Реферат: Н. П. Брусенцов На протяжени без малого ста лет предпринимаются настойчивые попытки преодолеть парадоксы импликации характеристической функции лежащего в основании логики отношения следования. Неадекватность содерж

Парадоксы логики, здравый смысл и диалектический
постулат Гераклита-Аристотеля Н.П. Брусенцов
На протяжени без малого ста лет предпринимаются настойчивые попытки преодолеть парадоксы импликации – характеристической функции лежащего в основании логики отношения следования. Неадекватность содержательному следованию ее «классической» двухзначной разновидности – материальной импликации – обусловила появление строгой, сильной, казуальной, релевантной, коннексивной и ряда трехзначных импликаций. Но проблема так и не решена, а обилие «результатов» свидетельствует о ее запутанности [1, с. 98].

В силлогистике отношение следования представлено общеутвердительной посылкой: «Всякое x есть y», сущность которой Аристотель исчерпывающе охарактеризовал в «Первой аналитике» [2, с. 215, 57в1]:

«…когда два [объекта] относятся друг к другу так, что если есть один, необходимо есть и второй, тогда, если нет второго, не будет и первого; однако если второй есть, то не необходимо, чтобы был и первый. Но невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет.»

Здесь «первый» соответствует термину x, а «второй» – термину y. То, что при наличии первого необходимо есть (не может не быть) и второй, означает существование xy-вещей и несуществование xy-вещей, а то, что при отсутствии второго не будет и первого, – существование xy-вещей и, еще раз, несуществование xy-вещей. То же, что при наличии второго не необходимо, чтобы был и первый, не исключает возможности существования xy-вещей, не настаивая на необходимости его. Невыразимостью именно этого привходящего статуса xy-вещей в двухзначных исчислениях объясняется безуспешность всех попыток адекватно отобразить в них отношение содержательного следования.

Употребив в качестве символа существования вещей (т. е. принадлежности их множеству взаимосвязанных рассматриваемым отношением) префиксную интегральную дизъюнкцию (дизъюнкт) Vx – «существуют x-вещи», нетрудно убедиться, что аристотелеву отношению следования соответствует нечеткое множество

VxyVxyVxy

Ему необходимо принадлежат xy- и xy-вещи, антипринадлежат
xy-вещи, а умолчание принадлежности xy-вещей означает ее привходящий статус – xy-вещи могут принадлежать либо антипринадлежать, существовать либо не существовать. Дизъюнкт Vx – синоним льюисова x
[1, с. 12] и модальной функции Mx, интерпретируемых обычно как «Возможность x», что не вполне корректно, поскольку надо различать актуальную возможность (существование) и потенциальную возможность (неисключенность – может существовать, а может не существовать). Вот эту выражаемую умолчанием неисключенность естественней называть просто «возможностью» в противоположность «существованию» и «несуществованию».

Нечеткое множество, «овеществляющее» посылку «Всякое x есть y» представимо с учетом сказанного следующими выражениями:

VxyVxyVxy  VxVxyVy  xxyy  MxMxyMy

Небезынтересно заметить, что строгой импликации Льюиса xy для того, чтобы стать непарадоксальным следованием, недостает xy – утверждения о существовании x- и y-вещей. И надо сказать, что это не льюисово упущение, а принципиальный изъян современной логики в целом, причем возникший не самопроизвольно [3, с. 79]:

«…по Аристотелю, высказывание “Все A суть B” считается истинным, лишь если существуют предметы, которые суть A. Наше отклонение в этом пункте от Аристотеля оправдывается потребностями математических применений логики, где класть в основу аристотелево понимание было бы нецелесообразно».

Вот так, под предлогом математических применений (на самом деле вследствие двухзначности «классических» исчислений) утратили здравый смысл.

Естественноязыковый смысл слов «Все A суть B» (“Всякому A присуще B”, “B содержится в A”), выражающих содержательное, необходимое следование, свели к парадоксальной льюисовой импликации VAB, удовлетворяющейся даже на пустом множестве вещей. При таком «следовании» оказывается, что «Из противоречия (из лжи) следует все, что угодно», и Лукасевич алгебраически доказывает [4, с. 94], что Аристотель ошибся, утверждая, что «невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет».

Стойким приверженцем здравомыслия выступает Льюис Кэррол [5], отличающий «Все x суть y» от «Ни один xy не существует». Первое суждение он трактует как VxVxy, а второе как Vxy, полагая, что в первом содержится утверждение о существовании x-вещей, а во втором нет. Чтобы стать аристотелевым контрапозитивным следованием, кэрролову VxVxy недостает Vy, т. е. проблема почти решена – изыскан смысловой, неформальный подход. Но этот актуальнейший результат Кэррола и его восхитительная трехзначная диаграмма уже более ста лет остаются невостребованными. Совершенно очевидна справедливость его беспощадного юмора: «Я буду называть их “логиками”, надеясь, что в этом нет ничего обидного» [5, с. 329].

Вследствие допущенного «отклонения» в современных логических исчислениях невыразима силлогистика Аристотеля. Это другая проблема, которую тщетно пытаются решить логики, а вернее, другая сторона той же проблемы содержательного следования. Силлогистика, вопреки всеобщему убеждению, не удовлетворяет закону исключенного третьего. Она трехзначна, в основу ее положен несовместимый с исключением третьего диалектический принцип – постулат Гераклита-Аристотеля [6], утверждающий сосуществование противоположностей. Алгебраически он выражается тождеством:

VxVxVyVyVzVz…  1.

Математический смысл его в том, что первичные (несоставные) термины силлогистики x, y, z, … не могуть быть безусловными константами, а должны представлять собой переменные, принимающие взаимоисключающие значения согласно гераклитову «все течет, все изменяется». Существование x-вещей мыслимо лишь как сосуществование противоположностей – VxVx.

Приведенные выше дизъюнктные выражения представляют отношение следования как нечеткое множество взаимосвязанных вещей. Отношение материальной импликации x  y в таком представлении будет VxyVxyVxyVxy. Обычно используют его характеристическую функцию: xy. Функция, характеризующая содержательное следование в таком смысле, оказывается трехзначной: xy   xy  xy, где  - третье значение истинности, 0< <1.

Литература
1. Слинин Я.А. Современная модальная логика. – Л: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976.

2. Аристотель. Сочинения в четырех томах. Том 2. – М: «Мысль», 1978.

3. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. – М: ИЛ, 1947.

4. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. – М.: ИЛ, 1959.

5. Кэррол Л. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. – М.: «Мир», 1973.

6. Брусенцов Н.П. Интеллект и диалектическая триада // «Искусственный интеллект», 2’2002, – Донецк, 2002. С. 53-57.


Доложено на Ломоносовских чтениях 2003 г. на факультете ВМиК МГУ. Опубликовано в «Программные системы и инструменты». Тематический сборник № 4. Под ред. Л.Н.Королева. – М. Издательский отдел ВМиК МГУ, 2003. С. 35-38.