Реферат: Эластичности замещения в моделях реального делового цикла с домашним производством

Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет экономики
Кафедра макроэкономического анализа


Курсовая работа
на тему:
Эластичности замещения в моделях реального делового цикла с домашним производством


Выполнил: Черепанова Е.С., гр.217.

Научный руководитель: Гребнев Л.С.


Москва
2007

Аннотация


В статье «Эластичности замещения в моделях реального делового цикла с домашним производством»1 приводится новая модификация модели реального делового цикла с домашним производством, которая, в отличие от предыдущих, показывает гораздо лучшее соответствие реальным данным. Авторы статьи, Дж. Кэмпбелл и С. Людвигсон добились этого результата благодаря изменению ключевых предпосылок стандартной модели РДЦ: было снижено значение межвременной эластичности замещения потребления, что повлекло также снижение статической эластичности замещения потребления, и качественно изменен вид функции полезности. Авторы приводят показатели модели в сравнении с реальными данными, существующими эталонами модели РДЦ, а также некоторыми промежуточными модификациями. Сравнение эластичностей переменных и динамический анализ выявляют улучшение прогнозов модели по всем рассматриваемым показателям.


Реферат


В статье «Эластичности замещения в моделях реального делового цикла с домашним производством» речь идет о различных способах моделирования реального делового цикла. Последнее время, отмечают авторы, все большую популярность приобретают модели, отражающие сектор домашней экономики, который способен намного улучшить производительность стандартной модели и ее соответствие эмпирическим данным. Однако и эта модель не совершенна. Дж. Кэмпбелл и С. Людвигсон предлагают ее модификацию, коренным отличием которой будет низкое значение межвременной эластичности замещения потребления, в отличие от высоких значений, использованных в предыдущих моделях. В статье ставится вопрос, является ли такая модель более производительной, удобной и соответствующей фактам, чем другие.


Базовая модель реального делового цикла использует функцию полезности, сепарабельную по досугу и потреблению.

U = f(рын.потребл) + g(досуг)

Межвременная эластичность замещения в такой модели равна единице, то есть предполагается, что потребителю все равно, приобретать какой-либо товар в текущий или следующий период.


Модель РДЦ с домашним производством является модификацией стандартной. Домашний сектор экономики, включенный в модель, в литературе по реальному деловому циклу обычно представлен как субъект, потребляющий три блага: рыночное потребление, домашнее потребление и досуг (время не занятое производством)время не шнее потребление и досуг.по реальному деловому циклу представлен как субъект, потребляющий три блага: рыночное потреб, при этом, функция полезности сектора несепарабельна по домашнему и рыночному потреблению, но сепарабельна по потреблению и досугу.

U = f(рын.потребл*дом.потребл) + g(досуг)

В такой модели вводится постоянная эластичность замещения домашнего и рыночного потребления, а МЭЗ равняется единице или превосходит ее. Модель больше подходит для отражения динамической информации, в отличие от стандартных лучше описывает волатильности переменных и взаимосвязь затраченных ресурсов и выпуска.

Проблема данной модели заключается, на взгляд авторов, в том, что свойства модели могли улучшиться за счет повышения МЭЗ, а не по каким-либо другим причинам, в то время как подобные высокие значения не соответствуют действительности.


Авторы статьи вносят несколько изменений в предыдущую схему: досуг более не оценивается, как время свободное от труда, а напротив, как время, которое можно использовать для домашнего производства. Новая переменная называется «оцененный досуг», и именно от нее в первую очередь зависит домашнее потребление. Также, предлагается сделать функцию сепарабельной по домашнему и рыночному потреблению, домашнее потребление как бы заменит досуг в функции полезности стандартной модели РДЦ, поскольку предполагается, что именно досуг будет влиять на итоговое домашнее потребление:

U = f(рын.потребл) + g(дом.потребл)

Использование такой функции оправдывается тем, что фактические данные свидетельствуют о малой зависимости ожидаемого потребления (разделенного в данном случае на два слагаемых) и часов работы.

