Реферат: Реферат 2011

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ


ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім.А.М.ПІДГОРНОГО


Монографія

на здобуття щорічної премії Президента України

для молодих вчених


R-функції в математичному моделюванні геометричних об’єктів та фізичних полів



МАКСИМЕНКО-ШЕЙКО Кирило Володимирович —

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник відділу прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного, старший науковий співробітник



РЕФЕРАТ


2011

Ідея написання цієї книги належить моєму вчителеві, відомому українському вченому в області математики, механіки і кібернетики, творцеві нової всесвітньо визнаної наукової школи з методу R функцій, академіку Національної академії наук України Володимиру Логвиновичу Рвачову. Уперше поняття R функцій було введено В.Л. Рвачовим у зв’язку з необхідністю складати рівняння складних геометричних об'єктів у процесі пошуку наближених рішень деяких просторових контактних задач теорії пружності. Одним з основних результатів, що був отриманий на основі теорії R функцій, є розв’язання оберненої задачі аналітичної геометрії. У перших роботах по теорії R функцій було визначено і достатно широке коло її застосувань: оптимальне розміщення геометричних об’єктів, розпізнавання образів, математичне програмування, конструктивна теорія функцій і особливо математичне моделювання геометричних об’єктів і фізико-механічних полів.

Завдяки бурхливому розвиткові комп’ютерної техніки, істотно збільшилися інтерес а, отже, і темпи розвитку теорії R-функцій. Лекції по теорії R-функцій читають в університетах України, Росії, США, Японії, Угорщини та ін. Багато відомих вчених ефективно застосовують теорію R-функцій при розв’язанні прикладних задач. Однак у процесі її практичного використання виникло багато питань, які вимагають розвитку й обґрунтування конструктивних засобів теорії R функцій.

Володимир Логвинович радив мені більше уваги в книзі приділити новим підходам до побудови рівнянь границь геометричних об’єктів, автоматизації цього процесу, врахуванню геометричної сингулярності, новим застосуванням, тобто тим питанням, які у його монографії «Теорія R-функцій і деякі її застосування» були лише порушені, але на той час ще не одержали належного розвитку і комп’ютерної реалізації. Сама ж монографія В.Л.Рвачова стала бібліографічною рідкістю.

На теперішній час публікації з використання теорії R-функцій можна знайти в спеціальних наукових журналах, що утруднює пошук і систематизацію конкретних питань. У зв’язку з цим виникла необхідність узагальнення нових результатів, тому що видані статті і монографії в основному були присвячені окремим прикладним напрямкам і не відбивали належною мірою прогрес у розвитку теорії.

^ Ціль монографії — викласти в доступній формі концептуальні положення теорії R-функцій, основну увагу приділити новим конструктивним засобам теорії R-функцій, математичному моделюванню геометричних об’єктів у тривимірному просторі, автоматизації побудови рівнянь геометричних об’єктів, у тому числі з різними типами симетрії, методиці проведення обчислювальних експериментів при розв’язанні прикладних задач і математичному моделюванню фізичних полів у криволінійних неортогональних координатах.

^ Наукова новизна. У монографії вперше:

1. Досліджено диференціальні властивості різних R-операцій, доведено теорему про побудову рівнянь ділянок границі області, нормалізованих в узагальненому розумінні.

Проведено аналіз методів побудови нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів (ГО), у тому числі методу, який базується на властивостях деяких систем R-операцій і дозволяє, нормалізувавши опорні функції, перенести цю їхню властивість на рівняння відповідного складного геометричного об'єкта. Відзначається, що описаний алгоритм побудови нормалізованих рівнянь може не спрацювати в точках стику елементів, навіть якщо в цих точках границя є гладкою (при цьому у всіх інших точках ГО рівняння буде нормалізованим). Для побудови нормалізованих рівнянь границь таких ГО необхідно застосовувати операції , що зберігають нормалізованість, у тому числі і на гладкому стику ділянок границі. Особлива увага приділялася питанням побудови рівнянь ділянок границі. Показано, що застосування відомих раніше формул приводить до кореневої особливості в кінцевих точках ділянки, у зв’язку з чим було запропоновано і досліджено нову операцію виділення ділянки границі, що забезпечує нормализованность в узагальненому змісті.

2. Запропоновано метод автоматизації процесу побудови предикатних рівнянь на основі стандартних примітивів, по формулі .

