Реферат: Поиск компоненты с заданным значением это одна из основных операций, применяемых к структурированным данным

Программирование


6. ПОИСК И СОРТИРОВКА.


Поиск


Поиск компоненты с заданным значением – это одна из основных операций, применяемых к структурированным данным. Эффективность ее реализации определяет качество таких программных систем как справоч­ные системы (телефонные, адресные и т.п.), системы работы с текстами (автоматический перевод, идентификация авторства и др.), баз данных, т. е. систем, относящихся к классу информационно-поисковых. Определяющий характер операции в перечисленных системах связан с ее частым приме­нением.


^ Не следует смешивать понятие поиска с операцией прямого доступа к компо­ненте, которая для регулярных структур обеспечивается селектором.


В структурах небольшой размерности (несколько десятков компонент) поиск с помощью алгоритмов, основанных на просмотре всей структуры не вызывает затруднений. Однако с ростом размерности такие алгоритмы могут оказаться просто неприемлемыми.

Время поиска оценивается достаточно просто. Если предположить, что структура данных содержит n компонент, то среднее время поиска можно принять равным n/2*t, где t – время, затрачиваемое на один шаг про­смотра. Действительно, компонента с искомым значением может быть в лучшем случае найдена на первом шаге и в худшем на последнем; n шагов понадобится и для того, чтобы убедиться в отсутствии такой компоненты в структуре.

Одним из основных методов эффективного поиска является метод ди­хотомии, иначе двоичного (бинарного) или логарифмического поиска. Ме­тод применим к упорядоченным по некоторому признаку данным. Поня­тие “упорядочивание” можно пояснить на примере последовательности с элементами a1, a2 , ... , an . Если такая последовательность задана, то упоря­дочивание означает перестановку этих элементов в порядке aк1, aк2, ..., akn, при котором заданной функции упорядочивания f соответствует отноше­ние f(ak1 ) f(ak2 ) , ... , f (akn).

Обычно функция упорядочивания не вычисляется по какому-то спе­циальному правилу, а ее значение содержится в каждой компоненте структуры данных в виде явно определенного поля. Это значение называ­ется ключом элемента, а сама процедура упорядочивания – сортировкой.

Алгоритм, позволяющий реализовать двоичный поиск, может быть представлен следующим образом.

Считать первым индексом последовательности l, последним – r. Поло­жить l=1, r=n. Перейти к пункту 2.

Положить k=m div 2. Перейти к пункту 3.

Если значение элемента ak равно искомому, то поиск прекратить, иначе перейти к пункту 4.

Если значение ak меньше искомого, то положить r=k-1 , иначе положить l=k+1. Перейти к пункту 2.


Таким образом, метод дихотомии на каждом шаге укорачивает рас­сматриваемую последовательность вдвое и искомый элемент будет найден в худшем случае за log2 n шагов, что существенно повышает эффектив­ность метода по отношению к поиску в неупорядоченной последовательно­сти.


Приведенная оценка худшего случая не совсем точна. В действительности ме­тоду свойственна некоторая асимметрия. Анализируя метод следует учитывать, что при делении интервала поиска пополам действительное число сравнений для n эле­ментов может быть на 1 больше ожидаемого из-за округления для нечетных n. В ре­зультате поиск элемента в “нижней” части осуществляется в среднем несколько бы­стрее, чем в “верхней” части, однако, для грубой оценки асимметрией можно пренеб­речь.


Ниже метод дихотомии иллюстрируется примером программы поиска элемента с заданным значением в векторе w, компоненты которого имеют тип Integer, т. е. принадлежат к порядковому типу и, поэтому, соответствуют понятию ключа. Вектор читается из корневого каталога диска A.


program Prim5_3;

uses Crt;

type

Index=1..4096;

Vector=array[Index] of Integer;

var

N,Svar : Integer;

I,L,R : Index;

Name : string;

W : Vector;

F : file of Integer;

begin

ClrScr;

Write ('Введите путь и имя файла ');

Read (Name);

Write ('Введите значение искомой компоненты ');

Read (SVar);