Модель обладает следующими важными свойствами, которые позволяют ей соответствовать реальным данным:

МЭЗ принимается равной 0,2

Вводится постоянный технологический прогресс, что позволяет избежать логарифмической функции полезности, что привело бы к тому, что МЭЗ = 1

Аддитивность функции приводит к равенству МЭЗ и СЭЗ

В устойчивом состоянии долгосрочный темп роста домашней и рыночной технологии примерно равен

Шоки технологии положительно коррелируют между секторами, при малых межсекторальных шоках

Количество домашнего капитала существенно меньше, чем рыночного.

Отношение рыночного и домашнего потребления практически постоянно.


Далее в статье подробно рассматривается математическая модель с вышеописанными свойствами, устойчивое состояние и колебания вокруг траектории сбалансированного роста.

Для более полного и точного сравнения авторы предлагают шесть модификаций модели, в которых различные виды эластичностей, реакции модели на различные шоки, а также эффекты дохода и замещения рассматриваются при различных вводимых значениях МЭЗ:

Случай 1 исключает домашний сектор из экономики, и, таким образом, является аналогом стандартной модели РДЦ. Здесь влияние технологических шоков тем больше, чем ниже МЭЗ. Получается, что при ее малых значениях при росте технологии, а значит, и потребления, снизится время, проведенное на рынке, – что противоречит фактам.

Случай 2 моделирует стохастически изменяющуюся технологию в домашнем и рыночном секторе, при этом в домашнем секторе не используется капитал. В этом случае удается решить проблему первой модификации модели. При низкой МЭЗ шоки домашней технологии компенсируют рыночные шоки, направляя предложение труда в рыночную сферу. Таким образом, одновременно будет увеличиваться и потребление, и предложение труда на рынке. Однако следует заметить, что связь шоков технологии в этом случае должна быть низкой между секторами, что не подтверждается эмпирически.

Случай 3 представляет нестохастический рост технологии и равные доли капитала в домашнем и рыночном секторах. Эта модель противоположна случаю 1, и уже не низкие значения МЭЗ, а высокие вызывают всплеск потребления.

Случай 4 запрещает равенство шоков и долей капитала в разных секторах. Этот вариант в целом аналогичен, и даже усиливает свойства случая 2.

Случай 5 – модель трудоинтенсивного домашнего капитала, то есть, в рыночном секторе доля капитала больше чем в домашнем, а технология меняется нестохастически; он в целом аналогичен случаю и только незначительно отличается от него уровнем трудоинтенсивности.

Случай 6 – модель трудоинтенсивной домашней технологии со стохастическим ростом, в целом является гибридом случаев 2 и 4, однако, показывает новые свойства: технологические изменения в целом сильнее влияют на домашний сектор, и вызывают накопление капитала в нем. Эта модель не показывает результатов, противоречащих фактам.


Следующим этапом проверки моделей является анализ их динамики. Для каждого случая были просчитаны по 100 состояний для 150 периодов времени, в каждом стохастически изменяющийся фактор εtзадавал рост технологического прогресса. В статье приведены данные по взаимному влиянию различных показателей и выпуска на протяжении этих 150 периодов, при этом ни один из случаев 1-4 не показывает значительного приближения к реальным данным по этим зависимостям по сравнению со стандартной моделью РДЦ. Напротив, снижается волатильность потребления по выпуску, которая и в модели РДЦ была достаточно низка. Волатильность инвестиций в случаях 1 и 2 неоправданно высока, а в 3 и 4 слишком низка.

Случаи 5 и 6 не получают не соответствующих действительности относительных волатильностей инвестиций и потребления, благодаря оптимальному подбору параметров и правдоподобному соотношению потребление-выпуск. При этом случай 6 превосходит случай 5 и показывает улучшение по всем рассматриваемым показателям по сравнению со случаем 1 и базовой моделью РДЦ: большую волатильность выпуска, менее волатильные инвестиции, более волатильное время, проведенное на рынке, и большую волатильность потребления


Вывод о том, что шестая модификация модели показывает наилучшие результаты, однозначен. Таким образом было доказано, что модели с низкой МЭЗ и по всем другим показателям могут согласовываться с реальными данными и даже превосходить эталонные модели, рассматриваемые в литературе по реальному деловому циклу. В процессе моделирования авторы попробовали оценить параметр эластичности замещения домашнего и рыночного потребления, используя при этом ее тесную связь с межвременной эластичностью замещения. Введение в модель именно этого параметра, а также изменение вида функции полезности, помогло добиться правдоподобных результатов.


