Реферат: Методические указания к лабораторному практикуму по курсу «Математические методы в бизнесе и управлении» для студентов очной магистратуры

Н.М. Светлов


Задания и методические указания к лабораторному практикуму по курсу
«Математические методы в бизнесе и управлении»

для студентов очной магистратуры
(направления «экономика» и «менеджмент»)



Москва 2009



Аннотация

Учебное пособие содержит задания к лабораторным работам по курсу «Математические методы в бизнесе и управлении», состоящие в разработке и экономическом анализе решений оптимизационных и эконометрических моделей, уровень сложности которых сопоставим с несложными приложениями математических методов при решении реальных управленческих задач. Отрабатывается формирование производственной программы и инвестиционного портфеля в условиях неопределённости, оценивание параметров эконометрической модели с использованием метода максимальной энтропии, применение теории массового обслуживания для обоснования капитальных вложений в объекты инфраструктуры, формирование инвестиционных программ с целью достижения положительного эффекта взаимодействия входящих в них проектов. Студенты магистратуры, выполнившие предлагаемые лабораторные работы, приобретают навыки математической формализации управленческих задач рассмотренных классов и подготовки управленческих решений на основе проведённых расчётов.


Введение
Цикл заданий, содержащихся в данном издании, предназначен для проведения лабораторных работ по курсу «Математические методы в бизнесе и управлении» объёмом 30-40 часов аудиторных занятий. Предполагается, что на выполнение лабораторного практикума затрачивается примерно треть времени аудиторных занятий по данному курсу — в среднем по 2 часа на одну лабораторную работу. Объём самостоятельной лабораторной работы на персональных ЭВМ, необходимый для выполнения задания, должен составлять 200-300% от времени работы в аудитории в зависимости от того, в какой степени обучаемые владеют математическими и инструментальными методами экономики и менеджмента.

В отличие от лабораторного практикума по родственным курсам бакалавриата — например, по экономико-математическому моделированию — задания, предлагаемые в данной работе, имеют уровень сложности, сопоставимый с простейшими приложениями математических методов в бизнесе и экономике, имеющими реальное практическое значение. Тем не менее, цель заданий ограничивается формированием навыков формулирования и использования для подготовки конкретных хозяйственных решений достаточно сложных математических моделей с использованием имеющихся инструктивных и методических материалов. Приобретение навыков самостоятельного решения оригинальных задач, требующих применения методов моделирования, данным учебным пособием не обеспечивается.

Задания подобраны так, чтобы фундаментальное свойство хозяйственных систем — вероятностный характер их функционирования — было усвоено студентами в возможно более полной мере, допускаемой рамками изучаемого курса, в разнообразных его проявлениях. Выполнив все задания данного цикла, студенты должны выработать стиль мышления, оперирующий экономическими показателями как величинами по самому своему существу неопределёнными, случайными, и отдавать приоритет решениям, обоснованным с помощью методов, явно учитывающих это их свойство.

Лабораторные работы не имеют сквозного характера, выполняются независимо одна от другой и потому могут дополнять практические курсы, построенные на основе учебных материалов других авторов, в том числе по более объёмным курсам.

Студенты должны ознакомиться с содержанием лабораторной работы заранее во время самостоятельной подготовки, причём обязательно после освоения теоретического материала (лекций и рекомендуемой литературы) по соответствующей теме. Если отдельные положения заданий или методических указаний к ним студенту не вполне понятны, он должен обратиться к преподавателю с вопросом до начала лабораторной работы.

Лабораторные работы должны выполняться в компьютерном классе. При этом на одного преподавателя (включая ассистентов и стажёров) должно приходиться не более десяти-двенадцати студентов. В противном случае эффективность выполнения лабораторных работ снижается, так как студентам приходится ожидать пояснений преподавателя при возникновении затруднительных ситуаций. Это приводит к неоправданному увеличению затрат времени на самостоятельную подготовку и снижению качества усвоения учебного материала.
^ Лабораторная работа №1.
Формирование производственной программы в условиях неопределённости экономического результата
Цель работы: овладеть практическими навыками применения математических методов оптимизации производственной программы в условиях неопределённости результата.

