Реферат: Основные понятия математической логики

Тема: Основные понятия математической логики.


Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает  и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (,, ¬), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи.


^ Что нужно знать:

условные обозначения логических операций

¬ A, не A (отрицание, инверсия)

A  B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A  B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B импликация (следование)

таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация»

операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A  B или в других обозначениях A → B =

если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»

иногда полезны формулы де Моргана1:

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B
^

Пример задания:
Для какого из указанных значений X истинно высказывание

¬((X > 2)→(X > 3))?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение (вариант 1, прямая подстановка):

определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках

выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках:

X

X > 2

X > 3

(X > 2)→(X > 3)

¬((X > 2)→(X > 3))

1

0

0







2

0

0







3

1

0







4

1

1







по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке):

X

X > 2

X > 3

(X > 2)→(X > 3)

¬((X > 2)→(X > 3))

1

0

0

1




2

0

0

1




3

1

0

0




4

1

1

1




значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот):

X

X > 2

X > 3

(X > 2)→(X > 3)

¬((X > 2)→(X > 3))

1

0

0

1

0

2

0

0

1

0

3

1

0

0

1

4

1

1

1

0

таким образом, ответ – 3.

Возможные ловушки и проблемы:

можно «забыть» отрицание (помните, что правильный ответ – всего один!)

можно перепутать порядок операций (скобки, «НЕ», «И», «ИЛИ», «импликация»)

нужно помнить таблицу истинности операции «импликация», которую очень любят составители тестов2

этот метод проверяет только заданные числа и не дает общего решения, то есть не определяет все множество значений X, при которых выражение истинно

Решение (вариант 2, упрощение выражения):

обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2, B = X > 3

тогда можно записать все выражение в виде

¬(A → B) или

выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):

¬(A → B)= ¬(¬A  B) или

раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем

¬(¬A  B)= A  ¬B или

таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X ≤ 3), то есть для всех X, таких что 2 < X ≤ 3

из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,

таким образом, ответ – 3.

Возможные проблемы:

нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана)

при использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот

нужно не забыть, что инверсией (отрицанием) для выражения X > 3 является X ≤ 3, а не X < 3

Выводы:

в данном случае, наверное, проще первый вариант решения (прямая подстановка всех предложенных ответов)

второй вариант позволяет не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.

1 Огастес (Август) де Морган – шотландский математик и логик.

2 … но которая, к сожалению, почти не нужна на практике. 