Комментарии


Построение математических моделей неизбежно связано с агрегированием информации, отбрасыванием несущественных фактов и выделением важных черт реальных процессов. В совокупности подобные видоизменения могут существенно исказить картину происходящего, объясняя только ту или иную функцию или конкретное взаимодействие. Поэтому достаточно затруднительно при помощи модели получить предсказания близкие к реальным. Оказывается, что для совершенствования свойств модели приходится вводить в нее новые переменные, таким образом, уходя от первоначальной задачи упрощения, и наоборот усложняя модель до максимально возможного соответствия действительности. А поскольку на более простых стадиях одинакового результата можно добиться разными способами, неверный выбор на этом этапе может привести к остановке развития модели или к тому, что на дальнейших стадиях невозможно будет добиться правдоподобных результатов, если не выявить причину подобной проблемы.

Подобным образом развивалась и модель реального делового цикла – от базовой модели, она достигла этапа включения в нее домашнего сектора, а затем авторами статьи было обнаружено, что эта же модель, видоизмененная, с низкими значениями межвременной эластичности замещения и несколько другой функцией полезности, может показывать гораздо лучшие результаты, чем все остальные модификации.

Причина изменения этой основополагающей предпосылки состоит в том, что эмпирически было доказано, что на самом деле потребление слабо зависит от ожидаемой ставки процента, основной переменной, которая в макро- и микроэкономическом анализе объясняет межвременной выбор потребителя. Действительно, экономическая наука, за исключением лишь некоторых ответвлений, предполагает рациональность агента, его осведомленность и возможность принять решение, которое максимизировало бы его полезность. В реальной жизни, эти предпосылки, естественно не выполняются: индивиды могут быть не осведомлены о текущей или будущей экономической ситуации, или же неверно информированы, могут быть неспособны сделать прогноз своего благосостояния на долгосрочный период. Известно также, что часто степень рациональности планирования каких-либо действий зависит от удаленности момента, на который они планируются, и потому по мере его приближения, действия индивида и его ожидания могут меняться. Кроме того, нужно помнить, что часто выбор может зависеть не только от сведений непосредственно касающихся предмета выбора, но и от многих посторонних, зачастую необъяснимых факторов. Именно поэтому получение сведений о более высокой ставке процента в будущем не заставит потребителя перенести большую часть своих расходов на другой момент времени. Свою роль здесь сыграют, кроме уже вышеперечисленного, и чисто физиологические ограничения – невозможность потреблять ниже определенного уровня для поддержания жизни, и страх перед будущим, и ограниченный срок жизни индивида.

Подобный, очень сложно моделируемый процесс выбора оказалось достаточно просто правдоподобно описать в модели реального делового цикла, поскольку она не затрагивает микрооснований принятия решений и образования, таким образом, экономической ситуации, а стремится лишь описать некий общий агрегированный процесс. Также этому способствует и внесение вероятностного элемента в модель – как представление всех неучтенных факторов, которые нельзя однозначно определить и выявить.

Второй показатель эластичности, рассматриваемый в модели – межсекторальная статическая эластичность, значения которой также были очень высоки в традиционной модели и принимаются за меньшие единицы в модели Кэмпбелла. Такой переход уже менее объясним фактическими данными, поскольку практически нет данных по реальным значениям СЭЗ, однако же, он математически соответствует изменившемуся значению МЭЗ. Более того, можно утверждать, что данное изменение в целом соответствует сдвигу взглядов на теорию домашнего потребления и в экономической социологии, которая объясняет значимость сектора домашнего хозяйства уже с других точек зрения, более приближенных к действительности, а также отношения к этому вопросу на разных стадиях развития общества. Если изначально предполагалось, что домашняя экономика существует для восполнения дефицита товаров, отсутствующих на рынке, что стало считаться особенно верным в командных экономиках, и с этой точки зрения, она являлась абсолютным заменителем рыночного производства. Однако же в обществах, где товары более доступны и не приходится восполнять дефицит, домашнее производство все еще существует, но уже с целью большей индивидуализации, в противовес массовости рыночного продукта. На этом этапе, как верно было замечено авторами статьи, которые показали это через переменную оцененного досуга, домашнее производство практически неотделимо от свободного времени, поскольку служит не для создания товаров необходимых для обеспечения жизнедеятельности людей, но во многом для удовлетворения уже вторичных потребностей.