^ Приборы и материалы: ПЭВМ; Mathsoft MathCad либо MS Excel и надстройка «Поиск решения».
Задание
Разработать оптимальную производственную программу для предприятия пищевой промышленности, отвечающую (если иное не предусмотрено индивидуальным вариантом к заданию 1) следующим условиям:

Ассортимент выпускаемой продукции включает пастеризованное молоко, кефир и сметану.

Затраты сырого молока составляют:

На пастеризованное молоко – 1,01 кг/кг;

На кефир – 1,01 кг/кг;

На сметану – 9,45 кг/кг.

Поставщики в состоянии поставить не более 140 ц молока в сутки.

Фасовка молока и кефира осуществляется на автоматизированной линии производительностью 5 ц молока или 6 ц кефира в час. В течение суток линия может эксплуатироваться не более 21 часа.

Фасовка сметаны осуществляется на автоматизированной линии производительностью 30 кг сметаны в час. В течение суток линия может эксплуатироваться не более 16 часов.

Технические условия производства требуют выпускать не менее 90 ц пастеризованного молока и не менее 10 ц кефира в сутки.

Цена реализации пастеризованного молока – 800 руб./ц.

Цена реализации кефира при первом исходе случайных условий (благоприятная конъюнктура) – 1100 руб./ц, при втором (неблагоприятная конъюнктура) – 900 руб./ц.

Цена реализации сметаны при благоприятной конъюнктуре – 5000 руб./ц, при неблагоприятной – 4000 руб./ц.

Вероятность благоприятной конъюнктуры – 20%, неблагоприятной – 80%.

План должен обеспечивать максимальную выручку от реализации молочной продукции (контракт на поставку молока уже оплачен).

Степень неприятия риска принять равной 0,5 млн.руб.-1, если иное не предписано преподавателем.

Получить решения задачи, сформулированной выше, введя новые переменные и (или) ограничения согласно индивидуальному варианту к заданию 2.

Оформить отчёт.
^ Методические указания по выполнению задания
Для согласования с мерой неприятия риска в качестве единицы измерения выручки следует принять миллионы рублей.

Выполняя п.1 задания, следует получить решения задачи математического программирования для всех девяти комбинаций параметров, указанных в индивидуальном варианте.

Решать задачу рекомендуется с помощью средства «Поиск решения» табличного процессора Microsoft Excel. Рекомендуемые параметры для процедуры поиска решения: относительная погрешность – 1e-9, допустимое отклонение – 0,005%, сходимость – 1e-9. Переключатели «Неотрицательные переменные» и «Автоматическое масштабирование» включить. Установить: оценки – линейные, разности – прямые, метод поиска – Ньютона.

При аварийной остановке вычислительного процесса, обусловленной присвоением некоторой переменной нулевого или отрицательного значения, следует вручную присвоить данной переменной любое положительное значение, после чего возобновить поиск решения.

При получении сообщения «Решение найдено» следует проконтролировать выполнение ограничений.

Чтобы быть уверенным в обнаружении оптимального решения, необходимо получить не менее трёх его вариантов, пользуясь разными начальными значениями переменных задачи. Если различия между значениями переменных и (или) целевой функции превышают 0.5%, следует повторить решение, уменьшив значения параметров «относительная погрешность» и «сходимость» процедуры поиска решения.
^ Требования к отчёту
Отчёт должен содержать математическую формулировку задач математического программирования, соответствующих заданиям 1 и 2, без указания конкретных значений параметров.

Для каждого решённого варианта задачи отчёт должен содержать следующие данные:

результат решения (решение оптимальное; система ограничений несовместна);

значения переменных с указанием единиц измерения;

оценки (нормированные градиенты) переменных с указанием единиц измерения;

отклонения значений ограничений от значения свободного члена (с указанием единиц измерения);

множители Лагранжа ограничений с указанием единиц измерения;

значение целевой функции с указанием единиц измерения.

Если иное не предписано преподавателем, отчёт сдаётся в электронном виде на дискете или с помощью средств электронных телекоммуникаций.
Литература
Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : Учеб. пособие для студентов вузов по спец. "Статистика", "Мат. методы в экономике", "Прикл. информатика (по обл.)" / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 222, [1] с.

Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Error: Reference source not found / РГАУ – МСХА им. К.А. Тимирязева. М.: 2005.


^ Варианты заданий
К заданию 1

Затраты молока на производство кефира: 0,75; 1; 1,25 ц/ц. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки молока и кефира — 12; 20; 22 ч/сут.

Производительность фасовки кефира: 4, 6, 8 ц/ч. Минимальный объём производства молока: 60, 90, 120 ц/сут.

Затраты сырого молока на производство пастеризованного молока: 0,65; 0,85; 1,05 ц/ц. Минимальный объём производства кефира: 0; 12,5; 25 ц/сут.

Затраты молока на производство сметаны: 9, 11, 15 ц/ц. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки молока и кефира — 15; 20; 22 ч/сут.

Производительность фасовки сметаны: 0,15; 0,25; 0,4 ц/ч. Минимальный объём производства кефира: 0; 12,5; 25 ц/сут.

Затраты сырого молока на производство пастеризованного молока: 0,65; 0,85; 1,05 ц/ц. Максимальный объём поставок сырого молока: 100; 150; 250 ц/сут.

Затраты молока на производство сметаны: 9, 11, 13 ц/ц. Цена реализации кефира при неблагоприятной конъюнктуре: 750; 850; 950 руб./ц.

Производительность фасовки сметаны: 0,15; 0,25; 0,4 ц/ч. Цена реализации пастеризованного молока: 700; 900; 1100 руб./ц.

Затраты сырого молока на производство пастеризованного молока: 0,65; 0,75; 1,05 ц/ц. Цена реализации сметаны при неблагоприятной конъюнктуре: 4000; 4300; 4800 руб./ц.

Затраты молока на производство сметаны: 8,5; 10,5; 14 ц/ц. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки молока и кефира — 13; 18; 22 ч/сут.

Затраты молока на производство кефира: 0,75; 1; 1,25 ц/ц. Цена сметаны при неблагоприятной конъюнктуре: 4000; 4500; 5000 руб./ц.

Производительность фасовки сметаны: 0,16; 0,24; 0,35 ц/ч. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки молока и кефира — 16; 18; 22 ч/сут.

Затраты молока на производство сметаны: 9; 11,5; 13,5 ц/ц. Максимальный объём поставок сырого молока: 100; 175; 250 ц/сут.

Цена кефира при неблагоприятной конъюнктуре: 900; 975; 1050 руб./ц. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки сметаны — 16; 18; 22 ч/сут.

Максимальный объём поставок сырого молока: 90; 180; 250 ц/сут. Производительность фасовки сметаны: 0,15; 0,25; 0,4 ц/ч.

Затраты молока на производство кефира: 0,75; 1; 1,15 ц/ц. Цена сметаны при неблагоприятной конъюнктуре: 4000; 4300; 5000 руб./ц.

Минимальный объём производства молока: 50; 80; 135 ц/сут. Затраты молока на производство кефира: 0,75; 1,05; 1,2 ц/ц.

Максимальный объём поставок сырого молока: 95; 130; 250 ц/сут. Затраты сырого молока на производство пастеризованного молока: 0,7; 0,85; 1,05 ц/ц.

Минимальный объём производства кефира: 10; 12; 25 ц/сут. Производительность фасовки сметаны: 0,15; 0,25; 0,35 ц/ч.

Производительность фасовки кефира: 4, 6, 8 ц/ч. Минимальный объём производства молока: 60; 85; 120 ц/сут.



К заданию 2

Дополнительный вид продукции — творог. Цена — 5200 руб./ц. Затраты сырого молока — 17 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,8 ц/ч. Оборудование может работать 16 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — йогурт. Цена — 2200 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,9 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки сметаны — 0,2 ц/ч. Минимальный выпуск — 5 ц/сут.

Дополнительный вид продукции — творожные сырки. Цена — 7200 руб./ц. Затраты сырого молока — 15 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,2 ц/ч. Оборудование может работать 16 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — кефир обезжиренный. Цена — 770 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,3 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки кефира — 6 ц/ч. Суммарный минимальный выпуск кефира обоих видов — 10 ц/сут. (минимальный выпуск кефира жирного не регламентируется).

