Реферат: Программа дисциплины «Динамические системы» Направление

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики


Программа дисциплины

«Динамические системы»


Направление:

010100.68 «Математика»

Подготовка:

магистр

^ Форма обучения:

очная


Автор программы: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман



Рекомендовано







секцией УМС по математике







Председатель







_____________________________________







«___» ________________________2009 г.

























Утверждена УС




Одобрена на заседании

факультета математики




кафедры геометрии и топологии

Ученый секретарь доцент




Зав. кафедрой, академик


_________________________Ю.М.Бурман





_______________________В.А.Васильев

«___» ________________________2008 г.




«___» ______________________2008 г.



Москва

2008


Рабочая программа дисциплины «Динамические системы» [Текст]/Сост. Ю.М.Бурман; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.


Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».


Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».


Составитель: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман (burman@mccme.ru)



©

Ю.М.Бурман, 2008.

©

Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.


Тематический план учебной дисциплины

№
^ Название темы
Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя-тельная

работа

Лекции

Семинарские занятия

1

Динамические системы с дискретным временем.

28

4

4

20

2

Динамические системы с непрерывным временем.

24

3

3

18

3

Динамические системы с комплексным временем.

28

4

4

20

4

Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана.

28

4

4

20

Итого

108

15

15

78


Базовые учебники




А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005



А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000



Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции.–Пер. с англ.–Ижевск: РХД, 2000.



^ Формы контроля

Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.

Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.

Итоговый контроль: письменный экзамен (2 модуль), 3 часа.

^ Итоговая оценка



Формы работы

Вклад в итоговую оценку (%)

Домашние задания

20

Контрольная работа

20

Зачет

30

Экзамен

30


Содержание программы


Тема 1. Динамические системы с дискретным временем.


Примеры: перекладывание отрезков, теорема Оселедеца-Кина. Периодические точки отображений: порядок Шарковского, классификация периодических точек диффеоморфизмов окружности. Локальная динамика ростков z -> z+zp+... Модули Экалля-Воронина. Топологическая и аналитическая классификации.

^ Основная литература
1. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005
^ Дополнительная литература
1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.


Тема 2. Динамические системы с непрерывным временем


Теорема Пуанкаре о возвращении. Гомоклинические траектории и подкова Смейла. Устойчивость динамической системы и показатели Ляпунова. Коцикл Концевича-Зорича. Понятие о КАМ-теории.

^ Основная литература
А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией А.С.Городецкого. – М.: МЦНМО, 2005



^ Дополнительная литература
Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Ижевск: РХД, 2008.


Тема 3. Динамические системы с комплексным временем


Фуксовы дифференциальные уравнения. Структура пространства решений системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной и фуксовой особой точки. Основы теории голоморфных слоений.

Основная литература

А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000

Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции.–Пер. с англ.–Ижевск: РХД, 2000.
^ Дополнительная литература
1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.


Тема 4. Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана.


Соотношение Фукса. Восстановление системы уравнений по монодромии. Проблема Римана-Гильберта.


Основная литература


А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000



^ Дополнительная литература


1. Аносов Д.В. Лекции по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Ижевск: РХД, 2008.


Тематика заданий по различным формам контроля

Вариант контрольной работы
Обозначим P вероятностную меру на множестве слов из n символов 0 и 1, при которой вероятность одноточечного множества равна 1/2n. Пусть Wk(n) – множество, слов, содержащих ровно k единиц. Пусть a > 0 фиксировано, а |k/n – ½| < a. Докажите, что найдется число t < 1 такое, что при всех достаточно больших n имеем P(Wk(n)) < tn.

Докажите, что у каждого неминимального перекладывания отрезков существует инвариантное множество, являющееся объединением конечного числа интервалов.

Докажите, что при отображении подковы Смейла множество периодических точек с заданным периодом p дискретно.

Приведите пример двумерного слоения на четырехмерном торе с ненулевым классом Годбийона-Вея.



^ Вариант письменного экзамена
Пусть перекладывание отрезков таково, что при его итерациях точки разрыва никогда не переходят в точки разрыва. Докажите, что перекладывание минимально и не имеет периодических точек.

На трехмерной сфере задано векторное поле. Докажите, что плоскости, ортогональные к этому слоению относительно стандартной римановой метрики, образуют неинтегрируемое распределение.

На CP2 рассмотрим стандартную симплектическую структуру и гамильтонову систему с гамильтонианом H(u:v:w) = v/u. На каких уровнях гамильтониана система имеет периодические траектории?

Пусть фуксово дифференциальное уравнение второго порядка имеет только однозначные решения. Предположим, что особыми точками уравнения являются z1, z2 и бесконечность, с экспонентами (a,b), (c+1,c) и (a,b) соответственно. Докажите, что такое уравнение единственно.



Автор программы

доцент

Ю.М.Бурман