Реферат: Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения инженерного факультета Вологда-Молочное

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации


ФГОУ ВПО «Вологодская государственная молочнохозяйственная
академия имени Н.В. Верещагина»

Кафедра высшей математики и физики


МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочного отделения

инженерного факультета


Вологда–Молочное

2010


ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ


Настоящее пособие содержит 4 контрольные работы по высшей математике и методические указания по выполнению каждой из работ.

На первом курсе студенты-заочники выполняют работы 1 и 2, на втором курсе – работы 3 и 4.

Перед выполнением каждой контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы и может воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в данных методических указаниях.

В начале пособия приведён справочный материал, который включает в себя формулы, табличные значения и т.п., используемые при решении задач.

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради. На внешней обложке студент должен указать свои фамилию, имя, отчество, учебный шифр, дисциплину, номер контрольной работы, курс, факультет, специальность (пример оформления титульного листа представлен далее). Работа сдаётся на кафедру и там регистрируется. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью. В работе должны быть поля для замечаний проверяющего преподавателя.

Во время сессии студент должен быть готов (по требованию преподавателя) давать пояснения к предъявленным решениям контрольных работ.

Контрольные работы сдаются по прибытии на сессию. В случае незачёта работа возвращается для внесения исправлений. Оформить исправленные задания нужно в той же тетради и сдать на повторную проверку в кратчайший срок. Если есть затруднения при решении какого-либо задания, то, приехав на сессию, обратитесь для получения консультации к преподавателям, ведущим занятия по дисциплине.

Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номер зачётки). При этом если предпоследняя цифра учебного шифра – нечётное число (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра – чётное число или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2.


Пример оформления титульного листа (в печатном или рукописном виде).




Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГОУ ВПО «Вологодская государственная молочнохозяйственная

академия имени Н.В. Верещагина»


Инженерный факультет

Специальность:

Заочное отделение

Кафедра высшей математики и физики


^ Контрольная работа № 3

по дисциплине «Математика»


Выполнил

студент 1 курса: Соколов Н. А.

шифр 0837012


Проверил:


Вологда-Молочное

2011



^ Таблица 1. (предпоследняя цифра вашего шифра нечётная)


Номер

варианта

Первый курс

Второй курс

Работа

№ 1

Работа

№ 2

Работа

№ 3

Работа

№ 4

1








1, 21, 41



1, 21, 41,

61

2








2, 22, 42


2, 22, 42,

62

3








3, 23, 43


3, 23, 43,

63

4








4, 24, 44


4, 24, 44,

64

5








5, 25, 45


5, 25, 45,

65

6








6, 26, 46


6, 26, 46,

66

7








7, 27, 47


7, 27, 47,

67

8








8, 28, 48


8, 28, 48,

68

9








9, 29, 49


9, 29, 49,

69

0








10, 30, 50


10, 30, 50,

70



^ Таблица 2. (предпоследняя цифра вашего шифра чётная)


Номер

варианта

Первый курс

Второй курс

Работа

№ 1

Работа

№ 2

Работа

№ 3

Работа

№ 4

1







11, 31, 51


11, 31, 51,

71

2







12, 32, 52


12, 32, 52,

72

3







13, 33, 53


13, 33, 53,

73

4







14, 34, 54


14, 34, 54,

74

5







15, 35, 55


15, 35, 55,

75

6







16, 36, 56


16, 36, 56,

76

7







17, 37, 57


17, 37, 57,

77

8







18, 38, 58


18, 38, 58,

78

9







19, 39, 59


19, 39, 59,

79

0







20, 40, 60


20, 40, 60,

80



^ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА


Основная

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.– Любое издание.

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Физматлит, 2003.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Айрис-пресс, 2004.


Дополнительная

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2003.


В дальнейшем ссылки на литературные источники будут указываться номерами в квадратных скобках, например, . Номер в скобках соответствует номеру источника в данном списке.


^ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


В данном разделе содержатся основные формулы, табличные значения и т.п., необходимые для самостоятельного выполнения заданий.

^ Основные алгебраические тождества


Разность квадратов:

.

Квадрат суммы (разности):

.

Куб суммы (разности):

.

Сумма (разность) кубов:

.

Разложение на множители квадратного трехчлена:

,

где и — корни квадратного трехчлена, вычисляемые по формулам:

, где .


Основные тригонометрические формулы

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. .


Таблица 3 – Значения тригонометрических функций некоторых углов






0



















0







1



1







0



0



1











1



0































0













0









0













0



^ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3


Тема 1.

Функции многих независимых переменных.


В задачах 1-20 найти частные производные первого и второго порядка, градиент функции в точке и производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси .

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,




Решение типового примера.

Пусть , , .

При вычислении частной производной функции Z по переменной x (обозначается или ), переменную рассматриваем как постоянную величину. В остальном пользуемся теми же правилами и формулами, что и при дифференцировании функций одной переменной. Получим:

.

При вычислении частной производной функции Z по переменной y (обозначается или ), переменную рассматриваем как постоянную величину. Поэтому:

.