Дополнительный вид продукции — творог. Цена — 5500 руб./ц. Затраты сырого молока — 18 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,3 ц/ч. Оборудование может работать 16 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — йогурт. Цена — 2000 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,8 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки сметаны — 0,2 ц/ч. Минимальный выпуск — 3 ц/сут.

Дополнительный вид продукции — творожные сырки. Цена — 7800 руб./ц. Затраты сырого молока — 14 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,25 ц/ч. Оборудование может работать 18 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — кефир обезжиренный. Цена — 790 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,31 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки кефира — 6 ц/ч. Суммарный минимальный выпуск кефира обоих видов — 8 ц/сут. (минимальный выпуск кефира жирного не регламентируется).

Дополнительный вид продукции — творог. Цена — 5300 руб./ц. Затраты сырого молока — 17 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,4 ц/ч. Оборудование может работать 16 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — йогурт. Цена — 2500 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,85 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки сметаны — 0,15 ц/ч. Минимальный выпуск — 4 ц/сут.

Дополнительный вид продукции — творожные сырки. Цена — 7500 руб./ц. Затраты сырого молока — 16 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,25 ц/ч. Оборудование может работать 17 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — кефир обезжиренный. Цена — 770 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,27 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки кефира — 5.5 ц/ч. Суммарный минимальный выпуск кефира обоих видов — 8 ц/сут. (минимальный выпуск кефира жирного не регламентируется).

Дополнительный вид продукции — творог. Цена — 5400 руб./ц. Затраты сырого молока — 13 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,35 ц/ч. Оборудование может работать 17 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — йогурт. Цена — 2750 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,95 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки сметаны — 0,25 ц/ч. Минимальный выпуск — 5 ц/сут.

Дополнительный вид продукции — творожные сырки. Цена — 7700 руб./ц. Затраты сырого молока — 19 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,2 ц/ч. Оборудование может работать 20 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — кефир фруктовый. Цена — 1080 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,57 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки кефира — 5.5 ц/ч. Суммарный минимальный выпуск кефира обоих видов — 10 ц/сут. (минимальный выпуск кефира без наполнителей не регламентируется).

Дополнительный вид продукции — творог с изюмом. Цена — 6400 руб./ц. Затраты сырого молока — 13 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,15 ц/ч. Оборудование может работать 18 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — молочный коктейль. Цена — 2050 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,95 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки молока — 0,5 ц/ч. Минимальный выпуск (вместе с молоком) — 85 ц/сут. Выпуск молока не регламентируется.

Дополнительный вид продукции — творожные сырки. Цена — 7300 руб./ц. Затраты сырого молока — 17,5 ц/ц. Производительность фасовки на специальном оборудовании — 0,15 ц/ч. Оборудование может работать 18 ч./сут.

Дополнительный вид продукции — кефир фруктовый. Цена — 1180 руб./ц. Затраты сырого молока — 0,87 ц/ц. Производительность фасовки на оборудовании для фасовки кефира — 6 ц/ч. Суммарный минимальный выпуск кефира обоих видов — 10 ц/сут. (минимальный выпуск кефира без наполнителей не регламентируется).
^ Лабораторная работа №2.
Оптимизация многоэтапного процесса принятия решения о составе инвестиционного портфеля в условиях ценового риска
Цель работы: овладеть практическими навыками применения математических методов оптимизации производственной программы в условиях неопределённости результата.

^ Приборы и материалы: ПЭВМ; MS Excel и надстройка Sunset Software XA.
Задание
Разработать оптимальную структуру инвестиционного портфеля для следующих условий (которые могут быть переопределены условиями индивидуальных вариантов):

Имеется 1 000 000 руб. свободных средств, которые могут быть инвестированы в облигации банка «Р., О., Т. Ltd», нефтяные фьючерсы либо акции Нью-Васюковского нефтеперерабатывающего завода (НПЗ).

Источниками дохода являются: для фьючерсов – курсовая прибыль, возникающая при их продаже, для облигаций – фиксированные процентные платежи в размере 8% годовых, для акций – дивиденды.

