Реферат: Программа по математике для проведения вступительных испытаний в колледж (на правах факультета)

Программа по математике

для проведения вступительных испытаний в

колледж (на правах факультета)

МГГУ им. М.А. Шолохова


(для поступающих на базе основного общего образования)


Раздел № 1. Числа и вычисления.


Содержание раздела.

Множество действительных чисел и его подмножества: натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Обыкновенная и десятичная записи чисел. Периодические дроби.

Основные понятия теории делимости на множестве натуральных чисел.

Модуль (абсолютная величина) числа.

Степень числа. Корень n-ой степени из числа.


^ Абитуриент должен знать:

правила арифметических действий с натуральными, целыми и рациональными числами в обыкновенной и десятичной записи, правила обращения десятичных дробей в обыкновенные, и наоборот, правила сравнения чисел;

свойства и признаки делимости натуральных чисел, определения и примеры простых и составных чисел, понятия НОД и НОК, их свойства и взаимосвязь;

определение и свойства модуля (абсолютной величины) действительного числа;

определение и свойства степени с натуральным, целым и рациональным показателями, определение и свойства корня n-ой степени из числа;

приближенное значение числа  , с точностью до сотых;


Абитуриент должен уметь:

находить значения числовых выражений различной степени сложности, содержащих все арифметические действия над числами в обыкновенной и десятичной записи;

обращать периодическую дробь в обыкновенную;

приводить примеры простых и составных чисел, раскладывать составные числа на простые множители;

находить НОД и НОК двух и более натуральных чисел, приводить примеры взаимно простых чисел;

находить значения числовых выражений, содержащих модули, степени и корни;

приводить примеры иррациональных чисел (кроме ).


Абитуриент должен иметь представление о:

иррациональных числах;

приближенных вычислениях, погрешностях, округлении чисел;

записи чисел римскими цифрами.


Абитуриент должен понимать:

свойства действий над числами;

приемы, упрощающие техническую сторону устных и письменных вычислений;

различия понятия корня и арифметического корня, правила использования символа ;

доказательства свойств степени и корня.

Раздел № 2. Выражения и их преобразования.


Содержание раздела.

Буквенно-числовые и буквенные выражения.

Одночлены. Многочлены. Алгебраические дроби. Формулы сокращенного умножения. Преобразования рациональных выражений. Преобразования иррациональных выражений.

Основные определения и формулы тригонометрии. Простейшие преобразования тригонометрических выражений.


Абитуриент должен знать:

правила действий с одночленами, многочленами, алгебраическими дробями;

способы разложения многочленов на множители;

основные формулы сокращенного умножения;

определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, исходя из тригонометрического круга;

значения тригонометрических функций основных углов,

основные тригонометрические формулы: основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного, тройного и половинного аргументов, формулы понижения степени, формулы приведения;


^ Абитуриент должен уметь:

проводить преобразования рациональных выражений, используя правила действий с одночленами, многочленами, алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители, основные формулы сокращенного умножения;

проводить вычисления с арифметическими корнями и преобразования выражений, содержащих арифметические корни, используя свойства корней;

проводить тригонометрические вычисления и преобразования тригонометрических выражений, используя основные формулы тригонометрии;

проводить тригонометрические преобразования сумм в произведения и произведений в суммы;


Абитуриент должен иметь представление о:

допустимых и недопустимых значениях букв в буквенно-числовых выражениях;


Абитуриент должен понимать:

сущность понятий тождество и тождественное преобразование;

классификацию математических выражений;

особенности преобразований выражений различных классов;

тригонометрический круг;

доказательства основных тригонометрических формул;

конкретные примеры применения преобразований выражений к решению различных математических задач.



Раздел № 3. Уравнения и неравенства.


Содержание раздела.

Уравнение и его корни. Классификация уравнений. Сущность процесса решения уравнений. Методы и приемы решения уравнений. Равносильные и неравносильные уравнения.

Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Целые рациональные уравнения. Дробные рациональные уравнения.

Неравенства. Числовые промежутки. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

Системы неравенств.

Простейшие системы уравнений.


