Реферат: Методические указания к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы»

Министерство образования Украины

Национальный технический университет Украины

«Киевский политехнический институт»

Институт телекоммуникационных систем


Теория электрических цепей и сигналов

Методические указания к курсовой работе

«РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ИХ РАБОТЫ»


Б.Н.Шелковников, О.В.Колчанов


Рассмотрены и одобрены

на заседании института

телекоммуникационных сетей и систем

Протокол №________________________

от _________________________________


Киев - 2002г


УДК 621.395.001

Теория электрических цепей


Методические указания у курсовой работе

^ «РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ИХ РАБОТЫ»


Б.Н.Шелковников, О.В.Колчанов

-НТУУ «КПИ», 2002г.


Методические указания включают три раздела:

Математические модели различных режимов работы электронных схем и

методы и алгоритмы расчета различных режимов работы электронных схем.

Методы и алгоритмы анализа чувствительности электронных схем.

Методы и алгоритмы оптимизации электронных схем.


Методические указания к курсовой работе предназначены для выполнения курсовой работы студентами института телекоммуникационных систем НТУУ «КПИ», по вышеупомянутой дисциплине, а также для самостоятельной работы при изучении курса.

Библиография назв.

Рецензенты:


ВВЕДЕНИЕ

Использование персональных электронных вычислительных машин (ПЭВМ) во всех областях человеческой деятельности - характер­ная черта научно-технической революции. ПЭВМ, особенно высоко­производительные, способствуют ускорению прогресса в радиоэлектронной промышленности. Использование ПЭВМ предполагает разработку соответствующего специализированного математического (методы, алгоритмы) и программного обеспечения.

Цель курса изложенного в методических указаниях - помочь в изучение электронных схем как объектов исследования и проектирования, получение навыков формулирования задач исследования и проектирования, овладение методами и алгорит­мами решения задач исследования в проектирования электронных схем, навыками реализации задач в виде программного обеспечения на ПЭВМ. Изложение курса базируется на знаниях студентами курсов математики, физики, теоретических основ электротехники, полупро­водниковых приборов, электронных цепей непрерывного и импульсно­го действия.

В методические указания входит изучение структур, режимов работы, качественных показателей, характеристик электронных схем. Про­цесса проектирования электронных схем, математических моделей компонентов электронных схем, математических моделей электронных схем, методов и алгоритмов анализа математических моделей элек­тронных схем, ознакомление с задачами автоматизации конструирова­ния и изготовления электронных схем, с принципами построения программ моделирования электронных схем и системами автоматизация проектирования.


^ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

Транзисторный усилитель (ТРУ), представленный электрической принципиальной схемой (на рис. 1), в зависимости от характера вход­ного сигнала может работать в различных режимах. При отсутствии входного сигнала (или постоянном сигнале) усилитель нахо­дится в статическом состоянии (режим постоянного тока). При малом быстроизменяющемся входном сигнале допустимо считать, что транзис­тор проявляет только линейные динамические свойства, и усилитель работает в режиме линейного усиления. При большом быстроизменяющемся входном сигнале транзистор проявляет нелинейные динамические свойства, усилитель функционирует в динамическом нелинейном режиме. В зависимости от формы входного сигнала (гармонический, импульсный) функционирование усилителя может рассматриваться во временной или частотной областях.

Р
ис 1

Каждый режим работы усилителя можно представить соответствую­щей эквивалентной цепью (схемой) и математической моделью и оце­нить множеством качественных показателей (характеристик, схемных функций) и параметров. Качественные показатели определяются на основе математической модели и проверяются экспериментально. Все множество качественных показателей характеризует свойства и функциональные возможности усилителя в целом. К основным качественным показателем и параметрам усилителя относятся коэффициент передачи (коэффициент усиления) Кр, входное и выходное сопротивлени­ях Zвх, Zвых, динамический диапазон, коэффициент нелинейных искажений, коэффициент шума. Чтобы найти эти качественные показатели необходимо проанализировать усилитель в статическом режиме, в динамическом режиме во временной и частотной областях при большом и малом входных сигналах.

Эквивалентная схема ТРУ для каждого режима имеет свое мно­жество элементов (компонентов) и свою структуру (т.е. специфичное для режима соединение элементов). Так, например, режим малого входного сигнала представляется линейной эквивалентной схемой - соединением линейных элементов, статический режим - нелинейной эквивалентной схемой на постоянном токе и т.д.