Интересно заметить, что развивающиеся математические модели могут явно или косвенно отражать изменение ситуации и в других, возможно, не связанных областях знания, является ли то результатом закономерного процесса, верного для обеих сфер, или непосредственным влиянием изменения господствующей парадигмы.

Так или иначе, возможно надеяться, что подобное влияние улучшит возможности существующих моделей и качество моделирования вообще.


Список литературы:


Campbell John Y., Sydney Ludvigson. “Elasticities of Substitution in Real Business Cycle Models with Home Production” Journal of Money, Credit and Banking, Vol. 33, No. 4. (Nov., 2001), pp. 847-875.

Барсукова С.Ю. «Сущность и функции домашней экономики, способы измерения домашнего труда». - Социологические исследования, 2003. № 12

Приложение


John Y. Campbell

Sydney Ludvigson


Эластичности замещения в моделях реального делового цикла с домашним производством


Не так давно развился значительный интерес к моделированию стандартного реального делового цикла, который включает в себя домашнее производство. Такие авторы как Benhabib, Rogerson, Wright (1991), Greenwood, Hercowitz (1991), Greenwood, Rogerson, Wright (1995), Rupert, Rogerson, Wright (1997) зафиксировали важность сектора домохозяйств в экономике США и показали, что домашнее производство может увеличить производительность и эффективность стандартной модели.

Практически во всех этих исследованиях домашние хозяйства извлекают полезность из трех благ: рыночное потребление, домашнее потребление и досуг. Домашнее потребление считается заменителем рыночного потребления, как, например, еда, приготовленная дома, является заменителем еды в ресторане. Досуг отличается от обеих этих форм потребления, и моделируется традиционным способом, как время, не занятое домашним или рыночным производством.

В этой статье мы рассматриваем ситуацию с другого ракурса. Мы говорим, что домохозяйства ценят свой досуг в зависимости от того, на что они его могут потратить. Оцененный досуг – это не время, свободное от производства, ведь время, проведенное в тюрьме, не является продуктивным, но и не приносит полезность, в той же мере, что и время, проведенное дома. С этой точки зрения естественно считать оцененный досуг выпуском функции домашнего производства, в которой досуг, домашний капитал, и домашние технологии проявляются в том же качестве, что производственное время, рыночный капитал, и рыночная технология в функции рыночного производства. Таким образом, мы следуем Greenwood and Hercowitz (1991) и используем модель, в которой домашние хозяйства получают полезность из двух благ: рыночного потребления и домашнего потребления, где последнее заменяет традиционную переменную досуга.

Что еще более важно, мы предполагаем, что домашнее потребление входит в функцию полезности отдельно от рыночного потребления. Все исследования домашнего производства до сих пор предполагали условия, в которых рыночное и домашнее потребление не разделены на отдельные слагаемые. Несмотря на то, что этот подход позволил сделать много важных выводов, мы считаем полезным предложить и альтернативную модель с сепарабельной функцией. Мы делаем это по двум причинам. Во-первых, в традиционной литературе о реальном деловом цикле общепринято, что функция полезности аддитивно-сепарабельна по потреблению и досугу. Hansen (1985), например, представляет полезность как сумму логарифмов переменных потребления и досуга. Поскольку мы рассматриваем домашнее производство как обобщение понятия досуга, будет логично модифицировать традиционную модель, просто замещая в функции полезности досуг на домашнее потребление.

Во-вторых, обобщенная информация не предоставляет доказательства несепарабельности между рыночным потреблением и часами работы (см. Eichenbaum, Hansen and Singleton 1988, Campbell and Mankiw 1990, Beaudry and van Wincoop 1996). Например, Campbell и Mankiw находят, что, несмотря на то, что существует значительные предсказуемые отклонения в продолжительности работы, это лишь незначительно связано с ожиданием роста потребления, как это должно было быть, если бы полезность от досуга и потребления не описывалась аддитивно-сепарабельной функцией. Эти данные предполагает, что потребление и продолжительность времени, проведенного вне рынка, могут быть охарактеризованы функцией полезности аддитивно-сепарабельной по потреблению и времени, проведенному вне рынка, или, более общо, по потреблению и некоторой функции от времени, проведенного вне рынка, как это делается в случае с моделями с домашним производством.

