Реферат: Методические указания по практическим занятиям По дисциплине

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тихоокеанский государственный университет


Институт экономики и управления

Кафедра Экономическая кибернетика


Методические указания по практическим занятиям


По дисциплине Методы и модели в экономике

Для специальности «ЭС»

(ускоренное)


Методические указания разработаны в соответствии с составом УМКД


Методические указания разработала Макарова О.А. _____________


Методические указания утверждены на заседании кафедры,

протокол № ______ от «___» _______________ 200__ г.

Зав. кафедрой _________ «___» ______________ 200__ г. Пазюк К.Т.


Методические указания по практическим занятиям по дисциплине «Методы и модели в экономике» включают тематику вопросов, выносимых для самостоятельной подготовки, задачи, которые решаются студентами под контролем преподавателя или самостоятельно во время аудиторных занятий.


Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании УМКС и рекомендованы к изданию

протокол № ______ от «___» _______________ 200__ г.

Председатель УМКС _______ «___» ______________ 200__ г.

Директор института _________ «___» ____________ 200__ г. Зубарев А.Е.


Введение


Изучение дисциплины «Методы и модели в экономике» имеет цель формирования у студентов теоретических знаний и умений в области практического использования экономико-математических методов, развитие способности к логическому и алгоритмическому мышлению.

Основные задачи курса:

- на примерах математических моделей в экономике продемонстрировать студентам действие математических законов, специфику моделирования;

- научить студентов приемам исследования и решения математически сформулированных задач;

- выработать у студентов умение анализировать полученные результаты;

- сформировать у будущих специалистов теоретические знания и практические навыки по применению математического моделирования для исследования сложных экономических систем, а также построения надежных моделей экономических процессов с целью обоснования принимаемых решений;

- привить студентам навыки самостоятельного изучения литературы по практическому применению математических методов.

Студенты должны получить базовые знания и навыки математического моделирования. Они должны уметь применять их в моделировании экономических процессов. В данном курсе студенты должны освоить методы математического программирования.

Курс основан на знаниях, полученных студентами в области экономической теории, статистики, линейной алгебры и математического анализа и др.

Изучение курса «Методы и модели в экономике» проводится в форме лекции, практических и лабораторных занятий.

Практические занятия по дисциплине проводятся в форме решения задач. По завершении изучения каждой темы проводится тестирование.

Завершается изучение дисциплины «Методы и модели в экономике» сдачей зачета.


^ 1. Краткие характеристики практических занятий

Тема 1. Математические модели экономических задач

Задание. Постановка задачи линейного программирования в экономике.

Исполнение. Построение экономико-математических моделей.

^ Оценка. Формирует необходимые представления о применимости математического программирования классу экономических задач.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Пример задачи. Фирма выпускает 2 вида мороженного: сливочное и шоколадное. Для изготовления используются 2 исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженного и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице.

Исходный продукт

Расход исходных продуктов на 1 кг мороженного


Запас, кг

Сливочное

Шоколадное

Молоко

0.8

0.5

400

Наполнители

0.4

0.8

365

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженное превышает спрос на шоколадное мороженное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженное не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженного 16 ден.ед., шоколадного - 14 ден.ед. Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.


^ Решение задачи:

Составляем математическую модель задачи.

Вводим обозначения (переменные величины):

х 1 – суточный объем выпуска сливочного мороженного, кг;

х 2 - суточный объем выпуска шоколадного мороженного, кг

Целевая функция:

f = 16 х 1 + 14 х 2→max

при ограничениях:

0.8 х 1 + 0.5 х 2 ≤ 400 (ограничение по молоку);

0.4 х 1 + 0.8 х 2 ≤ 365 (ограничение по наполнителям);

х 1 + х 2 ≤ 100 (рыночное ограничение по спросу);

х 2 ≤ 350 (рыночное ограничение по спросу);

х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0


^ Варианты индивидуальных заданий


Вариант 1

Составить математическую модель задачи:

Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти производиться 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме – 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом и во втором режиме, чтобы ежедневный расход нефти был минимальным?