Следует отметить, что отмеченные режимы характеризуют работу большинства электронных схем приемно-усилительных устройств и поэтому решение задач расчета схем в этих режимах имеет общее значение.

Множество качественных показателей, определяемых в соответ­ствующем режиме в представляющих задачи анализа, зависит от множества элементов и их параметров - рэ, от структуры их соедине­ния - Sp, типа входного сигнала (постоянный, частотный, временной):

Кр=F(Sp, рэ, Up) (1)

где р - cоответствующий режим.

Динамические качественные показатели всегда зависят от исход­ного статического режима, что можно отразить зависимостью:

рэ=( Кст)

Только в пассивных схемах статический режим может ха­рактеризоваться нулевыми значениями переменных. Соотношения вида (1) представляют основные задачи расчета, анализа качественных показателей ТРУ и электронных схем.

Большое значение при проектировании электронных схем имеет решение задач расчета чувствительности качественных показателей по параметрам элементов- Sр, позволяющее определить допуска на параметры, и задач оптимизации, т.е. поиска множества опти­мальных параметров ропт, обеспечивающих необходимое откло­нение множества качественных показателей от заданных в техническом задании.

Из перечисленных режимов наиболее общим является динамичес­кий режим при воздействии большого сигнала, изменявшегося во вре­мени. Остальные режимы - частные от этого режима.

Динамический нелинейный режим (временная и частотная область) - при большом входном сигнале.

Статический ре­жим наблюдается, когда внешнее воздействие постоянно во времени.

Динамический линейный режим (временная и частотная область) - при малом входном сигнале.

^ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ.

ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ.

П
ри большом быстроизменяющемся входном сигнале в ТРУ транзистор проявляет нелинейные и динамические свойства (рис. 2 ), которые могут быть представлены эквивалентной схемой (на рис. 2 выделена штрихами) и математической моделью Эберса-Молла [1,2].

^ Рис.2

В модели Эберса-Молла свойства элементов выражаются следующими соотношениями:

Iк=Iко•(e(К1•Uкб)-1)=К(Uкб), К1=1/(mк•Т), (2)

Iэ=Iэо•(e(К2•Uбэ)-1)=Э(Uбэ), К2=1/(mэ•Т)

Jдк=N•Iэ,

Jдэ=I•Iк,

URб=iRб•Rб

Iск=Ск(Uкб)•dUкб/dt,

Ск(Uкб)=Cкб+Скд=Сокб/(1-Uкб/К)0.5+Сокд•Iк

Сокд=К1/(2••Fi)

Iсэ=Сэ(Uбэ)•dUбэ/dt,

Сэ(Uбэ)=Cэб+Сэд=Сокб/(1-Uбэ/К)0.5+Сокд•Iэ

Соэд=К2/(2••Fn)

где, Uкб,Uбэ -напряжение коллектор-база, база-эмиттер соответственно;

К1, К2 - температурный потенциал;

т - контактная разность по­тенциалов;

Iко, Iэо - токи насыщения коллекторного и эмитерного переходов;

mк, mэ- коэффициенты отражающие технологию изготовления транзиторов;

N, I - коэффициенты усиления по току при нормальном и инверсном режимах;

iRб- ток через резистор базы;

Rб- сопротивление базы;

Сокб, Соэб - барьерные ем­кости при нулевом смещении;

FnFi - предельные частота транзистора при нормальном и инверсном включениях.

Свойства остальных элементов эквивалентной cxeмы ТРУ (рис. 2) для динамического режима описываются соотношениями:

UR1=iR1•R1, UR2=iR2•R2, URб=iRб•Rб, UR3=iR3•R3, UR4=iR4•R4, UR5=iR5•R5,

UR6=iR6•R6, UR7=iR7•R7

В общем виде можно записать для элементов схемы :

Резисторы: URi=iRi•Ri , i - номер резистора (3)

Емкости: iCj=Cj• dUcj/dt , j - номер емкости

Источники постоянного тока: J==const

Входное ток: J~=(t)=Jм•sin(•t+J)- функция времени.


