Реферат: Система, структура, субстанция

Система, структура, субстанция
Любой предмет, явление, ситуация, в которых можно выделить составные части, мы будем называть сложным объектом. Сложный объект представляет собой нечто самостоятельное, потому что его составные части взаимосвязаны или соотносятся друг с другом. Свойства сложного объекта в большей или меньшей степени зависят от вида, типа этих связей или отношений. Следовательно, одной из характеристик сложного объекта является схема связей или отношений между его составными частями. Эту схему или сеть связей между составными частями сложного объекта будем называть структурой, а сами составные части — элементами рассматриваемого сложного объекта. Если мы установим, что рассматриваемый объект (предмет, существо, ситуация и т. п.) является сложным и убедимся в наличии определенной структуры связей или отношений между его элементами, то такой объект мы будем называть системой.

Элементы конкретной системы, как правило, физически так -или иначе ощутимы, во что-то воплощены. Это могут быть и металлические детали станка, и живые люди, между которыми установилась определенная схема отношений, и фразы, так или иначе зависящие друг от друга. Поэтому введем еще одно понятие — субстанция, подразумевая под этим термином все то конкретное физическое, во что воплощены элементы сложного объекта. Следовательно, субстанцией может быть и строительный материал, и живой организм, и цепочка букв на бумаге, и любые другие формы внешнего проявления материальности элементов системы.

Конечно, связи между элементами также могут быть представлены вполне ощутимой субстанцией, например, клей, гвозди или шарниры между составными частями механической системы. Однако даже в этом случае общее количество субстанции, содержащейся в связях, образующих структуру механического объекта, несравненно меньше количества субстанция, содержащейся в элементах объекта; поэтому нередко с достаточным основанием субстанцией связей можно пренебрегать и анализировать структуру как «чистую схему отношений». В тех же случаях, когда связанность между элементами сложного объекта проявляется лишь косвенно, например, в форме симпатий и антипатий между членами человеческого коллектива или в форме подобия некоторых характеристик между числами в какой-либо математической системе, то при всем желании невозможно говорить о субстанции связей, хотя нельзя отрицать наличия определенной схемы отношений между элементами, т. е. наличия структуры рассматриваемого сложного объекта.

При необходимости получения максимально полного представления о конкретном сложном объекте или сложной ситуации нужно иметь как можно больше сведений и о субстанции элементов, и о структуре связей .или отношений между ними, и даже о субстанции самой структуры, если она представляет собой, например, сеть механических связей.

Однако в очень большом числе случаев бывает выгодно умышленно ограничить информацию о сложном объекте и считать, что связь и отношение — это одно и то же, что как связь, так и отношение принципиально свободны от субстанции, и поэтому схема отношений или связей, т. е. структура, абсолютно «бестелесна», что она представляет собой сеть (или каркас, или скелет) идеальных, «чистых» отношений. Мало того, часто бывает возможно и даже необходимо пренебречь субстанцией не только связей, но я самих элементов, не учитывать тех индивидуальных свойств, которыми они обладают как некие самостоятельные объекты. При этом возникает невольный вопрос: как различать после этого элементы системы, если они считаются также «бестелесными», лишенными индивидуальности?

Оказывается, что если мы знаем структуру, т. е. идеализированную схему отношений, то различия между соотносящимися элементами, лишенными субстанции, можно выразить в структурных терминах. Например, можно приписать «личные» имена всем элементам системы и тогда характеризовать любой из них указанием на имена тех элементов, с которыми он связан отношениями. Это практически то же самое, что мы делаем, .когда характеризуем человека не его личными качествами (молод, образован, хороший спортсмен, знает несколько иностранных языков), а через схему его отношений с другими людьми (например: сосед моей тетушки, мой приятель и при этом брат жены моего начальника). При таком подходе от системы, т. е. от исходного сложного объекта, по существу остается лишь абстрактная структурная тень, где .даже элементы — всего лишь пучки, узлы, места пересечений отношений; вне системы каждый элемент просто перестает существовать, так как .не имеет никаких индивидуальных свойств, кроме тех, которые отражают его место в структуре, т. е. в сети чистых отношений.
^ Связь структуры с субстанцией
Может показаться, что если вместо изучения свойств конкретной системы, воплощенной в «полнокровную» субстанцию, заняться рассмотрением лишь идеализированной абстрактной структурной схемы этой системы, где даже сами элементы всего лишь «пучки чистых отношений», то мы так далеко уйдем от реальности, что наши выводы о системе, сделанные лишь на основания изучения свойств структуры, не будут представлять практической .ценности. Однако на самом деле это далеко не так.