Доходность нефтяных фьючерсов и акций НПЗ зависит от цен на нефть: чем они выше, тем доходнее фьючерсы и тем меньший доход приносят акции. В текущий момент цена фьючерса составляет 50$/баррель. Через месяц с вероятностью 75% она составит 65$/баррель, что приведёт к нулевому размеру дивидендов по акциям НПЗ, а с вероятностью 25% – 40$/баррель, что обеспечит месячный дивиденд в размере 30 руб. на одну акцию, рыночная стоимость которой составляет 1000 руб. Аналогичная ситуация ожидается через два месяца, при этом вероятности различных уровней цен не зависят от того, какими были цены в предыдущий месяц.

Облигации банка могут быть куплены в текущий момент. В первый месяц также возможна также их покупка (в пределах свободных средств, включая их неизрасходованный остаток и выручку от продажи фьючерсов) и продажа (в пределах количества, приобретённого к текущему моменту). В последний месяц операции с облигациями не планируются, так как они не повлияют на доходы в плановый период, составляющий два месяца (процент не будет начислен).

Фьючерсы могут покупаться в пределах остатка инвестиционных средств (за вычетом других инвестиций) только в текущий момент; продаваться (в пределах наличия) спустя один и два месяца.

Из-за высоких транзакционных издержек продажа акций НПЗ не предусмотрена, а покупаться они могут в любой период. Приобретя акцию, покупатель получает дивиденд, начисленный за предшествующий месяц.

При любой конъюнктуре инвестиционный портфель должен обеспечивать безубыточность по результатам первого и второго месяцев планового периода.

Если во втором месяце планового периода нефтяные фьючерсы вырастут, необходимо продать фьючерсы на 100 баррелей нефти Нью-Васюковскому НПЗ по 50$/баррель (условия соглашения о сотрудничестве).

Курс доллара принять равным 27 руб./$.

^ Задание повышенной сложности1: альтернативная стоимость капитала, определяемая процентом по краткосрочному депозиту в банке «Н.А. Ветер & C° Ltd», составляет 6% годовых. Капитализация процентных доходов производится ежемесячно.

Определить оптимальное первоначальное вложение средств и программу управления инвестиционным портфелем на двухмесячную перспективу.

Оформить отчёт.
^ Методические указания по выполнению задания
В качестве основных переменных модели рекомендуется предусмотреть:

Переменные априорного решения: покупка фьючерсов, баррелей; покупка облигаций банка, руб.; покупка акций НПЗ, шт. (целочисленная).

Переменные первого апостериорного решения (отдельно для случаев высоких и низких цен нефтяных фьючерсов): продажа фьючерсов, баррелей; продажа/покупка облигаций банка, руб. (без условия неотрицательности); покупка акций НПЗ, шт. (целочисленная).

Переменные второго апостериорного решения (четыре варианта: цены фьючерсов высокие после высоких, высокие после низких, низкие после высоких, низкие после низких): продажа фьючерсов, баррелей; покупка акций НПЗ, шт. (целочисленная).

В целях упрощения математической записи модели при необходимости могут быть введены и другие переменные.

Условия индивидуальных вариантов могут привести к изменению набора переменных.

Основные группы ограничений следующие:

Ограничение априорного решения: использование инвестиционных ресурсов.

Ограничения первого апостериорного решения (составляются отдельно для обоих вариантов конъюнктуры рынка нефтяных фьючерсов):

максимальный объём продажи облигаций;

максимальный объём продажи фьючерсов;

баланс финансовых ресурсов;

условие безубыточности.

Ограничения второго апостериорного решения (каждое ограничение составляется в четырёх вариантах: цены фьючерсов высокие после высоких, высокие после низких, низкие после высоких, низкие после низких):

максимальный объём продажи фьючерсов;

баланс финансовых ресурсов;

условие безубыточности.

Условия неотрицательности переменных (кроме переменных «продажа/покупка облигаций банка, руб.» в первом апостериорном решении).

Условия целочисленности переменных по покупке акций НПЗ1.

Другие ограничения следует вводить по необходимости. Условия индивидуальных вариантов могут привести к изменению набора ограничений.



Обратите внимание, что доходы от финансовой деятельности, кроме продажи фьючерсов, не направляются на пополнение инвестиционных ресурсов. Предполагается, что они требуются для финансирования операционной деятельности.

