Реферат: План Вступление. Причина позднего развития математики в раннем Средневековье. Первые служители науки того времени. Их основные заслуги перед наукой

Ученица 11 «В» класса

школы №463


Реферат


Средневековая математика и ее время


Исполнитель Кубрик Инесса Дмитриевна.

Руководитель Виноградова Ирина Васильевна.


Москва

2002


План

Вступление. Причина позднего развития математики в раннем Средневековье.

Первые служители науки того времени. Их основные заслуги перед наукой.

Вывод. Почему так важно, что математика возродилась именно в Европе, и зачем нужно помнить, как все происходило.



Вступление


При написании этой работы я преследовала цель показать, как история развития общества влияла на деятельность математиков, насколько для них было важно, какие были сделаны открытия в этой области знания до них.

В период раннего Средневековья Европа не знала практически никакой математики, она не владела мастерством счета, не имела никакой теоретической базы. Европа была в таком сильном упадке, что не имела даже представления о том, что существует какой-то другой мир отношений, мир науки и искусства. Чтобы что-либо подобное узнать, людям приходилось преодолевать огромные расстояния, приходилось познавать и воспринимать совершенно иную культуру. Европа стремилась познать Восток, другую цивилизацию. Самым лучшим способом для этого оказалась не война, не миссионерство, а именно наука. Наука объединяла взгляды на окружающий мир и сближала.

Чтобы осознать многие открытия, сделанные древними, потребовалось не одно столетие. И хотя ученым казалось, что познавать они приехали восточную мудрость во всеоружии, зная многое, то, что они узнали, поразило их воображение и толкнуло на новые открытия.

Совершенно, казалось бы, незначительные преобразования приводили к потрясающим результатам. Введение арабских обозначений прекратило пользование римскими досками для счета – абаками, а используя арабскую письменность, европейцы восхитились простотой операций. Стала развиваться теория чисел. Леонардо из Пизы, Фобиначчо, Фома Аквинский, Региомонтанус, Сципион дель Ферро, Лука Пачоли и другие, Кардано и Тарталья, и, наконец, Кеплер, Коперник, Виет и Непер – все они медленно, но верно приводили хаос в математике к его сегодняшнему виду, создавали универсальные обозначения, способы вычисления, подготавливали почву для творчества Лейбница, Эйлера, Кантора, Тихо Браге, Артура Кели, помогали развиться и примыкающим к математике наукам. Каждый в отдельности и все вместе, они создали тот математический аппарат, доступный школьникам, существующий сейчас.

То, что, казалось бы, обычная арифметика, «теорийки», векторы, изучаемые с первого и до последнего класса в школе, самые элементарные для нас принципы коммутативности, ассоциативности – все это грандиозный рывок в математике со времен упадка Римской империи или большой пройденный еще раз шаг вперед. Математиками были почти обычные люди, которые ели, спали, любили, дрались, иногда пили, дурачились, которые в основной своей массе не считали себя сверхчеловеками, но которых подчас возводят в ранг полубожеств. Они просто сравнивали окружающий мир с сухими и выверенными теоремами, рассматривали его внимательно и удивлялись результату.


Наиболее развитой частью Римской империи как экономически, так и культурно всегда был Восток. Земледелие Запада было экстенсивным, не основывалось на принципах орошения, и это не содействовало астрономическим исследованиям. Действительно, Запад очень хорошо обходился минимумом астрономии, известным объемом практической арифметики и некоторыми приемами измерения для торговых целей и земледелия, стимулы для развития этих наук шли же с Востока. Когда Восток и Запад стали политически разобщенными, такие стимулы практически исчезли. Малоподвижная цивилизация Западной Римской империи сохранялись в течение ряда столетий лишь с незначительными изменениями. Средиземноморское единство античной цивилизации тоже осталось нетронутым, даже варварские нашествия не очень сказались на нем. Во всех германских королевствах, за исключением, пожалуй, британского, экономические условия, общественные установления и интеллектуальная жизнь в основном сохранялись такими, какими они были во время упадка Римской империи. Основой хозяйственной жизни было земледелие, причем со временем рабы становились свободными земледельцами и арендаторами, но, кроме того, существовали процветающие города и широко развитая торговля на основе товарно-денежных отношений. Главным авторитетом в греко-римском мире после падения Западной империи в 476 году были на равных правах константинопольские императоры и римские папы. Католическая церковь Запада своими учреждениями и своим языком продолжала в меру своих возможностей культурные традиции Римской империи в германских государствах. Монастыри и образованные миряне в известной мере сберегали греко-римскую цивилизацию. Один из таких мирян, дипломат и философ Аниций Манилий Северин Боэций (Boethius), был автором математических произведений, чей авторитет в западном мире сохранялся в течение более чем тысячи лет. На этих работах сказалось общее состояние культуры – они бедны содержанием, и то, что они сохранились, быть может, объясняется убеждением, что их автор в 524 году погиб как мученик за католическую веру, по обвинению в заговоре против короля остготов Теодориха в Павии. Он был философом, писателем и государственным деятелем, главный труд «Утешение философией» был написан в заточении перед казнью. Его «Основы арифметики» (Institutio arithmetica) – поверхностный перевод Никомаха, содержащий частично теорию чисел пифагорейцев, что вошло в средневековую науку как часть старинного тривиума и квадривиума: арифметика, геометрия, астрономия и музыка.

