Реферат: Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г

О СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ

ЛОГИЧЕСКИХ РАВЕНСТВ
И ОБ
ОБРАТНОМ СПОСОБЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙЛОГИКИ.


Два сообщения, читанные 27 февраля и 23 марта 1882г. В заседаниях математических секции Общества Естествоиспытателей при Императорском Казанском университете астроном-наблюдателем университета


П.С. ПОРЕЦКИМ.





КАЗАНЬ.

1884.



О СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ

ЛОГИЧЕСКИХ РАВЕНСТВ
^ И ОБ
ОБРАТНОМ СПОСОБЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. 1

ПРЕДИСЛОВИЕ. 5

Об отношении математической логики к математике и логике. 5

ВВЕДЕНИЕ. 24

^ ЧАСТЬ I. 36

О способах решения логических равенств. 36

§1. Способ Буля и его оценка 36

§ 2. Отношение Джевонса к учению Буля 40

§ 3. Способ Джевонса и некоторое к нему дополнение 46

§ 4. Способ Шредера и его оценка 52

§ 5. Усовершенствование первой части способа Джевонса 56

§ 6. Исправление второй части того-же способа 63

§ 7. Исследование полученной нами пары основных формул. Полные и точные определения 72

§ 8. Результаты исключения из посылок простых классов 76

§ 9. Совмещение каждой пары формул полного и точного определения в одну формулу. Сопоставление нашей формулы с формулами Шредера и Джевонса 78

§ 10. Доказательство невозможности другого полного определения, кроме нашего, и другого точного определения, кроме определения Шредера 82

§ 11. Указание некоторых свойств операций над равенствами. Совмещение рядов определений в одно определение. Вариант нашего способа. 85

§ 12. Наши правила для исключения классов и для определения, соединения с исключением 91

§ 13. Определение из посылок, каких угодно функций по приёму Шредера и нашему приём. Всевозможные формы каждого отдельного равенства 96

§ 14. Общее сравнения нашего способа со способами Шредера и Джевонса. Перечень предложенных нами приёмов и правил 102

§ 15. Логическая машина Джевонса. Её оценка 106

§ 16. Образцы сложных логических задач 109

^ ЧАСТЬ II. 116

§ 1. Разделение общей задачи на четыре подразделений 116

§ 2. Нахождение элементарных посылок в нулевой форме 120

§ 3. Вариант, основанный на формуле Буля 121

§ 4. Упрощение этого второго приёма 122

§ 5. Сравнение обоих приёмов 123

§ 6. О числе элементарных посылок 124

§ 7. Совмещение элементарных посылок в какие угодно другие посылки 124

§ 8. Частный приём разложения равенств на посылки 125

§ 9. Происхождение всевозможных функций из различных форм мира речи 128

§ 10. Основные свойства конституантов 130

§ 11. Нахождение элементарных посылок в единичной форме. Способ разложения функций на множители 130

§ 12. Упращение общего приёма 134

§ 13. Происхождения функций из логического «ничто» 135

§ 14. Общие свойства продуцентов 137

§ 15. Сопоставление конституантов и продуцентов и простыми классами 137

§ 16. Пример анализа обоих способов происхождения функций 138

§ 17. О парах логически-противоположных задач 140

§ 18. Два способа нахождения элементарных посылок в форме определения простого класса. 141

§ 19. Правела совмещение таких посылок 144

§ 20. Доказательство возможности определения всякого простого класса с помощью любой функции 145

§ 21. Частный вид противоположных задач 146

§ 22. Превращение элементарный посылок из единичной формы в форму определения любой функции 147

§ 23. Тоже самое для нулевой формы посылок 150

§ 24. Прямой способ получения элементарных определений любой функции 150

§ 25. Совмещение таких определений 153

§ 26. Определение одной функции с помощью другой. Соответственные противоположные задачи 153

§ 27. Превращение одних систем посылок в другие 154

§ 28. Неуместность рассматривания логических элементов в прямой задачи теории умозаключений и необходимость такого рассматривания в обратной задаче. 155

§ 29. Правила составления сложных логических задач. Возможность логических задач с абсурдными посылками и определение истинного значения таких посылок 156

ПОСЛЕСЛОВИЕ. 159



^ ПРЕДИСЛОВИЕ. Об отношении математической логики к математике и логике.
Математическая логика по предмету своему есть логика, а по методу математика. Что она есть логика, с этим согласится каждый, если мы скажем, что главнейшая, может быть даже и единственная1), её задача заключается в построении теории умозаключений. А что её метод вполне аналогичен математическому методу алгебры и ни в каком отношении ему не уступает, это конечно, требует доказательства. Так как ни в настоящей нашей статье, ни во введении к ней, мы нигде прямо не проводим параллели между методами алгебры и математич. логики, то здесь, в предисловии, будет уместно коснуться этого вопроса, одинаково интересного как для логиков, так и для математиков2).

