.о., мы используем слова «истина» и «ложь» совершенно не в том смысле, в каком мы говорили, что контингенциальные предложения истинны или ложны. В отличие от подлинных предложений, тавтологии и противоречия «не имеют «содержания»» (?subject-matter) (6.124), “в них отсутствует смысл” и «они ничего не говорят» о мире (4.461), аналогичным образом математические уравнения являются «псевдо-предложениям» (6.2), которые, будучи «истинными» («корректными»; ‘richtig’ (6.2321)), «всего лишь означают ... эквивалентность значений [“двух выражений”]» (6.2323). С учетом того, что «тавтологии и противоречия являются предельными случаями – на самом деле, их исчезновением – сочетания знаков» (4.466), где «условия соглашения с миром – репрезентативные связи – отменяют друг друга, т.о. что они не состоят ни в какой репрезентативной связи с реальностью», тавтологии и противоречия не описывают реальность или возможные положения дел и возможные факты (4.462). Другими словами, тавтологии и противоречия не имеют смысла, что значит, что мы не можем их использовать для составления высказываний, что в свою очередь значит, что они не могут быть ни ложными, ни истинными. Аналогично, математические псевдо-предложения – это уравнения, которые показывают, что два выражения эквивалентны по значению и поэтому взаимозаменямы. Действительно, мы приходим к математическим уравнениям «методом подстановки»: «начиная с некоторого числа уравнений, мы переходим к новым уравнениям путем подстановки некоторых выражений в соответствии с уравнениями» (6.24). Мы доказываем математические «предложения», полагая их «истинными» («корректными»), «замечая», что два выражения имеют одинаковые значения, которое «должно быть ясно видно по ним самим» (6.23), и замещая одно выражение другим с тем же значением. Подобно тому как «человек может распознать, что [«логические предложения»] истинны из символа самого по себе» (6.113), «возможность доказательства» математических предложений означает, что мы можем воспринимать их корректность без надобности сравнивать того, «что они выражают», с фактами (6.2321; сравните с (RFM App. III, §4)).


Разграничение между контингенциальными предложениями, которые могут использоваться для корректного или некорректного представления частей мира, и математическими предложениями, которые могут быть разрешены в чисто формальной, синтаксической манере, сохраняется у Витгенштейна вплоть до его смерти в 1951 (Zettel §701, 1947; PI II, 2001 Ed., стр. 192-193e, 1949). При данных языковых и символических соглашениях, истинное значение контингенциального предложения – это исключительно функция мира вокруг, тогда как «истинное значение» математического предложения – это целиком функция слагающих его символов и формальной системы, частью которой они являются. Т.о., второй, тесно связанный путь декларирования этого разграничения – это сказать, что математические предложения разрешаются чисто формальным способом (например, вычислениями), в то время как контингенциальные предложения, будучи предложениями о «внешнем» мире, могут быть разрешены, если это вообще можно сделать, путем определения, имеет место или нет конкретный факт (т.е., что-то внешнее для предложения и используемого языка) (2.223; 4.05).


Формальная теория математики в ЛФТ является, в частности, теорией формальных операций. За последние 10 лет теория операций Витгенштейна получила основательную проверку [(Frascolla 1994; 1997), (Marion 1998), (Potter 2000), и (Floyd 2002)], которая интересным образом связала эту теорию и теорию уравнений арифметики ЛФТ с элементами -исчисления Алонзо Черча (Alonzo Church) и исчислением уравнений Р.Л.Гудштейна (R. L. Goodstein) (Marion 1998, Главы 1, 2, и 4). Если очень кратко, то Витгенштейн определяет:


a. … знак ‘[a, x, O’x]’ как общий термин для ряда форм a, O’a, O’O’a, …. (5.2522)

b. … общую форму операции [как]

. (6.01)

c. … общую форму предложения (“функция истинности”) [как] . (6)

d. Общую форму целого [натурального числа] [как] . (6.03)


добавляя, что «концепция числа это... общая форма числа» (6.022). Как подметил Frascolla (и Marion позднее), «общая форма предложения – это частный случай общей формы «операции»» (Marion 1998, стр. 21), и все три общие формы (т.е., операции, предложения и натурального числа) строятся на основе переменной в (5.2522) (Marion 1998, стр. 22). Определяя «операцию как выражение связи между структурами ее результатов и ее оснований» (5.22), Витгенштейн отмечает, что в связи с тем что «функция не может быть собственным аргументом,... операция может принимать один из своих результатов за свое основание» (5.251).


