Реферат: Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет Высшая школа экономики» Факультет Математики программа дисциплины

Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Выпуклые многогранники» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра





Правительство Российской Федерации


Государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Государственный университет - Высшая школа экономики»


Факультет Математики


^ Программа дисциплины Выпуклые многогранники


для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра


Автор программы:

Тиморин В.А., к.ф.-м.н., vtimorin@hse.ru


Одобрена на заседании кафедры геометрии и топологии «___»____________ 2010 г.

Зав. кафедрой В.А. Васильев


Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2010 г.

Председатель С.К.Ландо


Утверждена УС факультета математики «___»_____________2010 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________


Москва, 2010

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
^ 1Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

ГОС ВПО;

Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2010 г.



^ 2Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Выпуклые многогранники» являются

ознакомление студентов с основными комбинаторными структурами, связанными с теорией выпуклых многогранников

освоение методов выпуклой геометрии и линейного программирования

представление о диапазоне применений методов и понятий теории выпуклых многогранников как в самой математике, так и за ее пределами.



^ 3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:

Знать основные определения и формулировки основных теорем теории выпуклых многогранников.

Уметь пользоваться симплекс-методом, вычислять комбинаторные инварианты выпуклых многогранников, применять теорию выпуклых многогранников в задачах, приходящих из других областей математики, таких как геометрия, топология, математическая физика, теория особенностей и т.д.

Иметь навыки работы с комбинаторными и алгебраическими структурами (матроиды, симплициальные комплексы, диаграммы Гейла, алгебры выпуклых цепей и т.п.), связанными с теорией выпуклых многогранников



^ 4Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.


^ 5Тематический план учебной дисциплины
№

Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия




Линейная оптимизация (линейное программирование)




5

5




17




Комбинаторика выпуклых многогранников




5

5




17




Геометрические неравенства




5

5




17




Применения выпуклых многогранников в математике




5

5




17




Итого:

108

20

20




68



^ 6Формы контроля знаний студентов
Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

*




9




письменная работа 60 минут

Итоговый

Экзамен











v

письменный экзамен 90 мин.


3, 4 модули


^ 6.1Критерии оценки знаний, навыков
Промежуточная письменная работа: знакомство с методами линейного программирования (в особенности симплекс-методом), знание определений основных комбинаторных инвариантов выпуклых многогранников, навыки работы с симплициальными комплексами и диаграммами Гейла.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

^ 7Содержание дисциплины
Раздел 1 Линейная оптимизация (линейное программирование).

Примеры задач линейного программирования (математическая экономика, логистика и т.д.) - 1 лекция, 1 семинар. Определение выпуклого многогранника, граней, реперов — 1 лекция, 1 семинар. Основной шаг симплекс-метода (перемещение от репера к соседнему реперу), простые многогранники — 1 лекция, 1 семинар. Инициализация (выбор первого репера) — 1 лекция, 1 семинар. Комбинаторные и геометрические следствия — 1 лекция, 1 семинар.

Литература: [ЕКК]


^ Раздел 2. Комбинаторика выпуклых многогранников.

Определение f-вектора и h-вектора, соотношения Дена-Соммервилля — 1 лекция, 1 семинар. Циклические многогранники, теорема о максимальном числе граней — 1 лекция, 1 семинар. Комбинаторика симплициальных комплексов — 1 лекция, 1 семинар. Диаграммы Гейла — 1 лекция, 1 семинар. Примеры комбинаторных многогранников (пермотоэдры, ассоциэдры и т.д.), вычисление их комбинаторных инвариантов - 1 лекция, 1 семинар.

Литература: [ЕКК], [Б], [G], [Z]


^ Раздел 3. Геометрические неравенства.

Изопериметрическое неравенство и его аналоги в геометрии Минковского — 1 лекция, 1 семинар. Неравенство Брунна-Минковского — 1 лекция, 1 семинар. Неравенства на смешанные дискриминанты — 1 лекция, 1 семинар. Многочлен объема, неравенство Александрова-Фенхеля — 2 лекции, 2 семинара.