Если формы, изучаемые алгеброй, суть количественная, то, наоборот, те формы, с которыми имеет дело логика, суть качественная, т.е. существенно отличны от первых. Это различие от ближайших предметов изучения алгебры и логики делает невозможным прямое перенесения, т.е. непосредственное применение, принципов и приёмов алгебры к предмету логики. Однако, приспособления этих приёмов (с полным сохранением всей их точности) к изучению качественных форм вполне возможно. И замечательно, что, для достижения этой цели, приходится не столько усложнять, сколько, наоборот, существенно упрощать приёмы алгебры, применяя их на почве логики.

Если в алгебре необходимо отличать число от количества и иметь две системы символов: численную и буквенную, то в логике аналогичной необходимости нет, и она может ограничиваться одною, и притом простейшею из них: системою буквенных символов. Дело в том, что всевозможные категории качества суть понятия, совершенно независимые одно от другого. А потому формы, обладающие отдельными категориями качеств, сами по себе не могут находиться ни в каком отношении друг к другу. Форма каждой категории качества требует особого символа, и при том совершенно независимого от прочих символов. Таковы и суть буквенные символы a,b,c…

Однако рядом с этим весьма существенным упрощением распространённого на логику алгебраического символизма (упрощением, выражающимся в возможности обходиться без) того, что отвечало бы системе численной нумерации), оказывается необходимым и некоторое его усложнение. По отношению к каждой категории качества (и даже к каждому отдельному виду различных категорий) надо различать две формы: форму, обладающую данным качеством, и форму им не обладающую. Если мы означим формы первого рода, отвечающие различным качествам, буквами a,b,c… то для форм второго рода должны избрать те же самые символа a,b,c… с присоединением к ним каких либо значков, т.е. напр. Символов a1,b1,c1… Итак, каждая пара соответственных символов aи a1 означает соответственно формы, обладающие и не обладающие одним и тем же некоторым определённым признаком. Таким образом, различие признаков, характеризующих формы, мы будем выражать в различии букв a,b,c…, различие же в обладании и не обладании признаками будем выражать в употреблении букв или без значка 1, или с присоединением этого значка.

Одним и тем же буквенными символами : a,a1, b,b1, и т.д. матем. Логика означает обладания или не обладание всевозможными качествами или признаками, будут ли качества простыми (напр. доброта, дешевизна и проч.) или составные, представляющие группы и даже целые системы качеств (каковы всевозможные реальные предметы: человек, дом и пр.). Итак, одни и те же символы: a,a1, b,b1… одинаково пригодны для обозначения не только абстрактных, но и конкретных качественных форм.

Доселе мы рассматривали формы обладания или не обладания одним каким-либо признакам. Переходим к формам совместного обладания несколькими признаками. Имея ряд символов a,a1, b,b1…, выражающих присутствие или отсутствия некоторых определённых качеств, условимся означать качественные формы совместного обладания одним из этих качеств при отсутствии других посредством простого помещения рядом (безо всякого особого знака) соответственных первоначальных символов a,a1, b,b1… Таким образом, символ ab будет означать новую качественную форму, представляющую совместное обладание двумя признаками, и притом теми самыми, обладание которыми выражается соответственно в формах a и b. Формы a1bи a,b1 должны выражать обладание одним из этих качеств при отсутствии другого. Форма a1b1 будет означать отсутствие обоих этих качеств. Форма a1bc1d представляет обладания двумя определёнными признаками, соединённое с отсутствием других двух признаков. И т.д.

Вновь полученные качественные формы ab,a1b,ab1 и пр. можно рассматривать или ничем не связанными с прежними формами a,a1b,b1 и проч., или известным образом происходящими из этих последних. Это второе допущение и есть то, которое обуславливает для логики возможность не только символических обозначений, но и символических операций над формами качества. Таково начало символического метода логики, понимаемого в смысле некоторой последовательности известных символических операций.