Абитуриент должен знать:

определения понятий: уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения;

классификацию уравнений, существенные признаки уравнений различных классов;

формулу корней квадратного уравнения (с выводом);

формулу разложения квадратного трехчлена на линейные множители;

теорему Виета и ей обратную для квадратного уравнения (без доказательств);

алгоритм метода интервалов для решения рациональных неравенств;

основные теоремы о равносильности уравнений (без доказательства);

основные теоремы о равносильности неравенств (без доказательства);

определение понятий: система уравнений, решение системы уравнений;

основные теоремы о равносильности систем уравнений (без доказательств).


Абитуриент должен уметь:

приводить конкретные примеры уравнений с различным количеством корней;

решать линейные и квадратные уравнения;

решать целые рациональные уравнения, сводимые к линейным и квадратным элементарными алгебраическими преобразованиями;

решать биквадратные уравнения;

находить корни многочленов, целых и дробных рациональных уравнений методом разложения на множители;

решать рациональные неравенства методом интервалов;

записывать решения неравенств в виде объединения числовых промежутков;

решать системы и совокупности неравенств;

применять метод введения новой переменной при решении уравнений и неравенств;

решать простейшие системы рациональных уравнений;

решать системы уравнений, не являющихся рациональными;

осуществлять графическое решение уравнений с одной переменной;


Абитуриент должен иметь представление о:

графическом решении уравнений, неравенств, систем;


Абитуриент должен понимать:

сущность процесса решения уравнений;

особенности использования равносильных и неравносильных преобразований уравнений;

сущность метода разложения на множители при решении уравнений;

сущность метода введения новой переменной при решении уравнений;

возможности графических рассуждений при решении уравнений;

обоснование метода интервалов решения рациональных неравенств;


Раздел № 4. Сюжетные задачи.


Содержание раздела.

Сюжетная задача и ее решение. Арифметическое и алгебраическое решение сюжетных задач. Классификации сюжетных задач.

Деление на части, пропорции, проценты. Отношения «больше – меньше» в сюжетных задачах. Задачи с геометрическим содержанием. Задачи с физическим содержанием. Торгово-денежные отношения в сюжетных задачах. Соотношения между натуральными числами в сюжетных задачах. Задачи на движение. Задачи на работу. Задачи на смеси и сплавы.

Последовательности. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Сюжетные задачи на прогрессии.


^ Абитуриент должен знать:

правила нахождения части от целого и целого по части;

понятие пропорции, применение пропорций к решению сюжетных задач в случаях прямой и обратной пропорциональности;

определения и основные свойства арифметической прогрессии;

определение и основные свойства геометрической прогрессии;


Абитуриент должен уметь:

анализировать условие сюжетной задачи, составлять его краткую запись в форме удобной для поиска пути решения задачи;

проводить процентные вычисления;

решать сюжетные задачи различных типов;

приводить примеры и контрпримеры арифметической и геометрической прогрессий;

проводить вычисления по формулам прогрессий;


Абитуриент должен иметь представление о:

о последовательностях, не являющихся прогрессиями;


Абитуриент должен понимать:

процесс решения сюжетной задачи как процесс математического моделирования, особенности этапов составления модели, внутримодельного решения, интерпретации результатов;

сущность основных эвристик, применяемых при решении сюжетных задач.



^ Раздел № 5. Функции и графики.


Содержание раздела.

Понятие функции. Основные функциональные понятия: область определения и множество значений функции.

График функции. Свойства функций. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Четность и нечетность функций.

Элементарные функции. Линейная функция. Функция y = x. Степенная функция с целым показателем. Функция у = . Функция у = .

Геометрические преобразования графиков функций.

Исследование функций элементарными средствами.


Абитуриент должен знать:

определения основных функциональных понятий;

определения четной и нечетной функций;

определения возрастающей и убывающей функций, точек экстремума;

графики и свойства важнейших элементарных функций: линейной, квадратичной, функция y = x, дробно-линейной, степенной функции с целым показателем, функции у = , функции у = .