По описанию Витгенштейна ‘[a, x, O’x]’ (5.2522), «первый член выражения в скобках – это начало ряда форм, второй – это форма элемента x, произвольным образом выбранного из ряда, и третий [O’x] – это форма элемента, который непосредственно следует за x в этом ряду». С учетом того, что «идея последовательных применений операции эклвивалентна идее «и так далее»» (5.2523), можно понять, как натуральные числа могут быть порождены повторяющимися итерациями общей формы натурального числа, а именно «». Подобным образом функционально-истинностные предложения могут быть порождены, как пишет Рассел во введении к ЛФТ (p. xv), общей формой предложения «» путем «взятия любого набора атомарных предложений [где p «обозначает все атомарные предложения»; «черта над переменной обозначает, что она принимает все свои значения» (5.501)], применения ко всем ним операции отрицания, после чего выбирается любой набор новых предложений вместе с изначальными [где x «обозначает любое множество предложений»] – и так далее до бесконечности». По мнению Frascolla (1994, 3ff), «числовое тождество «t = s» - это теорема арифметики тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение «», которое содержится в языке общей теории логических операций, может быть доказано». Доказывая «уравнение «», которому соответствует арифметическое тождество “2 × 2 = 4” в языке операций» (6.241), Витгенштейн т.о. намечает «перевод числовой арифметики в область общей теории операций» (Frascolla 1998, 135).


Несмотря на тот факт, что Витгенштейн, очевидно, не пытается свести математику к логике в манере Рассела или Фреге, или к тавтологиям, и несмотря на то, что Витгенштейн критикует логицизм Рассела (например, теория типов, 3.31-3.32; аксиома сводимости, 6.1232, и т.д.) и логицизм Фреге (6.031, 4.1272, и т.д.) [3], значительное количество комментаторов, как ранних, так и современных, интерпретируют теорию математики Витгенштейна в ЛФТ как вариант логицизма [(Quine 1940 [1981, 55]), (Benacerraf и Putnam 1964, 14), (Black 1966, 340), (Savitt 1979 [1986], 34), (Frascolla 1994, 37; 1997, 354, 356-57, 361; 1998, 133), (Marion 1998, 26 & 29), и (Potter 2000, 164 и 182-183)]. На это есть по крайней мере четыре причины.


Витгенштейн пишет, что «математика – это метод логики» (6.234).

Витгенштейн пишет, что «логика мира, которая показана в тавтологиях предложениями логики, показана уравнениями в математике» (6.22).

По Витгенштейну, мы устанавливаем истинность как математических, так и логических предложений только лишь по одним символам (т.е., с помощью чистых формальных операций), не делая никаких («внешних», не-символьных) наблюдений положений дел или фактов в мире.

Итеративная (индуктивная) витгенштнейновская «интерпретация чисел как порядок переменной, обозначающей операцию» - это «сведение арифметики к теории операций», где «операция» истолковывается как «логическая операция» (Frascolla 1994, 37), которая показывает, что «ярлык «не-классический логицизм» согласовывается с взглядом ЛФТ на арифметику» (Frascolla 1998, 133; 1997, 354).


Хотя по крайне мере три логистические интерпретации ЛФТ появились только в последние 8 лет, следующие факторы [(Rodych 1995), (Wrigley 1998)] показывают, что ни одна из вышеперечисленных причин не является полностью убедительной.