Для возможности выводить качественные формы 2-ой категории (т.е. ,ab,ab1 и проч.) из первоначальных форм (a,a1, b,b1…), достаточно допустить, что обладание или не обладание одним признаком (или одними признаками) отнюдь не исключаются обладания или не обладания какими бы то ни было другими признаками. При таком допущении, формы а и а1 означают простое констатирование фактов присутствия и отсутствия некоторого определённого признака, причём вопрос о всех прочих качествах этих форм остаётся без рассмотрения. Это и есть допущение, которое устанавливает зависимость между качественными формами. В самом деле, при сказанном допущении, всякая качественная форма 2-ой из указанной категорий, коль скоро символическое её изображение содержит, в ряду прочих букв, какую бы то ни было букву а, является подчинённою первичной форме а, т.е. её простым подклассом. Напр., если a и b две первичные качественные формы «белое» и «крупное», то, допуская, что эти формы не исключат никаких других признаков, легко понять, что производная качественная форма ab т.е. «белое-крупное» (напр. «белый, крупный» цветок) является частью как «белого», так и «крупного», и притом именно общею частью того и другого,

Подобным-же образом, более сложная форма ab1cd1 (т.е. например белое, некрупное, ценное и бесполезное), на основании сказанного допущения, окажется частью (подклассом) каждой из 4-х первичных форм a,b1,c и d1, и притом именно общею частью всех этих форм. Тоже и вообще. Такова зависимость между первичными и производными качественными формами.

Не формулируя пока этой зависимости более определённым и точным образом, заметим, что помянутое допущение (т.е. допущение, что а означает не исключительное обладание известным признаком) обусловливает также подчинённость всевозможных конкретных форм, обладающих одним и тем же определённым качеством (напр. белый дом, белая бумага, белое знамя), чисто абстрактной форме обладания этим качеством (форма «белое»), т.е. устанавливает связь между конкретными и абстрактными качественными формами.

Чтобы точным образом выразить наше согласие делать помянутое выше допущение, совершенно достаточно условиться каждый качественный символ (первой или 2-й категории, т.е. напр. a и ab1c) читать с прибавлением слова «все». Таким образом, если а означает всё белое, b всё крупное, с всё ценное, то напр. ab1c должно представлять всё такое белое, которое ценно, но не крупное, т.е. обнимать собою не только все предметы, имеющие эту характеристику, но и все чисто абстрактные формы, имеющею эту характеристику.

Обращаемся к точному формулированию зависимости производных форм (ab, ab1 и проч.) от первичных (а,а1, b,и1 и проч.). Мы видели, что, напр., форма ab есть подкласс, как форма а, так и формы b, и в тоже время выражает всё, что есть общего между этими двумя формами. А потому форму ab можно производить: во-первых, из формы а посредством выделения из неё всего того, что обладает признаком, характеризующим форму b, и, во-вторых, из формы b посредством отобрания от неё всего того, что есть а. (Например «белое-крупное» может быть производимо, как из «белого», так и из «крупного»). Отсюда непосредственно заключаем, что, во-первых, простое помещение рядом двух (и более) букв a и b, безо всякого знака, следует рассматривать, как вполне определённую логическую операцию, состоящую в выборе из состава одного класса всего того, что относится к составу другого, или других классов, и во-вторых, операция эта должна обладать тем свойством, которое называется в алгебре перестановочностью (коммутативностью), и в силу которого форма ab должна быть вполне тождественна с формою ba. Легко показать также, что рассматриваемая операция обладает ещё и свойством собирательности (ассоциативности), т.е. форма (ab)c тождественна с формами (ac)b, (ba)c, (bc)a, (ca)b и (cb)a.

Для краткости и точности суждений нам необходимо избрать какое-нибудь определенное название для этой операции. Условимся хотя бы на время называть эту операцию реализированием качественных форм (на том основании, что применения одной этой операции вполне достаточно для превращения абстрактных качественных форм в формы реальные). Таким образом, форма ab есть реализирование формы a с помощью формы b, и обратно, или, ещё короче, это есть взаимное реализирование форм a и b. Сущность этой операции состоит в упомянутом выше выборе, а её существенные свойства перестановочность и собирательность. Наконец символический знак этой операции есть точка, поставленная или подразумеваемая между взаимно реализуемыми классами.

Дальнейшие свойства операции реализирования должны зависеть от её отношения к другим возможным логическим операциям. Какие же другие операции возможны в логике? Конечно, прежде всего должна существовать операция, обратная установленному выше реализированию качественных форм, т.е. операция перехода от подклассов к классам.