Вариант 2

Составить математическую модель задачи:

Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров: мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков. Производство каждого изделия осуществляется на трех участках. Затраты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка:


Участок производства

Чулки

Носки

1

0,02

0,01

2

0,03

0,01

3

0,03

0,02


Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма ежедневно будет располагать следующими ресурсами рабочего времени на каждом из участков: 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3. Сколько пар носков и чулок следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль?


Вариант 3

Составить математическую модель задачи:

После предпринятой рекламной компании фирма «Отдых» испытывает рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе – газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов. Производство мангалов ограничивается мощностью следующих трех участков: производства деталей, сборки и упаковки. В таблице показано, сколько человекочасов затрачивается на каждом участке на каждую единицу продукции, а также приведен допустимый ежемесячный объем трудозатрат:


Участок

Трудозатраты на производство одного мангала, ч

Фонд времени, человекочасы

угольного

газового

Производство

5

8

2600

Сборка

0,8

1,2

400

Упаковка

0,5

0,5

200


Фирма «Отдых» не может обеспечить выполнение контракта своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим производителем, который в настоящее время располагает избыточными мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме «Отдых» в любом количестве угольные мангалы по 3 тыс. руб. за штуку и газовые мангалы по 5 тыс. руб. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы «Отдых» на 1,5 тыс. руб. за каждый угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый газовый мангал. Задача фирмы «Отдых» состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых мангалов, которое обеспечило бы выполнение контракта с минимальными общими затратами.


Вариант 4

Составить математическую модель задачи:

В аптеке продаются поливитамины пяти наименований. Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные для пациента, перенесшего простудное заболевание. Необходимо определить, какие поливитамины, и в каком количестве следует принимать пациенту для восстановления нормальной работоспособности. В следующей таблице указано количество витаминов и веществ (мг), которое должен получить пациент за весь курс лечения, а также данные о содержании витаминов и веществ в поливитаминах (в мг на 1 г) и цены на 1 г поливитаминов (в руб.):


ВитаминПоливитамин

1

2

3

4

5

Необходимо

А

1,1

1,2

1,8

1,1

1,3

250

В

0,9

1,1

0,7

1

1,1

128

С

50

60

40

30

60

7000

Железо

24

45

18

12

37

3700

Кальций

210

340

150

260

300

32000

Цена

3,4

4,3

2,4

2,2

3,7





Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с минимальными затратами пройти курс лечения.


Вариант 5


Составить математическую модель задачи:

Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудованием, необходимыми для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы каждого вида товара и прибыль, получаемая предприятием, а также объем ресурсов указаны в таблице.


Ресурсы

Затраты ресурсов на 1 ед. товара

Объем ресурсов

1

2

3

4

Сырье, кг

3

5

2

4

60

Рабочая сила, чел.

22

14

18

30

400

Оборудование, станко-ч

10

14

8

16

130

Прибыль на 1 ед.товара, руб.

30

25

56

48





Составить план выпуска товаров, дающий максимальную прибыль.


Вариант 6


Составить математическую модель задачи:

Для изготовления трех видов изделий (А,В и С) фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. На изготовлении указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки. В таблице приведены объем ресурсов, которыми располагает предприятие, и нормы расхода перечисленных ресурсов на единицу изделия. Кроме того, в последней строке таблицы указана прибыль предприятия от продажи единицы каждого изделия. Определить план выпуска продукции, при котором будет получена максимальная прибыль.


Ресурсы

Нормы расхода ресурсов на единицу изделия

Объем ресурсов

А

В

С

Сталь, кг

10

70

10

57000

Цветные металлы, кг

20

50

10

49000

Токарные станки, станко-ч

300

400

100

560000

Фрезерные станки, станко-ч

200

100

100

340000

Прибыль, тыс.руб.