Трудно указать то время, когда на Западе экономика древней Римской империи исчезла и уступила место новому феодальному порядку. В какой-то мере этот вопрос разъясняется если принять гипотезу Пиренна (Pirenne Mahomet et Chardemagne. Paris, 1937): конец древнего западного мира пришел с экспансией ислама. Арабы лишили Византийскую империю всех ее провинций на восточных и южных берегах Средиземного моря и превратили восточную часть Средиземного моря в закрытое мусульманское озеро. На несколько столетий они чрезвычайно затрудняли торговые связи между Ближним Востоком и христианским Западом. Пути интеллектуального общения в течение этого времени были загромождены, хотя никогда и не перекрыты полностью.

В эту эпоху во франкской Галлии и в других бывших частях Римской империи хозяйственная деятельность крупного масштаба постепенно сворачивается, города приходят в упадок, доходы от налогов становятся незначительными. Денежное обращение вытесняется обменом, преобладает местная торговля. Западная Европа приходит в полуварварское состояние. С упадком торговли возрастает значение земельной аристократии, и крупные северофранкские землевладельцы, возглавляемые Каролингами, становятся решающей силой в стране франков. Экономические и культурные центры перемещаются к северу, в северную Францию и Британию. Отделение Запада от Востока настолько ограничивала власть римских пап, что папство объединилось с Каролингами, символом чего было коронование Карла Великого в 800 году как императора Священной Римской империи. Западное общество стало феодальным и церковным, его ориентация – северной и германской.

В течение первых столетий западного феодализма в монастырях не придается большого значения математике. В землевладельческом обществе этого периода, вновь ставшем примитивным, почти что отсутствовали факторы, которые бы содействовали развитию математики даже непосредственно практического характера. Математика в монастырях сводилась всего лишь к скромной арифметике церковного назначения, которой пользовались главным образом для вычисления пасхалий (так называемый компутус: расчет, вычисление). Боэций был высшим авторитетом. Известное значение среди этих математиков-церковников приобрел уроженец Британии Алкуин, связанный с двором Карла Великого. Его написанные по-латыни «Задачи для оттачивания ума юношей» содержат подборку задач, имевшую влияние на составителей учебников в течение ряда столетий. Многие из этих задач восходят еще к древнему Востоку. Например:

«Собака гонится за кроликом, который находится впереди нее в 150 футах, и при каждом прыжке делает 9 футов, в то время как кролик прыгает на 7 футов. За сколько прыжков собака нагонит кролика?»

«Через реку надо перевезти троих: волка, козу и кочан капусты; на лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Как перевезти их, чтобы коза не съела капусту, а волк не смог съесть козу?»

Другим математиком-церковником был Герберт, французский монах, который в 999 году стал папой, приняв имя Сильвестра II. Под влиянием Боэция он написал несколько трактатов, но его значение как математика обусловлено в основном тем, что он был одним из первых западных ученых, ездивших в Испанию и изучавших математику арабского мира. Там он научился пользоваться арабскими числами, познакомился с конструкцией античного небесного глобуса и воспринял ее.