Имея две формы a и b можно представить новую качественную форму, происходящую от слияния форм a и b, такого слияния, при котором часть этой новой формы содержит все, что есть a, другая же часть, и притом остальная, обнимает все, что относится к b. Имея в виду впоследствии доказать, что эта новая операция слияния (так сказать, чисто механического, но отнюдь не химического) вполне противоположна операции реализирования качественных форм, условимся (на время) называть эту новую операцию абстрагированием форм a и b. Символическим знаком этой операции мы изберем (на время) знак вопросительный, т.е. ? Таким образом, новая качественная форма, представляющая характеризованное выше слияние форм a и b, символически изобразится так: a?b. Легко понять, что, например, более сложная форма a?b1?c?d1 должна представлять качественную форму, состоящую из четырех отдельных частей, каждая из которых в отдельности есть: a,b1,c и d1, т.е. к этой форме относится: 1) все, что есть a, 2) все, что не есть b, и т.д. (А вот реальный пример: упраздняются чины прапорщика, ротмистра и подполковника)

Не трудно объяснить, что операция абстрагирования форм также обладает свойством перестановочности. В самом деле, характеризованное выше слияние a с b или, наоборот, b c a, должно нас приводить к одним и тем же итогам. А потому символ a?b должен означать совершенно тоже, что и символ b?a. Свойство собирательности также принадлежит к числу свойств абстрагирования, п.ч. символ a?b?c совершенно равнозначен с каждым из символов a?c?b, b?a?c, b?c?a, c?a?b и c?b?a.

А теперь сопоставим между собой операции реализирования и абстрагирования качественных форм. С этою целью мы принимаем одну из этих операций к продукту применения другой.

Возьмем форму a?b (продукт абстрагирования простых форм a и b) и сопряжем ее с помощью реализирования с простою формою c. Продукт этого сопряжения символически изобразится так: (a?b)c, где скобки поставлены только для отграничения формы a?b; отсутствие же всякого знака между этой формой и формою c есть указание (т.е. как бы знак) необходимости взаимного реализования форм (a?b) и c. Требуется развить, т.е. исследовать значение помянутого сложного продукта (a?b)c. Мы предполагаем доказать, что этот продукт совершенно равнозначен с качественною формою ac?bc, т.е. оправдать равенство:

(a?b)c=ac?bc.

Для определенности мы допустим, что a есть (все) белое, b (все) крупное, c (все) ценное. Заключения, сделанные на этом частном примере, будут иметь общее значение, п.ч. те же суждения могут быть применены и ко всевозможным другим примерам. Понятно, что ac означает белое-ценное, bc означает крупное-ценное, а потому символ ac?bc должен означить все то, что частью есть белое-ценное, частью же относится к крупному-ценному. Таково значение правой части предположенного равенства. В левой части символ a?b означает все, что частью бело, частью же крупно. И понятно, что мы должны получить: 1) все белое-ценное и 2) все крупное-ценное, т.е. как раз то, что означает правая часть равенства.

Отсюда видим, что операция реализирования качественных форм распределительна (дистрибютивна) по отношению к операции абстрагирования, т.е. первая относится ко второй совершенно так же, как в алгебре умножение относится к сложению. Аналогия указанных логических операций со сложением и умножением в алгебре ещё более увеличивается тем обстоятельством, что каждая из этих 2-х операций перестановочна и собирательна.

Наконец, известно, что сложение и умножение в алгебре обладают еще одним свойством, а именно, каждое из них имеет свой модуль, т.е. такое количество, которое, будучи сопряжено с помощью этой операции с произвольным количеством a, не изменяет этого последнего. Модули сложения и умножения в алгебре суть соответственно 0 и 1, для которых, при всяком a, имеем:

a+0=a, a×1=a.

Нетрудно определить модели реализирования и абстрагирования качественных форм. Условимся назвать качественную форму, не имеющую никакого содержания, т.е. обнимающую только то, что не существует, немыслимо, или невозможно (например «белое-не-белое» и пр.) логическим нулем, а противоположную предыдущей качественную форму, содержащую в себе в смысле подклассов всевозможные качественные формы (т.е. например как все белое, так и все не-белое), называть миром качественных форм есть 0, т.е. нуль, а символ второй пусть будет 1, т.е. единица. (Ниже мы приведем ещё одно соображение в пользу предпочтения символа 1 перед символом ∞ для изображения мира качественных форм). Легко понять, что качественные формы 0 и 1 и суть модули абстрагирования и реализирования соответственно, т.е. верны равенства:

a?0=a, a1=a.