Решая задачу с учётом изменения стоимости денег во времени, при дисконтировании доходов не забудьте, что альтернативная стоимость капитала приводится в процентах годовых, в то время как период планирования составляет два месяца.

Рекомендуется решать задачу с помощью программного средства Sunset Software XA. При решении с помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel условие целочисленности можно опустить.
^ Требования к отчёту
Отчёт должен содержать:

математическую формулировку задачи математического программирования;

результат решения (решение оптимальное; система ограничений несовместна);

значения переменных (с указанием единиц измерения);

оценки переменных (с указанием единиц измерения);

отклонения значений ограничений от значения свободного члена (с указанием единиц измерения);

двойственные оценки ограничений (с указанием единиц измерения);

значение целевой функции (с указанием единиц измерения);

интерпретацию результата: программу действий по формированию инвестиционного портфеля и управлению им.

Если иное не предписано преподавателем, отчёт сдаётся в электронном виде на дискете или с помощью средств электронных телекоммуникаций.
Литература
Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : Учеб. пособие для студентов вузов по спец. "Статистика", "Мат. методы в экономике", "Прикл. информатика (по обл.)" / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 222, [1] с.

Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Error: Reference source not found / РГАУ – МСХА им. К.А. Тимирязева. М.: 2005.

Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. 2 е изд. М.: Финансы и статистика, 2005. – П. 2.2.8.
^ Варианты заданий
Второй месяц, следующий за месяцем с высокой конъюнктурой нефтяных фьючерсов, также будет иметь высокую конъюнктуру.

Через месяц после принятия первоначального решения об инвестициях можно будет купить облигаций на сумму не более 500 000 руб.

Спустя месяц после принятия первоначального решения об инвестициях облигации можно только продавать.

Цена акций НПЗ в месяцы с низкой конъюнктурой нефтяных фьючерсов возрастает на 5%.

Цена приобретения нефтяных фьючерсов – 38$/баррель при благоприятной конъюнктуре и 26$/баррель при неблагоприятной.

Второй месяц, следующий за месяцем с низкой конъюнктурой нефтяных фьючерсов, будет иметь высокую конъюнктуру с вероятностью 40%.

По прошествии двух месяцев с низкой конъюнктурой нефтяных фьючерсов их остаток в размере не более 200 баррелей может быть продан ещё месяц спустя по цене 50$/баррель. Цена нефтяного фьючерса в месяц, следующий за месяцем с низкой конъюнктурой, на 10% выше указанной в условии.

Минимальные доходы контролируются только при низкой конъюнктуре рынка нефтяных фьючерсов. В первый месяц планового периода по номиналу можно купить облигаций лишь на 200 000 руб., а сверх того – с наценкой в размере 1,5%.

Второй месяц, следующий за месяцем с высокой конъюнктурой нефтяных фьючерсов, будет иметь низкую конъюнктуру с вероятностью 10%.

Альтернативная стоимость капитала составляет 12% годовых.

Спустя месяц после принятия решения облигации можно только покупать.

Через месяц после принятия первоначального решения об инвестициях можно будет купить облигации лишь с наценкой в размере 0,5%.

Минимальный доход в последнем месяце не должен составить менее 10 000 руб.

Спустя месяц после принятия решения облигации можно только продавать. Альтернативная стоимость капитала составляет 7% годовых.

Минимальные доходы контролируются только при высокой конъюнктуре рынка нефтяных фьючерсов. В первый месяц планового периода фьючерсы на 100 баррелей могут быть проданы по ценам выше среднерыночных на 10%.

По прошествии двух месяцев с низкой конъюнктурой нефтяных фьючерсов их остаток в размере не более 100 баррелей может быть продан ещё месяц спустя по цене 50$/баррель. Цена покупки нефтяного фьючерса составляет 40$/баррель.

Спустя месяц после принятия решения облигации можно только покупать. Альтернативная стоимость капитала составляет 8% годовых.

Цена акций НПЗ в месяцы с высокой конъюнктурой нефтяных фьючерсов снижается на 10%.

В первый месяц планового периода нельзя продать более трети имеющихся фьючерсов.