Assign (F, ‘A:\+Name’);

Reset (F);

N :=FileSize(F);

if N > 4096

then

Write ('Ошибка в исходных данных')

else

begin

for I :=1 to N do {цикл формирования вектора}

Read(F,W[I]);

L :=1;

R :=N;

while (W[I]<>SVar) and (L<=R) do

begin

I :=(L+R) div 2;

if SVar < W[I]

then

R :=I - 1

else

L :=I+1

end;

if W[I]=SVar

then

WriteLn('Искомое значение находится в ',i,'-й компоненте')

else

WriteLn('В векторе нет искомой компоненты')

end;

close (F);

ReadKey

end. {Prim5_3}


Преимущества метода дихотомии превращаются в недостаток, если предположить, что сортировка последовательности выполняется перед ка­ждым поиском (процедура сортировки значительно сложнее процедуры поиска в неупорядоченной последовательности). Однако для перечислен­ных выше задач процедура сортировки выполняется один раз после фор­мирования последовательности, а поиск используется многократно. По­следнее справедливо, когда изменения в последовательности (дополнения, замена элементов и т. п.) не нарушают ранее установленный порядок. В противном случае возможны компромиссы.


Сортировка.


Зависимость выбора методов сортировки и соответст­вующих им алгоритмов от структуры данных настолько важна, что их обычно разделяют на два класса: сортировка массивов и сортировка по­следовательностей (файлов), которые иногда называют внутренней и внешней сортировкой. Понятие отсортированной или упорядоченной по­следовательности соответствует определенному выше.

Как уже отмечалось, функция упорядочения не вычисляется по ка­кому-то специальному правилу, а ее значение содержится в каждом эле­менте в виде явной компоненты (поля) и называется ключом. Следова­тельно, в общем случае, для представления элемента ai желательно исполь­зовать структуру данных типа record. Описание типа с именем Item (элемент), который будет использоваться в последующих алгоритмах сор­тировки выглядит следующим образом:


type

Item=record

Key : Integer;

{описание других компонент}

end;

"Другие компоненты" – это все существенные данные об элементе, а поле Key служит для идентификации элементов. При рассмотрении алго­ритмов сортировки ключ является единственной существенной компонен­той. В определении остальных полей нет необходимости, поскольку они однозначно связаны с ключом структурой record. Выбор ключа типа Integer произволен. В качестве ключа можно использовать любой тип дан­ных, на котором задано отношение порядка.

Метод сортировки называется устойчивым, если относительный порядок элементов с одинаковыми ключами не изменяется при сорти­ровке. Устойчивость сортировки необходима в тех случаях, когда элементы упорядочены (рассортированы) по каким-то вторичным ключам, т.е. по свойствам, не отраженным в первичном ключе.

Основное требование к сортировке массивов – экономичное исполь­зование памяти. Это означает, что переупорядочение элементов нужно выполнять in situ (на том же месте). Методы, которые пересылают эле­менты из одного массива в другой, ниже не рассматриваются.

С учетом критерия экономии памяти, классификацию методов (алгоритмов) сортировки можно выполнить в соответствии с их эффектив­ностью, т.е. экономией времени или быстродействием. Оценка эффектив­ности основывается на подсчете числа необходимых сравнений ключей (С) и пересылок элементов (Р). Эти числа определяются как функции от числа n сортируемых элементов. При этом следует помнить, что пересылка, как правило, требует больше времени, чем сравнение. Хорошие алгоритмы сортировки требуют порядка n*log(n) операций, простые – n2. Хотя сложные методы требуют меньшего числа операций, эти операции в свою очередь более сложны, поэтому существенный выигрыш от их применения может быть получен при достаточно больших (порядка нескольких сотен) значениях n. При малых значениях n простые методы работают быстрее.