В развитии западного, восточного и раннего греческого феодализма имеются существенные различия. Экстенсивный характер западного земледелия делал излишней обширную систему бюрократической администрации, так что это не могло послужить основой для развития деспотизма восточного типа. На Западе не было возможности в широкой мере обеспечить пополнение рабов. Это одна из основных причин, в силу которых греческие полисы и западные города, на начальных стадиях имеющие много общего, в дальнейшем становятся резко отличными друг от друга. Население средневековых городов должно было полагаться на свою собственную изобретательность в деле улучшения условий своей жизни. В двенадцатом, тринадцатом и четырнадцатом столетиях города выходят победителями в ожесточенной борьбе против феодалов-землевладельцев, сочетавшейся с гражданскими войнами. Основа их успеха не только быстрое развитие торговли и денежного хозяйства, но и постепенное усовершенствование техники. Стала развиваться металлургия, появились мельницы, Европа узнала бумагу, и появились первые печатные станки; появились технически сложные механизмы, с помощью которых от одного двигателя работали две машины и более.

В Средние века жил замечательный английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон (около 1220–1292), которого считают одним из основоположников экспериментального метода. Он предсказал, что наступит время «самодвижущихся повозок», летающих аппаратов, подводных лодок, что когда-нибудь с помощью более совершенной оптической техники можно будет читать мелкие буквы с огромного расстояния и считать песчинки на земле. Удивительно, что эти слова были сказаны в тринадцатом веке. Феодальные князья часто поддерживали города в их борьбе с более мелкими феодалами и при возможности устанавливали свою власть над городами. В конечном счете, это привело к возникновению в Западной Европе первых национальных государств.

Города начали устанавливать коммерческие связи с Востоком, который все еще был центром цивилизации. Такие связи устанавливались иногда мирными средствами, иногда насильственном путем, как во времена крестовых походов. Первыми наладили торговые связи итальянские города, за ними последовали города Франции и Центральной Европы. За купцом и солдатом следовали ученые, а иногда ученые были первыми. Италия и Сицилия были самым близким пунктом соприкосновения между Западом и Востоком, именно здесь западные купцы и студенты познакомились с цивилизацией стран ислама. Когда в 1085 году Толедо был отвоеван христианами у мавров, студенты западных стран толпами устремились в этот город, чтобы изучать науку арабов. Они часто пользовались услугами переводчиков-евреев, а в двенадцатом столетии мы видим в Испании Платона из Тиволи, Герардо из Кремоны, Аделарда из Бата и Роберта из Честера – все они переводят на латинский язык арабские математические рукописи. Именно так, через посредство арабов, Европа познакомилась с греческими классиками, а к этому времени Западная Европа уже была достаточно развита, чтобы оценить эти знания.

Как я уже сказала, первые могущественные коммерческие города появились в Италии. Здесь в течение двенадцатого и тринадцатого столетий Генуя, Пиза, Венеция, Милан и Флоренция вели обширную торговлю с арабами и с Севером. Итальянские купцы посещали Восток и знакомились с его цивилизацией. Путешествия Марко Поло доказывают бесстрашие этих искателей приключений. Как ионийские купцы почти за две тысячи лет до этого, они стремились познакомиться с наукой более древней цивилизации не только для того, чтобы повторять их, но и для того, чтобы использовать их в своей собственной новой системе. А в двенадцатом и тринадцатом столетиях мы видим уже рост банковского дела и зачатки капиталистической формы производства.

Первым из этих купцов, чьи математические работы выявляют известную зрелость, был Леонардо из Пизы.


Леонардо Пизанский


Творчество Леонардо Пизанского оказало решающее влияние на развитие алгебры и теории чисел, в частности на исследования таких математиков, как Франсуа Виет и Пьер Ферма.

Леонардо родился в большом итальянском городе-республике Пизе. Его часто называют Фибоначчи – «сын Боначчи» (Доброго). Настоящая его фамилия, по-видимому, Биголло. По крайней мере, так он поименован в акте о покупке земли, которую совершил по доверенности для своего родственника.

Отец Леонардо был нотариусом республики Пиза. Вскоре после рождения сына его послали со служебным поручением в Буджи (ныне Алжир), где он выполнял обязанности, близкие к консульским. Когда Леонардо исполнилось 12 лет, отец вызвал его к себе, чтобы познакомиться с делами, в первую очередь с коммерческими расчетами. Все эти сведения сообщает сам Леонардо в предисловии к фундаментальному труду «Книга абака».