Метод R-функцій (RFM) є теоретичною основою відомих автоматизованих програмуючих систем ПОЛЕ, SAGE, РАНОК, предметною галуззю яких є задачі розрахунку фізико-механічних полів в областях некласичної геометрії і візуалізація таких областей. Однак у цих системах практично відсутня автоматизація завдання геометричної інформації. Побудова рівняння границі ГО вимагає завдання як опорних функцій, так і логічної формули, що дозволяє при відповідному виборі системи R-операцій одержати рівняння в аналітичному вигляді. Це вимагає певних математичних знань і навичок, що робить системи важкодоступними для інженерів і дослідників, що не знайомі з RFM, аналітичною і диференціальною геометрією. Перспективним у цьому напрямку виявилося формування рівняння складених геометричних об’єктів не з опорних функцій, а зі стандартних (запропонованих користувачеві) примітивів. Фактично потрібно було автоматизувати лише процес побудови предикатних рівнянь, оскільки перехід від цих рівнянь до звичайних елементарних рівнянь ГО виконується формальною заміною символів функцій логіки відповідними символами R-функцій, а символів областей — лівими частинами відповідних їм нерівностей.

У вхідну інформацію для алгоритму входять:

види використовуваних стандартних примітивів: коло, еліпс, прямокутник, трикутник, опуклий багатокутник та ін. (у залежності від потреб користувача меню може поповнюватися), або їхньої зовнішності (заперечення);

геометричні параметри, що визначають положення і розміри стандартного примітива.

За цією інформацією автоматично формуються опорні функції, нормалізовані рівняння викликаних примітивів і за ознакою «внутрішність»-«зовнішність» формуються предикатна ( ) і аналітична функції складеного ГО.


3. Розв’язано виниклу в оберненій задачі аналітичної геометрії проблему побудови рівнянь складних геометричних об’єктів, що складаються з елементів, які багаторазово повторюються за тими або іншими законами симетрії.

Розглянуто методи побудови рівнянь границь ГО з урахуванням симетрії, засновані на перетвореннях координат з мінімальною кількістю або взагалі без застосування R-операцій. Проведено порівняльний аналіз класичної схеми застосування теорії R-функцій і методики, заснованої на перетворенні координат, для побудови рівнянь, що відповідають ГО із симетрією трансляції уздовж прямої та кола. Розглянуто типову конструктивну схему реактора, активна зона якого збирається з великої кількості паливних касет (шестигранні кожухи, у яких розміщені тепловиділяючі елементи). Побудовано рівняння паливної касети з 91 ТВЕЛом та розсунутим трикутним упакуванням. При цьому R-операції застосовано лише двічі для трьох опорних функцій, у той час як при класичному підході потрібне було б застосування 94 опорних функцій і 93 R-операцій. Розглянуто симетрію в кристалічній структурі рідкоземельних металоорганічних сполук, які використовуються при збереженні водню, і побудовано рівняння цієї структури з використанням двох опорних функцій, трьох R-операцій і суперпозицій з періодичними функціями.







Розроблено методику побудови рівнянь правильних багатокутників, а також перетворення координат, яке здійснює трансляцію елемента на інтервалі з заданим кроком.












4. У 3D побудовано та візуалізовано рівняння ряду геометричних об’єктів, у тому числі деталей машинобудування (ступінчастий вал із двома зубчастими шківами, поворотний клапан із хвостовиком, гвинт із фасонною голівкою, прорізом і стопорною поверхнею).









У роботах В.Л.Рвачова і його учнів наведено численні приклади побудови нормалізованих рівнянь границь ГО в двовимірному просторі і деякі підходи до побудови рівнянь поверхонь найпростіших ГО в тривимірному просторі. Практичний досвід побудови нормалізованих рівнянь поверхонь ГО в 3D з використанням теорії R-функцій малий і вимагає певних математичних знань і навичок. У роботах В.Л. Рвачова відзначається, що принципових теоретичних труднощів при застосуванні R-функцій для побудови рівнянь поверхонь ГО в 3D немає. Однак на практиці питання виявилося досить складним і потребуючим додаткових досліджень, розробок нових підходів і конструктивних засобів для реалізації поставлених задач, що і було виконано в монографії.


5. Розглянуто питання продовження усередину області функцій і диференціальних операторів, заданих на границях геометричних об’єктів, побудови інтерлокаційних операторів теорії R-функцій і структур розв’язків основних типів крайових задач для рівнянь другого порядку, врахування особливостей і апріорної інформації при побудові структур розв’язків, а також метод R-функцій з ідеєю розкладення одиниці.