Целью последующего обзора методов сортировки является иллюстрация приме­нения метода последовательных уточнений к формулировке алгоритмов решения определенного класса задач. Аналитические выражения для оценки их временной cложности, используемые ниже при сравнении методов и алгоритмов, заимствованы в [14] и носят весьма приближенный характер. Последнее обусловлено случайным характером априорной упорядоченности исходного массива (последовательности) перед сортировкой. В этом случае приходится усреднять так называемые граничные оценки для лучшего и худшего из вариантов. Кроме того, строгое доказательство некоторых положений, связанных с анализом методов сортировки, вообще затрудни­тельно и поэтому некоторые характеристики методов получены эмпирическим путем.



^ Простые методы сортировки массивов


Методы, сортирующие элементы in situ, можно разбить на три основ­ных класса в зависимости от лежащего в их основе приема т.е. сортировку включениями, выбором и обменом.


^ Описание методов сортировки массивов с некоторой смысловой и стилистиче­ской правкой заимствовано в [7].


Иллюстрирующие эти методы программы используют переменную-вектор ^ W, компоненты которого имеют тип Item è èõ нужно рассортиро­вать in situ, т.е. фрагменты соответствующих раздела типов и раздела переменных выглядят так:


type

Index=1..100; {размерность массива выбрана произвольно}

Item=record

Key : Integer;

, , , {описание других компонент}

end;

Vector=array[Index] of Item;

var

W : Vector;

Сортировка простыми включениями

Этот метод обычно используют игроки в карты. Элементы условно разделяют на готовую последовательность w1, … ,wi-1 и входную последовательность wi, … ,wn. На первом шаге i=2, затемэто значение увеличивается на единицу на последующих шагах. На каждом из шагов выбирается первый элемент входной последовательности (т. е wi) и передается в готовую последовательность с помощью вставки (включения) его на подходящее место в соответствии с функцией упорядочения. Процесс продолжается до тех пор, пока величина i не станет равной n, и иллюстрируется рисунком (Рис6.1) на примере последовательности из восьми случайно расположенных одноразрядных чисел. Таким образом, алгоритм сортировки простыми включениями может быть описан так:


for I =2 to N do

begin

X :=W[I].Key;

{вставить x на подходящее место в

w1...wi }

end;


Для поиска подходящего места можно чередовать сравнения и пересылки, т.е. “просеивать” x, сравнивая его с очередным элементом. При просеивании предполагается, что если очередной элемент вектора W[I] >=X, то W[I] сдвигается на одну позицию направо (при первой проверке – на место X). Затем X либо вставляется на “освободившееся” место, либо сравнивается с очередным левым элементом вектора. Просеивание может закончиться при двух различных условиях (найден элемент wk с ключом меньшим, чем ключ wi или достигнут левый конец готовой последовательности).

Это типичный пример цикла с двумя условиями, при оформлении которого желательно использовать фиктивный элемент (барьер), для чего следует расширить диапазон индексов в описании âåêòîðà, ò.å. îïèñàòü êàê W=array[0 .. n] of Item.

Одна из возможных реализаций алгоритма представлена ниже в виде процедуры Straightinsertion.


procedure Straightinsertion;

var

I,J : Index;

X : Item;

begin

for I :=2 to N do

begin

X :=W[I];

W[0] :=X;

J :=I - 1;

while X.Key < A[J].Key do

begin

W[J+1] :=W[J];

J :=J - 1;

end;

W[J+1] :=X

end

end; {Straightinsertion}


Число Сi сравнений ключей при i-м просеивании составляет самое большее – i-1 самое меньшее – 1 и, если предположить, что все перестановки ключей равновероятны, в среднем равно i/2. Число Mi пересылок, учитывая барьер, равно i+2. Поэтому общее число сравнений и пересылок есть:

Cmin=n-1

Mmin=2(n-1)

Cср =1/4(n+n-2)

Mср =(n2+9n-10)

Cmax=1/2(n2+n)-1

Mmax=1/2(n2+3n-4)


Наименьшие оценки соответствуют случаю, когда элементы предварительно упорядочены, а наибольшие – когда элементы расположены в обратном порядке. В этом смысле сортировка включениями демонстрирует естественное поведение. Кроме того, она является устойчивой, поскольку порядок элементов с одинаковыми ключами не изменяется.

