Реферат: Программа дисциплины линейная алгебра и аналитическая геометрия по специальности 553100 Техническая физика Разработана

Министерство образования Российской Федерации


МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИРОДЫ, ОБЩЕСТВА И ЧЕЛОВЕКА «ДУБНА»

ФИЛИАЛ «ПРОТВИНО»


УТВЕРЖДАЮ

Проректор__________Ю.С. Сахаров

«___»_________________2006 г.


ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

по специальности


553100 – Техническая физика


Разработана:

Кафедрой «Технической физики»


Заведующий кафедрой


Профессор, д.ф.-м.н. Соколов А.А.


_____________________

(подпись)



Цели и задачи дисциплины


Цель дисциплины – освоение методов аналитической геометрии и линейной алгебры - разделов высшей математики, необходимых для понимания законов классической и современной физики и для решения практических задач в области технической физики.

Задача дисциплины – научить студентов:

исследовать геометрические свойства и взаимное расположение прямых, плоскостей, фигур и тел, ограниченных ими,а также свойства кривых и поверхностей 2-го порядка, с помощью алгебраических методов в различных системах координат;

освоить язык линейной алгебры: матрицы, определители, комплексные числа, абстрактные векторные пространства, линейные операторы, квадратичные формы, понятия о тензорах и теории групп и научиться применять этот язык к решению задач.




^ Требования к уровню освоения содержания дисциплины


В результате изучения дисциплины студент должен получить следующие знания и навыки:

вычислять расстояния, углы, площади и объемы с помощью векторной алгебры;

исследовать и решать произвольные системы линейных уравнений;

исследовать общие уравнения кривых и поверхностей 2-го порядка методами инвариантов и преобразований систем декартовых координат;

извлекать комплексные корни и решать алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел;

умножать матрицы, вычислять определители;



строить базисы линейных пространств, в том числе, ортонормированные базисы в евклидовых пространствах;

исследовать знакоопределенность квадратичных форм;

находить собственные значения и собственные векторы линейных операторов и их матриц;

выполнять операции тензорной алгебры;






Объем дисциплины и виды учебной работы



ид учебной работы Всего
часов
Семестры



1 2 ^ Общая трудоемкость дисциплины








Аудиторные занятия
136

68

68
^ Лекции (Л)
68

34

34

Практические занятия (ПЗ)

68

34

34
^ Самостоятельная работа









Курсовая работа «Кривые и поверхности 2-го порядка»



зачет

Вид итогового контроля



экзамен экзамен



^ Содержание дисциплины


4.1 Тематический план

№

п/п
Разделы дисциплины Лекции ПЗ


Координаты. Прямые и плоскости.

8

8



Векторная алгебра

6

8



Кривые 2-го порядка

6

8



Поверхности 2-го порядка

4

4



Матрицы и определители

6

6



Комплексные числа

2

4



Линейные и евклидовы пространства

8

6



Решение систем линейных уравнений

8

6



Линейные операторы

8

6



Квадратичные формы

4

4



Элементы теории групп

4

4



Элементы тензорной алгебры

4

4

Итого: 68+68


^ 4.2 Содержание разделов дисциплины


.

4.2.1. Координаты. Прямые и плоскости

Декартовы прямоугольные системы координат. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Простейшие задачи аналитической геометрии: деление отрезка в данном отношении, расстояние между двумя точками.

Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости. Уравнение прямой в отрезках на плоскости. Параметрические уравнения прямой. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Уравнение пучка прямых на плоскости, проходящих через заданную точку. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки на плоскости. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой на плоскости к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Преобразование системы координат на плоскости. Перенос начала координат, поворот осей. Формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат на плоскости к другой. Преобразование системы координат в пространстве.

Плоскость в трехмерном пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой линии в пространстве. Общее уравнение прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Переход от общего уравнения к каноническим уравнениям. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Исследование взаимного расположения двух прямых в пространстве. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки.

Исследование взаимного расположения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

^ 4.2.2. Векторная алгебра
Понятие геометрического вектора. Линейные операции над векторами и их свойства. Понятие о линейной зависимости системы векторов. Основные теоремы. Коллинеарность векторов. Условие коллинеарности векторов. Геометрический смысл линейной зависимости для двух векторов. Компланарность. Геометрический смысл линейной зависимости для трех векторов. Определение базиса и координат векторов на плоскости и в пространстве. Аффинные системы координат. Теорема о единственности разложения вектора по базису.

Скалярное произведение векторов. Его основные свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Направляющие косинусы вектора. Выражение их через координаты вектора. Длина вектора. Базис в декартовой прямоугольной системе координат. Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора.Проекция вектора на ось. Угол между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

Векторное произведение, его основные свойства. Векторное произведение, его геометрический смысл. Условие коллинеарности двух векторов. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и основные свойства. Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей.


^ 4.2.3. Кривые 2-го порядка

Линии второго порядка на плоскости. Исследование уравнения линии второго порядка с помощью поворота осей координат и переноса начала координат. Классификация линий второго порядка на плоскости. Эллипс. Исследование формы. Фокусы, эксцентриситет, директрисы и их свойства. Гипербола. Исследование формы. Фокусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты и их свойства. Парабола. Исследование формы. Фокус, эксцентриситет, директриса и их свойства.