3

8

2





Вариант 7


Составить математическую модель задачи:

При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать сено свежее (не более 50 кг) и силос (е более 85 кг). Рацион должен обладать определенной питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок( не менее 1 кг), кальций (не менее100 г) и фосфор (не менее80 г). В таблице приведены данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и стоимость этих продуктов.


Продукт

Количество кормовых единиц

Белок, г/кг

Кальций, г/кг

Фосфор, г/кг

Стоимость 1 кг, руб.

Сено свежее

0,5

40

1,25

2

1,2

Силос

0,5

10

2,5

1

0,8



Вариант 8


Составить математическую модель задачи:

Обработка деталей А и В может производиться на трех станках. Причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А – 100 ден. ед., детали В – 160 ден. ед. Исходные данные приведены в таблице. Определить производственную программу, максимизирующую прибыль при условии: спрос на деталь А не менее 300 шт., на деталь В - не более 200 шт.


Станок

Норма времени на обработку одной детали, ч

Время работы станка, ч

А

В

1

0,2

0,1

100

2

0,2

0,5

180

3

0,1

0,2

100


Вариант 9


Составить математическую модель задачи:

Фирма выпускает изделия двух типов, А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы в таблице.


Изделие

Сырье

1

2

3

4

А

2

1

0

2

В

3

0

1

1


Запасы сырья 1-го вида составляют 21 ед., 2-го вида – 4 ед., 3-го вида – 6 ед. и 4-го вида – 10 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 300 ден. ед., одного изделия типа В – 200 ден. ед. Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход.


Вариант 10


Составить математическую модель задачи:

АО «Механический завод» при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Необходимые исходные данные приведены в таблице. Составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.


Оборудование

Деталь

Полезный фонд времени, станко-ч

1

2

Технологический способ

1

2

1

2

Фрезерное

2

2

3

0

20

Токарное

3

1

1

2

37

Сварочное

0

1

1

4

30

Прибыль, ден.ед

11

6

9

6






Тема 2. Задачи линейного программирования

Задание. Методы решения задач линейного программирования.

Исполнение. Решение задач линейного программирования графическим методом и симплексным методом.

^ Оценка. Формирует необходимые представления о методах решения задач линейного программирования.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Пример задачи 1. Решить ЗЛП графическим способом.

Требуется найти max L = x1 + 4x2,

при ограничениях

^ Решение задачи:

Запишем уравнения граничных прямых и построим их на плоскости x1ox2



EMBED CorelDRAW.Graphic.11

Рисунок 1. Решение ЗЛП геометрическим способом

Выделив область решения каждого неравенства системы ограничений, получим многоугольник допустимых решений ЗЛП.

На рис. 1 видно, что областью допустимых решений является многоугольник ONAC.

Построим основную прямую L = 0, то есть x1 + 4x2 = 0, проходящую через начало координат O (0,0) перпендикулярно вектору . Перемещая прямую L = 0 в направлении вектора , находим максимальную точку A, в которой пересекаются прямые L2 и L3, и координаты которой равны: x1 = 3, x2 = 1. Минимальной точкой является точка начала координат.

Итак, Omin (0,0), Amax (3;1). Тогда Lmin = 0, Lmax = 7

Пример задачи 2. Решить ЗЛП симплексным методом.



х10; х20; х30.

Решение задачи:

Приведем данную ЗЛП к канонической форме. Запишем ограничения – неравенства в форме ограничений - равенств, для чего введем дополнительные переменные х4, х5, х6:

18х1 + 15х2 + 12х3 + х4 = 360,

6х1 + 4х1 + 8х3 + х5 = 192,

5х1 + 3х2 + 3х3 +х6 = 180,

Составим симплекс – таблицу (таблица 1).

В таблице1 (итерация 0) имеем базисное решение Б1 (0; 0; 0; 360; 192; 180). Данное решение не оптимально, т.к. при Fmax коэффициенты в строке целевой функции должны быть положительны – условие оптимальности задачи.

