Реферат: Программа дисциплины Аппроксимационные методы моделирования непрерывных процессов Семестры


Направление 010100 Математика

Профиль Математическое моделирование

Степень бакалавр

Программа

дисциплины Аппроксимационные методы моделирования непрерывных процессов


Семестры 7


Цель курса – изложить два современных и наиболее популярных метода численного решения уравнений с частными производными – метод конечных (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ), другое название которого – метод граничных интегральных уравнений. Эти методы широко и успешно применяются при решении различных прикладных задач: расчет на прочность различных сооружений и деталей машин, задачи обтекания, задачи на собственные значения и другие прикладные задачи, математическая модель которых приводит к необходимости решать обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения с частными производными. Для реализации этих методов широко используются методы математического анализа, линейной алгебры, функционального анализа и теории приближения функций. Кроме того, в курсе дается представление о всплесках и фракталах. Курс закладывает базу по практическому применению методов конечных и граничных элементов при решении прикладных задач.

^ Содержание курса

I. Введение. Основные идеи метода конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов. Примеры практических задач, решаемых указанными методами. II. Метод конечных элементов (МКЭ) для эллиптических задач.

Линейные и билинейные формы: ограниченность, коэрцетивность. Общая схема Ритца, существование и единственность точного и приближенного решения. Общие оценки погрешности. Функциональные гильбертовы и банаховы пространства. МКЭ для гармонического уравнения: триангуляция, линейные и билинейные базисные функции, формирование локальных и глобальных матриц жесткости и массы и локального и глобального векторов нагрузки.

III. Различные типы триангуляций и базисных функций, оценки погрешности аппроксимации интерполяционными кусочно полиномиальными функциями.

IV. МКЭ для эллиптических краевых задач более высокого порядка: бигармоническое уравнение, расчет тонких упругих оболочек.

V. Метод граничных элементов. Понятие фундаментального решения и функции Грина. Вывод граничного интегро-дифференциального уравнения для краевой задачи. Вывод уравнения, связывающего решение внутри области со значениями решения и некоторых его производных на границе. Дискретизация. Анализ соответствующей линейной алгебраической системы. Методы построения фундаментальных решений, частично удовлетворяющих однородным граничным условиям.

VI. Метод конечных элементов для параболических и гиперболических задач. Линейные задачи и полудискретные методы их численного решения. Схема Кранка – Никольсона (дробных шагов). Нелинейные задачи. Схема предиктор-корректор. Определение граничных условий для соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

VII. МКЭ в задачах на собственные значения.

VIII. Некоторые современные вариации и модификации МКЭ. Криволинейная триангуляция. Анализ якобианов преобразования криволинейных треугольников, симплексов, четырехугольников в стандартные. Нерешенные задачи. Понятие о переходных элементах. Применение в МКЭ неполиномиальных базисных функций (дробно-рациональные, всплески и др.). Понятие о p, h и (h-p)-вариантах МКЭ. В-сплайны в МКЭ. Согласованные и несогласованные базисные функции.

IX. Интерполяционные всплески. Преобразование Фурье. Ортонормируемые всплески. Условие ортонормируемости в терминах преобразования Фурье. Пирамидальная схема. Понятие о фрактальных сжатиях.


Разработчик Субботин Юрий Николаевич, член-корреспондент РАН,

доктор физ.-мат. наук, профессор;

кафедра математического анализа и теории функций,

Уральский государственный университет им. А. М. Горького
еще рефераты
Еще работы по разное