Реферат: Приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики

1.Математическая модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

В процессе проектирования новой или модернизации существующей технической системы решаются задачи расчета параметров и исследования процессов в этой системе. При проведении многовариантных расчетов реальную систему заменяют моделью.

В широком смысле модель определяют как отражение наиболее существенных свойств объекта.

Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования.

Требования к математической модели

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта.

Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей - сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.

Универсальность - определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти.

Противоречивость требований к модели обладать широкой областью адекватности, высокой степени универсальности и высокой экономичности обусловливает использование ряда моделей для объектов одного и того же типа.

Принципы построения математических моделей

1. Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла. Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель.

2. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время.

3. Принцип множественности моделей. Данный принцип является ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы (или явления), которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно при использовании любой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс.

4. Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

5. Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели.


2. Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

дескриптивные (описательные) модели;

оптимизационные модели;

многокритериальные модели;

игровые модели.

Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

^ Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

^ Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

^ Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики — теория игр, — изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

3. Среди большого количества классических задач исследования операций наиболее распространенными являются те, которые используют методы статистического моделирования, в частности метод Монте-Карло.

^ Задача диеты или задача о рационе представляет собой задачу линейного программирования, основной функцией которой является определение рациона, удовлетворяющего потребностям живого организма (человека/животного) в питательных веществах, при этом стоимость используемых продуктов должна быть минимальной. Это конкретный случай комплексной задачи об оптимальном составе смеси.

^ Задача замены — это составление прогноза затрат, вызванных в связи с осуществлением обновления оборудования, а также определение оптимизированной экономической стратегии реализации подобной работы.

Существуют некоторые методы, обеспечивающие решение задач замены двух типов:

сокращение уровня эффективности работы при использовании старого оборудования;

остановка работы из-за поломки нового оборудования.


в задаче учитывается соотношение затрат на покупку нового оборудования и издержек эксплуатации существующего оборудования, определяется наиболее приемлемый момент замены. Для решения задач подобного рода используются методы динамического программирования.

- для решения подобной задачи необходимо выявление конкретных единиц замены, определение периодичности такой замены с целью снижения общих затрат, вызванных как приобретением нового оборудования, так и негативными последствиями работы оборудования до осуществления замены. Здесь используются математико-статистические методы, поскольку поломка оборудования не носит регулярный характер.

^ Задача о коммивояжере заключается в определении наилучшего пути для коммивояжера, которому необходимо посетить обозначенные руководством города и вернуться обратно за минимально возможное время или с минимально возможными расходами на проезд. Такая задача может быть решена с помощью динамического программирования. Уровень сложности задачи определяет факт: если городов -4, то количество вероятных маршрутов равняется 6, а уже при 11 городах представлено более 3,5 млн. возможных маршрутов. Это утверждение может быть представлено с следующем виде: если число городов n, количество маршрутов равняется (n — 1)!, т.е «(n — 1) факториал». В этом случае необходимым представляется вычисление сокращенных способов расчета, которые исключат предложение лишних возможных маршрутов.

Алгоритмы решения представленной задачи применяются также при планировании производства на конвейерах, осуществляющих выпуск машин различных моделей. Алгоритмы обеспечивают производство определенного объема продукции при минимальных затратах на отладку конвейера.

Распределительные задачи можно отнести к классу экономико-математических задач. Основным здесь является распределение ресурсов по требуемым для выполнения работам. Возникновения такой задачи можно избежать при наличии достаточных возможностей обеспечения высокоэффективной работы. Если ресурсов все же не хватает в полной мере, то необходимым представляется осуществление их переброски с одной на другую работу таким образом, чтобы показатель эффективности оставался оптимальным. Это выражается или в достижении общего дохода, или в сокращении затрат.

Такого рода задачи преобразуют в линейный вид и решаются они, соответственно, посредством использования линейного программирования. Математическая формулировка распределительной задачи при обозначении через : определить максимальное или минимальное значение целевой функции при сокращении объема ресурсов и потребности на них (минимум затрат , максимум эффекта ).

^ Задача о назначениях представляет собой такой тип задач линейного программирования, который позволяет находить оптимальное решение например, связанное с грамотным распределением рабочих по станкам с целью получения большей прибыли или меньших расходов на заработную плату. В качестве примера такого типа задачи можно отметить распределение экипажей самолетов, назначение рабочего персонала на должности и т.п.

Особенностью задач о назначениях является то, что показатели объемов наличных и требующихся для реализации каждой работы ресурсов равны единице

Факториал числа работ и ресурсов эквивалентен количеству допустимых вариантов назначений, которое представляет собой великое множество. Следовательно, чтобы выявить наиболее подходящий вариант необходимо использовать соответствующие алгоритмы, среди которых особенно эффективным считается «венгерский метод».

^ Задача о раскрое — это конкретный случай задач о полноценном использовании сырья. Такие задачи также предполагают применение метода линейного программирования. Этот тип задач способствует оптимизированному использованию, например, прутков и листов металла, листов стекла, картона при их делении на определенное число деталей, предусматривающих различные габариты.

