Реферат: Природа явлений в нелинейных цепях гораздо сложнее и многообразнее чем в линейных

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ


Общая характеристика методов анализа и расчета переходных процессов в нелинейных цепях


Природа явлений в нелинейных цепях гораздо сложнее и многообразнее чем в линейных. Это относится и к переходным процессам (ПП), которые в нелинейных цепях существенно отличаются от ПП в линейных цепях. Нелинейность характеристики какого-либо из элементов цепи может привести как к чисто количественным изменениям показателей ПП, так и к качественно новым явлениям. Иногда нелинейность характеристики может привести к увеличению скорости процесса на одном промежутке времени и к уменьшению на другом, при этом могут возрастать максимальные значения токов ПП, но качественная сторона явлений сохранится. В некоторых случаях в результате нелинейности характеристики возникают новые явления, принципиально недостижимые в линейной цепи. Известно, что в линейной цепи на характер ПП оказывают влияние схема цепи и параметры её элементов, которые сказываются на значениях корней характеристического уравнения. Последние не являются функциями времени и постоянны в течении всего ПП. В цепи с НЭ их параметры зависят от напряжений и токов и изменяются с течением времени, что часто сопровождается новыми явлениями. Например, а) если в линейных цепях ПП всегда затухают, то в нелинейных этого может и не быть, б) после окончания ПП в линейной цепи напряжения и токи имеют частоту источника, в нелинейной же цепи могут возникать колебания с частотой, отличной от частоты источника. Такие колебания получили название автоколебаний.

К нелинейным цепям неприменим метод наложения, поэтому нельзя раскладывать напряжения и токи на принужденные и свободные составляющие.

ПП в нелинейных цепях описываются с помощью нелинейных дифуравнений. В связи с тем, что не найден общий метод решения таких уравнений, отсутствует общий аналитический метод, позволяющий рассчитать ПП в нелинейной цепи произвольной конфигурации. В зависимости от характера цепи и действующей в ней ЭДС для расчета ПП применяются различные, чаще всего приближенные методы. Очевидно, что для цепи с постоянной ЭДС расчет ПП значительно проще, чем для цепи с переменной ЭДС. Существует очень много методов расчета ПП в нелинейных цепях. Все они делятся на аналитические и графические. В аналитических методах решение получается путем точного или приближенного интегрирования нелинейного дифуравнения цепи, в которое подставляется аналитическое выражение характеристики НЭ. Аналитические методы позволяют получить решение в общем виде, что весьма ценно, так как позволяет выяснить особенности ПП при изменении всех параметров цепи. Однако часто характеристики НЭ задаются графиком или таблицей и не имеют аналитического выражения. В этом случае часто применяют графические методы, в которых основными операциями являются графические построения, сопровождаемые некоторыми расчетами, но не требуется формула для характеристики НЭ. Перечислим наиболее распространенные методы расчета ПП в нелинейных цепях.

Метод условной линеаризации.

Метод аналитической аппроксимации.

Метод кусочно-линейной аппроксимации.

Метод последовательных интервалов.

Метод графического интегрирования.

Применение этих методов рассмотрим на конкретных примерах.


Включение катушки со сталью на постоянное напряжение


Если пренебречь потерями в стали, возникающими при изменении магнитного потока, то анализ процесса, возникающего при включении катушки со сталью на постоянное напряжение, можно свести к расчету схемы, приведенной на рис.10.1. Известно сопрoтивление R и веберамперная характеристика катушки Ψ(i), которая легко может быть построена для любой катушки с использованием основной кривой намагничивания сердечника.

По второму закону Кирхгофа запишем уравнение, определяющее состояние цепи во время ПП: uL+uК=U или Это дифуравнение является нелинейным из-за нелинейной связи между Ψ и i. После окончания ПП (t=∞) , поэтому ток . Потокосцепление Ψ∞ может быть определено по характеристике катушки. Величины I∞ и Ψ∞ будем считать известными.

Рассмотрим решение этой задачи различными методами.


^ Метод условной линеаризации.