Леонардо путешествовал по Египту, Сирии, Греции, Сицилии и Провансу и везде старался познакомиться с различными способами счета и началами алгебры. Он убедился, что техника счета по десятичной позиционной системе намного превосходит все другие.

Вернувшись в Пизу, Леонардо серьезно занялся математикой. Он познакомился с «Началами» Евклида и, соединив эти знания с тем, что он узнал от арабских ученых, составил в 1202 году «Книгу абака» – настоящую энциклопедию математических знаний его эпохи. Здесь проявилась высокая одаренность автора: труд Леонардо не ученическая компиляция, а глубоко продуманное и во многом оригинальное произведение. В нем рассматриваются вопросы алгебры, геометрии и теории чисел.

В книге впервые дается решение задачи про кроликов, над которой бились математики не одно столетие. Спрашивается, сколько пар кроликов родится в год от одной пары, если каждая пара приносит в месяц по паре, способной в свою очередь через месяц к размножению, и если ни одна пара не погибнет. Ответ дается суммой ряда 1 + 1 + 2 + 3 +
+ 5 + 8 + ... + 144. Каждый член этого ряда, начиная с третьего, является суммой предыдущих::

a = a + a.

Последовательность a в дальнейшем стали называть последовательностью Фибоначчи.

В 1223 году Леонардо посвятил второе издание этой книги своему другу Микеле Скотто – придворному астроному и астрологу императора Фридриха II, тому самому, которому Данте упомянет в «Божественной комедии». (Данте поместил его в восьмой круг ада, в четвертый ров, вместе с другими обманщиками, выдававшими себя за прорицателей:

А следующий, этот худобокий,

Звался Микеле Скотто и большим

В волшебных плутнях почитался докой.)

Это посвящение говорит о близости Леонардо к сицилийскому двору Фридриха II Штауферна, первого из просвещенных деспотов Италии, которыми впоследствии было так богато Возрождение. Но даже в то суровое время Фридрих сумел прославиться особой жестокостью. Рассказывали, будто он разрешал проводить анатомические исследования на живых людях – осужденных преступниках. При этом он покровительствовал литературе и наукам и сумел окружить себя учеными и философами.

При дворе установились научные диспуты. На одном из них придворный философ магистр Иоганн Палермский предложил Леонардо Пизанскому два вопроса, которые на современном математическом языке выглядят следующим образом:

1) найти корень уравнения

х³ + 2х² + 10х = 20;

2) найти рациональные решения системы уравнений

х² + 5 = u²;

х² – 5 = у².

Леонардо провел тщательные исследования обеих задач и написал две книги – «Цветок» и «Книга квадратов». Он привел ответы для обеих задач и в процессе рассуждений доказал частный случай Большой теоремы Ферма, открытой лишь спустя 400 лет.


«Книга абака» была одной из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Отдельные случаи применения этой нумерации имели место за столетие до этого – из Испании и с Востока ее привозили купцы, посланники, ученые, паломники и солдаты. Самый древний европейский манускрипт, содержащий числовые знаки этой системы, – это «Виглайский кодекс» (Codex Vigilanus), написанный в Испании в 976 году. Однако эти десять знаков медленно проникали в Западную Европу, и самая ранняя французская рукопись, в которой мы их находим, относится к 1275 году. Греческая система нумерации оставалась общепринятой на побережье Адриатики в течение столетий. Вычисления часто производили на старинном абаке, доске со счетными жетонами или камешками (часто это сводилось к прямым линиям, проведенным на песке), в основном сходными со счетными досками. Для записи результатов вычисления на абаке в ходу были римские цифры. В течение Средних веков и даже позже мы находим римские цифры в торговых книгах, и это указывает на то, что в конторах использовали абак. Против введения арабских знаков выступали и широкие круги, так как использование этих обозначений затрудняло чтение торговых книг. В установлениях «Искусства обмена» (Arte del Cambio, 1299) флорентийским банкирам запрещалось пользоваться арабскими цифрами. Лишь в четырнадцатом столетии итальянские купцы начали применять некоторые арабские цифры в своих счетных книгах.