Литература: [А], [Z]




^ Раздел 2. Применения выпуклых многогранников в математике.

Многогранник Ньютона системы уравнений, теорема Кушниренко-Бернштейна — 2 лекции, 2 семинара. Многогранник Ньютона особенности — 1 лекция, 1 семинар. Отображения момента и многогранник моментов — 1 лекция, 1 семинар. Весовые многогранники в теории представлений — 1 лекция, 1 семинар.

Литература: [E]


^ 8Образовательные технологии
В курсе возможны мастер-классы специалистов в различных областях математики, использующих теорию выпуклых многогранников. Возможны также презентации и математические эксперименты с использованием систем компьютерной алгебры и средств визуализации.

^ 9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента 9.1Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для домашних заданий и промежуточной контрольной работы:

Опишите все многогранники, которые одновременно простые и симплициальные.

Докажите, что многогранник, двойственный к произведению двух треугольников, является 2-смежностным, то есть любые две вершины соединены ребром.

Найдите f-вектор и h-вектор произведения двух симплексов.

Задайте n-мерный пермутоэдр системой неравенств.

Опишите все комбинаторные типы четырехмерных многогранников с 6 вершинами.

Найдите многочлены объема для симплекса и куба.

Среди всех четырехугольников с заданным периметром, опишите четырехугольники максимальной площади.

Пользуясь многогранником Ньютона, найдите число решений данной системы полиномиальных уравнений.



^ 10Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских и практических занятиях: оценивается правильность решения задач на семинаре. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: контрольные вопросы, короткие тесты. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам.работа.


Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = Одз ;

Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:

Опромежуточный= 0,4·Озачет+ 0,4·Отекущий+ 0,1·Осам.работа+ 0,1·Оаудиторная


Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:

Оитоговый= 0,4·Оэкзамен+ 0,4·Отекущий+ 0,1·Осам.работа+ 0,1·Оаудиторная


На зачете студент может получить дополнительный вопрос, ответ на который оценивается в 1 балл. Таким образом, результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета, получаемая на пересдаче, выставляется по формуле

Опромежуточный= 0,4·Озачет+ 0,4·Отекущий+ 0,1·Осам.работа+ 0,1·Оаудиторная+ Одоп.вопрос


На экзамене студент может получить дополнительный вопрос, ответ на который оценивается в 1 балл. Таким образом, результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена, получаемая на пересдаче, выставляется по формуле

Оитоговый= 0,4·Оэкзамен+ 0,4·Отекущий+ 0,1·Осам.работа+ 0,1·Оаудиторная+ Одоп.вопрос


В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:

Одисциплина= 0,4·Опромежуточный + 0,6·Оитоговый

^ 11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 11.1Базовый учебник
[ЕКК] Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К., «Многогранники, графы, оптимизация».

Москва: «Наука», 1981
^ 11.2Основная литература
[А] Александров А.Д., «Выпуклые многогранники», Москва: ГИТТЛ, 1950

[Б] Брёнстед А., «Введение в теорию выпуклых многогранников», Москва: «Мир», 1988.
^ 11.3Дополнительная литература
[G] B. Gruenbaum, “Convex polytopes”, Springer; 2nd edition (2003)

[Z] G. Ziegler, “Lectures on polytopes”, Volume 152 of Graduate texts in mathematics, Springer, 1995

[E] G. Ewald, “Combinatorial convexity and algebraic geometry», Volume 168 of Graduate texts in mathematics, Springer, 1996


11.4Справочники, словари, энциклопедии
http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_polytope

http://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory%27s_theorem_%28convex_hull%29

http://en.wikipedia.org/wiki/Brunn%E2%80%93Minkowski_theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Helly%27s_theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex_algorithm