Алгоритм сортировки простыми включениями можно легко усовершенствовать, пользуясь тем, что готовая последовательность, в которую нужно включить новый элемент, уже упорядочена. Поэтому место включения можно найти значительно быстрее с помощью бинарного поиска.

Такой алгоритм сортировки (процедура binaryinsertion) называется сортировкой бинарными включениями.


procedure Binaryinsertion;

var

I,J,L,R,M : Index;

X : Item;

begin

for I :=2 to N do

begin

X :=W[I];

L :=1;

R :=I - 1;

while L<=R do

begin

M:=(L+R) div 2;

if X.Key

then

R :=M - 1

else

L :=M+1

end;

for J :=I - 1 downto L do

W[J+1] :=W[J];

W[L] :=X

end

end; {Binaryinsertion}


Место включения найдено, если W[I].KeyX.Key т.е. интервал поиска в конце должен быть равен 1; это означает, что интервал из i ключей делится пополам (log2i) раз. Таким образом, C=[log2i] , i=1, ... ,n.

Величину С можно определить аппроксимируя эту сумму с помощью интеграла:


С=  log x dx =n(log n-c1)+c1, где с1=log e= 1.44269... .


Анализируя метод, следует учесть, что при делении интервала поиска пополам c учетом асимметрии бинарного поиска действительное число сравнений для i элементов может быть на 1 больше ожидаемого. В результате места включения в “нижней” части находятся в среднем несколько быстрее, чем в “верхней” части т. е.


C= n(log n - log e  0.5).


Ускорение поиска места включения в “нижней” части дает преимущество в тех случаях, когда элементы изначально далеки от правильного порядка (минимальное число сравнений требуется, если элементы вначале расположены в обратном порядке, а максимальное – если они уже упорядочены). Следовательно, это случай неестественного поведения алгоритма сортировки.

Улучшение от применения бинарного поиска касается только сравнений, а не числа необходимых пересылок. Поскольку пересылка элементов, т. е. ключей и сопутствующей информации, обычно требует значительно большего времени, чем сравнение двух ключей, то это улучшение не дает существенного выигрыша. Важный показатель – М по-прежнему имеет величину порядка n2. Кроме того, пересортировка, например, уже отсортированного массива в этом случае занимает больше времени, чем при сортировке простыми включениями с последовательным поиском.

Этот пример показывает, что “очевидное улучшение” часто оказывается менее существенным по отношению к ожидаемому , и в некоторых случаях может оказаться ухудшением.

В общем случае сортировка включениями оказывается не очень эффективным методом, так как включение элемента связано со сдвигом всех предшествующих элементов на одну позицию, а эта операция неэкономна. Лучшие результаты дают методы, основанные на пересылках отдельных элементов на большие расстояния. К ним относится сортировка простым выбором.


^ Сортировка простым выбором.

В основе метода лежит просмотр последовательности с целью выбора элемента с наименьшим ключом, после чего он меняется местами с первым элементом. Эти операции повторяются с оставшимися n-1, çàòåì n-2 ýëåìåíòàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ò. ä., пока íе останется только один элемент – наибольший. Метод иллюстрируется на ранее применявшихся восьми ключах с помощью рисунка 6.2, а соответствующий ему алгоритм можно описать следующим образом:


for I :=1 to N-1 do

begin

{присвоить k индекс наименьшего элемента из a1, ... ,an};

{поменять местами элементы a1и ak}

end;


Рассматриваемый метод в определен-ном смысле противоположен сортировке простыми включениями, при которой на каждом шаге рассматривается только один очередной элемент входной и все элементы готовой последовательности для нахождения места включения. При сортировке простым выбором рассматриваются все элементы входного массива для поиска экземпляра с наименшим ключом, и этот один элемент отправляется в готовую последовательность.