Исключаем переменные, содержащие в строке ^ F отрицательные коэффициенты. Допустим, это будет переменная х3. Для выбора разрешающего элемента (с целью получения неотрицательных решений) используется правило симплекс – преобразования: для всех положительных элементов столбца исключаемой переменной (х3) вычисляется отношение свободного члена строки к ним самим, т.е bi/aij. Выбирается наименьшее из отношений, а соответствующий ему коэффициент aij - за разрешающий элемент.

Таблица 1

Итерация

Б

х1х2х3 х4х5 х6

bi

bi/aij



0

x4

x 5

x 6

18 15 12 1 0 0

6 4 8 0 1 0

5 3 3 0 0 1

360

192

180

30

24

60

F

-9 -10 -16 0 0 0

0






1

x 4

x 3

x 6

9 9 0 1 -12/8 0

6/8 4/8 1 0 1/8 0

22/8 12/8 0 0 3/8 1

72

24

108

8

48

72

F

3 -2 0 0 2 0

384






2

x 2

x 3

x 6

1 1 0 1/9 -1/6 0

1/4 0 1 -1/18 57/72 0

5/4 0 0 -1/6 117/72

8

20

96




F

5 0 0 2/9 11 0

400






Наименьшее отношение дает коэффициент , который выбирается за разрешающий элемент (берется в квадратик).

Для пересчета таблицы относительно этого разрешающего элемента используется метод Жордана – Гауса. Порядок расчета следующий:

1) Разрешающая строка (вторая) делится на разрешающий элемент a2, 3 .

2) Разрешающий столбец (третий) записывается в виде нулей, кроме разрешающего элемента а2,3 , т.е. переменная х3 исключается из остальных строк, включая строку целевой функции F .

3) Все остальные строки и столбцы таблицы пересчитываются по правилу прямоугольника. Сущность его состоит в том, что пересчитываемый элемент аi,j всегда составляет с разрешающим а2,3 диагональ прямоугольника и весь расчет производится по диагоналям этого прямоугольника по следующей схеме (если пересчитывается а1,1 ):

,

т.е. рассчитываемый элемент умножается на разрешающий, от него отнимается произведение членов по другой диагонали прямоугольника. В табл. 3.1 этот прямоугольник выделен пунктиром. По данной схеме рассчитываются все элементы таблицы, включая строку целевой функции и столбец свободных членов.

Результаты пересчета представлены в таблице 1 (первая итерация), новое базисное решение Б2 = (0; 0; 24; 72; 0; 108).

Целевая функция ^ F = 384.

Однако это решение не оптимально, т.к. в строке целевой функции F имеется отрицательный элемент (при переменной х2). Следовательно, на новом шаге итерации необходимо исключить переменную х2, а за разрешающий элемент взять = 9, т.к. он дает наименьшее отношение bi/aij.

Пересчитывается таблица относительно разрешающего элемента a2, 2 , результаты пересчета представлены в таблице 1 (итерация 2). Все коэффициенты в строке целевой функции положительны. Следовательно, решение оптимально.

Базисное решение (оптимальное) Б3 = (0; 8; 20; 0; 0; 96).

Целевая функция F = 9*0 + 10*8 + 16*20 = 400.