В месяцы с высокой конъюнктурой нельзя продать более половины имеющихся фьючерсов.
^ Лабораторная работа №3.
Оценивание ненаблюдаемых параметров математической модели потребительского спроса при малом числе зарегистрированных сделок
^ Цель работы: овладеть практическими навыками оценивания параметров моделей продаж при недостаточном количестве наблюдений с использованием метода максимальной энтропии.

Приборы и материалы: ПЭВМ; MS Excel, надстройка «Поиск решения».
^ Описание учебной ситуации
ЗАО «Snark» является единственным поставщиком двух видов товаров в четыре торговые точки. Для оптимизации производства и сбыта товаров перед только что принятым на работу заместителем директора по сбыту поставлена задача обосновать оптимальные цены и объёмы продаж для каждой торговой точки в отдельности. Принимая задание к исполнению, специалист запросил данные о продажах продукции в предшествующие периоды. Данные были ему предоставлены (табл. 1). Известно также, что данные торговые точки не торгуют товарами, конкурирующими с продукцией ЗАО «Snark» либо комплементарными им.

В условиях отсутствия какой-либо другой информации о продажах и о влияющих на них факторах специалист решил опробовать одну из простейших моделей сбыта, согласно которой общий доход, выделяемый потребителями на покупку продукции ЗАО «Snark», зависит только от времени покупки и от торговой точки, где она совершена. Так дело может обстоять в случае, если все потенциальные покупатели каждой торговой точки вполне информированы о потребительских свойствах продукции ЗАО «Snark», а другие торговые точки, куда эти покупатели могут обратиться без существенных транзакционных издержек, не продают аналогов этой продукции. Кроме того, осмотрев образцы продукции и ознакомившись с их использованием, заместитель директора по маркетингу счёл возможным считать их комплементарными: хотя каждый вид продукции может быть использован независимо от другого, при совместном использовании они приобретают дополнительные потребительские свойства.

Таблица  1

Данные индивидуальных вариантов заданий к лабораторной работе №3

Номер наблю-де­ния

Квар-тал

Торго-вый дом

Продукт 1

Продукт 2

Цена, у.е.

Прода-но, шт.

Цена, у.е.

Прода-но, шт.

1

янв-март

1

30

52

40

30

2

2

35

54

40

12

3

3

37

55

42

12

4

4

30

78

35

9

5

апр-июнь

1

33

55

40

17

6

2

36

66

38

10

7

3

37

51

42

12

8

4

32

90

35

8

9

июль-сент

1

36

70

39

28

10

2

36

71

38

10

11

3

37

55

42

11

12

4

33

98

40

9

13

окт-
дек

1

40

66

40

39

14

2

40

77

41

14

15

3

40

60

40

16

16

4

35

112

45

8



На этих основаниях он сформулировал следующую математическую модель:



где w1 и w2 – цены соответствующих видов продукции ЗАО «Snark»; x1n и x2n – объёмы их реализации, соответствующие наблюдению n; tn – момент времени, соответствующий наблюдению n; d1n…d4n – dummy-переменные, обозначающие номер торговой точки, в которой производилось наблюдение n (dummy-переменная, номер которой равен номеру торговой точки, равна единице, остальные равны нулю); en – совокупное влияние случайных факторов на объём спроса (в стоимостном выражении) на продукцию ЗАО «Snark» при наблюдении n; fn – совокупное влияние случайных факторов на объём продаж продукции ЗАО «Snark» первого вида при наблюдении n; a0…a5, b1 и b2 — параметры.
Задание
На основе данных табл. 1 оценить параметры модели сбыта продукции ЗАО «Snark» с учётом требований индивидуального варианта задания.

Построить графики зависимости вероятного объёма реализации и цены продукции первого вида от цены продукции второго вида для первой торговой точки на первый квартал следующего года при условии, что должно быть реализовано 50 шт. продукции второго вида1.

Оформить отчёт.
^ Методические указания по выполнению задания
Малое число наблюдений не допускает использования оценки OLS (метода наименьших квадратов) для оценивания параметров модели. В связи с этим при недостатке исходных данных для получения надёжных оценок параметров пользуются методами оценивания, при которых неопределённость оценки при недостаточности наблюдений устраняется теми или иными модельными предположениями. В принципе методы этого класса позволяют получить интерпретируемую оценку даже при полном отсутствии наблюдений. Одним из таких предположений является обобщённый метод максимальной энтропии (general maximum entropy method, GME).