Свойства моделей с функцией полезности, несепарабельной по домашнему и рыночному потреблению были широко изучены в литературе. Greenwood, Rogerson и Wright (1995) провели обозрение такой литературы. Функция полезности обычно моделируется как функция с постоянной эластичностью замещения домашнего и рыночного потребления. Сейчас хорошо известно, что те модели с несепарабельными функциями больше подходят для отражения динамических свойств информации по США, чем традиционные сепарабельные RBC модели, не включающие домашнее производство. Модели с домашним производством лучше отражают волатильность выпуска, волатильность инвестиций, продолжительность времени проведенного на рынке и вне его и потребление, связанное с выпуском, а также корреляцию между затратами времени и производительностью.

Все эти модели неявно предполагали относительно высокий уровень межвременной эластичности замещения (МЭЗ) в рыночном потреблении. Это создает две проблемы. Во-первых, стандартная модель реального делового цикла Hansen (1985) устанавливает МЭЗ равной единице, так что неясно, следует ли приписывать повысившуюся производительность в моделях с домашним производством росту МЭЗ, или же какому-либо другому аспекту. Во-вторых, высокая МЭЗ противоречит большому и все растущему объему эмпирических доказательств того, что МЭЗ намного ниже, в действительности, ближе к нулю. Исследователи обнаружили удивительно малую связь между уровнем роста потребления и ожидаемой ставкой процента; см. Campbell and Mankiw (1989), Hall (1988), Attanasio and Weber (1993), Ludvigson (1999), а также международные данные в работе Campbell (1999). В этой статье мы ставим вопрос о том, поддерживается ли высокая продуктивность в экономике с домашним производством, когда функция полезности смоделирована как аддитивно-сепарабельная по домашнему и рыночному потреблению, и когда МЭЗ значительно ниже, чем та же величина в предыдущих исследованиях.

В стандартной модели РДЦ King, Plosser and Rebelo (1988), отметили, что аддитивно-сепарабельная спецификация функции полезности в модели требует логарифмической полезности потребления, чтобы получить постоянное предложение труда на траектории сбалансированного роста. Это ограничение нежелательно для нас, потому что оно приводит к тому, что МЭЗ равняется одному. Мы избегаем такого ограничения, вводя постоянный технологический прогресс в сектор домохозяйств. Поэтому у нас появляется возможность изучать эффекты введения эмпирически правдоподобной МЭЗ в стандартную модель реального делового цикла.

В нашей модели присутствует тесная связь между МЭЗ рыночного потребления и СЭЗ между домашним и рыночным потреблением. Наше допущение – аддитивно сепарабельная функция полезности – означает, что эти две эластичности будут равны. В то время как равенство МЭЗ и СЭЗ следует только из сепарабельности функции, их тесная положительная зависимость не исключительна в нашей модели. Если мы используем общепринятые значения параметров, то такое свойство также присуще модели, наиболее используемой в литературе о домашнем производстве. Мы рассмотрим это подробнее в Приложении А.

Подобная положительная связь между МЭЗ и СЭЗ важна, поскольку непосредственных эмпирических данных о СЭЗ достаточно мало. Существующая литература по домашнему производству обращает внимание на выбор значения СЭЗ, при этом на самом деле не обращая внимания на то, что значение МЭЗ зависит от этого выбора. И в самом деле, подразумеваемое значение МЭЗ, как правило, остается неупомянутым. Несмотря на это, наиболее популярные спецификации модели подразумевают, что МЭЗ меньше единицы, только если СЭЗ меньше единицы. Мы утверждаем, что существующие доказательства того, что МЭЗ мала, также предполагают, что СЭЗ также мала. Существующая литература по домашнему производству, напротив, предполагают высокую СЭЗ (и вследствие этого, высокую МЭЗ), и это предположение необходимо для улучшения количественного производства модели реального делового цикла, рассматриваемой в литературе. Насколько мы знаем, эта статья впервые предлагает модель домашнего производства с МЭЗ ниже единицы.