Подводя итоги, мы можем резюмировать результаты сопоставления основных операций логики и алгебры в следующей таблице:

в логике:

a?b=b?a

ab=ba

(a?b)c=ac?bc

a?0=a

a1=a

в алгебре:

a+b=b+a

ab=ba

(a+b)c=ac+bc

a+0=a

a * 1=a

Отсюда мы вправе сделать следующее заключение. В логике операция, означаемая знаком ?, должна быть подчинена всем правилам алгебраического сложения; другая же операция, знак которой состоит в неупотреблении никакого знака, должна быть подчинена законам алгебраического умножения с тем непременным условием, чтобы символ 1 означал весь мир качественных форм.

Легко понять, что абстрагирование качественных форм само по себе (т.е. помимо указанных процессуальных свойств) совершенно аналогично сложению количеств, п.ч. слияние качественных форм, выражаемое символом a?b, вполне однородно с тем внешним или механическим слиянием, которое мы имеем в алгебраической сумме a+b. Вот причины, по которым абстрагирование можно называть сложением классов3 (т.е. качественных форм), а его знак ? можно замещать знаком + и употреблять его совершенно на тех же правах, что и в алгебре.

Понятно, что вторую логическую операцию (реализирование классов), законы которой тождественны с законами алгебраические умножения, можно называть умножением классов.

Относительно логического умножения все известные нам авторы по математической логике единогласно утверждают, что умножение это, будучи подчинено всем законам алгебраического умножения, не представляет никакой аналогии с сим последним. В противоположность этому мнению, мы позволяем себе утверждать, что эти операции вполне аналогичны, т.е. по крайней мере настолько, что обе они легко подводятся под следующее общее им обеим определение: умножение есть такая операция, при которой произведение выводится из одного сомножителя, совершенно так, как другой сомножитель (понимаемый в смысле произведения всех прочих сомножителей, кроме первого) выводится из единицы. Чтобы под это определение подходило логическое умножение, совершенно достаточно потребовать, чтобы в логике единица означала весь мир классов. В самом деле, форма ab так точно получается из a, как b выводится из единицы, а именно: посредством выбора всего, что относится к b.

Кроме указанного выше общего сходства логических операций сложения и умножения с соответственными операциями алгебры, существует между теми и другими некоторое частное отличие. Так, если в алгебре a+a=2a и a.a=a2, то в логике a+a=a и aa=a. (п.ч., напр., белое и белое есть белое, и общее между белым и белым есть белое). Однако, эти отличия (существенно упрощающие логические выкладки) отнюдь не умаляют достоинства логического сложения и умножения, п.ч. правила a+a=a и aa=a столь же точны и определены, как и правила a+a=2a и a.a=a2.

Мало того; в логике имеют место ещё следующие два специальных правила: 1) a+ab=a (все белое и все белое крупное суть все белое) и 2) a(a+b)=a (общее между белым, с одной стороны, и белым или крупным, с другой, есть белое). Эти правила обнимают предыдущие, п.ч., для b=1, формула a+ab=a переходит в формулу a+a=a, и, для b=0, формула a(a+b)=a сводится на формулу aa=a.

Существуют ещё некоторые специальные правила сокращенного логического умножения в известных случаях, с которыми читатель ознакомится из нашего введения, но которые не вносят в эту операцию ничего ни произвольного, ни неопределенного. А потому мы считаем себя вправе сделать следующее замечание: логические операции сложения и умножения обладают всеми достоинствами (точностью, строгостью, общностью и пр.) алгебраических операций.

Аналогия между назначением (определением) логических и алгебраических операций сложения и умножения, в особенности одинаковость их основных свойств и общих их правил, может даже внушить мысль, будто математическая логика есть простой отдел алгебры. Чтобы опровергнуть эту мысль, мы доведем до конца начатое нами сопоставление операций математической логики с операциями алгебры.

Тем, что изложено выше, вполне исчерпывается сходство логических операций с алгебраическими, а затем остаются одни различия. И притом весьма существенные.