Алгоритм сортировки простым выбором описан процедурой Straightselection.


procedure Straightselection;

var

I,J,K : Index;

X : Item;

begin

for I :=1 to N -1 do

begin

K :=I;

X :=W[K];

for J :=I+1 to N do

if W[J].Key then

begin

K :=J;

X :=W[J]

end;

W[K] :=W[I];

W[I] :=X

end

end; {Straightselection}


В этом варианте сортировки число сравнений ключей не зависит от их начального порядка. Метод ведет себя менее естественно, чем сортировка простыми включениями. Число сравнений определяется выражением C=1/2(n2 -n). Минимальное число пересылок равно Mmin=3(n-1) в случае изначально упорядоченных ключей и принимает наибольшее значение: Mmax= trunc(n2/4)+3(n-1), если вначале ключи расположены в обратном порядке. Среднее значение величины Мср трудно определить, несмотря на простоту алгоритма. Оно зависит от того, на каком шаге просмотра найден действительно минимальный элемент просматриваемой последовательности ключей. Это значение, взятое в среднем для всех перестановок ключей, число которых равно n!, приближенно определяется величиной:


Мср=n(ln n +), где =0.577216 – эйлерова константа


Таким образом, сортировка простым выбором предпочтительнее сортировки простыми включенями кроме случая, когда ключи заранее рассортированы или почти рассортированы. Тогда сортировка простыми включениями работает несколько быстрее.


^ Сортировка простым обменом

Классификация методов сортировки недостаточно четко определена. Оба представленных выше метода можно рассматривать как сортировку обменом. Однако под сортировкой простым обменом принято понимать метод, основанный на сравнении и обмене пары соседних элементов при последовательном просмотре массива Рис.6.4. и повторении этих дествий до тех пор, пока не будут рассортированы все элементы.

Если представить массив расположенным вертикально, а его элементы пузырьками в резервуаре с водой и имеющими “вес”, то каждый проход “снизу-вверх” по массиву приводит к “всплыванию” пузырька на соответствующий его весу уровень. Поэтому метод часто называют сортировкой методом пузырька. Реализация его простейшего варианта приведена в пророцедуре Bubblesort и иллюстируется рисунком 6.4.


Procedure Bubblesort;

var

I,J : Index;

X : Item;

begin

for I :=2 to N do

begin

for J :=N downto I do

if A[J - 1].Key > A[J].Key then

begin

X :=A[J-1];

A[J-1] :=A[J];

A[J] :=X;

end;

end;

end;


Этот алгоритм легко усовершенствовать. Пример на Рис.6.4. показывает, что три последних прохода никак не влияют на порядок элементов, поскольку они уже рассортированны. Алгоритм можно усовершенствовать, запоминая факт какого-либо обмена на данном проходе. Если обмена нет, то просмотр можно прекратить. Процесс улучшения можно продолжить, если запоминать не только сам факт обмена, но и место (индекс) последнего обмена. Действительно, все пары соседних элементов с меньшими индексами, уже расположены в нужном порядке. Поэтому следующие проходы можно закончить на этом индексе.



Кроме того методу свойственна определенная ассиметрия: один неправильно расположенный “пузырек” в “тяжелом” конце рассортированного массива всплывает на свое место за один проход, а неправильно расположенный элемент в “легком” конце будет опускаться только на один шаг на каждом проходе. Например, (при просмотре слева направо) последовательность


12 18 42 44 55 67 94 06


будет отсортирован за один проход, а сортировка последательности


94 06 12 18 42 44 55 67


потребует семи проходов. Асимметрия подсказывает третье улучшение: менять направление следующих один за другим проходов. Использующий это улучшение алгоритм называется шейкер-сортировкой и иллюстрируется рисунком 6.5. Примером реализации метода является процедура Shakesort.


Procedure Shakesort;

var

^ J,K,L,R : Index;

X : Item;

begin

L :=2;

R :=N;

K :=N;

repeat

for J :=R downto L do

if A[J - 1].Key > A[J].Key then

begin

X :=A[J - 1];

A[J - 1] :=A[J];

A[J] :=X;

K :=J;

end;

L :=K+1;

for J :=L to R do

if A[J - 1].Key > A[J].Key then

begin

X :=A[J - 1];

A[J - 1] :=A[J];

A[J] :=X;

K :=J;

end;

R :=K - 1;

until L > R;

end;


Число сравнений в алгоритме простого обмена постоянно и равно:


C=(n2-n)/2,


а минимальное, среднее и максимальное количество пересылок соответственно равны:


Мmin=0, Мср=(n2-n)*0.75, Мmax=(n2-n)*1.5


Анализ улучшенных методов, особенно метода шейкер-сортировки, довольно сложен. Примерные его оценки сводятся к следующему: среднее число проходов пропорционально n-k1*n1/2, а среднее число сравнений – 1/2((n2-n(k2+ln n), где k1 и k2– некоторые коэффициенты пропорциональности [14].