В счетных книгах Медичи (датируемых с 1406 года) в коллекции Селфриджа, хранящейся в Гарвардской высшей торговой школе, индийско-арабские цифры часто встречаются в так называемом описательном столбце. Начиная с 1439 года, цифры эти вытесняют римские цифры в так называемом денежном столбце книг первичной записи: журналах, расходных книгах и др., но лишь после 1482 года они вытесняют римские цифры в денежных столбцах конторских книг всех купцов, имевших дело с Медичи, за исключением одного. А с 1494 года не осталось ни одной книги, которая бы писалась римскими цифрами.

Вместе с расширением торговли постепенно интерес к математике стал распространяться и на северные города. Поначалу это был практический интерес, и в течение нескольких столетий арифметику и алгебру вне университетов преподавали профессиональные мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации. В течение долгого времени математика такого рода хранила явные следы своего арабского происхождения, о чем свидетельствуют такие слова, как алгебра и алгоритм.

Теоретическая математика не исчезла целиком в Средние века, но ею занимались не люди дела, а философы-схоласты. У схоластов изучение Платона и Аристотеля, в сочетании с размышлениями о природе божества, приводило к тонким рассуждениям относительно сущности движения, сущности континуума и бесконечности. Ориген, следуя Аристотелю, отрицал существование актуально бесконечного, но святой Августин в своем «Граде божьем» принимал всю последовательность целых чисел как актуальную бесконечность. Он говорит об этом так, что, по замечанию Георга Кантора, нельзя более энергично стремиться к трансфинитному и нельзя его лучше определить и обосновать, чем святой Августин. Писатели-схоласты Средневековья, в частности Фома Аквинский, принимали аристотелевское «нет актуально бесконечного» (infinitum actu non datur) и каждый континуум рассматривали как потенциально делимый до бесконечности. Таким образом, не было наименьшего отрезка, ибо каждая часть отрезка обладает свойствами отрезка. Поэтому точка не была частью линии, поскольку точка неделима: «…из неделимых нельзя составить какого-либо континуума» (ex indivisilibis non potest compari aliquodcontinuum). Точка могла образовать линию с помощью движения. Подобные рассуждения оказали влияние на изобретателей исчисления бесконечно малых в семнадцатом веке и на философов, занимавшихся трансфинитным, в девятнадцатом веке; Кавальери, Такке, Больцано и Кантор знали авторов-схоластов и размышляли о значении их идей.

Ученые Средневековья, о которых здесь идет речь, рассматривали понятия разрывного и непрерывного, конечного и бесконечного преимущественно в связи с философскими и физическими (анализ процесса движения) проблемами. Но физика еще не стала экспериментальной наукой, математика не располагала еще достаточно удобным языком алгебраических обозначений, так что в логическом анализе понятий непрерывности и бесконечности схоласты четырнадцатого века оперировали, в сущности, тем же материалом, который был в распоряжении античной науки, и наталкивались на те же трудности. Поэтому в ближайшее столетие интерес к этой проблематике ослабевает. Обращение к ней в семнадцатом веке связанно с успехами новой физики и механики. Галилей нигде не упоминает своих схоластических предшественников. Кавальери фактически не опирался на них. Вообще преодоление (в том или ином смысле включая и отбрасывание) «парадоксов бесконечного» и других «парадоксов» всякий раз происходило в силу возникновения новых проблем и формирования новых понятий. Обращение же к прошлому у тех, кто его знал, позволяло определить меру продвижения, иной раз – использовать авторитет предшественников.

Эти духовные лица иной раз получали результаты, имевшие непосредственное математическое значение. Томас Брадвардин, ставший архиепископом Кентерберийским, изучив Боэция, занимался исследованием звездчатых многоугольников. Он критиковал теоретиков, поддерживавших мнение Демокрита, что все состоит из атомов, свою точку зрения он отстаивал следующими доказательствами. Непрерывная величина состоит из бесконечного числа неделимых точек. Но известно, что параллелограмм равновелик прямоугольнику с теми же основаниями и высотой. Проведем в параллелограмме CGKE от всех точек основания CЕ «все прямые» к точкам противоположной стороны GK параллельно CG. Прямых будет столько же, сколько соответствующих перпендикуляров в прямоугольнике CAFE, а по длине они превосходят эти перпендикуляры в отношении CG : CA. Если площади состоят из линий, то возникает противоречие: параллелограмм больше равного ему прямоугольника в CG : CA раз. Причем выходит, чем острее угол параллелограмма, тем больше его площадь, что, конечно, не верно.