Чтобы исследовать теоретические свойства модели с предпочтениями, разделенными во времени по домашнему и рыночному потреблению, мы используем стандартную схему с репрезентативным агентом, обладающим изоэластичной функцией полезности. Досуг взаимодействует с домашней технологией, а возможно и с домашним капиталом, производя, таким образом, товары и услуги домохозяйства, и влияет на полезность только посредством своего вклада в домашнее производство. Мы строим модель, используя аналитический подход Campbell (1994). Чтобы облегчить сравнение с существующей литературой, мы используем этот метод решения, чтобы воссоздать эндогенные переменные модели, сравнивая их относительную изменчивость и сонаправленность изменений с теми, которые были выявлены в агрегированных данных по США. Исследуется несколько отдельных случаев, включая эталонную модель, которая отводит минимальную роль сектору домохозяйства, и более общую модель, которая допускает технологические изменения в секторе домохозяйств и использования домашнего капитала.

Наши результаты предполагают, что модель домашнего производства с низкой МЭЗ должна обладать тремя свойствами, чтобы соответствовать ключевым особенностям агрегированной информации по США. Во-первых, в устойчивом состоянии для сбалансированного роста нужно, чтобы домашний и рыночный сектор имели одинаковый долгосрочный темп роста технологии. Во-вторых, проциклические колебания в рыночных часах и рыночном потреблении обоих секторов вокруг устойчивого состояния требуют достаточно большой позитивной корреляции между шоками технологии в домашнем и рыночном секторах. Одновременно межсекторальные шоки производительности должны быть достаточно малы. Этот результат контрастирует с существующей литературой, в которой обычно необходимы сильные межсекторальные шоки производительности, чтобы увеличить количественную производительность традиционной модели реального делового цикла. В-третьих, хотя домашний капитал должен существовать, оснащенность капиталом домашнего сектора должна быть меньше, чем сектора рыночного. Оказывается, что модель домашнего производства, обладающая этими тремя свойствами, может быть удивительно успешной в согласовании парадигмы реального делового цикла с фактическими данными о низкой МЭЗ.

Существует множество литературы о предложении труда, которая исследует, как индивиды распределяют время между рыночной и домашней деятельностью – Juster and Stafford (1991) провели ее обзор. Эта литература выявляет, что время, не занятое на рынке, используется продуктивно, и что ценность того, что произведено в домашнем секторе, достаточно велика. Дневники использования времени показывают, что время, потраченное на работу по дому и активный отдых в целом одинаково у домохозяйств в развитых странах (несмотря на то, что она больше для женщин, чем для мужчин), и общая их продолжительность еженедельно представляет собой существенную часть всего времени. Данные, представленные дневниками использованного времени, говорят об умеренной сходимости к равенству рыночного и нерыночного времени мужчин и женщин в период с 1965-по 1980-е годы в некоторых развитых странах. Эта тенденция совпадает с возрастающим равенством зарплат после уплаты налогов за этот же период. Как бы то ни было, эти показания не дают точных данных по эластичности замещения, так как изменение зарплаты оказывает как эффект дохода, так и эффект замещения на предложение труда. Тем не менее, практически все эти исследования заключают, что внерыночная производственная деятельность представляет собой количественно важный феномен, и что ценность выпуска, произведенного дома, достаточно велика (Eisner 1988).

Оставшаяся часть этой статьи организована следующим образом. Раздел 1 представляет модель и базовые предположения, на которых основана модель. Раздел 1.1 рассматривает устойчивое состояние, а раздел 1.2 выявляет процедуры изучения реакций экономики на технологические шоки вне устойчивого состояния. Раздел 2 представляет примерные аналитические объяснения, которые фокусируются на том, как технологические шоки влияют на модель экономики. Раздел 3 описывает временные ряды изменений модели и сравнивает их динамические свойства со свойствами стандартной модели реального делового цикла и данными по США. Раздел 4 заключает статью.