Bo-первых, только от структуры объекта зависит очень многое. Вспомним хотя бы, что неисчислимое многообразие свойств органических веществ, в состав которых входит одна и та же субстанция (атомы одних и тех же химических элементов), .может быть достигнуто лишь за счет видоизменения схемы связей .между этими элементами, т. е. только путем изменения структуры. Во-вторых, именно потому, что при анализе структурных особенностей системы мы отвлекаемся полностью от свойств субстанции, нам удается обнаружить, что самые различные, внешне непохожие системы в действительности имеют немало общих черт, от которых зависят многие (хотя и не все) существеннейшие свойства этих систем. После этого открывается возможность разработать общие приемы изучения тех свойств- систем, которые зависят от структуры взаимоотношения между элементами системы. В-третьих, как это ни парадоксально на первый взгляд, отвлечение от субстантных свойств элементов и связей системы и описание этой системы исключительно в структурных терминах совсем не означает, что мы полностью лишаемся возможности иметь информацию и о субстанции системы. Дело в том, что каждый элемент системы, в свою очередь, может рассматриваться .как самостоятельный сложный объект; а поскольку многие его свойства также зависят от присущих ему структурных особенностей, то это значит, что чисто индивидуальные особенности элемента как субстантной самостоятельной единицы также могут быть сформулированы в терминах своеобразия его структуры. Следовательно, методика анализа и описания структур, методика выявления тех свойств системы, которые связаны только с особенностями ее структуры, оказывается применимой и к описанию особенностей субстанции элементов.

Поэтому при структурном анализе системы открывается возможность избежать полного «обескровливания» индивидуальных субстантных свойств элементов, поскольку и эти свойства при необходимости удается понять как структурные, усложнив исходную структуру системы отражением «микроструктурных» свойств элементов. В этом смысле методика структурного анализа свойств систем оказывается универсально применимой не только к любому сложному объекту, явлению или ситуации, если между элементами этого объекта существуют некоторые взаимосвязи, но и к анализу субстантных свойств любых элементов, если удается рассмотреть эти элементы как сложные объекты со своей микроструктурой. Таким образом, трудно переоценить значение тех наук, которые позволяют познать свойства структур и учат приемам сведения конкретных, практически важных задач к задачам исследования структурных свойств объектов. Логика, математика и математическая логика — как раз те науки, с помощью которых разрабатываются методы структурного изучения реальной действительности, и на основе этих методов решаются разнообразнейшие практические задачи, связанные с познанием или с созданием сложных систем. Чтобы понять, в чем выражается своеобразие математической логики по сравнению с другими науками, связанными со структурным изучением объектов, нужно уточнить еще некоторые общие понятия.

^ Модель, оригинал, структурная модель

Одним из основных понятий современной науки (важность которого осознается все полнее) является понятие модели. Когда архитектор вместо настоящего дома строит его макет, то это уже модель. Если представлен только чертеж дома, то это тоже модель, но в другом исполнении, в другой субстанции. И, наконец, если нет ни макета, ни чертежа дома, а есть только колонки цифр и формул, на основании которых можно судить о важнейших особенностях построенного дома, то и это тоже модель. По отношению ко всем своим моделям реальный дом будет служить оригиналом. В самом общем случае под термином «модель» следует понимать некоторый сложный объект, определенным элементам которого можно поставить в соответствие элементы другого сложного объекта — оригинала; при этом взаимосвязям и отношениям между элементами оригинала соответствуют некоторые взаимосвязи или отношения между определенными элементами модели.

Совершенно ясно, что степень соответствия количества элементов модели количеству элементов оригинала и степень подобия типов структурных схем модели типам структурных схем оригинала может быть различной. Следовательно, можно говорить о том, что одна модель больше соответствует оригиналу, чем другая. В частности, субстанция элементов модели может быть той же, что и субстанция элементов оригинала, но может и не иметь с ней ничего общего. Например, дом может быть кирпичным, а его модель в виде чертежа представлять собой графитный след карандаша на бумаге.