Если в алгебре сложение и умножение представляют пару прямых операций, которой соответствует пара операций обратных ( вычитание и деление), то в логике сложение и умножение суть взаимно-обратные операции, а потому нет оснований для рассматривания и употребления в логике операций вычитания и деления4). В самом деле, имея класс a, умножим его на b, т.е. построим класс ab, и спросим себя: нельзя ли посредством сложения уничтожить предыдущую работу умножения, т.е. восстановить a? Наш ответ таков: для этого достаточно сложить ab с a, ибо ab+a=a. Наоборот, прибавив к a класс b, т.е. имея сумму a+b, достаточно умножить ее на a для восстановления a, п.ч. (a+b)a=a. Таким образом, в логике сложение уничтожает работу умножения, и обратно, т.е. эти две операции суть взаимно-обратные.

Здесь же мы можем усмотреть и другое существенное отличие логических операций от алгебраических. А именно, самая обратность операций выражается в логике и алгебре неодинаково. В самом деле, в алгебре работы превращения a в a+b, и в ab, сделанные с помощью сложения a с количеством b и умножения его на количество b, разрушаются вычитанием количества b из суммы и делением на количестве b произведения. В логике, наоборот, работы сложения a с классом b и умножения его на классе b уничтожаются с помощью умножения суммы не на b, но на a, и сложения с произведением не b, не a.

Если, таким образом, как мы доказали, сложение и умножение в логике суть вполне обратные операции, то делается вполне излишним приспособлять к логике совершенно для нее не нужные операции вычитания и деления. (Ниже же мы увидим, что эти операции в известном отношении даже опасны для логики).

Кроме сложения и умножения, логика имеет ещё одну операцию, совершенно отсутствующую в системе алгебраических операций; это именно – отрицание классов. Выше мы видели, что для каждого класса a, означает форму обладания определенным качеством, существуют противоположный ему класс a1, означающий форму не обладания тем же самым качеством. Понятно, что классы a и a1 следует считать зависящими друг от друга, а стало быть операцию перехода от одного из них к другому следует рассматривать как самостоятельную логическую операцию. Условимся называть эту операцию отрицанием классов, и тем же термином отрицание будем называть также и продукты, ею доставляемые. Таким образом a1есть отрицание a, и обратно. Понятно, что каждый логический класс, будет ли он простой или производный, должен иметь свое отрицание. Отсюда открывается необходимость установить правила для отрицания, как логической суммы, так и логического произведения.

Но предварительно необходимо точно формулировать зависимость между каждым классом a и его отрицанием a1. Эта цель вполне достигается следующим формальным определением: всяческий класс x, который, будучи сопоставлен с a, удовлетворяет двум условиям:

a+x=1, ax=0,

называется отрицанием класса a, т.е. может быть означен через a1. Словесно выраженные, обе существенные части этого определения суть: 1) отрицание класса дополняет этот класс до единицы (т.е. до класса мир) 2) отрицание класса не представляет ничего общего с этим классом. Поэтому, всякий класс y, удовлетворяющий только одному из написанных выше условий, но нарушающий другое, отнюдь не представляет отрицания класса a.

Помянутые два условия, т.е.

a+a1=1, aa1=0

не только представляют определение отрицания класса a, но и заключают в себе зародыш всех правил для отрицания классов в логике. Пользуясь этими условиями, легко доказать, что формула

(m+n)1=m1n1

есть верная, т.е. отрицание суммы равно произведению отрицаний слагаемых. Для доказательства достаточно назвать сумму m+n одною буквою a, а ее предполагаемое отрицание, т.е. m1n1, через a1, и подставит вместо a и a1 эти их значения в левые части помянутых основных формул. Получим:

a+a1=m+n+m1n1=m.1+n.1+m1n1=m(n+n1)+n(m+m1)+m1n1=mn++mn1+mn+m1n+m1n1=mn+mn1+m1n+m1n1=m(n+n1)+m1(n+n1)=
=m.1+m1.1+m+m1=1

aa1=(m+n)m1n1=mm1n1+m1nn1+0+0=0.

Заключаем: так как допущенная a=m+n, a1=m1n1 повторяют оба условия a+a1=1, aa1=0, то нет сомнения, что m1n1 есть отрицание суммы m+n, и, наоборот, сумма m+n есть отрицание произведения m1n1. Вместе с тем видим, что, правило отрицания произведения должно быть таково: отрицание произведения равно сумме отрицаний сомножителей.

Существует еще одно специальное правило для отрицания разложения класса на другие классы. Но и это правило вполне подчинено основным условиям a+a1=1, aa1=0. Отсюда заключаем, что правила логического отрицания классов столь же точны, ясны и определены, как правила любой из алгебраических операций.