Частные производные второго порядка обозначаются и вычисляются по следующим формулам:

Вторая производная по переменной : ==.

Вторая производная по переменной : ==.


Вторая производная по переменным , : ==.

Вычислим частные производные второго порядка.

.




.

Градиентом функции Z в точке М называется вектор, координатами которого являются значения частных производных первого порядка в точке М, т. е.


(30)


или .

В найденные значения производных первого порядка подставляем координаты точки .

, , значит, .

Производная в направлении вектора , составляющего угол с положительным направлением оси вычисляется по формуле:


, где . (31)


В нашем случае .


В задачах 21- 40 исследовать данную функцию на экстремум:










































Решение типового примера.

Найти экстремум функции .


^ Необходимое условие экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю, то есть и .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.


^ Достаточное условие экстремума: Пусть - стационарная точка функции . Обозначим , , .

Составляем . Тогда:

если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, если и минимум при ;

если , то в точке экстремума нет;

если , то экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.


Находим частные производные первого порядка: , . Воспользовавшись необходимым условием экстремума, находим стационарные точки:

, откуда , , .

Находим значения частных производных второго порядка в точке М:

; ;

Составляем .

Так как и , делаем вывод о наличии минимума в точке . Значение функции в этой точке .


Тема 2.

Кратные и криволинейные интегралы.


В задачах 41- 60 с помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной данными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .


Решение типовых примеров.

Пример 1.

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и прямой (поверхностную плотность считать равной единице).


В случае однородной пластины, занимающей область плоскости , координаты центра тяжести и находят по формулам:

, (32),


где - площадь области ,


(33)

Сделаем чертёж:



В нашем случае фигура ограничена кривыми и при . Поэтому

Для вычисления полученного интеграла используем замену . Тогда . Отсюда



Значит, .

Найдём

Первый из полученных интегралов вычисляется с помощью замены . Тогда

, .



Отсюда ,

тогда .


Найдём :




Пример 2.

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями (поверхностную плотность считать равной единице).





Поскольку фигура симметрична относительно оси , то . Вычислим первую координату центра тяжести .

.



Таким образом, ; .


^ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4


Тема 1.

Дифференциальные уравнения


В задачах 1-20 найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:












































Решение типового примера.

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: .


Заменяем : .

. Для того, чтобы разделить переменные умножим обе части уравнения на выражение . Получим: . После разделения переменных обе части уравнения можно интегрировать.



Интеграл в правой части решаем методом замены:

, ,



Тогда решение уравнения имеет вид:

(Для удобства произвольную постоянную прибавляют в виде натурального логарифма).

Воспользуемся свойствами логарифма, получим:

- общее решение уравнения.


В задачах 21-40 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.

, ;

, ;

,

,

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;


Решение типового примера.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Полагаем , где , - неизвестные функции от, . Подставляя и в исходное уравнение, будем иметь

,

.

Подберём функцию так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. Для определения решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными , откуда . После интегрирования получаем , т. е. .

Для определения функции имеем



или

.

Этот дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции . Разделяя переменные, будем иметь

.

Интегрируя обе части равенства, получаем



Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, в результате чего имеем ,

Откуда .

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Используя начальное условие, вычисляем соответствующее ему значение постоянной С:

т.е. .

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид: .


В задачах 41-60 найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.









































Решение типового примера.

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: .

Найдём общее решение однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного уравнения :

.

Так как корни его характеристического уравнения действительны и различны , то общее решение однородного уравнения записывается в виде

, где и - произвольные постоянные.

Подбираем теперь частное решение исходного неоднородного уравнения в виде:

.

Отсюда

,

.

Подставляя , , в исходное уравнение и сокращая все слагаемые на множитель , получаем



или после упрощения



Отсюда следуют равенства:



т.е. , .

Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

.


Тема 2.

Ряды

В задачах 61-80: a) исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд; б) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; в) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;


Решение типового примера.

Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд:

Общий член ряда .

Тогда . В соответствии с признаком Даламбера вычислим предел:

.

Так как , делаем вывод о сходимости заданного ряда.

б) С помощью признака Лейбница исследовать сходимость знакочередующегося ряда:



Рассмотрим абсолютные величины членов исходного ряда:

.

При этом и или .

Таким образом, члены заданного ряда монотонно убывают по абсолютной величине. Кроме того . Поэтому выполнены оба условия признака Лейбница, т.е. ряд сходится.


в) Найти радиус сходимости степенного ряда .

Определить характер сходимости ряда на концах интервала сходимости.

Запишем заданный ряд следующим образом:



Общий член ряда .

Для исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера:

.

Таким образом, при , т.е. при исходный ряд сходится абсолютно.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках и .

При заданный ряд принимает вид: .

Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится (условно), т.е. точка принадлежит области сходимости заданного степенного ряда.

При исходный ряд примет вид



Это числовой знакоположительный ряд, который расходится (сравните его с гармоническим рядом). Следовательно, точка не принадлежит области сходимости заданного степенного ряда.

Таким образом, область сходимости исходного степенного ряда . Вне этого интервала ряд расходится.