Элементы схемы (или ветви), соединяясь в узлах, образуют в схеме контура. Токи в узлах (сечениях) схемы и напряжения в контурах подчиняются, соответсвенно, первому и второму законам Кирх­гофа;

Алгебраическая cyммa токов i в любом узле (в замкнутом сечении) электрической схемы равна нулю (вытекающий ток из узла берется со знаком "+", втекающий ток в узел берется со знаком "-" )

n

 i=0 (4)

к=1

Алгебраическая сумма напряжений u ветвей в любом кон­туре электрической схемы равна нулю

n

 u=0

к=1

Уравнения соединений, составленные по законам Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т.е. геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик элементов, т.е. физического содержания ветвей. Поэтому при составлении урав­нений соединений удобно отвлекаться от вида и характеристик вет­вей цепи и заменять их линиями, соединяющими узлы, с сохранением числа ветвей и узлов. В результате получают так называемый линей­ный граф (топологический граф), который представляет совокупность или систему узлов (вершин), изображаемых точками, и ветвей (ребер) изображаемых отрезками линий, соединяющих любую пару узлов. Таким образом, элементами графа являются узел и ветвь (рис. 3).

Р
ис.3

Объединенные множества уравнений ветвей (компонентных уравне­нии (2), (3) и топологических уравнений (4) составляют мате­матическую модель схемы (ММС) для динамического режима при боль­шом сигнале. Если схема имеет l ветвей, то число уравнений к число переменных ММС равно l•2 при выборе независимых сечений и контуров. Для нашей схема при указанных стрелками направлениях токов уравнение (4) имеет вид :

Узел 1 iR1 + iС1 - J~ =0

Узел 2 -iС1 +iR3 +iR2 +iRб=0

Узел 3 -iRб+iСк+iСэ- iК- iЭ- iДК - iДЭ =0 (5)

Узел 4 -iR5 - iС2 - iСэ+ iЭ + iДЭ =0

Узел 5 iR4 + iС3 - iСк+ iК+ iДК =0

Узел 6 -iR4 - iR2 - iR7 + J= =0

Узел 7 -iC3 + iC4 - iR6 =0

Кроме токов и напряжений ветвей, введем в рассмотрение новые переменные - потенциалы узлов i относительно базисного узла (0=0). В качестве базисного узла удобно взять узел, общий для входа и вы­хода схемы. Тогда согласно второму закону Кирхгофа, напряжения всех ветвей u и узловые потенциалы i связываются соотношениями : uR1=1-0, uC1=1-2, uR2=2-6, uR3=2-0, uС3=5-7 uRб=2-3, uR4=5-6, uR6=7-0, uR5=0-4, uC4=7-0 uС2=0-4, uCк=3-5, uCэ=3-4, uIк=5-3, uIэ=4-3uJдк=5-3, uJдэ=4-3(6)

Множества уравнений (5) и (6) можно записать в матричной форме в общем виде | A | • | i |=0 (7)

| u |=| At | • |  | (8)

где | i |=|iR1 , iС1, iR2 ……, J~, J=|t- вектор токов всех ветвей схемы;

| u |=|uR1 , uС1, uR2 ……, uJдк , uJдэ|t -вектор напряжений всех ветвей;

|  |=|1,2,3,4,….q|t - вектор узловых потенциа­лов;

q - число узлов, t- знак транспонирования.

Матрица |A|, называемая матрицей инциденций узел-ветвь, для схемы представлена на рис.3 и характеризует ее структурные свойства. Матрице |A| и соотношениям (7)-(8) соответствует топологический (направленный) граф схемы, построенный на множестве переменных схемы i, u и . Граф явля­ется геометрическим образом структуры схемы. На графе выделены узлы 1,2,3,4,5,6,7. Выбор направления токов в ветвях графа определяет систему независимых токов в напряжений в МУС. Выразим уравнения (5) используя уравнения (2),(3) и (6). В результате получим систему уравнений (9) :

Узел 1 (1-0)/R1+С1•d(1-0)/dt - J~ =0

Узел 2 -С1•d(1-0)/dt+(2-0)/R3+(2-6)/R2+(2-3)/Rб=0

Узел 3 -(2-3)/Rб+Ск(3-5)•d(3-5)/dt+Сэ(3-4)•d(3-

- 4)/dt- К(5-3)-Э(4-3)-N•Iэ(4-3) -I•IК(5-3)=0

Узел 4 -(0-4)/R5-С2•d(0-4)/dt-Сэ(3-4)•d(3-4)/dt+

+Э(4-3)+ +I•IК(5-3)=0 (9)