6. На прикладах розв’язання прикладних задач методом R-функцій розроблено методики проведення обчислювальних експериментів. При цьому були розглянуті:

задачі електростатики з розривними граничними умовами;

сталий рух нестисливої в’язкої рідини по циліндричних трубах;

магнітогідродинамічна течія у прямокутній трубі при великих значеннях числа Гартмана;

магнітогідродинамічна течія у бланкеті термоядерного реактора;

моделювання фізичних полів у середовищах з кусково-однорідними включеннями;

задачі забезпечення теплових режимів радіоелектронної апаратури;

задачі про рівновагу тороїдальної плазми;

фізичні поля з геометричними сингулярностями;

моделювання фізичних полів на складних поверхнях;

розподіл електричного потенціалу при русі провідного середовища в магнітному полі.


7. Особливу увагу в монографії приділено математичному моделюванню фізичних полів у криволінійних неортогональних координатах.

Задача побудови математичних моделей полів, що мають симетрію гвинтового типу, виникає в різних областях: наприклад, скручені труби є простим та зручним засобом для надання потокові обертального руху; в теплотехніці відомі численні застосування змійовиків. Використання закрутки потоку має великі перспективи в вихорових МГД-генераторах, для регулювання тяги ракетних двигунів, в камерах ядерних енергетичних установок, при утриманні плазми із струмом в стані рівноваги, в хімічній, нафтовій, газовій та інших галузях промисловості. Деякі автори пропонують формальне використання методів розрахунку, що були розроблені для осьових потоків, для закручених потоків на основі принципу зпрямлення ліній току, що можливо лише з незначною інтенсивністю закрутки. Більшість математичних моделей задач розрахунку фізико-механічних полів сформульовано в декартових, сферичних, циліндричних, рідше — в еліпсоїдальних, параболічних, тороїдальних, біполярних та інших криволінійних ортогональних координатах. Відомо, що вдалий вибір системи координат в разі наявності геометричної та відповідної фізичної симетрії дозволяє досить часто звести тривимірну крайову задачу до двовимірної, тобто понизити розмірність задачі, що розв’язується. Метод R-функцій використовувався в математичному моделюванні фізико-механічних полів в криволінійних ортогональних координатах. З методами побудови рівнянь ГО на основі теорії R-функцій добре поєднуються класичні прийоми побудови рівнянь поверхонь тіл обертання, призматичних і конічних тіл, в тому числі скручених циліндрів та змійовиків некласичного перерізу. Все це зробило метод R-функцій, з одного боку, принадним для математичного моделювання полів з гвинтовим типом симетрії, а з іншого — вимагало розвитку його конструктивних засобів для роботи в криволінійних неортогональних координатах. Таким чином, в роботі вперше:

за допомогою теорії R-функцій побудовані нормалізовані рівняння скручених циліндрів некласичного перерізу та циліндрів з гвинтовими вставками;

в криволінійних неортогональних координатах (в гвинтовій системі координат) за допомогою апарата тензорного аналізу побудовані основні диференціальні інваріанти, векторні співвідношення, скалярний, векторний та змішаний добутки, тобто вперше в повній мірі підготовлені інформаційні потоки для побудови математичних моделей фізико-механічних полів, що мають гвинтовий тип симетрії;

сформульовано і доведено теорему про зведення тривимірної крайової задачі до двовимірної у випадку наявності геометричної і фізичної гвинтової симетрії;

в криволінійних неортогональних координатах вперше побудовані математичні моделі скалярної задачі електростатики для скрученого циліндра;

досліджено вплив кута закрутки на характер розподілу електричного потенціалу. При цьому встановлено, що при зростанні кута закрутки утворюються зони «плато» та великих градієнтів;

в криволінійних неортогональних координатах вперше побудовані математичні моделі течії нестисливої в’язкої рідини по скручених трубах (рівняння Нав’є-Стокса);

доведено необхідну умову розв’язання неоднорідної крайової задачі Неймана для рівняння Пуассона для тиску, що випливає з рівняння Нав’є-Стокса;

отримано загальну систему рівнянь, яка описує процес теплообміну у течії в’язкої рідини, при постійних фізичних властивостях рідини та температурі, у криволінійних неортогональних координатах;

розв’язано задачі про теплообмін при ламінарному русі рідини по каналам з центральними та пристінковими гвинтовими вставками, в тому числі в ТВЕЛі з полізональним оребренням;

досліджено вплив кута закрутки на характер течії нестисливої в’язкої рідини та розподіл температурного поля.

^ Практичне значення отриманих результатів. Розробка й обґрунтування нових конструктивних засобів теорії R-функцій дозволили автоматизувати процес побудови рівнянь поверхонь складних ГО, що робить метод доступним для інженерів, дослідників і студентів. Закладені можливості варіювання буквенних параметрів дозволяють у рамках однієї програми оперативно змінювати геометричну і фізичну інформацію, досліджуючи їхній вплив на картину поля.