Еще один ученый из среды духовенства был Николай Орезм, или Орем, епископ города Лизье в Нормандии, применявший дробные степени. Так как 4³ = 64 = 8², он записывал 8 как [1р/2]4 или как [(р·1)/(1·2)] 4, что обозначало 41½. Он написал так же трактат под названием
«О размерах форм» (De latitudinibus formarum, около 1360 года), в котором графически сопоставил значение зависимого переменного (latitudo) и независимого переменного (longitudo). Это нечто вроде перехода от координат на земной или небесной сфере, известных в античности, к современной координатной геометрии. Этот трактат несколько раз был напечатан между 1482 и 1515 годами, и возможно, что он оказал влияние как на математиков Ренессанса, так и на Декарта.

Математика развивалась главным образом в растущих городах, под непосредственным влиянием торговли, навигации, астрономии и земледелия. Горожан интересовал счет, арифметика, вычисления. Зомбард окрестил эту заинтересованность бюргерства пятнадцатого и шестнадцатого столетий немецким словом Rechenhaftigkeit («расчетолюбие»). Ведущими представителями этой приверженности к практической математике были мастера счета, и только изредка к ним присоединялся какой-либо из университетских людей, понявший благодаря изучению астрономии важность улучшения вычислительных методов. Центрами новой жизни были итальянские города и такие города Центральной Европы, как Нюрнберг, Вена и Прага. После падения Константинополя в 1453 году, многие ученые греки переселились в города Запада. Возрос интерес к оригинальным греческим произведениям, и стало легче удовлетворять этот интерес. Профессора университетов и образованные миряне изучали греческие тексты, а честолюбивые мастера счета не оставались в стороне и старались по-своему понять эту новую науку.

Типичен для этого периода Иоганн Мюллер из Кенигсберга, иначе Региомонтанус, ведущий математик пятнадцатого столетия. В деятельности этого замечательного вычислителя, мастера инструментов, печатника и ученого выявились те достижения европейской математики, которые были сделаны в течение двух столетий после Леонардо Пизанского. Региомонтанус усердно переводил и публиковал доступные ему математические рукописи классиков. Еще его учитель, венский астроном Георгий Пурбах, автор астрономических и тригонометрических таблиц, начал переводить с греческого языка астрономию Птолемея. Региомонтанус закончил этот перевод и, кроме того, перевел Аполлония, Герона и наиболее трудного из всех – Архимеда. Его главное оригинальное произведение – книга «О различных треугольниках» (De triangulis omnimodus libri quinkue, 1464 год, напечатана лишь 1533 году), полное введение в тригонометрию, отличающееся от наших нынешних учебников главным образом отсутствием современных удобных обозначений. Здесь содержится теорема синусов для сферического треугольника. Все теоремы все еще формулируются словесно. Отныне тригонометрия становится наукой, не зависящей от астрономии. Нечто подобное было сделано Насир-ад-Дином в тринадцатом столетии, но существенно то, что его труды не получили значительного дальнейшего развития, тогда как книга Региомонтануса оказала глубокое влияние на дальнейшее развитие тригонометрии и ее применение к астрономии и алгебре. Много труда положил Региомонтанус и на вычисление тригонометрических таблиц. Он составил таблицу синусов с интервалом в одну минуту, принимая радиус окружности равным 60 000 (опубликована в 1490 году).

Значения синуса рассматривались как отрезки, представляющие полухорды соответствующих углов в круге, поэтому они не зависели от длины радиуса. При большем радиусе достигалась большая точность, и не надо было применять шестидесятичные (десятичные) дроби. Систематическое применение радиуса, равного единице, и тем самым определение синуса, тангенса и т. д. как отношение чисел идет от Эйлера (восемнадцатый век).

До сих пор прежние достижения греков и арабов не были заметным образом превзойдены. Классики оставались«то, чего нет выше» (nec plus ultra) науки. Поэтому, когда итальянские математики в начале шестнадцатого века на деле показали, что можно развить новую математическую теорию, которой не было у древних и у арабов, это было большой и вдохновляющей неожиданностью. Такая теория, которая привела к общему алгебраическому решению кубических уравнений, была открыта Сципионом дель Ферро и его учениками в Болонском университете.