Как мы уже говорили, анализ свойств систем чаще всего целесообразно начинать с анализа структуры этих систем. Следовательно, и на модели можно отразить только структуру, только схему отношений между элементами системы. Такая модель будет называться структурной моделью системы. Поскольку при выявлении структуры системы можно и нужно отвлекаться от свойств субстанции (отразив, если требуется, и субстантные свойства в микроструктурных характеристиках элементов), то структурную модель принципиально можно строить из субстанции, не имеющей ничего общего с субстанцией оригинала. Даже наоборот, отвлечение от свойств субстанции оригинала с помощью структурной модели позволяет полностью сосредоточиться .на структурных особенностях оригинала, отраженных в структурной модели, поэтому субстанция структурной модели должна быть такой, чтобы субстантные свойства ее элементов не отвлекали внимание человека от особенностей моделируемой структуры. Следовательно, структурная модель должна быть по возможности ближе к бестелесной, «чистой абстракции» — такой, как чертеж, условные символы, цифры, термины.

В свете ранее сказанного понятно, что математики, логики и математические логики фактически имеют дело лишь со структурными моделями исследуемых объектов, либо исследуют структурные модели «сами по себе», если еще не обнаружены реальные сложные объекты, имеющие те структуры, которые уже теоретически известны математикам «или логикам.
^ Предмет математики
Математика, как и другие науки, изучает действительный, материальный мир, объекты этого мира и отношения между ними. Однако в отличие от наук о природе, исследующих различные формы движения материи (механика, физика, химия, биология и т. д.) или формы передачи информации (информатика, теория автоматов и другие разделы кибернетики), математика изучает формы и отношения материального мира, взятые в отвлечении от их содержания. Поэтому математика не изучает никакой особой формы движения материи и, следовательно, не может рассматриваться как одна из естественных наук.

Во второй половине XIX в. Ф. Энгельс дал следующее определение предмета математики: «^ Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал». При этом он указывал: «Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и y, постоянные и переменные величины»

Из этих слов Энгельса вытекает, что исходные понятия математики, бывшие предметом изучения с самого зарождения математической науки, — натуральное число, величина и геометрическая фигура — заимствованы из действительного мира, являются результатами абстрагирования отдельных черт материальных объектов, а не возникли путем «чистого мышления», оторванного от реальности. В то же время, для того чтобы стать предметом математического исследования, свойства и отношения материальных объектов должны быть абстрагированы от их вещественного содержания.

Таким образом, специфика математики состоит в том, что она выделяет количественные отношения и пространственные формы, присущие всем предметам и явлениям, независимо от их вещественного содержания, абстрагирует эти отношения и формы и делает их объектом своего исследования.

Приведенное выше определение предмета математики было дано Ф. Энгельсом более 100 лет назад. Протекшее с тех пор столетие характеризуется бурным развитием естественных и общественных наук, невиданным ростом техники, возникновением новых областей знания. Сейчас происходит математизация многих областей знания, до того считавшихся чисто гуманитарными (лингвистика, социология, экономика). Появление быстродействующих вычислительных машин усилило интеллектуальную мощь человека при выполнении вычислительных и логических процедур. Необходимость решать новые задачи повлекла за собой создание новых областей математики (топология, общая алгебра, функциональный анализ, математическая логика и т. д.) и перестройку всего здания математики, качественное изменение взглядов на роль и сущность этой науки, на ее место среди других наук. В результате указанных процессов оказалось необходимо уточнить данное Ф. Энгельсом определение математики.
^ Характерные черты математики
Отметим следующие характерные черты математической науки:

1) Математика изучает абстрагированные свойства предметов — числа, а не совокупности предметов, геометрические фигуры, а не реальные тела. При этом математика абсолютизирует свои абстракции: возникшие в ходе ее развития математические понятия в дальнейшем закрепляются и рассматриваются как данные. Например, хотя теперь известно, что свойства реального пространства отличны от предполагавшихся Евклидом, построенная им геометрия сохранила свое значение, как одна из возможных моделей реального пространства. Сравнение результатов, полученных в математике, с реальной действительностью является задачей не столько математики, сколько ее приложений.

2) Основным методом получения математических результатов является логический вывод, не опирающийся на экспериментальную проверку.