При этом следует отметить, что все предложенные выше усовершенствования не влияют на число обменов, уменьшая только число избыточных повторных проверок, а обмен двух элементов, как уже упоминалось, операция более дорогостоящая, чем сравнение ключей. Поэтому все усовершенствования мало эффективны и сортировка обменом в действительности хуже, чем сортировка включениями и выбором. Интерес может представлять только алгоритм шейкер-сортировки в тех случаях, когда известно, что элементы уже почти упорядочены (редкий случай на практике).


^ Улучшеные методы сортировки.


Все простые методы в общем случае перемещают каждый элемент на одну позицию на каждом элементарном шаге. Поэтому их сложность оценивается порядком n2 таких шагов. С другой стороны, используя статистические оценки, можно показать, что среднее “расстояние”, на которое должен переместиться каждый из n элементов во время сортировки, равно n/3 мест. Таким образом, поиск более эффективных методов сортировки должен основываться на пересылке элементов на большие расстояния и (или) на получении большего количества информации об упорядоченности за один просмотр (последнее очевидно).


^ Сортировка включениями с убывающим приращением

Усовершенствование сортировки простыми включениями было предложено Д.Л.Шеллом [7]. Метод рассматривается на том же примере из восьми элементов Рис.6.6 и состоит в следующем.



На первом проходе отдельно группируются и сортируются все элементы, отстоящие друг от друга на h позиций. Этот процесс называется h-сортировкой. В примере h=4, каждая группа на рисунке выделена тоном и содержит ровно два элемента, а первый проход – это 4-сортировка.

Затем элементы, отстоящие друг от друга на h/2 позиций, вновь объединяются в группы и снова сортируются (в примере – две позиции и, соответственно, 2-сортировка). На третьем и в рассматриваемом случае последнем проходе все элементы сортируются обычной сортировкой, или 1-сортировкой.

При первом знакомстве с методом может показаться, что необходимость нескольких проходов сортировки, в каждом из которых участвуют все элементы, только увеличивает количество операций. В действительности сокращение числа операций достигается за счет того, что на начальных шагах сортируется относительно небольшое количество элементов, а на последующих они уже хорошо упорядочены и, следовательно, при сортировке включениями требуют относительно малого числа перестановок.

В результате применения метода массив окажется упорядоченным при любой последовательности приращений, но конечное приращение должно быть равным единице. Тогда вся сортировка, в худшем случае, будет выполняться на последнем проходе. Более того, метод включения с убывающими приращениями обеспечивает лучшие результаты, если приращения не являются степенями двойки. Поэтому в процедуре, иллюстрирующей метод Шелла, все t приращений обозначаются через h1, h2, ..., ht с условиями ht = 1 и hi+1 < hi.

Каждая h-сортировка программируется как сортировка простыми включениями, причем для упрощения условия окончания цикла поиска места включения используется барьер. Так как каждая h-сортировка требует собственного барьера, а массив w необходимо дополнить не одной компонентой w[0], a t компонентами, т. е. описать как w: array[-t .. n] of item.