^ 4.2.4. Поверхности 2-го порядка

Поверхности второго порядка. Общий и канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Эллипсоид. Исследование формы методом сечений. Эллипсоид вращения. Однополостный гиперболоид. Исследование формы методом сечений. Однополостный гиперболоид вращения. Двуполостный гиперболоид. Исследование формы методом сечений. Двуполостный гиперболоид вращения.

Эллиптический параболоид. Исследование формы методом сечений. Параболоид вращения. Гиперболический параболоид. Исследование формы методом сечений.

Общее уравнение цилиндрических поверхностей второго порядка. Уравнения эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров. Конусы второго порядка.

^ 4.2.5. Матрицы и определители

Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства. Понятие перестановки (подстановки). Инверсия, транспозиция, четность перестановки.Определитель n- порядка. Получение общей формулы. Свойства определителей n- порядка. Доказательство свойств. Теорема об определителе произведения двух матриц. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами и их свойства. Обратная матрица и ее свойства. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Вычисление определителей. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре (о ранге матрицы) и следствия из нее. Элементарные преобразования матриц. Основные методы вычисления ранга матрицы.


^ 4.2.6. Комплексные числа

Комплексные числа. Определение и свойства операций над комплексными числами. Примеры. Геометрическое изображение комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Примеры. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня комплексного числа. Примеры. Алгебраические многочлены, алгебраические уравнения и их корни. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) о корнях уравнения (без доказательства). Следствия из теоремы. Теорема о сопряженных корнях многочлена. Разложение алгебраического многочлена на множители.


^ 4.2.7. Линейные и евклидовы пространства

Линейные векторные пространства. Определение и примеры. Понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, размерность и базис векторного пространства. Единственность разложения вектора по базису линейного векторного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Линейное выражение любого вектора через базис (теорема). Матрица перехода от одного базиса линейного векторного пространства к другому. Преобразование координат вектора. Подпространство линейного векторного пространства. Евклидовы пространства. Определение и примеры. Длина вектора, угол между векторами в евклидовом пространстве. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.


^ 4.2.7. Решение систем линейных уравнений

Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Основные определения. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера. Решение системы с использованием обратной матрицы. Теорема Кронекера-КапеллиОднородные системы линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения однородной системы. Фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Метод последовательных исключений Гаусса.


^ 4.2.9. Линейные операторы

Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора в заданном базисе линейного пространства. Связь между линейными операторами и квадратными матрицами. Примеры. Операции над линейными операторами. Понятие оператора, обратного к линейному. Существование обратного оператора. Свойства обратного оператора. Понятия ядра, образа, дефекта и ранга линейного оператора. Теорема о соотношении между размерностями ядра, образа линейного оператора и размерности линейного пространства. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису линейного пространства. Характеристический многочлен, характеристическое уравнение. Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Спектр оператора. Существование собственных значений оператора. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям. Сопряженные операторы, их матрицы. Свойства сопряженных операторов. Самосопряженные операторы и их свойства. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих его различным собственным значениям.


^ 4.2.10. Квадратичные формы

Билинейные формы в линейном пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Формулы Якоби. Закон инерции квадратичных форм. Сигнатура. Знакоопределённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Полуторалинейные и эрмитовы формы. Квадратичные формы в евклидовом (и унитарном) пространстве


^ 4.2.11 Элементы теории групп (?).

Понятие группы. Изоморфизм групп. Подгруппы. Классы смежности. Нормальные делители. Фактор-группы. Группы преобразований: GL(n), SL(n), O(n), SO(n), U(n), SU(n) и т.д. Группы Лоренца и Пуанкаре. Линейные представления групп. Приводимые и неприводимые представления. Характеры


^ 4.2.12. Элементы тензорной алгебры (?)

Сопряженное (дуальное) линейное пространство. Взаимные базисы. Ковариантные и ковариантные векторы. Понятие тензора. Операции над тензорами. Метрический тензор в евклидовом пространстве. Жонглирование индексами.Полностью антисимметричные тензоры. Ориентированный объем. Тензоры в псевдоевклидовом пространстве.


^ Тематика практических занятий и самостоятельной работы


Систематическое решение задач в соответствии с материалом изучаемых разделов курса.

^ Учебно-методическое обеспечение дисциплины



Рекомендуемая литература




Основная литература:

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: «Наука», 1981 г.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: «Наука», 1978 г.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: «Наука», 1986 г.

Проскуряков И.В.. Сборник задач по линейной алгебре. М.: «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2005 г.

Дополнительная литература:

Беклемишев. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: «Высшая школа», 2001 г.

Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.- М.; «Физматлит», 2001 г.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.- М.: «Наука», 1984 г.

4) Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре.- СПб. 1999.

Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 553100 «Техническая физика».


Программа одобрена на заседании кафедры.


Программу составил д.ф.м.н., профессор Соловьев В.О.


Рецензент