3) Как следствие этого имеет место непреложность математических выводов. Если приняты исходные посылки, то полученные из них математическим путем результаты непреложны. Если же результаты расходятся с опытом, то следует подвергнуть исследованию принятые посылки.

4) Абстракции, возникающие в математике, развиваются ступенчато — от абстракций, непосредственно обобщающих свойства реальных предметов, к абстракциям столь высокого уровня, как топологические пространства, общие алгебраические системы, алгоритмы и т.д.

5) Математика обладает свойством универсальной применимости. В любой области, где только удается математически поставить задачу, математика дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи. При этом, чем более отвлеченными от содержания являются используемые в исследовании понятия и методы, тем шире область возможных применений этих методов. Однако эта универсальность не является абсолютной — сама возможность применения математических методов предполагает известный уровень абстрактности данной науки. Кроме того, ошибочность принятых положений не может быть исправлена сколь угодно тонким математическим анализом.

6) Наконец отметим, что математика занимает особое положение в системе наук — её нельзя отнести ни к гуманитарным, ни к естественным наукам. Она дает те основные понятия, которые используются почти во всех науках. Такие понятия, как «множество», «структура», «система», «изоморфизм» и т. д., впервые возникшие в математике, сейчас приобрели статус общенаучных понятий.
^ ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
В школьном курсе математики сейчас мирно уживаются разделы математической науки, возникшие на протяжении ее многотысячелетней истории. Например, арифметика была (по крайне мере, в своей практической части) создана более 5 тыс. лет назад египетскими и вавилонскими писцами и жрецами; а понятия теории множества в основном сформулированы в работах Г. Кантора, относящихся к концу XIX в.

Чтобы разобраться в этом конгломерате идей и понятий, необходимо знать основные этапы развития математики, понимать, как математика постепенно расширяла свой предмет в процессе исторического развития. Историю математики условно разбивают на четыре основных периода, причем начало каждого периода ознаменовалось выдающимися научными достижениями, определявшими переход математики в новое качественное состояние.
^ I. Зарождение математики
Период зарождения математики начался с древнейших времен и закончился в VII V вв. до н. э. Это был период накопления фактического материала, тесно связанного с потребностями хозяйственной жизни — развитием ремесла, земледелия, обмена и торговли, исчислением податей, обеспечением войска продовольствием и оружием, измерением площадей земельных участков и объемов сосудов и т.д. Накопленные эмпирические знания подвергались систематизации, что привело к выделению особого вида понятий и методов решения задач, явившихся зачатками будущей математической науки.

Уже в этот период формируются три основные понятия, изучение свойств и взаимосвязей которых легли в основу дальнейшего развития математики: число, величина и геометрическая фигура. Пересчет элементов конечных множеств (убитых на охоте зверей, сделанных горшков, изготовленных стрел и т. д.), а также упорядочивание этих элементов привели к возникновению понятия натурального числа, как количественного, так и порядкового. Сравнение масс различных предметов, объемов сосудов, расстояний и т. д. привели к понятию величины. При этом первоначально величины различного вида рассматривались раздельно, так что точнее было бы сказать не о величине, а о величинах (например, меры массы не были связаны с мерами объема). Наконец, изучение формы изделий, зданий, земельных участков и т. д. привели к понятию геометрической фигуры — части геометрического пространства (слово «геометрия» означает землемерие).

Уже в глубокой древности были введены арифметические действия над натуральными числами, отражавшие операции над конечными множествами. Далее была установлена связь между натуральными числами и величинами — в некоторых случаях измерение данной величины определенной единицей давало ответ в виде натурального числа. В случаях, когда результат измерения не выражался натуральным числом, либо переходили к более мелкой единице измерения, либо выражали результат измерения дробью. Во всех практических задачах для выражения результатов измерения величин было достаточно дробей. С помощью наблюдений и простейших рассуждении люди пришли к формулам для вычисления геометрических величин — длин, площадей и объемов различных фигур. Тем самым был перекинут мост между арифметикой и геометрией. Более того, можно сказать, что в этот период геометрия и арифметика не разделялись, геометрические задачи ставились как особого вида задачи на вычисление.