Сама задача и способы ее решений сформулированы достаточно четко и могут быть применимы в любой организации. В случае грамотной формулировки задачи использование метода линейного программирования может обеспечить минимальные расходы производства.


^ Задачи поиска входят в класс задач, которые включают в себя методы определения оптимального способа получения информации, обеспечивающей конкретное решение. В таком виде задач важным представляется минимум двух видов затрат:

цены получения информации;

цены ошибки при использовании информации.

стоимость выборки, планирование которой заключается в выявлении способа выбора наблюдений или выбора наблюдаемых объектов;

предполагают наличие ошибок двух родов:


ошибки выборки — определение отсутствия «ложной тревоги»;




ошибки наблюдения — упущение наличия «пропуска цели».


^ Задача согласования входит в разряд тех задач, которые предполагают определение оптимального соотношения или согласования суммы отдельных работ и конкретных операций во времени с целью достижения наиболее приемлемого общего результата. К такому классу обычно относят задачи сетевого планирования и управления.

^ Задачи упорядочения — это класс задач, в которых осуществляется выбор дисциплины обслуживания. Такая задача является противоположной по отношению к задачам теории массового обслуживания, где порядок выполнения требований или дисциплина определяется заранее. Выявление порядка обслуживания и есть упорядочение. В этой категории самыми популярными являются задачи теории расписаний, которые включают в себя методы ситуационного регулирования.

^ Задачи теории расписаний - тип задач изучения операций, который существует в рамках класса задач упорядочения. В данном контексте такие задачи понимаются как система моделей календарного планирования, а также совокупность методов дискретного программирования, сформулированных непосредственно с целью решения такого типа задач.

Задачи теории расписаний являются в полной мере сложными. Доказательством этого может служить следующий пример: необходимо планирование производства четырех изделий, каждое из которых предполагает реализацию обработки на каждом из представленных пяти станков. В данном случае существует или около 7968 тыс. разнообразных последовательностей обработки. Важным в этой ситуации представляется выбор оптимальных операций, так как их реализация осуществляется в определенном порядке. С практической точки зрения все выглядит гораздо сложнее.

Упрощенными принято называть задачи одного станка, которые предполагают выявление оптимальной последовательности обработки на этом станке n-го количества деталей. Важными параметрами этого процесса являются:

минимум затрат на незадействованность деталей до и после процесса обработки;

минимум времени задержки в выпуске деталей по отношению к конкретному сроку;

минимальный объем неоконченного производства и т.д.

В рамках класса данных задач организовано несколько моделей планирования работы производственного участка. Они основываются на методической базе моделей Джонсона для n-го количества деталей и двух станков. Однако данная модель больше интересна с точки зрения теории, а не практики.

Теория расписаний включает в себя метод организации календарных планов работы предприятий. Формулировка задачи сводится к следующему: планирование такого производства всех изделий, которое не предусматривало бы ограничений, связанных с технологией или ограничения по мощности оборудования; такое производство не должно нарушать установленные сроки запуска и выпуска. Решение подобных задач предполагает использование приближенных методов, например, метода Монте-Карло.

В представленных условиях важным является реализация уменьшения размерности задач. Теория расписаний — это теоретическая основа наиболее приемлемого календарного планирования, которая предполагает применение методов линейного программирования, методов ветвей и границ, сетевого планирования и управления и др.


Модели теории расписаний могут быть использованы в:

выявлении наиболее приемлемой последовательности обработки деталей на станках;

составлении плана работы производственного участка;

составлении программы- «диспетчера» для осуществления регулирования работы ЭВМ в мультипрограммном режиме.

^ Задача о размещении складов являет собой такой вид задач, который решается с помощью метода нелинейного программирования. Тем не менее, в определенных случаях она может сводиться к стандартной транспортной задаче линейного программирования. Базис такой задачи — предельно возможное сокращение общей суммы транспортных и складских расходов при наличии таких условий:

продукция каждого завода должна быть отгружена полностью;

объем любого склада не должен быть превышен;

пожелания всех покупателей должны быть удовлетворены.

Таким образом, главными категориями представленной задачи являются предприятие — склад — потребитель. Эти элементы в сумме должны обеспечивать минимальный уровень затрат.

^ Управление запасами — это совокупность моделей и методов, разработанных для оптимизации запасов (ресурсов), которые являются резервными и предназначенны для удовлетворения спроса на эти ресурсы. В данном контексте понятия ресурсы и запасы являются отождествляются. Например, запасы конечной продукции, запасы полуфабрикатов, запасы сырья, запасы трудовых ресурсов и т.п. Для производства главное увеличение количества запасов в соответствии с появлением на них спросов. Склад (он же запас) представляет собой еще один источник удовлетворения заявок на ресурсы.

Целевая функция задач управления запасами — общие затраты на:

содержание запасов;

складские операции;

потери от порчи при хранении и утрате актуальности и др.

Задача об оптимальной партии является простым примером задач, входящих в класс задач управления запасами.