Если к тому, что нами уже доказано выше, мы прибавим, что кроме указанных трех элементарных операций, логика не имеет никаких других, то сделаются вполне бесспорными следующие два тезиса: 1) система элементарных логических операций представляется стоящей на одной высоте с системою алгебраических операций и 2) обе эти системы, при некотором между ними сходстве, существенно отличны одна от другой.

Доселе мы рассматривали операции над отдельными логическими классами. Остается рассмотреть операции над логическими равенствами. Только совокупность тех и других операций и составляет то, что может быть названо методом5.

Равенством логических классов называется полная их тождественность, т.е. одинаковость их логического содержания, при чем все их различие может состоять только в способе их происхождения. Напр., равенство

(m+n)1=m1n1

означает, что операция отрицания суммы доставляет результат, совершенно тождественный с результатом перемножения отрицаний слагаемых.

Основные свойства равенства таковы: равенство ^ A=B не нарушается: 1) от прибавления к обеим его частям одного и того же класса C, 2) от умножения обеих его частей на один и тот же класс D и 3) через отрицание обеих его частей; т.е., если равенство A=B верно, то верны также и равенства: A+C=B+C, AD=BD и A1=B1. Это суть истины, непосредственно вытекающая из самого определения равенства, т.е. существенные части самого этого определения. Впрочем, эти же свойства можно оправдать соображения в роде следующих. Если, в пределах какой-либо задачи, белое вполне совпадает с ценным (т.е. a=b), то понятно, что 1) не-белое должно совпадать с не-ценным (a1=b1), 2) крупное-белое должно совпадать с крупным-ценным (ac=bc) и 3) белое или твердое должно совпадать с ценным или твердым (a+d=b+d).

Логические равенства могут быть: или тождествами, или уравнениями. Тождество есть такое равенство, в котором одна часть может быть превращена в другую без подобия каких-либо других равенств, а на основании одних общих правил основных логических операций. Например, равенства:

a=ab+ab1 и (a+b)(a+b1)=a

суть тождества, потому что 1) сумма ab+ab1, если взять a за скобки, равно произведению a(b+b1), в котором второй множитель равен единице, и 2) произведение (a+b)(a+b1) равно сумме aa+ab1+ab+bb1, в которой первый член = a, сумма первого, второго и третьего тоже = a, а последний член равен нулю.

Наоборот, всякое логическое равенство есть уравнение, коль скоро одна его часть не может быть тождественно сведена на другую без подобия каких-либо других равенств. Например, взятое изолированно, равенство a=b+c есть уравнение, и притом уравнение, решенное относительно a. Но его же можно решать относительно b и c и отрицаний a1,b1, c1, а также относительно каких угодно сложных классов, например, относительно ac1, относительно a1+b и пр. Вообще решение равенства есть новое равенство, служащее следствием первоначального. Например, умножая равенство a=b+c на c1 и потом складывая его же с b1, мы получим следующие два его следствия, т.е. решения:

ac1=bc1, a+b1=1.

Первое из этих последних равенств есть решение исходного равенства относительно ac1, второе же относительно a+b1.

Решение равенства будет полное или частное, смотря по тому, вполне или отчасти первое исчерпывает второе. Выражаясь точнее, если не только решение представляется следствием первоначального равенства, но, и обратно, первоначальное равенство есть следствие решения, то решение будет полное. Если же второе из этих условий не удовлетворяется, то решение есть частное. Равенства, служащие следствиями друг друга, мы будем называть тождественными между собою. Например, два равенства

a=a+b и b=ab

вполне тождественны между собою, потому что умножение первого на b доставляет нам второе равенство, а сложение второго с a доставляет первое равенство.

Легко показать, что отрицание всякого равенства A=B представляет новое равенство A1=B1, вполне тождественное с первоначальным. В самом деле, если A1 есть отрицание A и B1 есть отрицание B, то повторяются две пары условий:

A+A1=1, AA1=0

B+B1=1, BB1=0.

Но, по условию, A=B, и след. первая пара принимает вид:

B+A1=1, BA1=0,

Т.е. прямо показывает, что A1 есть отрицание B, или A1=B1. Таким образом, равенство A=B приводит нас, как к следствию, к равенству A1=B1. Обратно, второе из этих равенств, приводит нас к первому. В самом деле, если A1=B1, то первая из написанных выше двух пар условий доставляет нам:

A+B1=1, AB1=0,

т.е. прямо показывает, что A есть отрицание B, или A=B. Таким образом, два равенства A=B и A1=B1 взаимно друг друга обусловливают (служат следствиями одно другого), т.е. вполне тождественны между собою.