Заменим характеристику Ψ(i) прямой линией, проходящей через точку установившегося режима (т.А рис.10.2), определяемую уравнением Ψ=Lэi, где Lэ=Ψ∞/I∞ – эквивалентная индуктивность, соответствующая т.А. Перепишем дифуравнение цепи в виде:

Полученное уравнение является линейным и его решением является выражение где На рис.10.3,а показан график Ψ(t). Для каждого значения Ψ по характеристике катушки можно определить соответствующее значение тока и построить график i(t). Как видно из рис.10.3,а, кривая i(t) существенно отличается от экспоненты по которой изменялся бы ток в линейной цепи r, L. В начале процесса кривая идет более полого, а приближаясь к установившемуся режиму ток нарастает быстрее, чем в линейной цепи. Такое изменение тока можно объяснить исходя из зависимости дифференциальной индуктивности от тока (рис.10.3,б). Так как при малых токах Lд>Lэ, а при больших Lдэ, то в начале процесса постоянная времени  велика и ток нарастает медленно, а в конце процесса  мала и ток нарастает быстро. Данным методом получено весьма приближенное решение, однако полученная кривая i(t) носит такой же характер как и при более строгом решении. Как видим сущность данного метода основана на приближенной замене нелинейной характеристики линейной и решения образовавшегося линейного уравнения с возможным последующим уточнением результата введением поправок. Метод дает очень приближенное решение, однако он наиболее прост и применяется при ориентировочных (прикидочных) расчетах, а так же в случаях, когда применение других методов либо невозможно, либо затруднено.


^ Метод аналитической аппроксимации.


Сущность метода заключается в приближенном выражении нелинейной характеристики некоторой аналитической функцией такого вида, чтобы наиболее просто решалось дифуравнение цепи. Для аналитического выражения характеристики катушки со сталью применяется много различных формул, например, i=a1+b12 (при 0<<); i=a2+b23+с25 (при -<<); i=a3shb3 (при -<<) и др. Успешность применения этого метода зависит не только от того насколько точно подобрано аналитическое выражение для нелинейной характеристики, но и от того насколько просто решается полученное дифуравнение. Так для нашего примера точное решение дифуравнения имеется только в случае использования первой из вышеприведенных формул, да и то, если принять а1=0.


^ Метод кусочно-линейной аппроксимации.


Этот метод, известный из рассмотрения установившихся режимов в нелинейных цепях, применим и для расчета переходных процессов в них. Заменим вебер-амперную характеристику Ψ(i) (ВбАХ) некоторой ломаной линией 0-1-2-А (подбор этой линии - это чисто математическая задача и здесь не рассматривается), как показано на рис.10.4. В соответствии с тремя участками аппроксимации характеристики катушки разобьём время переходного процесса на три интервала и для каждого из них будем рассматривать решение дифуравнения цепи

Все действия, связанные с расчетом, целесообразно свести в табл.

Интервал времени

0<t1

t12

t2<

Участок Вбах

0…1

1…2

2…А

Изменение тока

0<i1

I12

I2

Уравнение прямой

=L1i

=1+L2i

=2+L3i

Вид дифуравнения







Решение дифуравнения







Постоянные времени







Постоянные интегрирования

i(0)=0  A1=-I

i(t1)=I1  A2=I1-I

i(t2)=I2  A3=I2-I

Окончательные решения







Определение t1 и t2

i(t1)=I1 

i(t2)=I2 




Комментарии. Величины I1 и I2 определяются по рис.10.4 и известны. Индуктивности L1, L2 и L3 могут быть определены по координатам точек 1, 2, А. Они пропорциональны тангенсам углов 13 и находятся в таком соотношении: L1>L2>L3. В аналогичном соотношении находятся постоянные времени (1>2>3).По сути дела дифференциальная индуктивность заменяется ступенчатой линией (рис.10.5,а). Постоянные интегрирования А
1А3 находятся из условия невозможности скачкообразного изменения тока в точках 0, 1 и 2. Интервалы времени t1 и t2 также находятся из условия невозможности скачкообразного изменения тока в точках 1 и 2. В соответствии с описанным решением на рис.10,б показан примерный график тока.

Полученная зависимость, как и рассмотренное ранее решение показывает, что нелинейность характеристики катушки замедляет процесс нарастания тока в начале процесса и ускоряет в конце.


^ Метод последовательных интервалов (метод Эйлера).


Разобьём время переходного процесса на ряд весьма малых интервалов, длительностью t каждый. На основании дифуравнения цепи для некоторого к-го интервала можно записать: где ikcp - среднее значение тока на к-ом интервале. Тогда приращение потокосцепления на к-м интервале Эйлер предложил принимать ikcp равным току на предыдущем интервале, что позволяет, последовательно переходить от одного интервала к другому, начиная с нулевого интервала - исходного состояния цепи (в нашем случае =0, i=0) и до практического окончания переходного процесса. Все расчеты рекомендуется свести в таблицу

k

t

rik

U- rik

k+1

k+1

ik+1

0

0

0

U

Ut

1

i1

1

t

ri1

U- ri1

(U-ri1)t

2=1+2

i2

2

2t

ri2

U- ri2

(U-ri2)t

3=2+3

i3

..

..

..

..

..

..

..

k

kt

rik

U- rik

(U-rik)t

k+1=k+k+1

ik+1

Определение ik+1 производится по k+1 с помощью характеристики катушки.