1.2 Колебания вокруг устойчивого состояния

Вне устойчивого состояния модель состоит из системы нелинейных уравнений, представляющих собой математические ожидания. Чтобы решить эту систему, мы используем аналитическую технику Campbell (1994), которая ищет примерные решения, трансформируя нелинейные уравнения в логлинейные дифференциальные равенства. Каждое уравнение приведено к виду логлинейного согласно отношениям в устойчивом состоянии переменных, представленных выше, так что переменные в логарифмах представляют собой отклонения от равновесного состояния. Ниже мы коротко опишем процедуру, более детально она описана в Campbell (1994).

Прежде чем решить эту систему уравнений, нам нужно задать некоторые параметры. Два сложных - это β и отношение A/Z. Учитывая то, что фактических данных об этих параметрах очень мало, мы рассмотрим шесть особых случаев. Первые четыре из них сравнивают симметричные и ассиметричные спецификации долей капитала и технологических шоков в домашнем и рыночном секторе. Эти четыре случая таковы: Случай 1: β = 1, α < 1, Zt = 1; Случай 2: β = 1, α < 1, Zt = Atα; Случай 3: β = α, Zt = 1; Случай 4: β = α, Zt = Atα. Во всех случаях рыночная технология At изменяется стохастически.

Эти случаи учитывают только часть возможностей. В первом случае минимизируется роль сектора домашнего производства при помощи исключения домашнего капитала и инноваций в домашней технологии. Таким образом, это наиболее близко стандартным установкам модели реального делового цикла. Единственное отличие от стандартной модели реального делового цикла состоит в том, что домашняя технология детерминировано растет в устойчивом состоянии. Таким образом, мы назовем ее детерминистической моделью домашней технологии. В дальнейшем, предполагая, что МЭЗ ≡ 1/γ = 1, этот случай, в целом, эквивалентен модели Hansen (1985) с раздельным трудом, с логарифмической функцией полезности по потреблению досуга. Мы будем относиться к случаю 1 c МЭЗ ≡ 1/γ = 1 как к стандартной модели реального делового цикла.

Случай 2 допускает колебания в домашней технологии, которые идеально коррелируют с колебаниями рыночной технологии, но предполагает, что домашний капитал не входит в технологию производства домохозяйств. Мы будем называть этот случай моделью стохастической домашней технологии. Чтобы интуитивно понять, как домашняя технология может улучшиться, когда улучшается рыночная технология, представьте пример развития Интернета. Он ускорил рост производства в США в конце 90-х годов, но вполне понятно, что это также увеличило способности нерыночного времени производить полезность (здесь – домашнее производство) при помощи Интернет-магазинов, Интернет-чатов и.т.п. С другой стороны, представьте эффект шока цен на нефть в 1970-х (это не в точности технологические шоки, но их часто так рассматривают в простой двухфакторной модели РДЦ). Высокие цены на нефть снизили продуктивность рыночного времени, они также могли снизить продуктивность нерыночного времени, уменьшая доступность путешествий и возможность поддерживать комфортную температуру зимой.

Случай 3 вводит в модель домашний капитал, с той же долей, что и рыночный, но предполагает не стохастический рост домашней технологии. Мы будем называть эту модель моделью домашнего капитала. Наконец, случай 4 запрещает равенство технологических шоков и долей капитала в функциях домашнего и рыночного производства. Мы назовем случай 4 симметричной моделью домашнего производства. Заметьте, что симметричная модель домашнего производства аналогична стохастической модели домашнего производства, когда мы вводим домашний капитал в функцию домашнего производства. В каждом случае изменение Atα на 1 процент приводит к изменению на α процентов в технологии в функциях домашнего и рыночного производства. Таким образом, шоки технологии влияют на домашний и рыночный сектора симметрично. Мы называем случаи 2 и 4 случаями симметричных технологических шоков и сравниваем их со случаями 1 и 3, в которых технологические шоки создают изменения в относительной продуктивности домашнего и рыночного секторов.