Ілюстрація роботи RFM на великій кількості важливих практичних прикладних задач і розробка відповідних методик їхнього розв’язання робить метод привабливим для практичного використання, показує можливість його застосування в математичному і комп’ютерному моделюванні широкого кола ГО і фізико-механічних полів.

Побудовані векторні співвідношення і диференціальні інваріанти в криволінійних неортогональних координатах для областей з гвинтовим типом симетрії можуть бути використані при побудові математичних моделей температурних, деформаційних, електромагнітних, магнітогідродинамічних та інших полів. Отримані в роботі математичні моделі течії нестисливої в’язкої рідини по скручених трубах некласичного перерізу дозволять проводити дослідження теплообмінних та гідродинамічних процесів в полях відцентрових масових сил в Інституті технічної теплофізики НАН України та інших організаціях, що займаються дослідженнями закручених потоків. Результати обчислювальних експериментів, отримані для ламінарних закручених течій для реальних принципових конструктивних схем перерізів скручених труб та каналів з центральними та пристінковими гвинтовими вставками, дозволяють визначати характер течії, спостерігати процес формування тангенціальної компоненти вектора швидкості та розподіл температурних полів.

Крім того, створені нові конструктивні засоби дозволять автоматизувати робочі місця інженерів-конструкторів та замінити недешеві і тривалі натурні фізичні експерименти порівняно дешевими і швидкими обчислювальними експериментами, що обумовлює економічну значущість розробок.

R-функції, на основі яких виконане математичне моделювання ГО та фізичних процесів, є вітчизняною розробкою, і на даний час аналогів досліджень, наведених в монографії, у вітчизняних розробках немає. Однак метод R-функцій почав поширюватися за кордоном.

Ivanyi A, Igarashi T, Homma T (1994), R-functions for magnetic field in toroidal MHD plasma, Abstracts the Second Japan-Czech-Slovak Joint Seminar on Applied Electromagnetics in Material, Kyoto, Japan, pp.174-177.

Pasko AA, Savchenko VV (1994), Blending operations for the functionally based constructive geometry, Set Theoretic Solid Modeling: Techniques and Applications, CSG 94 Conference Proceedings, Information Geometers, Winchester, UK, pp. 151-161.

Hollig K (2001), Finite Element Approximation with Splines // Preprint, Universitat Stuttgart, 24 pp.

Höllig K. Finite Element Methods with B-Splines // Frontiers in applied mathematics. — 2003. — 149 p.

Tsukanov I., Shapiro V., Rutland C., Zhang S. Solution of the incompressible fluid dynamics problem via the R-function meshfree method // Computational Fluid and Solid Mechanics. First MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics.—2001.—Pp.993-997.

Наведені роботи мають прикладний характер.


Робота виконувалась в рамках таких бюджетних тем:

0102U001479 „Розвиток чисельних методів теорії R-функцій та їх застосування” (2002-2005 рр.).

0106U000483 „Створення нових безсіткових методів розв’язання крайових задач математичної фізики на основі теорії R-функцій” (2006-2010 рр.). Отримано акти про використання розробок та результатів досліджень цієї роботи у Московському державному технічному університеті „Станкін” (розроблені у роботі засоби побудови геометрії деталей машинобудування з використанням теорії R-функцій плануються до викладання спеціалізованих курсів з комп’ютерної графіки); у Харківському національному університеті імені В.Н.Каразіна (при викладанні лекцій на кафедрі інформаційних технологій в енергетичних системах за курсами „Конструктивні засоби математичного моделювання та їх застосування”, „Спеціальні розділи математичного моделювання”, „Математичне моделювання процесів магнітної гідродинаміки”); у Запорізькому національному університеті (безсіткову методику розв’язання крайових задач математичної фізики використано у науково-дослідній роботі лабораторії геоінформаційних систем та у навчальному процесі кафедри прикладної математики і механіки при викладанні курсів „Чисельні методи” та „Рівняння математичної фізики”).

0109U007811 „Математичне та комп’ютерне моделювання закручених потоків і температурних полів з використанням методу R-функцій” (2009 р.). Ця робота виконувалась за розпорядженням Президії НАН України № 199 від 31.03.2009 р., в рамках програми підтримки досліджень молодих вчених, які виступали на засіданнях Президії НАН України. Отримано акт про використання розробок та результатів досліджень цієї роботи у Харківському національному університеті імені В.Н.Каразіна, а саме — в навчальному процесі фізико-енергетичного факультету.

За результатами проведених досліджень автором у 2004 р. захищено дисертацію на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук.

Автором у 2008 р. було зроблено доповідь на засіданні Президії НАН України за результатами досліджень, яку було позитивно оцінено.

Загальна кількість публікацій автора станом на січень 2011 р. — 64. Публікацій по даній роботі — 59.