^ Варианты индивидуальных заданий

Вариант 1

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = 3x1 + 5x2 → min

x1 + x2 ≤ 5

3x1 - x2 ≤ 3

x1 ≥0, x2 ≥0

Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = 5x1 + 4x2 + x3 → max

x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 8

2x1 + x2 + x3 ≤ 4

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0


Вариант 2

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = 3x1 + 5x2 → max

x1 + x2 ≤ 5

3x1 - x2 ≤ 3

x1 ≥0, x2 ≥0

Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = 4x1 + 3x2 → max

-x1 + 3x2 ≤ 9

2x1 + 3x2 ≤ 18

2x1 - x2 ≤ 10

x1 ≥0, x2 ≥0


Вариант 3

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = 2x1 + 2x2 → min

x1 + 3x2 ≥ 3

-2x1 + x2 ≤ 2

x1 + x2 ≤ 5

x1 ≥0, x2 ≥0

Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = 2x1 + x2 + 2x3 → max

3x1 + 2x2 + x3 ≤ 6

x1 + x2 + 2x3 ≤ 4

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0

Вариант 4

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = 2x1 + 2x2 → max

x1 + 3x2 ≥ 3

-2x1 + x2 ≤ 2

x1 + x2 ≤ 5

x1 ≥0, x2 ≥0

Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = 5x1 + 4x2 - x3 → max

x1 - 2x2 + 2x3 ≤ 20

x1 + 4x2 - x3 ≤ 16

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0


Вариант 5

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = 2x1 + 3x2 → min

x1 + x2 ≤ 4

6x1 + 2x2 ≥ 6

x1 + 5x2 ≥ 5

x1 ≥0, x2 ≥0

Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = 4x1 - x2 + x3 → max

x1 + 2x2 + x3 ≤ 20

2x1 - x2 + 2x3 ≤ 10

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0


Вариант 6

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = -2x1 + x2 → min

x1 - x2 ≤ 3

x1 + x2 ≤ 9

-x1 + x2 ≥ 3

x1 + x2 ≥ 3/2

x1 ≥0, x2 ≥0


Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = 3x1 + 5x2 → min

x1 + x2 ≤ 5

3x1 - x2 ≤ 3

x1 ≥0, x2 ≥0

Вариант 7

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = 4x1 + 3x2 → max

-x1 + 3x2 ≤ 9

2x1 + 3x2 ≤ 18

2x1 - x2 ≤ 10

x1 ≥0, x2 ≥0


Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = 3x1 + x2 + 3x3 → max

x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 9

2x1 + 2x2 + x3 ≤ 5

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0


Вариант 8

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = x1 + x2 → max

-x1 + x2 ≤ 1

x1 + 2x2 ≤ 10

x1 + 2x2 ≥ 2

2x1 + x2 ≤ 10

x1 ≥0, x2 ≥0


Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = x1 + x2 + x3 → max

2x1 + x2 + x3 ≤ 2

4x1 + 2x2 + x3 ≤ 2

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0


Вариант 9

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = 2x1 + x2 → max

x1 + x2 ≤ 8

3x1 - 2x2 ≤ 12

-x1 + 2x2 ≤ 8

2x1 + 3x2 ≥ 6

x1 ≥0, x2 ≥0


Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = 2x1 + x2 + x3 → max

x1 + x2 + x3 ≤ 6

2x1 - x2 + x3 ≤ 2

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0

Вариант 10

Задача 1. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

Z = x1 - 3x2 → max

x1 - x2 ≤ 3

2x1 + x2 ≥ 3

x1 - 3x2 ≤ 1

x1 ≥0, x2 ≥0


Задача 2. Решить ЗЛП симплексным методом.

Z = x1 + 3x2 + x3 → max

-x1 + x2 + x3 ≤ 1

x1 + x2 + x3 ≤ 4

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0


^ Тема 3. Двойственная задача линейного программирования


Задание. Постановка двойственной задачи линейного программирования.

Исполнение. Составить пару взаимно двойственных задач линейного программирования.

^ Оценка. Формирует необходимые представления о применимости двойственных задач линейного программирования в экономике.

Время выполнения заданий: 1 час


Пример задачи. По исходной задаче требуется построить двойственную.

Исходная задача: L = 10x1 + 6x2 – 4x3 →max




^ Решение задачи:


Приведем все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному знаку:



Двойственная задача.