Например, говоря, что «математика – это метод логики», Витгенштейн, возможно, всего лишь говорит, что т.к. общая форма натурального числа и общая форма предложения являются частными случаями общей формы (чисто формальной) операции, точно так же как функционально-истинностные предложения могут быть построены с использованием общей формы предложения, (истинные) математические уравнения могут быть построены с использованием общей формы натурального числа. В качестве варианта, Витгенштейн мог иметь в виду, что математические выводы (т.е., не подстановки) находятся в соответствии с, или применяют, логическими выводами, и т.к. математическое мышление есть логическое мышление, то математика есть метод логики.


Подобным образом, говоря, что «логика мира» показана тавтологиями и истинными математическими уравнениями (т.е., п. 2), Витгенштейн мог иметь в виду, что т.к. математика была изобретена, чтобы помочь нам с подсчетом и измерениями, и в той мере как она позволяет нам выводить одни контингенциальные предложения из других контингенциальных предложений (см. 6.211 ниже), она таким образом отражает контингенциальные факты и «логику мира». Хотя логика – которая присуща естественному («каждодневному») языку (4.002, 4.003, 6.124) и которая нам помогает в наших коммуникативных, исследовательских и присущих выживанию нуждах – не была изобретена подобным образом, правильный логический вывод захватывает взаимосвязь между возможными фактами, а трезвый логический вывод захватывает взаимосвязь между существующими фактами.


Что касается п. 3, Black, Savitt, и Frascolla привели доводы, что т.к. мы устанавливаем истинность тавтологий и математических уравнений без какого бы то ни было апеллирования к «положениям дел» или «фактам», истинные математические уравнения и тавтологии настолько похожи, что мы можем «надлежащим образом» описать «философию арифметики ЛФТ... как вариант логицизма» (Frascolla, 1994, 37). Возражением на это служит то, что похожесть, которую подметили Frascolla, Black и Savitt, не делают теорию Витгенштейна «вариантом логицизма» в смысле Рассела или Фреге, потому что Витгенштейн не определяет числа «логически» так, как это делают Рассел или Фреге, и похожесть (или аналогия) между тавтологиями и истинныи математическими уравнениями не является ни тождеством, ни соотношением сводимости.


Наконец, критики приводят доводы, что проблема из п. 4 такова, что не существует доказательства того утверждения, что рассматриваемая операция логическая в ее понимании Витгенштейном, Расселом или Фреге – она кажется чисто формальной, синтаксической операцией (Rodych 1995). «Логические операции выполняются с предложениями, арифметические операции – с числами», говорит Витгенштейн (WVC 218); «результат логической операции – это предложение, результат арифметической операции – это число». В целом, критика логистической интерпретации ЛФТ доказывает, что пп. 1-4 ни по отдельности, ни вместе взятые, не формируют убедительной почвы для логистической интерпретации ЛФТ.


Другой важный момент теории математики в ЛФТ находится в (6.211).


В жизни ведь нет таких математических предложений, в которых мы бы нуждались. Далее, мы используем математические предложения только для вывода одних предложений, не принадлежащих математике, из других предложений, также не принадлежащих математике. (В философии вопрос «для чего мы, собственно, используем это слово или это предложение» периодически приводит к ценным результатам).


Хотя математика и математическая деятельность чисто формальные и синтаксические, в ЛФТ Витгенштейн неявно отделяет чисто формальные игры со знаками, которые не имеют никаких приложений в контингенциальных предложениях, от математических предложений, которые используются для выводов одних контингенциальных предложений из других контингенциальных предложений. Однако, Витгенштейн явным образом не говорит, как математические уравнения, которые не являются подлинными предложениями, используются для вывода одних подлинных предложений из других подлинных предложений [(Floyd 2002, 309), (Kremer 2002, 293-94)]. Как мы увидим из §3.5, поздний Витгенштейн возвращается к важности внешнего математического приложения и использует его для отличения простой «знако-игры» от подлинной математичкой языковой игры.