Отдельно можно выделить теорию игр, которая предполагает исследование математических моделей конфликтных ситуаций.

Под конфликтной ситуацией понимается такая ситуация, которая возникает в результате демонстрации участниками противоположных настроений. В этом случае модели будут называться антагонистическими играми. Если же мнения не являются оппозиционными, а просто не совпадают, то речь идет об играх с непротивоположными интересами.

Теорию разработали Дж. Фон Нейман и О. Моргенштерн. Авторы предприняли попытку представить описание математическим методом явления конкуренции в виде «игры».

Данная «игра» имеет несколько уровней сложности, которые зависят от количества участников. Это могут быть отдельные лица или группы людей, объединяющиеся в постоянные или временные союзы/коалиции. «Игра» с двумя участниками имеет название парной. Если «играет» n-количество людей, то это игра n лиц. Коалиционной игра будет называться в случае организации союзов.

Главное в игре — принятие участниками наиболее оптимального решения или стратегии действий. Тем не менее, следует учитывать, что результат зависит не только от одной стороны, но от решений всех задействованных в конфликте лиц. Таким образом, принятие решений осуществляется в условиях неопределенности. Эти решения отмечаются в специальной таблице — платежной матрице.

Ситуация равновесия, приемлемости для партнеров называется седловой точкой.

Математическая и, следовательно, абстрактная теория игр, безусловно, отражает сложные процессы не в полной мере. Больший интерес она вызывает с точки зрения теоретического и практического использования.

Главным преимуществом теории игр является расширение привычного понятия оптимальности. Для данной теории характерно наличие такого элемента, как компромиссное решение. Математические же методы теории игр представляются вполне применимыми для решения практических экономических задач на промышленных предприятиях. Примером может быть выявление наиболее приемлемого решения в области повышения качества продукции или определения запасов. Конкуренция в данном контексте касается желания большего и оптимального, с точки зрения качества и затраченных сил, производства и стремления обеспечить большего запаса ресурсов для того чтобы обезопасить себя от непредсказуемых ситуаций, однако такие запасы не должны быть огромными, чтобы средства не были заморожены.

Задачи такого рода могут решаться посредством других методов, в том числе методом линейного программирования.

Задачи массового обслуживания относятся к классу задач, главным для которых представляется определение оптимальных критериев систем массового обслуживания.

Оптимальные критерии — это характеристики:

структуры системы;

функционирования системы.

определение количества каналов обслуживания, их последовательности, пропускной способности;

организация входящего потока, выбор оптимальной дисциплины обслуживания.

Основные частные критерии качества систем массового обслуживания:

возможность удовлетворения требования или задержки в обслуживании;

математическое ожидание числа задержанных требований за определенное время;

математическое ожидание числа занятых каналов обслуживания;

математическое ожидание длины очереди.

Таким образом, очевидно, что базисным критерием оптимальности являются средние общие потери от ожидания требований и простоя каналов обслуживания.

Следует отметить, что на практике аналитическим методом можно решить лишь простые задачи. Наиболее популярными являются методы статистического моделирования, в частности метод Монте-Карло.

4. Традиционно в математическом программировании выделяют следующие основные разделы.


Линейное программирование – целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. В свою очередь в линейном программировании существуют классы задач, структура которых позволяет создать специальные методы их решения, выгодно отличающиеся от методов решения задач общего характера. Так, в линейном программировании появился раздел транспортных задач.


Нелинейное программирование – целевая функция и ограничения нелинейны. Нелинейное программирование принято подразделять следующим образом:


Выпуклое программирование – целевая функция выпукла (если рассматривается задача ее минимизации) и выпукло множество, на котором решается экстремальная задача.,


Квадратичное программирование – целевая функция квадратична, а ограничениями являются линейные равенства и неравенства.


Многоэкстремальные задачи. Здесь обычно выделяют специализированные классы задач, часто встречающихся в приложениях, например, задачи о минимизации на выпуклом множестве вогнутых функций.


Важным разделом математического программирования является целочисленное программирование, когда на переменные накладываются условия целочисленности.


5. инейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.


Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.


Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.


Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).


В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:


Имеются какие-то переменные х = (х1 , х2 , … хn ) и функция этих переменных f(x) = f (х1 , х2 , … хn ), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:




В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что

а) функция f(x) является линейной функцией переменных х1 , х2 , … хn

б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.


Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);

систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;

требование неотрицательности переменных.


6. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ [duality in linear programming] — принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу,


Связь между прямой и двойственной задачами устанавливается двумя теоремами.


1. “Теорема двойственности”. Если обе задачи имеют допустимые решения, то они имеют и оптимальные решения, причем значение целевых функций у них будет одинаково:




Если же хотя бы одна из задач не имеет допустимого решения, то ни одна из них не имеет оптимального решения.


2. “Признак оптимальности”. Чтобы допустимое решение x прямой задачи было оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы нашлось такое решение двойственной задачи v, что



Принцип двойственности как ключ к решению широкого класса экстремальных задач распространяется также на ряд других областей математического программирования, на математическую теорию оптимальных процессов.