^ Варианты индивидуальных заданий


Вариант 1

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = -2x1 + x2 → min

x1 - x2 ≤ 3

x1 + x2 ≤ 9

-x1 + x2 ≥ 3

x1 + x2 ≥ 3/2

x1 ≥0, x2 ≥0


Вариант 2

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = 4x1 + 3x2 → max

-x1 + 3x2 ≤ 9

2x1 + 3x2 ≤ 18

2x1 - x2 ≤ 10

x1 ≥0, x2 ≥0


Вариант 3

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = x1 + x2 → max

-x1 + x2 ≤ 1

x1 + 2x2 ≤ 10

x1 + 2x2 ≥ 2

2x1 + x2 ≤ 10

x1 ≥0, x2 ≥0


Вариант 4

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = 2x1 + x2 → max

x1 + x2 ≤ 8

3x1 - 2x2 ≤ 12

-x1 + 2x2 ≤ 8

2x1 + 3x2 ≥ 6

x1 ≥0, x2 ≥0


Вариант 5

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = x1 - 3x2 → max

x1 - x2 ≤ 3

2x1 + x2 ≥ 3

x1 - 3x2 ≤ 1

x1 ≥0, x2 ≥0


Вариант 6

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = 3x1 + 5x2 → min

x1 + x2 ≤ 5

3x1 - x2 ≤ 3

x1 ≥0, x2 ≥0


Вариант 7

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = -2x1 + x2 → min

x1 - x2 ≤ 3

x1 + x2 ≤ 9

-x1 + x2 ≥ 3

x1 + x2 ≥ 3/2

x1 ≥0, x2 ≥0

Вариант 8

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = 2x1 + 2x2 → min

x1 + 3x2 ≥ 3

-2x1 + x2 ≤ 2

x1 + x2 ≤ 5

x1 ≥0, x2 ≥0

Вариант 9

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = 2x1 + 2x2 → max

x1 + 3x2 ≥ 3

-2x1 + x2 ≤ 2

x1 + x2 ≤ 5

x1 ≥0, x2 ≥0

Вариант 10

Составить двойственную задачу к исходной ЗЛП.

Z = 2x1 + 3x2 → min

x1 + x2 ≤ 4

6x1 + 2x2 ≥ 6

x1 + 5x2 ≥ 5

x1 ≥0, x2 ≥0


^ Тема 4. Транспортная задача

Задание. Методы решения специальных задач линейного программирования.

Исполнение. Решение транспортных задач методом потенциалов.

Оценка. Формирует необходимые представления о методах решения специальных задач линейного программирования.

Время выполнения заданий: 2 часа.

^ Пример задачи. Мощности поставщиков: А1 = 120 т; А2 = 220 т; А3 = 300 т; А4 = 170 т. Спрос потребителей: В1 = 120 т; В2 = 250 т; В3 = 200 т; В4 = 180 т. Удельные затраты на перевозку единицы груза представлены матрицей С:



Определить объемы перевозок из пункта i в пункт j такие, чтобы суммарные издержки на перевозку были бы минимальными, т.е. построить матрицу объемов перевозок х.

.

Решение задачи:

1. Определить тип задачи – закрытый или открытый.

Задача открытая, т.к.



Вводится фиктивный потребитель с объемом потребления Вф



2. Строится расчетная матрица (таблица 2) с фиктивным потреблением Вф и удельными затратами на перевозку фиктивного груза Ciф = 0.


Таблица 2

120 250 200 180 Вф

2




120


4


5

2

0

0

5
220


6

2

200

3

20

0

4


3

80

5

7

160

0

60

6
170


2

170

6

6






Vi


3. Формируется опорный план перевозок по критерию наименьших удельных затрат на перевозку единицы груза, т.е. min Cij. Затраты Cij = 0 на перевозку фиктивных грузов не принимаются во внимание. Оставшиеся мощности сносятся фиктивному потребителю



Проверяется баланс по строкам и столбцам.

4. Проверяется полученный план перевозок на вырожденность:

K = m + n – 1 - план невырожденный,

K < m + n – 1 - план вырожденный,

где K - количество поставок в матрице (таблица 2), т.е. количество > 0;

m – количество строк матрицы;

n – количество столбцов.