Случаи 3 и 4 предполагают, что интенсивность капитала в домашнем производстве такая же, как и в рыночном (β = α). Поэтому мы называем их случаями симметричной доли капитала. В то время как предположение о симметричной доле капитала привлекательно своей простотой, оно подразумевает неоправданно низкие значения отношения потребление - производство в устойчивом состоянии уравнения (17), равного примерно 0,25, в то время как α=2/3. Эта проблема не возникает, когда β=1, так как в этом случае C/Y=0,75, значение лишь немного большее, чем в данных по США, но вполне объяснимое. Чтобы решить эту проблему, оставляя капитал в функции домашнего производства, мы вводим два дополнительных случая, которые устанавливают β=0,92, значение, которое позволяет уравнению (17) грубо соотнести среднее отношение потребление – производство с его значением 0,667 в послевоенных данных США. Эти 2 случая – это случай 5 (трудоинтенсивная модель домашнего капитала) β = 0,92, α = 2/3, Zt = 1; и случай 6 (трудоинтенсивная модель домашнего производства) β = 0,92, α = 2/3, Zt = Atα. Случаи 5 и 6 предполагают, что капитал включается в функцию домашнего производства, хотя и гораздо менее интенсивно, чем в случаях 3 и 4. Для всех шести случаев мы предполагаем, что логарифмические отклонения от технологического прогресса в стационарном состоянии следуют авторегрессивному процессу, at+1 = фat + εt+1, 0 ≤ ф ≤ 1. Далее мы рассмотрим решение каждого из этих случаев.

Параметры в этих моделях фиксируются ежеквартально. При росте в устойчивом состоянии g=0,005 (2% в год), реальная ставка процента в устойчивом состоянии устанавливается равной 0.015 (6% в год), α, доля труда в процессе рыночного производства, устанавливается равной 0,667, как и говорилось ранее; ставка дисконтирования, δ, равняется 0,025 (10% в год) и N, распределение времени по рыночной деятельности в устойчивом состоянии, равняется 1/3. мы позволяем МЭЗ и φ принимать ряд значений рассматриваемых ниже. Таблица 1 описывает, какое значение принимает каждый из параметров в каждом из случаев.

В моделях с домашним капиталом мы далее предполагаем, что капитал может быть перераспределен между домашним и рыночным секторами в течение периода. Это предположение вводит то, что валовой предельный продукт домашнего и рыночного капитала (первоначально определенный двумя межвременными условиями первого порядка (8) и (9)) уравнивается в течение периода, что позволяет нам определить переменную единого запаса капитала Ft = Kt + Dt, вместо того, чтобы вводить этот капитал по отдельности. Эта переменная очень упрощает процедуру аналитического решения.

Аналитическое решение системы нелинейных уравнений ищется при помощи трансформирования модели системы примерных логлинейных ожидаемых дифференциальных уравнений. Как и ранее, маленькие буквы обозначают логарифмы переменных. В случаях 1 и 2 эта процедура получает логлинейное решение для логарифмического отклонения от устойчивого состояния как функцию двух переменных kt и at.


νt = ηνk + ηνaat


νt = ct, kt+1, nt, yt, ht, и где ηyx обозначает частичную эластичность y по x, приравненному к константе. Аналогично, для случаев 3-6 процедура получает решение для логарифмического отклонения от устойчивого состояния как функция двух переменных ft и at.


νt = ηνf + ηνaat


где νt = ct, ft+1, kt, nt, yt, и ht. Эластичности - это сложные функции параметров модели и отношений, переменных в устойчивом состоянии, которые уже были рассмотрены. В приложении, если понадобиться, даны полные аналитические решения для каждого случая.

Общим для нашей модели и модели стандартного РДЦ является то, что эластичности по запасу капитала в текущем периоде (η.kиη.f) зависят от МЭЗ - и поэтому также и от эластичности замещения между домашним и рыночным потреблением – а не от постоянного параметра технологического прогресса (см. Campbell 1994). Это происходит, потому что эластичности по запасу капитала измеряют влияние роста капитала на переменные при неизменном уровне технологии.





2. эластичности и их интерпретация.


2.1 Общие свойства модели

У модели, которую мы представляем, есть два важных свойства: во-первых, статическая эластичность замещения домашнего и рыночного потребления (СЭЗ) равняется межвременной эластичности замещения (МЭЗ). Эта модель соглашается с фактом абсолютного соответствия желания перенести рыночное потребление по времени и заместит рыночное потребление домашним. Важно понимать, что тесная положительная связь СЭЗ и МЭЗ не такое уж необычное свойство нашей системы. В действительности, как показано в Приложении А, в наиболее популярной несепарабельной спецификации модели домашнего производства, которая была изучена в существующей лит