Узел 5 (5-6)/R4+С3•d(5-7)/dt+Ск(3-5)•d(3-

-5)/dt+К(5-3)+N•Iэ(4-3)=0

Узел 6 -(5-6)/R4-(2-6)/R2-(6-0)/R7+ J= =0

Узел 7 -С3•d(5-7)/dt+С4•d(7-0)/dt-(7-0)/R6 =0

Эти уравнения, называемые узловыми, составлены методом, по­добным методу узловых потенциалов для линейных цепей. Сис­тема (9) - это система алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений относительно переменных 1,2,3,4,5,6,7,J=,J~ Она состоит из трех групп уравнений: линейных алгебраических (7), линейных дифференциальных (1,2,6), нелинейных дифференциальных (остальные уравнения). Соответственно, переменные делятся на линейные Xл=J= и J~, линейные дифференциальные Xлд=|1,2,6,7|t нелинейные дифференциальные Xнд=|3,4,5|t.

С учётом сказанного система (9) может быть записана в сокращен­ном виде:

л=( Xл, Xлд, Xнд)=0; лд=( Xл, X'лд, Xнд)=0

нд=( Xл, Xлд, X'лд, Xнд, X'нд)=0 (10)

где -л - линейный оператор; н - нелинейный оператор.

X'нд, X'лд - производные переменных по времени

Множество ветвей схеме (2)-(3) соответственно свойствам их уравнений, можно разделить на характерные подмножества ветвей: (11)

- источников тока J=, J~;

- линейных резисторов R и проводимоcтей G; UR=iR•R, или iR=UR•G,где G=1/R

- нелинейных резисторов Iн=(UR);

- зависимых источников тока Iд=•Iн ;

- линейных емкостей iСЛ= Сл•d(Ucл)/dt ;

- нелинейных емкостей iСН= Сн( Ucн)•d(Ucн)/dt .

Этому разбиению соответствует разбиение топологической мат­рицы |A| на субматрицы и запись топологических урав­нений (7)-(8) в форме




Ветви

Узлы

J=

J~

R1

R2

R3

RБ

R4

R5

R6

R7

Iк

Iэ

Iдк

Iдэ

С1

С2

С3

С4

Ск

Сэ

1

0

-1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

-1

-1

-1

-1

0

0

0

0

1

1

4

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

1

0

1

0

-1

0

0

0

-1

5

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

-1

0

6

1

0

0

-1

0

0

-1

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

-1

1

0

0




АЕ

АR

AH

AД

АСЛ

АСН





































JЕ













АЕ

АR

AH

AД

АСЛ

АСН

•

JR


































IН

= 0

(12)




























IД


































iСЛ













uЕ




АtЕ




1




uR




АtR




2




uН

=

AtH

•

3

(13)

uД




AtД




•




uСЛ




АtСЛ




•




uСН




АtСН




q




Подставим уравнение (13) в соотношения (11) и результат в (12). После преобразований получал матричное уравнение: (14)

|АЕ|•|iЕ |+|АR|•|G|•|АtR|•||+|АH|•(|АtH|•||)+|АД|••Н(|АtД|•||)+

+|АСЛ|•|СЛ|•d(|АtCЛ|•||)/dt+|АСН|•|СН(|АtCН|•||)|•d(|АtCН|•||)/dt = 0 Уравнение (14) - это записанное в более общей форме (с уче­том топологических субматриц) уравнение (9). Подстановка суб­матриц и уравнений ветвей на основе (11), (2), (3) и последующее преобразование дадут в конечном итоге (9). Уравнение (14) как и (9) можно представить в форме (10).

Итак, уравнения (9), (6), (2), (3) составляют матема­тическую модель ТРУ в динамическом режиме, а соотношения (14), (13), (11) - математическую модель для динамического режима класса электронных схем, представляемого на основе множества ком­понентов (ветвей) вида (11). Назовем эту модель ММС-ДР1(Математическая модель схемы - динамический режим 1).