Это, вкратце, теория математики Витгенштейна в ЛФТ. Во введении к ЛФТ Рассел писал, что «теория числа» Витгенштейна «нуждается в огромной технической доработке», в основном из-за того, что Витгенштейн не показал, как работать с трансфинитными числами (Витгенштейн, 1922, xx). Подобным образом, в своем обзоре ЛФТ, Frank Ramsey писал, что «мнение» Витгенштейна не покрывает всю математику, частично из-за того, что теория уравнений Витгенштейна не может объяснить неравенства (Ramsey 1923, 475). И хотя сомнительно, что в 1923 Витгенштейн мог представить себе все эти проблемы, но несомненно, что теория математики в ЛФТ, по существу, только лишь набросок, особенно по сравнению с тем, что начинает Витгенштейн развивать шестью годами позднее.


После написания ЛФТ в 1918, Фитгенштейн фактически не занимался философией до 2 февраля 1929, 11 месяцев спустя после посещения лекции голландского математика Л.Э.Я. Брауэра.


^ 2. Финитный конструктивизм Витгенштейна в средний период


Мало сомнений в том, что Витгенштейн был вдохновлен лекцией «Наука, математика и язык» (Брауэр 1929) Л.Э.Я. Брауэра 10 марта 1928, прочитанной им в Вене, которую Витгенштейн посетил с F. Waismann и H. Feigl, но это будет большим преувеличением говорить, что он вернулся к философии из-за услышанной им лекции или что его переходный интерес к философии математики главным образом был основан на влиянии Брауэра. Фактически, возврат Витгенштейна к философии математики и своей переходной работе о математике также основан на диалогах с Ramsey и членами Венского кружка, на несогласии Витгенштейна с Ramsey о тождестве, и на некоторых других факторах.


Несмотря на то, что, скорее всего, Витгенштейн не прочел ни одной работы Гильберта или Брауэра до окончания работы над ЛФТ, к началу 1929 Витгенштейн определенно прочитал работы Брауэра, Вейля, Skolem, Рамсея (и, возможно, Гильберта) и, должно быть, имел одну или более частных дискуссий с Брауэром в 1928 [(Le Roy Finch 1977, 260), (Van Dalen 2005, 566-567)]. Т.о., трактовка математики в ЛФТ, находившаяся там в достаточно зачаточном состоянии, и сформировавшаяся главным образом под влиянием Рассела и Фреге, была развита в детальной работе по математике в средний период (1929-1933), на которую большое влияние оказали работы 1920х гг Брауэра, Вейля, Гильберта и Skolem.


^ 2.1 Конструктивный формализм Витгенштейна


Для того, чтобы лучше понять переходную философию математики Витгенштейна, нужно полностью оценить его усиленный формализм, согласно которому «мы создаем математику» (WVC 34, Ft. #1; PR §159), придумывая чисто формальные математические исчисления с «фиксированными» (?stipulated) аксиомами (PR §202), синтаксическими правилами преобразования и процедурами разрешимости, которые позволяют нам ввести в обращение «математическую истинность» и «математическую ложность» путем алгоритмической разрешимости так называемых математических «предложений» (PR §§122, 162).


^ Основная идея формализма Витгенштейна с 1929 (если не с 1918) по 1944 – математика по существу синтаксическая, лишенная отношений и семантики. Наиболее очевидный момент этой точки зрения, которой придерживается целый ряд комментаторов, не отосящих Витгенштейна к «формалистам» [(Kielkopf 1970, 360-38), (Klenk 1976, 5, 8, 9), (Fogelin 1968, 267), (Frascolla 1994, 40), (Marion 1998, 13-14)], состоит в том (контр Платонизм), что знаки и предложения математического исчисления не соотносятся ни с чем. Как пишет Витгенштейн в (WVC 34, Ft. #1), «числа не представлены чем-то; числа есть». Это значит, что не только используемые числа есть, это значит, что символы чисел (нумералы) есть числа, т.к. «арифметика не говорит о числах, она работает с числами» (PR §109).