В дошедших до нас древнеегипетских папирусах и древневавилонских клинописных табличках уже содержатся правила выполнения арифметических действий, вычисления геометрических величин, методы решения типовых арифметических задач (некоторые из которых и сейчас встречаются в школьных задачниках), таблицы квадратов, кубов, обратных величин и т.д. Не только понятия натурального числа и измерения величины свободно использовались в то время, но и были созданы некоторые общие методы решения арифметических задач, которые можно назвать «праалгеброй», — вместо привычного сейчас использования букв давались образцы решения задач.

Все это свидетельствует о довольно высоком уровне абстрактного мышления тогдашних математиков, которые выделили три центральных понятия: «фигура», «величина» и «число», нашли некоторые классы геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, прямоугольный параллелепипед, шар и т. д.), отметили типичные связи величин в материальном мире, зафиксировав их в виде типовых задач.

Решение практических задач потребовало умения обозначать натуральные числа и дроби, воплощать понятие числа в определенных символах. Были разработаны различные системы счисления, тесно связанные со счетом на пальцах (десятичная, двадцатеричная), а также двенадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления, которые были очень удобны, так как давали возможность делить «круглые» числа без остатка на 3 (происхождение этих систем счисления не установлено до конца историками науки).

Вавилонские ученые умели решать уравнения первой и второй степеней (а в некоторых случаях — и более высоких степеней), решать задачи на прогрессии и т. д.

Однако, несмотря на накопление известного теоретического материала, математика того времени еще не была дедуктивной наукой — наряду с результатами, полученными путем тех или иных выводов, она содержала много эмпирических результатов, часть которых была даже ложной.

Задачи в древнеегипетских папирусах классифицировались не по методам решения, а по содержанию. Вместо доказательств писалось: «Делай, как делается», т. е. основой было не логическое рассуждение, а ссылка на авторитет предшественников. Основной задачей обучаемого было не понимание правил, а их запоминание.
^ II. Математика постоянных величин
Второй период развития математики известен в литературе как период математики постоянных величин (или элементарной математики). Он начался в VII в. до н. э. и закончился в XVII в. н. э. Основным достижением математической мысли, характеризующим начало этого периода, было возникновение и развитие понятия о доказательстве. Греческие математики сознательно стремились расположить математические доказательства в такие цепочки, чтобы переход от одного звена к следующему не оставлял никакого места сомнениям и заставлял всех с ним согласиться.

К сожалению, до нашего времени не дошли тексты, по которым можно было бы судить о возникновении этого «дедуктивного метода». Традиция называет первым из философов, применившим в математике доказательства, греческого ученого Фалеса из Милета (города в Малой Азии), жившего в VII—VI вв. до н.э. По дошедшим до нас сведениям, Фалес доказал некоторые простейшие геометрические утверждения: равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и т. д.

Созданный Фалесом метод логического доказательства математических утверждений был развит и усовершенствован учеными пифагорейской школы в период между концом VI в. и серединой V в. до н. э., которые доказали, в частности, утверждение, называемое теперь теоремой Пифагора (формулировка этого утверждения была известна еще вавилонянам).

Пифагорейцы предприняли первую попытку свести геометрию и алгебру того времени к арифметике. Они считали, что «все есть число», понимая под словом «число» лишь натуральные числа. В частности, они были долгое время убеждены, что длины любых отрезков соизмеримы друг с другом, а потому для измерения любых величин достаточно рациональных чисел.

Поворотным пунктом было открытие пифагорейцами того, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Это открытие, сделанное на основе теоремы Пифагора, показало несостоятельность попытки свести всю геометрию к натуральным числам. Анализ полученного доказательства привел к исследованию начальных вопросов теории чисел (четности и нечетности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.).

После работ Пифагора стало ясно, что не все величины выражаются рациональными числами. Поскольку понятие иррационального числа не могло быть создано в ту эпоху, греческие математики предприняли иную попытку — обосновать всю математику на основе геометрических понятий. Они стали развивать геометрическую алгебру, истолковывая, например, сложение величин, как сложение отрезков, а умножение — как построение прямоугольника с заданными сторонами. При этом говорили о равенстве отрезков, а не о равенстве их длин, поскольку длина отрезка выражается числом, а числа были изгнаны из древнегреческой математики. Следы такого подхода к алгебре сохранились в современных терминах квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.