Р
ассмотрим еще один из видов математической модели схемы ТРУ (рис. 4)

Рис. 4

Выбор дерева на топологическом графе схемы определяет не только системы линейно-независимых уравнений, составленных по за­конам Кирхгофа, но, в конечном итоге, вид и свойства математичес­кой модели схемы.

Наиболее общие топологические свойства электронных схем представляются законами Кирхгофа в форме:

|Пi| =0, (15)

|Рu|=0, (16)

где |Пi|, |Рu| - матрицы сечений и контуров.

На самом деле, под |П|, и |Р| в дальнейшем подразумеваются матрицы главных сечений и контуров. Если обобщенные узлы, обра­зуемые сечениями графа, совпадают с вершинами (узлами) графа, то матрица |П| совпадает с |А| . Это случай построения канонических сечения и дерева. Построение дерева (имеется в виду фундаментальное дерево) разбивает ветви графа на ветви дерева (ребра) и ветви, не вошедшие в дерево, называемые хордами (связями). Уравнения Кирхгофа при этом принимают вид













iT










Пi

=

1 | 

•




=0

или

iT=-•iX(17)













iX
























uT










Рu

=

 | 1

•




=0

или

uХ=•uТ (18)













uX










При совпадении фундаментального дерева с деревом графа выполняется соотношение: =-t, =-t(19) С учетом этого соотношения (17)-(18) запишутся iT= -•iX, uХ=t•uТ (20) (21)

На основе уравнений (20)-(21) может быть составлена ММС в форме нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений (в ви­де уравнений переменных состояния [1,2,4,5].


Выберем дерево графа cxeмы так, чтобы в ветви дерева вошли источники напряжения, емкости и нужное количество резисторов, а в хорды - источники тока, индуктивности (если имеются) и оставшиеся резисторы. Это всегда можно сделать, если ветви схемы не образуют топологических вырождений. (например, контуров из емкост­ных ветвей и источников ЭДС или сечений, образованных индуктивны­ми ветвями и источниками тока). Иначе необходимо устранение вы­рождения [5]. На рис.5 показано дерево и сечения на графе схемы ТРУ.

Рис.5

Соответствующая матрица сечений П для схемы


Сечения

ветви

E

Uвх

С1

С2

С3

С4

Сэ

Ск

R3

R1

R2

RБ

R4

R5

R6

R7

Iд

Iк

Iдэ

Iдк




7

1




























1




1

























1




1






















-1


































2







1



















-1


































5










1






















1

-1

1




-1













|П|=

8













1































-1
















9
















1

























1

1
















4



















1













-1

1







1

-1




1







6






















1













1







1




1




-1




3

























1

1

-1

-1


























Емкостной контур (С2СэСкС3С4) разорван включе­нием небольшого R7. Матрица |П| разбивается на ряд характерных субматриц




1

ERX

EI

CRX

CI

CHIH

CHIД

RBRX

RBI





RX=

ERX


RX=

EI

CRX

CI

RBRX

RBI


Подставим компонентные уравнения (11) в (20)-(21), в результате получим

С•d(Uc)/dt=CRX•GХ•uRX+CIH+IH(uH)+CIД••IH(22)

iEB=EBRX•GХ•uRX+EBI•IX

 (23)

iRB=RBRX•GХ•uRX+RBI•IX


uRX




tRX




EB

EB=|E, uBX|t

uRB=uR3(24)

IX=|IH, IД|t




=




•

uC

uIX




tIX




uRB

uRB=RB•iRB

В этих уравнениях




C1
















1/R1



















C2
















1/R2










C=







Cэ(uЭБ)







, GX=1/RX=







1/RБ



















Cэ(uКБ)
















…



















СН
















1/R7




RB=R3,

IH=

IЭ(uЭБ)

IК(uКБ)

IД=•IH=

N

I

•

IЭ

IК


Подстановка уравнения (24) в (22) приводит поcледнее к виду (25)









-1




EB




EB




С•d(Uc)/dt=

С

•

(CRX•GХ•tRX•

uC

+CIH•IH•(tIX•

uC

)+CIД••IH )













uRB




uRB




Соотношения (25), (23) и (24) - ММС в форме уравнений переменных состояния, назовем ее ММС-ДР2. (Математическая модель схемы - динамический режим 1).