То, чем занимается арифметика, есть схема | | | |. – Но говорит ли арифметика о линиях, которые я рисую карандашом на бумаге? - Арифметика не говорит о линиях, она работает с ними. (PG 333)


В том же духе Витгенштейн говорит, что (WVC 106) «математика – это всегда машина, исчисление» и «исчисление – это счеты, калькулятор, счетная машина», которая «работает с помощью штрихов (?strokes), нумералов и т.д.». «Подтвержденная сторона формализма», согласно Витгенштейну (WVC 105), состоит в том, что математические символы «теряют значение» (т.е., ‘Bedeutung’) – они не «представляют» вещи, которые «сами по себе являются значениями».


Вы могли бы сказать, что арифметика – это род геометрии; т.е. то, что в геометрии является конструкциями на бумаге, в арифметике есть вычисления (на бумаге). – Вы могли бы сказать, что это более общая форма геометрии. (PR §109; PR §111)


Это – ядро формализма Витгенштейна на протяжении все его жизни. Когда мы доказываем теорему или разрешаем предложение, мы оперируем в чисто формальной, синтаксической манере. Занимаясь математикой, мы не открываем ранее известные истины, которые были «уже и так известны до того, как их кто-то узнал» (PG 481) – мы изобретаем математику, кусочек за кусочком. «Если вы хотите знать, что значит 2 + 2 = 4», говорит Витгенштейн, «вы должны спросить, как мы это получили», потому что «мы рассматриваем процесс вычисления как существенную вещь» (PG 333). Поэтому, единственное значение (т.е., смысл), которое имеет математическое предложение, - это внутрисистемное значение, которое полностью определяется своими синтаксическими связями с другими предложениями исчисления.


Вторым значительным моментом переходного сильного формализма Витгенштейна является его точка зрения о том, что внешнее приложение математики (и/или ссылка на него) - не обязательное условие математического исчисления. Математические исчисления не требуют внешних математических приложений, аргументирует Витгенштейн, т.к. мы «можем развить арифметику полностью автономно, и ее приложение обеспечивает себя, т.к. где бы оно не было применимо, мы можем также применить его» (PR §109; ср. с PG 308, WVC 104).


Как мы скоро увидим, средний Витгенштейн был причислен к сильному формализму из-за нового интереса к вопросам разрешимости. Несомненно, под воздействием от работ Брауэра и Дэвида Гильберта, Витгенштейн использует сильный формализм для постулирования новой связи между математической значимостью и алгоритмической разрешимостью.


Уравнение – это правило синтаксиса. Разве это не объясняет, почему у нас не может быть вопросов о математике, которые принципиально не имеют ответа? Т.к. если правила синтаксиса не могут быть охвачены, они совершенно бесполезны... [Это] делает понятными попытки формалиста видеть математику как игру со знаками. (PR §121)


В разделе 2.3, мы увидим как Витгенштейн идет дальше как Гильберта, так и Брауэра, сохраняя закон исключенного третьего таким образом, который ограничивает математические предложения до выражений, которые алгоритмически разрешимы.


^ 2.2 Финитизм Витгенштейна


Главное отличие раннего Витгенштейна от среднего заключается в том, что в средний период он отвергает кванторы над бесконечной областью определения, заявляя, в противоположность ЛФТ, что такие «предложения» не являются бесконечными конъюнкциями и бесконечными дизъюнкциями просто потому, что такого не существует.


^ Принципиальные причины для развития конечной (финитной) философии математики:


Математика – это человеческая выдумка: согласно среднему Витгенштейну, мы придумываем математику, из чего следует, что математика и так называемые математические объекты не присутствуют независимо от наших измышлений. Чем бы ни была математика, на самом деле это продукт человеческой деятельности.

Математические исчисления состоят исключительно из интенций (?intensions) и экстенций (?extensions): при условии, что мы придумали только математические экстенции (например, символы, конечные множества, конечные последовательности, предложения, аксиомы) и математические интенции (например, правила вывода и преобразования, иррациональные числа как правила), эти экстенции и интенции, а также исчисления, которые из них состоят, составляют всю полноту математики. (Нужно заметить, что использование Витгенштейном понятий «экстенция» и «интенция» в отношении математики значительно отличается от стандартного современного их использования, в котором экстенция предиката – это множество сущностей,