В нашем примере задача вырожденная (7 < 4 + 5 - 1). Число поставок ^ К меньше правой части (m + n – 1) на 1. Таким образом, для приведения опорного плана к невырожденному необходимо ввести фиктивную нулевую поставку (xij = 0*). Она вносится в строку или столбец (1). Допустим, нулевую фиктивную поставку поместим в клетку (1,4), т.е. х14 = 0*. Теперь задача стала невырожденной.

5. Оптимизируем опорный план, используя метод потенциалов.

Определяем потенциалы строк Ui и столбцов Vj по выражению (1) по клеткам с поставщиками (хij> 0):

Сij = U i + Vj . (1)

Для этого зададимся любыми значениями потенциала Ui либо Vj, например, U3 = 0.

Пересчитаем все остальные Ui , Vj по (1) и зафиксируем их в таблице 3:




6. Определяются характеристики свободных клеток:

Eij = Cij – (Ui + Vj)  0 (2)

Е12 = 4 – (- 5 + 3) = 6 Е31 = 4 – (0 + 7) = - 3

Е13 = 5 – (- 5 + 6) = 4 Е33 = 6 – (0 + 6) = 0

Е1ф = 0 – (- 5 + 0) = 5 Е41 = 6 – (- 1 + 7) = 0

Е21 = 5 – (- 4 + 7) = 2 Е43 = 6 – (- 1 + 6) = 1

Е22 = 6 – (- 4 + 3) = 7 Е44 = 6 – (- 1 + 7) = 0

Е2ф = 0 – (- 4 + 0) = 4 Е4ф = 0 – (- 1 + 0) = 1.

7. Условие оптимальности задачи: Е ij0.

В нашем примере имеется отрицательная характеристика (Е31 = - 6). Для клетки (3,1) строим контур перераспределения поставок. Он должен включать поставки, быть прямоугольным и замкнутым, т.е. выходить из свободной клетки и входить в нее. Для клетки (3,1) изобразим контур в матрице (таблица 3) и вынесем его отдельно (рисунок 1, а). Так как в клетку (3,1) контура будет помещена поставка, то метим ее знаком (+). Для соблюдения баланса по строкам и столбцам ближайшие к (3,1) клетки метим знаком (-), выбирается поставка с наименьшим значением. Это будет



Величина х11 = 120 и будет объемом перераспределения в контуре. Вводим ее в клетки контура с учетом их знаков.



а ) - + б )







120

+ -


Рисунок 2

8. Перенесем контур (рисунок 2, б) в новую матрицу (таблица 3), а также дополним его поставками, не использованными в контуре.

Таблица 3

120 250 200 180 Вф Ui

2
120


4

5

2

120

0
-5


-4


0


-1


5
220


6

2

200

3

20

0

4
300



120


3

80

6

7

40

0

60

6
170


2

170

6

6

0


4 3 6 7 0
Vi

Характеристики свободных клеток матрицы (таблица 3) не отрицательны, т.е. Еij. Следовательно, задача оптимальна:


Е11 > 0; E12 > 0; E1ф > 0; E21 > 0; E22 > 0;

E2ф > 0; E33 = 0; E41 > 0; E43 > 0; E44 = 0.

Задача решена.

9. Определяется значение целевой функции:

F = 2 * 120 + 2 * 200 + 3 * 20 + 4 * 120 + 3 * 80 + 7 * 40 + 2 * 170 = 2040 руб.

^ Варианты индивидуальных заданий

Вариант 1


Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.


ai bj

80

60

170

80

110


8

1

9

7

190


4

6

2

12

90


6

5

8

9


Вариант 2


Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.


ai bj

30

70

90

110

50


3

8

10

5

150


1

4

6

2

100


3

1

9

7


Вариант 3


Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.


ai bj

15

7

14

62

51


24

19

23

15

19


14

21

15

16

28


10

9

6

11


Вариант 4


Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.


ai bj

25

135

40

100

100


5

2

1

1

110


3

7

5

5

90


6

5

4

4

Вариант 5


Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.

ai bj

115

65

75

40

125


21

14

27

15

145


7

20

13

11

25


10

11

14

12


Вариант 6


Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.