В сокращенном виде эти соотношения запишутся в виде

Xд=д( Xд, Xл, ЕВ), Xд=| Xлд, Xнд|t, Xл=л( Xд, Xл, ЕВ) (26)

Второе уравнение можно представить и в форме:

|А|•X=д( Xд, ЕВ)

Если подставить в (23)-(25) значения топологических субматриц IJ и параметров ветвей C1,C2,...,R1,R2,..,  и т.п., то получим математическую модель ТРУ для динамического режима при большом воздействующем сигнале.

Сравнение ММС-ДР1 и ММС-ДР2 показывает, что прежде всего они отличаются видом математических уравнений (в первом случае - неявная форма алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений, во вто­ром случае производные, переменных дифференциальных уравнений вы­ражены явно) и числом независимых переменных (в первом случае - это , во втором - |uС, uRX, uIX |t- При необходимости получе­ния напряжений и токов всех ветвей в ММС-ДР1 приходится иметь дело с (2•l+q) уравнениями (14), (13) и (11), в ММС-ДР2 с n 2•l уравнениями.


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В СТАТИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

Схема находится в статическом режиме, если на нее воздейству­ют постоянные во времени сигналы, т.е. при t=to (или равном ну­лю)

uвх(to)=Е=const.

При этом токи в емкостях (напря­жения на индуктивностях) равны нулю, что соответствует duC /dt =0 и diL /dt=0 или отсутствию изменений токов и напряжений в схеме. Подставляя эти условия в соотношения (9), (14), (25) полу­чим соответствующие математические модели для статического режи­ма - ММС ТРУ: ММС-Cтl, ММС-Ст2.

Математическая модель ТРУ для статического режима будет иметь вид (9) без членов с производными и при uвх=Е.

Уравнение (6) остается без изменений и позволяет определить напряжения на всех ветвях (включая емкостные) в статике после на­хождения из (27)  и подстановки в (6). Необходимые токи ветвей, как и в динамике, можно найти из уравнений (2), (3).

Модель ММС-Ст1 на основе ММС-ДР1 (см. соотношения (14), (13), (11)) запишется как

|АЕ|•|iЕ|+|АR|•|G|•|АtR|•||+|АH|•(|АtH|•||)+|АД|••Н(|АtД|•||) = 0 (27)

|u|=|А|t•||, |u|=|uЕ , uR, uH, uД, uСЛ, uСН|t(28)









R1













iRi= G•u Ri

G=1/R




…













R=







RБ






















…






















R7


Iн=Н(uН), Iн=| Iк , Iэ |t,

Iэ=•Iн, Iд=| Iдк , Iдэ |t, =|ni| (29)


Сокращенно уравнения (27) представляются в форме (см. (10))

л( Xл, Xн)=0 (30)

н( Xл, Xн)=0

где -л - линейный оператор; н - нелинейный оператор.

Xл, Xн - независимые переменные, соответственно, линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

Из соотношений (25), (23), (24) с учетом iС=0 и uвх(to)=Е получим математическую модель электронных схем ММС-Ст2




EB




EB




CRX•GХ•tRX•

uC

+CIH•IH•(tIX•

uC

)+CIД••IH =0




uRB




uRB





iЕВ= ЕВRX•GХ•uRX + ЕВI•IХ IХ=| Iн , Iд |t, (31)

iRВ= ЕВRX•GХ•uRX + RВI•IХ uRX=RВ•iRВ,


uRX




tRX




EB




=




•

uC

uIX




tIX




uRB


Сокращенно ММС-Ст2 имеет вид уравнении (30).

Если линейные уравнения рассматривать как частный случая нелинейных уравнений, то все ММС-Ст и уравнение (30) можно пред­ставить как одно операторное уравнение

( X)=0 (32)

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ.

Вообще существует два основных подхода при решении задачи расчета статического режима.

Первый основан на представлении статического режима, к кото­рому стремятся при t переходные процессы в схеме при под­ключении к ней источников питания и входного источника (его по­стоянной составляющей). При этом используются динамическая математическая модель схемы и методы численного интегрирования для ее решения. Второй подход основан на решении алгебро-трансдендентных нелинейных уравнений с применением итерационных, проекционных методов, методов спуска и продолжения решения по па­раметру, комбинированных методов [1,2,4,5] .