В итальянских городах и после эпохи Леонардо математика занимала второе место. В пятнадцатом столетии мастера счета в Италии владели арифметическими операциями, включая действия с иррациональными числами (без каких-либо угрызений математической совести), а итальянские художники были хорошими геометрами. Вазари в своих «Жизнеописаниях» подчеркивает, что художники пятнадцатого века проявили большой интерес к геометрии пространства. Одним из их достижений была разработка теории перспективы такими людьми, как Альберти и Пьеро дела Франческа; последний написал также книгу о правильных телах. Мастера счета нашли своего истолкователя в лице францисканского монаха Луки Пачоли, чья книга «Сумма арифметики», одна из первых напечатанных математических книг, появилась в 1494 году. Написанная на итальянском языке, не слишком изящном, она содержала все, что знали по арифметике, алгебре и тригонометрии. Отныне пользование индийско-арбскими цифрами стало общепринятым, а арифметические обозначения в этой книге не слишком отличаются от современных. Пачоли закончил свою книгу замечанием, что решение уравнений х³ + рх = п, х³ + п = рх столь же невозможно при современном ему состоянии науки, как и квадратура куба.

Это стало отправной точкой для математиков Болонского университета, который в это время был самым процветающим в Европе. Студенты съезжались ото всюду не только послушать многочисленных лекторов, но и интересно провести время в коллективном споре. Достижения времени – искусство, книгопечатание, открытие Америки – говорили о возможности решить задачу Пачоли.

Первым успеха добился профессор Болонского университета Сципионом дель Ферро (1465–1526), но по обычаю того времени о своем открытии он особо громко не распространялся, о нем знали лишь зятю, преемнику по кафедре Аннибале дела Наве, Помпео Болонетти и Антонио Мария дель Фьоре – своему ученику. После смерти своего учителя дель Фьоре пользовался сообщенным ему секретом, благодаря чему побеждал на научных турнирах.

И вот в 1535 году дель Фьоре вызвал на состязание знаменитого математика Никколо Тарталью (около 1499–1557). Тарталья разведал, что противник владеет общей формулой, сообщенной учителем, чтобы не упасть в грязь лицом, сумел самостоятельно открыть эту формулу. Из-за неполноценного владения секретом и из-за частности общего решения Фьоре проиграл турнир. Но Тарталья так и не опубликовал свое решение, хотя он был менее щепетильным в таких вопросах, чем дель Ферро, просто существовал в задаче один не решенный вопрос: в одном случае из-за свойств комплексных чисел был положительным, а в другом – отрицательным.

В 1536 году Джероламо Кардано, готовя к изданию сочинение «Практика арифметики», узнал о существовании «правила дель Ферро». Так как в своей публикации он сообщает о том, как можно найти решение уравнения четвертой степени, то для большей весомости и интересности книги он хочет поместить находку своего коллеги. С большим трудом в марте 1539 года Кордано таки добивается от Тартальи разглашения этого секрета и клянется никому ничего о нем не рассказывать. Но в 1542 году Кардано и Феррари встречаются с дела Наве, который охотно показал гостям рукопись своего тестя с заветной формулой. Значит, ее можно было узнать и не от Тартальи! Поэтому, если теперь, решил Кардано, он опубликует «правило дель Ферро», то не нарушит клятву.

Однако, когда Кардано в 1545 году опубликовал свою внушительную книгу по алгебре «Великое искусство», Тарталья с возмущением воспринял написанное, хотя там и признавались его заслуги. Завязалась ожесточенная полемика, с обеих сторон сыпались оскорбления. Эта перепалка породила несколько интересных документов, среди них «Вопросы» Тартальи (1546) и «Вызовы» Феррари (1547–1548), которые довели до всеобщего сведения всю историю открытия. Полученное решение теперь известно как формула Кардано, и в случае уравнения х³ + рх = п оно имеет вид

x = 3√ √p3/27 + q2/4 + q/2 – 3√ √p3/27 + q2/4 – q/2.

Мы видим, что это решение вводит выражение вида

³√а + √b,‾

отличные от евклидовых.