Но если отрицание отдельного равенства ^ A=B всегда приводит к тождественному с ними равенству A1=B1, то, наоборот, вообще нельзя того сказать о сложении обеих частей равенства с каким-либо классом и об умножении обеих его частей на один и тот же класс. Получаемые при этом новые равенства суть только верные равенства, но вообще представляют не полные, а только частн ВВЕДЕНИЕ.
В виду мало распространенного знакомства с математической логикой, я счел необходимым составить настоящее введение, в котором содержится в кратком виде все существенно необходимое для понимания главного предмета моих сообщений7.

Пусть a, b, c, … означают классы предметов мысли или речи. Слово «предмет» мы употребляем в самом обширном смысле, относя сюда не только материальные предметы, но и предметы отвлеченные, а также явления, случаи, понятия, суждения и проч. и проч. Единственное ограничение, которому мы подчиняем символы a, b, c…, состоит в том, чтобы в пределах одной и той же задачи они относились к одному и тому же миру предметов речи. Отдельные классы a, b, c… мы будем представлять себе в смысле некоторых объемов, на которые разбивается данный мир речи, объемов, составленных из предметов, характеризуемых известными качествами A, B, C… Число отдельных предметов, входящих в каждый из этих объемов, для нас безразлично, потому что мы будем обращать внимание только на взаимные отношения между этими объемами. Величайший из объёмов, класс мир (предметов речи), мы будем символически изображать знаком единицы, т.е. 1, желая этим символом выразить, что все прочие классы a, b, c, … суть только доли этой великой единицы речи. Изучение отношений между такими дробями речи и составляет собственно предмет математической логики8.

Начнем с объяснения связи между каждым данным классом a и универсальным классом речи 1. С этою целью заметим, что если мы выделим из единицы объем, характеризуемый качеством A, т.е. класс a, то получим дополнительный объем, составленный из предметов, не имеющих качества A. Этот дополнительный объем мы будем называть классом не-a, или отрицанием a, и изображать символически тою же буквою a, но с присоединением к ней внизу черточки, т.е. знаком a1. Для других классов b1, c1, d1… Действие, необходимое для перехода от каждого данного класса a к дополнительному классу a1, мы будем называть действия отрицания a, или также отрицанием a. (По смыслу речи, всегда легко отличить, что разумеется в каждом данном случае под словом отрицание: действие, или получаемый результат). Как видим, сущность этого действия состоит в том, чтобы вместо класса a взять объем, получаемый из 1 после удаления из нее всех предметов, обладающих качеством A. Выражая эту мысль в точности, Буль изображал отрицание a помощью разности 1-a, и действие, необходимое для перехода от a к a1, называл вычитанием a из 19.

Из предыдущего видим, что отрицание и вычитание суть действия, одинаково пригодные для перехода от a к a1, и что от нашего выбора зависит остановиться на том тот другом из них. Если Буль для этой цели предпочитал вычитание, то Джевонс и Шредер, наоборот, остановили свой выбор на отрицании. Со своей стороны, мы примыкаем к последним и полагаем, что главнейшая причина неудовлетворительности логической системы Буля заключается в неудачном выборе действия для перехода от классов к их отрицаниям.

Преимущество отрицания перед вычитанием видно уже из того, что для отрицания логических функций Шредером установлены весьма простые и удобные правила, следуя которым мы действительно оперируем над этими функциями, тогда как вычитание есть действие, которое, при рассуждении над буквенными символами, только обозначается, выражаясь в простой перемене знака у вычитаемого.

Для выражения отношения между каждыми данным классом a и 1 Буль имел равенство: a1=1-a, из которого перенесением a в другую часть он получал: a+a1=1.

Отказываясь от действия вычитания, мы должны остановиться только на втором из этой пары равенств, и, чтобы дать себе отчет в основаниях этого равенства, условимся в следующих обозначениях. Будем называть классы равными между собою, коль скоро объемы их равны, т.е. предметы того и другого класса суть одни и те же. Кроме того, условимся называть сложением классов такую операцию, когда предметы этих классов соединяются в новый класс, содержащий в себе все предметы, входящие в эти классы. Объем такого нового класса равен сумме объемов перво