Наибольшее распространение при машинном проектировании элек­тронных схем нашел метод Ньютона и его модификации. Пусть задана система нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений ви­да (32) и известно, что в некоторой области G переменных (X1, Х2,..., Хn) существует единственное решение (X*1, Х*2,..., Х*n). Метод Ньютона заключается в том, что по начальному приб­лижению переменных (X01,Х02,...,Х0n) находится следующее приближение по формулам :

Xi1=Хi0-|W(Хi0)|-1•( Хi0) i=1,…n

или

W(Хi0)•Хi0= -(Хi0), Хi1= Хi0+Хi0,

где

(Хi0), - значение левой части системы (32) при Хi0, на­зывается вектором невязок,

W(Хi0)=d(Хi0)/dХi0 - матрица Якоби (якобиан) системы (32),

Хi0- вектор поправок.

По полученным значениям вычисляется

W(Хi1)•Х11= -(Хi1), i=1,…,n

Хi2= Хi1+Хi1, и т.д.

Если найдено k-е приближение, то (k+1)-e приближение находится по формуле

W(Хik)•Х1k= -(Хik), (33)

Хik+1= Хik+Хik

Если Lim(Хik)k для i=1,…,n . т.е. Хik (погрешность), то говорят, что метод Ньютона сходится к решению.

Как видно из (33) на каждой итерации процесса приближения к решению требуется вычислять значение вектора невязок (Хik) , Якобиана W=d(Хik)/dХik, решать систему линейных алгебраичес­ких уравнений относительно вектора поправок Хik и находить следующее приближение Хik+1 через Хik и Хik по формуле суммирования векторов.

Приближенное решение Хik+1= Хi* желательно получить с наперед заданной точностью . На практике достигнутую в процессе итераций точность оценивают по норде вектора поправок Хik или по норме вектора невязок [(Хik)] . Очевидно, что при Хik+1Хi* имеем [Хik]0 и [(Хik)]0. Отсюда следу­ет, что вычисления следует прекращать, если [Хik ] <  или [(Хik)] < . Под номой вектора Хik или (Хik) может пониматься либо евклидова норма е - норма

n

[Хik] =(  (Хik)2)0.5

i=1

либо S - норма

n

[Хik] =  |Хik|

i=1

либо равномерная норма ( m - норма)

[Хik] = max |Хik|

1  i  n

Скорость сходимости метода Ньютона квадратична

Хik+1  k•( Хik)2

где k - константа.

Если ошибка Хik мала, например Хi<< 1, то после­дующая ошибка будет уменьшаться до увеличенного в k - раз квад­рата предыдущей ошибки. После каждой итерации наблюдается удвое­ние количества правильных десятичных знаков в результате. Для сходимости процесса Ньютона к решению Х* необходимо, чтобы:

а) начальное приближение Х0 было близко задано к корням Х* ;

б) вектор функция (Х) должна быть определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой области;

в) матрица Якоби ^ W(Х) должна иметь обрат­ную ограниченную матрицу;

г) матрица вторых частных производных функции (Х) также должна быть ограничена. Эти условия матема­тически сложны для априорного определения факта сходимости и ско­рости сходимости. Поэтому мы не приводим их строгой математичес­кой формулировки, а поясним на конкретных примерах как они влияют на процесс сходимости и результат решения.

^ ПРИМЕР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА РАБОТЫ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ.


Рассмотрим простейшую математическую модель цепи (рис.6) с диодом для статического режима


^ Рис.6

-E+Uд+R•Iо•(eUд / т-1)=(Uд)=0 (34)

где- Iо, Т - параметры модели диода для статического режима;

E, R - параметры цепи.

Якобиан уравнения (34) будет равен:

W(Uд)=d(Uд)/dUд =1+(1/Т) •R•Iо•eUд / т(35)

Итерационная формула Ньютона (см. (33)) с учетом (34) и (35) примет вид

Uкд/Т Uкд/Т

[ 1+(1/Т) •R•Iо•e ] •Ukд = E-Uкд -R•Iо•(e -1) (36)

Uк+1д = Uкд+Uкд

Н
а рис.7 показана геометрическая интерпретация процесса решения по итерационной формуле (36).