Джероламо Кардано (1501–1576) был истинным сыном эпохи Возрождения, воплотившим как хорошие, так и дурные стороны своего времени. С юности Джероламо обуревала жажда славы. «Цель, к которой я стремлюсь, – писал он на склоне лет в автобиографии, – заключалась в увековечивании моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти».

Кардано получил медицинское образование и всю жизнь занимался врачебной практикой. Однако, как многие ученые эпохи Возраждения, он не ограничивал себя лишь одной областью науки: Кардано вошел в историю как математик, философ, естествоиспытатель и изобретатель. Существует легенда, будто он составил свой гороскоп и предсказал, что умрет 21 сентября 1576 года. Дабы поддержать собственную славу астролога, к назначенному сроку он морил себя голодом. Даже если этот рассказ и вымышленный, суть характера Кардано передана очень верно.

Трудность, из-за которой Тарталья не хотел публиковать свою работу, была разрешена последним из больших болонских математиков шестнадцатого века, Рафаэлем Бомбелли, чья «Алгебра» появилась в 1572 году. В этой книге и в «Геометрии», написанной около 1550 года и оставшейся в рукописи, он вводит последовательную теорию мнимых и комплексных чисел. Он записывает 3i как √0 – 9 (буквально R[0т; 9], где R обозначает корень (radix), а т – тепо, т. е. меньше нуля). Это позволило Бомбелли разрешить непредвидимый случай, показав, например, что ³√ (52 + √ (0 – 2209)) = 4 + √ (0 – 1). Книгу Бомбелли читали многие: Лейбниц изучал по ней кубические уравнения, Эйлер цитирует Бомбелли в своей «Алгебре», в главе об уравнениях четвертой степени. Отныне комплексные числа потеряли налет сверхъестественности, хотя полное их признание произошло только в девятнадцатом веке.

Любопытен тот факт, что впервые мнимые числа были введены в теории кубических уравнений в том случае, когда было ясно, что действительные решения существуют, хотя и в нераспознанном виде, а не в теории квадратных уравнений, в которой они появляются в наших современных учебниках.


Алгебра и арифметика в течение десятилетий оставалась у математиков любимым объектом исследований. Это стимулировалось не только Rechenhaftigkeit торговой буржуазией, и также и запросами землемерия и мореплавания, которые выдвигались правительствами национальных государств. Инженеры были нужны для воздвижения публичных зданий и военных сооружений. Астрономия, как в предыдущие периоды, оставалась важной областью математического исследования. Это было время великих астрономических теорий Коперника, Тихо Браге и Кеплера. Возникло новое представление о вселенной.

Философская мысль отражала тенденции научного мышления, и Платон с его преклонением перед количественным и математическим рассуждением начал брать верх над Аристотелем, перед которым благоговели инквизиторы.

В частности, влияние Платона очевидно в работах Кеплера. Появились все более точные тригонометрические и астрономические таблицы, прежде всего в Германии. Таблицы Ретика (Rhäticus), законченные в 1596 году его учеником Валентином Ото (Otho), содержали значения всех шести тригонометрических величин через каждые десять секунд в десятью знаками. Таблицы Питискуса (Pitiscus, 1643) были доведены до пятнадцатого знака. Совершенствовалась техника решения уравнений, углублялось понимание природы корней. Для этой эпохи характерен публичный вызов, сделанный в 1593 году Бельгийским математиком Адриеном ван Роменом (Roomen), решить уравнение сорок пятой степени

х – 45х³ + 945х¹ + … – 3795х³ + 45х = А.

Ван Ромен указал некоторые частные случаи, например

А = √ (2 + √ (2 + √ (2 + 2))),

что дает

х = √(2 – √ (2 + √ (2 + √ (2 + √3))));

эти случаи подсказаны рассмотрением правильных многоугольников.

Франсуа Виет, французский юрист, состоящий при дворе Генриха IV, решил задачу ван Ромена, заметив, что левая часть уравнения соответствует выражению sinΨ через sinΨ/45. Поэтому решение можно найти с помощью таблиц. Виет нашел двадцать три решения вида sin(Ψ/45 + п * 8˚), отбрасывая отрицательные корни. Он также свел решение Кардано кубического уравнения к тригонометрическому, и при этом не