ai bj

270

140

200

110

510


1

4

7

3

90


5

6

8

9

120


7

2

4

8


Вариант 7


Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.


ai bj

225

325

250

100

250


5

8

7

3

200


4

2

5

6

450


7

3

9

2


Вариант 8


Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.


ai bj

310

200

195

145

350


1

4

6

8

200


9

7

1

2

300


2

3

2

9



Вариант 9

Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.


ai bj

40

50

90

60

60


1

2

1

4

80


4

3

5

3

100


6

2

2

3

Вариант 10

Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.


ai bj

290

120

110

130

200


1

7

8

4

250


8

6

1

2

200


7

2

3

1



Тема 5. Производственные функции

Задание. Производственная функция Кобба-Дугласа.

Исполнение. Самостоятельно определить показатели производственной функции.

^ Оценка. Формирует необходимые представления о возможности использования производственных функций экономике.

Время выполнения заданий: 2 часа.

Задача. Даны две точки изокванты А(х1=90; х2=40), В(х1=140; х2=10), при этом объем производства у0=203. Производство описывается функцией Кобба-Дугласа. Определить эластичность выпуска по затратам труда; эластичность выпуска по затратам фондов, предельную норму замещения первого ресурса вторым (труда фондами); предельную производительность; предельную фондоотдачу.

^ Тема 6. Межотраслевой баланс

Задание. Составить межотраслевой баланс планового периода.

Исполнение. Определить межотраслевые потоки, конечную продукцию, валовую продукцию, условно-чистую продукцию, коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

^ Оценка. Формирует необходимые представления о структуре и содержании межотраслевого баланса.

Время выполнения заданий: 2 часа.

Пример задачи. Представлен межотраслевой баланс отчетного периода: конечная продукция отраслей (Yi) и межотраслевые потоки (Xij). Определить:

Недостающие данные в таблице.

Определить коэффициенты прямых материальных затрат (aij).

Составить плановый межотраслевой баланс, исходя из предположения, что конечный продукт в первой и во второй отраслях возрастет по сравнению с отчетным периодом на 5%. (Коэффициенты прямых материальных затрат те же, что и в отчетном периоде).

Производящие

Потребляющие отрасли

Конечная продукция

Валовая продукция

отрасли

1

2

1

34

38

30




2

28

32

66




Условно-чистая продукция







 




Валовая продукция







 

 


^ Решение задачи:

1. Валовая продукция той или иной отрасли (по строкам) равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

(3)

Х1 = 34+38+30 = 102

Х2 = 28+32+66 = 126


Валовая продукция отрасли (по столбцам) равна сумме материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции.

(4)

Из формулы (4) находим условно чистую продукцию

(5)


Z1 = 102-(34+28) = 40

Z2 = 126-(38+32) = 56

Полученные данные записываем в таблицу.

Межотраслевой баланс отчетного периода

Производящие

Потребляющие отрасли

Конечная продукция

Валовая продукция

отрасли

1

2

1

34

38

30

102

2

28

32

66

126

Условно-чистая продукция

40

56

 




Валовая продукция

102

126

 

 


2. Коэффициентами прямых материальных затрат рассчитываются следующим образом:


(6)

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции отрасли.

а11 = 34/102 = 0,333333

а12 = 28/102 = 0,3015873

а21 = 38/126 = 0,27451

а22 = 32/126 = 0,25396825

Чтобы составить межотраслевой баланс планового периода, сначала определим конечную продукцию планового периода, увеличив ее на 5%.


У1пл = 30*1.05 = 33

У1пл = 66*1.05 = 72.6


Затем определяем валовую продукцию планового периода по формуле

(7)

В формуле (7) обозначает единичную матрицу порядка, а обозначает матрицу, обратную к матрице Обозначим эту обратную матрицу через , ее называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат. Коэффициент полных материальных затрат показывает, какое количество продукции отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции отрасли.

Найдем матрицу по следующему алгоритму:

- составим матрицу;

- вычислим определитель det;

- найдем алгебраические