^ Рис. 7


Процесс решения начинает­ся с начального приближения U0Д и заканчивается в близкой окрест­ности корня U*Д . Видно, что выбор начального приближения U0Д справа от корня приводит к окончанию итерационного процесса в поиску решения за 3-4 итерации. Наклон касательной в точке, например, [U0Д, (U0Д)] определяется W(U0Д), а приращение меж­ду итерациями U0Д - значением якобиана и функции в прежней точке, т.е.

U0Д = W-1(U0Д) • (U0Д)

В
промежутке между итерациями функция (U0Д) заменяется прямой линией, касательной в исходной точке. Поэтому метод Нью­тона называют еще методом касательной или методом линеаризации. Если начальное приближение выбрать слева от корня, то нетрудно видеть, что из-за большой величины обратной производной W-1(U0Д) уже первое приращение U0Д велико и может привести к большому значению функции (U1Д) и даже переполнению разрядной сетки ЭВМ (рис.8). На рис. 9. показаны для произвольной функции (Х) случаи за­цикливания итераций и расходимости метода Нью­тона. Однако из геометричес­ких интерпретаций видно, что если начальное приближение выбрано близко к точному решению, то метод сходится всегда.


Рис. 8

Рис. 9

Для устранения неоправданного роста (U1Д) переполнения разрядной сетки ЭВМ в случае экспоненциальных нелинейностей суще­ствует несколько способов [l,2]:

а) введение ограничений на изме­нение напряжения и тока диодов:

Iд  Iд макс , Uд  Uд макс

6) линеаризация диодных характеристик после Uд макс, т.е. при­менение соотношений:


 Iо•(eUд/т -1) при Uд  Uд макс = Uдм

Iд= 

 Iо•(eUдм/т -1)•(1+(Uд-Uдм)/Т) при Uд > Uдм

в) использование вспомогательных соотношений - определение поправ­ки, например, при U >0 по формуле:

UкД = Т •Ln(1+UкД/ Т)

где UкД - поправка, вычисленная по обычной итерационной схе­ме Ньютона. Эти идеи переносимы и на другие классы нелинейных функций.


^ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИМЕНЯЕМЫХ ДЛЯ АНАЛИЗА СХЕМ.

При расчете статического режима методом Ньютона (cм. (33)) возникает необходимость решения, системы линейных алгебраических уравнений на каждой итерации. Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1) точные (прямые) методы

2) итерационные.

Точные методы дают решение системы за конечное число арифметических операций. Если все операции выполняются точ­но (без ошибок округления), то решение заданной системы также по­лучается точным.

Итерационные методы служат, как прави­ло, для итерационного улучшения решений, получаемых прямыми мето­дами. Итерационные методы являются приближенными. Они дают решение системы как предел последовательных приближений, вы­числяемых некоторым единообразным процессом (например), рассмот­ренный метод Ньютона, метод простой итерации, метод Некрасова, метод Зейделя и др. [4,5].

Наиболее простой среди точных методов - метод Гаусса [4,5]. Он основан на идее исключения неизвестных, в результате которого заданная система уравнений

W•Х= или А•Х=В

т.е.


а11•х1+а12•х2+а13•х3+……а1n•хn=b1

а21•х1+а22•х2+а23•х3+……а2n•хn=b2 (37)

………………………………………

аn1•х1+ аn2•х2+ аn3•х3+……аnn•хn=bn

преобразуется в эквивалентную ей систему о верхней треугольной матрицей, решение которой уже не представляет труда. Метод Гаус­са может быть реализован следующим образом. Предположим, что а110 и разделим первое уравнение системы (37) на коэффициент а11, называемый ведущим для первого шага,. Затем умножим последователь­но полученное уравнение на аi1 и (i=2,3,..., n) и вычтем его из соответствующих уравнений (i=2,3,..., n) системы (37). В ре­зультате неизвестное x1 будет исключено из всех уравнений за­данной системы, кроме первого, и мы получим систему, эквивалентную (37) вида

х1+а12(1)•х2+а13(1)•х3+……а1n(1)•хn=b1(1)

0+а22(1)•х2+а23(1)•х3+……а2n(1)•хn=b2(1) (38)

………………………………………………

0+аn2(1)•х2+аn3(1)•х3+……аnn(1)•хn=bn(1)

С этой системой поступаем аналогично, но без учета первого уравнения. Таким образом, на втором шаге ф