По данным таблицы легко построить графики зависимостей (t) и i(t), примерный вид которых показан на рис.10.6.

Недостатком этого метода является зависимость дальнейшего решения от погрешности или ошибки при вычислении всех предыдущих значений искомой величины и замена ikcp величиной ik-1.


Метод графического интегрирования.

Представим дифуравнение цепи в виде: По заданной кривой Ψ(i) построим зависимость которая показана на рис.10.7. Для того чтобы найти время, в течение которого потокосцепление изменится от нуля до Ψ, нужно взять интеграл или на графике определить площадь Soabc, величина которой с учетом масштабов Ψ и даст время t. Так, определяя t для различных значений Ψ, можно построить зависимость Ψ(t), а затем, используя характеристику катушки Ψ(i), можно построить и график i(t).

Если сопоставить все рассмотренные методы, то можно заметить, что наиболее точные результаты дают два последних.


^ Включение катушки со сталью на синусоидальное напряжение


При включении катушки со сталью на синусоидальное напряжение решение задачи сопряжено с большими трудностями, поскольку наличие в правой части дифуравнения цепи гармонической функции затрудняет или делает невозможным применение некоторых из рассмотренных методов. Так аналитическое выражение кривой намагничивания стали приводит к нелинейному дифуравнению, не имеющему точного решения. Замена характеристики катушки ломаной приводит к необходимости на протяжении периода изменения напряжения питания несколько раз (>5) сопрягать решения, полученные для различных участков ломаной. Так как процесс обычно длится несколько периодов, то такое решение сопряжено с очень большими трудностями. Наличие в уравнении синусоиды не позволяет разделить переменные и решить задачу методом графического интегрирования. Следовательно, практически пригодными остаются только метод условной линеаризации и последовательных интервалов.


^ Метод условной линеаризации.


До расчета переходного процесса должно быть определено состояние цепи в установившемся режиме, т.е. определены максимальные значения потокосцепления Ψm и тока Im (рис.10.8). Заменим характеристику катушки прямой линией, проходящей через точку установившегося режима и выражающейся уравнением Ψ=Lэi, где - эквивалентная индуктивность, соответствующая точке А. Тогда дифуравнение цепи примет вид: где . Полученное дифуравнение является линейным и его решение при условии, что нет остаточного намагничивания (Ψ(0)=0) имеет вид: где На практике обычно >> r и тогда Именно такой случай мы и рассмотрим. В данной цепи, также как и при включении цепи с линейной индуктивностью, могут быть различные по тяжести процессы и самый тяжелый наблюдается при α=0. Тогда формула для потокосцепления принимает вид:

В соответствии с этой формулой на рис.10.9 показан график Ψ(t) для самого тяжелого случая (α=0) и при условии, что постоянная времени τ значительно больше периода Т. При этом Ψmax≈2Ψm. Используя характеристику катушки Ψ(i), можно построить зависимость i(t) (показана в нижней части рис.10.9).

Если при включении цепи r,L c линейной индуктивностью наибольшее значение тока не может превышать удвоенную величину амплитуды тока установившегося режима, то при включении катушки со сталью как видно из рис.10.9 наибольшее значение тока Imax из-за насыщения сердечника может в десятки и сотни раз превышать амплитуду его установившегося значения Im.


^ Метод последовательных интервалов.


Интегрируя дифуранение цепи от 0 до t, получим:



Разбив переходный процесс на большое число малых интервалов Δt и заменив интеграл суммой конечного числа слагаемых, получим для некоторого n–го интервала: Т.е. потокосцепление в любой момент времени t=nΔt можно представить в виде суммы 4-х слагаемых: Ψо=Ψ(0) (чаще всего Ψ(0)=0), Первые три величины определяются непосредственно для любого момента времени, а Ψ3 определяется методом последовательных интервалов по заданной характеристике Ψ(i).

На рис.10.10 приведены зависимости Ψ1, Ψ2 и Ψ3, а также построены графики Ψ(t) и i(t) для самого тяжелого случая (α=0) и при условии, что постоянная времени τ значительно больше периода Т. Как видно из построений по-прежнему Ψmax≈2Ψm, а отличие от предыдущего решения заключается только в том , что зависимость Ψ3(t) не является экспонентой из-за нелинейности катушки со сталью.

Решение задачи методом последовательных интервалов может дать значительно более точное решение, чем при условной линеаризации характеристики катушки. Но несмотря на элементарность вычислений этот метод связан с большой счетной работой поскольку обычно переходный процесс длится несколько периодов, а интервал нужно брать намного меньшим периода, то расчетная таблица содержит очень много строк. При этом ошибка, допущенная в любой строке влияет на все последующие расчеты и делает их неправильными.