Древнегреческие математики продвинулись очень далеко. Они провели, например, классификацию квадратичных иррациональностей, открыли все виды правильных многогранников, вывели формулы для объемов многих тел, исследовали разнообразные кривые линии (эллипс, гиперболу, параболу, спирали). Выдающуюся роль в формировании математики как теоретической науки сыграла знаменитая книга Евклида «Начала», представлявшая синтез и систематизацию основных результатов древнегреческой математической мысли и длительное время служившая источником знаний и образцом строгого математического изложения.

Книга Евклида является первой из дошедших до нашего времени попыток аксиоматического изложения математической дисциплины. Хотя во времена Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида была уже четко проведена основная идея получения всего основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа утверждений — аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.

В XIX в. было показано, что список аксиом Евклида неполон и многие теоремы он доказывал, привлекая утверждения, не вошедшие в этот список. Не было у Евклида и аксиом порядка. Признаки же равенства треугольников доказывались на основе понятия наложения фигур, т. е., по сути дела, на основе идеи движения, относящейся скорее к механике, чем к математике.

В течение двух тысячелетий основное внимание критиков и комментаторов Евклида было направлено на аксиому о параллельных, поскольку предполагалось, что ее можно доказать на основе остальных аксиом. Лишь открытие в начале XIX в. неевклидовой геометрии показало безнадежность попыток такого доказательства.

На формулировку аксиом Евклида сильное влияние оказали длившиеся долгое время споры между сторонниками и противниками атомизма. Атомисты (Демокрит, Левкипп) утверждали, что материя состоит из неделимых атомов, причем существует предел делимости пространства (т. е. что и пространство состоит из неделимых далее частиц). Их противники полагали, что пространство безгранично делимо и потому недопустимо считать, что линии состоят из точек, поскольку точки не имеют ни частей, ни размеров, а линии имеют определенную длину.

Хотя атомисты достигли больших успехов в геометрии (например, Демокрит вывел формулу объема пирамиды), их попытки дать логическое обоснование геометрии не увенчались успехом. Дело в том, что из атомистических воззрений вытекала соизмеримость любых двух отрезков, а это противоречило известной уже в то время теореме о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. В то же время Евклиду удалось построить логически замкнутую систему геометрии, в которой считалось, что любой отрезок безгранично делим, а потому не существует неделимых элементов пространства.

Книга Евклида подвела также итог длительному развитию идеи бесконечности, приведшему к формированию, с одной стороны, понятия о бесконечном ряде натуральных чисел, а с другой — понятия о безгранично делимых геометрических фигурах (отрезках, кругах и т. д.). Однако бесконечность понималась лишь как потенциальная возможность продолжать определенный процесс (прибавления единицы к натуральному числу, деления пополам отрезка и т. д.). Идея об актуальной (законченной) бесконечности изгонялась из работ Евклида и его последователей (Архимеда, Аполлония и др.). Эта идея была дискредитирована в результате открытия греческим философом Зеноном затруднений, к которым вело ее использование. Например, Зенон «доказывал», что стрела не может пролететь свой путь, поскольку она должна сначала пролететь половину пути, а до этого — половину половины и т. д. — значит, он никогда не сдвинется с места.

Поэтому формулы для объема шара и конуса, площади круга и т. д. излагались без применения предельного перехода, без разложения на бесконечно малые части, хотя для отыскания этих формул математики применяли «запрещенные приемы». Архимед решил такие сложные для тогдашней математики задачи, как отыскание объема сегмента параболоида вращения и площади сектора архимедовой спирали.

Недостатком геометрического подхода к математике было то, что он препятствовал развитию алгебры (хотя греки и умели, например, в геометрической форме решать квадратные уравнения) — невозможно было представить геометрически четвертую и высшие степени длины, а, кроме того, нельзя было складывать выражения разных степеней: эта сумма геометрического смысла не имела.

По той же причине в греческой математике не было отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления. Лишь в III в. н. э. в работах александрийского математика Диофанта появляются зачатки буквенного исчисления. Но этим работам не суждено было иметь продолжения в греческой математике, так как после принятия христианства в V в. н. э. языческая культура, составной частью которой была математика, оказалась разрушенной, а в 529 г. император Юстиниан под страхом смертной казни запретил занятия математикой.