Абитуриент должен уметь:

находить область определения аналитически заданной функции;

находить множество значений аналитически заданной функции (в очевидных случаях);

«переходить» от одного способа задания функции к другому;

осуществлять геометрические преобразования графиков функций;

строить графики функций по заданному набору свойств;

«читать» графики функций;

уметь находить нули функции, промежутки знакопостояества функции;

исследовать функцию на четность и нечетность;

исследовать функции на монотонность и экстремумы элементарными средствами;


Абитуриент должен иметь представление о:

свойствах четных и нечетных функций;


Абитуриент должен понимать:

сущность функционального соответствия, особенности функциональной символики;

особенности различных способов задания функций;



Раздел № 6. Планиметрия.


Содержание раздела.

Аксиомы планиметрии. Луч, отрезок, угол. Параллельность и перпендикулярность на плоскости.

Треугольники. Равенство и подобие треугольников. Пропорциональные отрезки. Медианы, биссектрисы, высоты. Метрические соотношения в треугольнике.

Окружность, круг, дуга, хорда, диаметр. Углы, связанные с окружностью. Секущая и касательная к окружности. Треугольники и окружность. Четырехугольники. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Трапеция. Четырехугольники и окружность.

Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Правильные многоугольники.

Площади плоских фигур.

Векторы и их применение к решению задач. Система координат на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии. Различные уравнения прямой. Уравнение окружности.

Преобразования фигур. Движение. Подобие. Гомотетия.

Задачи на построение.

^ Абитуриент должен знать определения понятий:

угол; прилежащие углы, смежные углы, вертикальные углы; развернутый, прямой, острый, тупой углы; соответственные, внутренние и внешние односторонние, внутренние и внешние накрест лежащие углы; треугольник, внешний угол треугольника, средняя линия треугольника;

окружность и круг; дуга, хорда, диаметр окружности; центральный и вписанный углы, секущая и касательная к окружности; круговой сектор, круговой сегмент;

параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция;

вектор, движение, симметрия, поворот, параллельный перенос, подобие, гомотетия.


Абитуриент должен знать формулировки теорем:

критерий параллельности прямых;

свойства равнобедренного треугольника;

признаки равенства треугольников;

признаки подобия треугольников;

о пропорциональных отрезках в произвольном треугольнике;

о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике;

об углах, связанных с окружностью;

свойства касательной к окружности;

о центрах окружностей вписанной в треугольник и описанной около треугольника;

теорема синусов;

теорема косинусов;

свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата;

свойства произвольной и равнобедренной трапеций;

площадях подобных треугольников;

о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.


Абитуриент должен знать формулировки и доказательства теорем:

о сумме углов треугольника;

о средней линии треугольника;

теорема Фалеса;

теорема Пифагора;

о сумме квадратов диагоналей трапеции;

о сумме внутренних углов произвольного многоугольника;

о выражении скалярного произведения векторов через их координаты.


Абитуриент должен знать формулы:

площади прямоугольника;

площади параллелограмма;

основную формулу площади треугольника;

формулу площади треугольника, связанную с радиусом описанной окружности;

формулу Герона площади треугольника;

площади трапеции;

длины окружности;

площади круга;

уравнение окружности;

выражение длины вектора в координатах;


Абитуриент должен уметь:

грамотно воспроизводить теоретические знания по планиметрии в письменной форме;

решать различные геометрические задачи на вычисление, применяя указанные выше теоремы и формулы;

проводить геометрические задачи доказательства, применяя указанные выше теоремы;

грамотно составлять чертежи, адекватно иллюстрирующие заданные геометрические ситуации;

решать простейшие (основные) задачи на построение;

применять методы аналитической геометрии в процессе решения задач.


Абитуриент должен иметь представление о:

свойствах углов с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами;

свойствах медиан, высот и биссектрис треугольника;

о вписанных и описанных четырехугольниках;

о вписанных и описанных правильных многоугольниках;

об операциях над векторами и их свойствах;

о свойствах преобразования движения;

о свойствах преобразования подобия;

о способах решения задач на построение.


Абитуриент должен понимать:

логическое строение геометрии и планиметрическую аксиоматику;

различные случаи взаимного расположения прямых на плоскости;

сущность отношения равенства на множестве геометрических фигур;

сущность понятия площади;

сущность векторно-координатного метода в планиметрии;

сущность геометрических преобразований движения и подобия, возможности их применения при решении задач;

принципиальную схему решения задач на построение.