Предпосылки использования данного метода следующие:

все оцениваемые параметры, в том числе отражающие влияние случайных факторов, могут быть представлены в форме выпуклой линейной комбинации заранее известных (априорных) значений, которые в отсутствие наблюдений можно считать равновероятными;

в качестве оценок параметров принимаются такие линейные комбинации априорных значений, совместимые с эмпирической моделью и наблюдаемыми данными, при которых различие вероятностей априорных значений как можно меньше.

В качестве меры различия вероятностей принимается показатель энтропии:



где pij – вероятность j го априорного значения i го параметра.

Энтропия (неопределённость) тем больше, чем меньше различия между вероятностями и, следовательно, чем меньше оснований предпочесть одно априорное значение другому. По мере поступления данных о наблюдениях переменных модели такие основания появляются, что приводит к снижению максимальной энтропии априорных значений параметров, совместимой с эмпирическими данными.

Оценивание параметров модели сбыта продукции ЗАО «Snark» методом максимальной энтропии можно выполнить с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора Microsoft Excel. Рекомендуется ввести по два априорных значения каждого оцениваемого параметра. В качестве априорных значений параметров первого уравнения (кроме en) целесообразно принять максимальную когда-либо наблюдавшуюся выручку от реализации продукции ЗАО «Snark», взятую с противоположными знаками. В качестве априорных значений параметра b1 могут быть принято наибольшее из наблюдаемых соотношений x1n/x2n, взятое с противоположными знаками; параметра b2 – наибольшее из наблюдаемых соотношений x1nw2n/w1n, взятое с противоположными знаками. Априорными значениями параметров en и fn, следуя правилу 3σ, можно принять взятое с противоположными знаками утроенное среднее квадратичное отклонение эндогенной переменной соответствующего уравнения модели. Границы выбраны таким образом, чтобы в отсутствие данных они обеспечили нулевые оценки всех оцениваемых параметров.
^ Требования к отчёту
Отчёт должен содержать:

формулировку эмпирической модели, соответствующую индивидуальному варианту задания, с указанием единиц измерения переменных и параметров;

априорные значения оцениваемых параметров;

точечные оценки параметров модели;

диаграммы1 согласно заданию 2.

Если иное не предписано преподавателем, отчёт сдаётся в электронном виде на дискете или с помощью средств электронных телекоммуникаций.
Литература
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие / Под ред. В.В. Федосеева. – 2 е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – п.7.1…7.3, 8.1. - 222, [1] с.

Golan A., Judge G., Miller D. Maximum entropy econometrics: Robust estimation with limited data. J. Wiley & Sons, 1996.
^ Варианты заданий
В первом уравнении опустить член a1d1n.

Во втором уравнении заменить отношение цен на цену первого продукта.

В первом уравнении опустить член a2d2n.

Второе уравнение дополнить параметром b0, приняв априорные значения, равные наибольшему объёму реализации первого продукта, взятому с противоположными знаками.

Провести оценивание в предположении, что второй торговой точки не существует.

В первом уравнении опустить член a3d3n.

Априорно принять оценку параметра b1 равной среднему соотношению продаж первого и второго благ согласно эмпирическим данным.

В первом уравнении опустить член a4d4n.

Выполнить оценивание, приняв, что цена продукта 2 на 20% выше приведённой в табл. 1.

Принять, что объём реализации первого продукта определяется зависимостью

Нет изменений.

Во втором уравнении заменить отношение цен на цену второго продукта.

Провести оценивание модели, не учитывающей временной тренд.

Заменить второе уравнение аналогичным уравнением для расчёта объёма продаж второго продукта.

Выполнить оценивание, приняв, что цена продукта 1 на 20% выше приведённой в табл. 1.

Провести оценивание в предположении, что данные с первой торговой точки не поступили.

Провести оценивание в предположении, что данные с третьей торговой точки поступили только за чётные кварталы.

В первом уравнении опустить член a3d3n. Провести оценивание в предположении, что данные с четвёртой торговой точки поступили только за нечётные кварталы.

В первом уравнении опустить член a4d4n. Провести оценивание