Центр математических исследований переместился на Восток — в Индию, Китай и арабский мир. Индийские математики ввели нуль и отрицательные числа, проводили исследования по комбинаторике (Ариабхатта, V в. н. э.). Основной заслугой арабских математиков (аль-Беруни, Омар Хайям, Гиясэддин Джемшид, IX—XIII вв. н. э.) следует считать развитие тригонометрии (в связи с астрономическими исследованиями) и, особенно, создание новой области математики — алгебры.

Алгебра, которую теперь рассматривают как общее учение о формальных действиях и их свойствах, появилась у арабов как наука о решении уравнений. Само слово «алгебра» арабского происхождения и означало «восстановление», т. е. перенос отрицательных слагаемых в другую часть уравнений.

С начала XIII в. вновь возрождаются математические исследования в Европе. Но лишь в XVI в. были получены первые научные результаты, превзошедшие достижения греков и арабов, — итальянские математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и др. вывели формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Одновременно с этим формируется система алгебраических обозначений, словесная алгебра постепенно заменяется буквенной. В начале XVII в. в трудах французских и английских математиков (Виета, Декарта, Гэрриота) завершается развитие алгебраической символики, создаются правила буквенного исчисления. Одновременно с развитием символики происходит расширение понятия о числе: еще в середине XVI века в математике окончательно утверждаются отрицательные числа, а вскоре за тем появляются и комплексные числа (хотя они долгое время не находили признания, поскольку не допускали истолкования известными в то время средствами). При этом оказалось, что правила буквенной алгебры в равной мере применимы к числам любого вида.

Важнейшую роль сыграли работы итальянского ученого Бомбелли (XVI в.) и французского математика Р. Декарта (XVII в.), которые фактически ввели идею действительного числа, освободив тем самым алгебру от несвойственной ей геометрической одежды. Пользуясь этим, Декарт, в отличие от греческих математиков, сводивших алгебраические проблемы к геометрии, начал алгебраически решать геометрические задачи. Этим было положено начало аналитической геометрии.
^ III. Математика переменных величин
Началом третьего периода развития математики следует считать работы Р. Декарта, в которых он ввел понятие переменной величины. Ф. Энгельс писал по этому поводу:

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем».

Под влиянием запросов практики математики XVII в. переходят от изучения постоянных величин к исследованию зависимостей между переменными величинами, т. е. к математическому описанию движения и других процессов. Таким образом, третий период развития математики является периодом, математики переменных величин.

Одним из основных достижений этого периода явилось введение общего понятия функции, сделанное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем. В этом понятии нашла свое отражение общефилософская идея о всеобщей связи явлений материального мира.

Следует отметить, что математические понятия переменной и функции представляют собой не что иное, как абстракции конкретных переменных величин (координат, скорости и ускорения движущегося тела и т. д.) и конкретных зависимостей между ними (например, законов движения планет вокруг Солнца или законов свободного падения). Значениями математической переменной являются числа, служащие отвлеченным образом значений любой переменной. Исследование общих свойств зависимостей между, переменными величинами привело к созданию математического анализа.

Рассматривая вопросы геометрии и механики в конце XVII в., английский физик и математик И. Ньютон и почти одновременно с ним Г. В. Лейбниц создали основы дифференциального и интегрального исчислений. Они и их ученики развили аппарат математического анализа, ставший одним из основных орудий в решении задач механики и гидродинамики, астрономии и оптики. Триумфом методов математического анализа явилось предсказание возвращения в 1759 г. кометы Галлея. Математический анализ был в ту эпоху основным каналом связи математики с естествознанием. Большие успехи в этом направлении были достигнуты в XVIII—XIX столетиях: математики научились решать уравнения в частных производных, к которым сводились многие вопросы математической физики, создали вариационное исчисление, позволившее решать экстремальные задачи, недоступные для первоначальных методов математического анализа, нашли истолкование и приложения для комплексных чисел. Большую роль в этих исследованиях сыграли работы члена Петербургской Академии наук Л. Эйлера.

Следует отметить также возникновение и развитие теории вероятностей, первые работы по которой появились в XVII в. Большой вклад в нее сделали русские математики XIX в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов и др.
^ IV. Современный период развития математики
Для рассмотренных выше трех периодов развития математики характерна убежденность в том, что эта наука непосредственно отражает свойства реального мира, лишь в н