Этот алгоритм представлен в виде процедуры Shellsort, для t = 4.

procedure Shellsort;

const

T = 4;

var

I,J,K,S : Index;

M : 1 .. T;

X : Item;

H : array[1 .. T] of Integer;

begin

H[1] := 9;

H[2] := 5;

H[3] := 3;

H[4] := 1;

for M := 1 to T do

begin

K := H[M];

S := -K; {место барьера}

for I := K+1 to N do

begin

X := W[I];

J := I - K;

if S = 0 then

S := -K;

S := S+1;

W[S] := X;

while X.Key < W[J].Key do

begin

W[J+K] := W[J];

J := J - K

end;

W[J+K] := X

end

end

end;


Задача анализа этого алгоритма достаточно сложна и в настоящее время ее решение для общего случая неизвестно. В частности, неизвестно, какая последовательность приращений дает лучшие результаты, но установлен факт, что приращения не должны быть кратны друг другу. Это позволяет избежать явления, которое присутствует в приведенном выше примере и сводится к тому, что каждый проход сортировки объединяет ранее никак не взаимодействовавшие цепочки. В действительности взаимодействие между разными цепочками должно происходить как можно чаще. При этом можно утверждать, что если k-рассортированная последовательность i-сортируется, то она остается k-рассортированной и, следовательно, для i-сортировки потребуется меньшее количество перестановок.

На практике обычно используются последовательности приращений, рекомендованные Д.Кнутом [14], (последовательности записаны в обратном порядке):

1, 4, 13, 40, 121, ..., где hk-1 = 3hk + 1, ht = 1 и t = [log3n] - 1,

или

1, 3, 7, 15, 31, ..., где hk-1= 2hk + 1, ht = 1 и t = [log2n] - 1.

Там же отмечается, что в последнем случае затраты, которые требуются для сортировки n элементов с помощью алгоритма Шелла, пропорциональны n1.2.


Сортировка с помощью дерева



Метод сортировки простым выбором основан на выборе наименьшего ключа среди n элементов ( требуется n-1 сравнение), затем среди n-1 элементов (n-2 сравнений) и т.д. Улучшить эту сортировку можно в том случае, если в результате каждого просмотра получать больше информации. Например, с помощью n/2 сравнений можно определить наименьший из каждой пары рядом расположенных ключей. При помощи следующих n/4 сравнений – наименьший из каждой пары наименьших ключей и т.д. Таким образом, при помощи всего n-1 сравнений можно построить дерево выбора Рис.6.7, и определить корень (наименьший ключ).

На втором шаге необходимо спускаться по пути, содержащему наименьший ключ, и, исключая его, последовательно заменять на "пусто", либо на элемент, находящийся на противоположной ветви промежуточного узла, если такая ветвь существует (Рис.6.8.а). Элемент, оказавшийся в корне дерева вновь имеет наименьший среди оставшихся ключ и может быть исключен (Рис.6.8.б). После n таких шагов дерево становится пустым и процесс сортировки заканчивается.



При этом каждый из n шагов требует log2n сравнений. Поэтому вся сортировка требует только n*log2n+n элементарных операций c учетом n шагов, необходимых для построения дерева. Это хорошая оценка в сравнении с простым методом, требующим n2 шагов и даже сортировкой Шелла, которая требует n1.2 шагов, но построение древовидной структуры при реализации метода в “чистом” виде усложняет задачу представления информации и соответственно отдельных шагов.

Кроме того, в “рабочей” версии алгоритма желательно избавиться от необходимости в дырах, которые в конце заполняют все дерево и приводят к большому количеству лишних сравнений, а также найти способ представления дерева из n элементов в n единицах памяти вместо 2n-1 единиц. С этой целью пирамида определяется как последовательность ключей hl, hl+1, ..., hr такая, что hi  h2i, hi h2i+1 для всякого i = l, ..., r/2.



Если двоичное дерево представлено в виде массива, как показано на Рис.6.9, то, деревья сортировки на Рис.6.10.а и 6.10.б так же являются пирамидами, и элемент h1 пирамиды есть ее наименьший элемент т.е. h1 = min(h1 ... hn).

Пусть задана пирамида с элементами hl+1,..., hr для некоторых значений l и r, в которую нужно добавить новый элемент х для того, чтобы сформировать расширенную пирамиду hl, ..., hr.



В качестве примера пирамида h1, ..., h7, (Рис.6.10.а) расширяется "влево" и дополняется элементом h1=5. Новый элемент х сначала помещается в вершину дерева, а затем "просеивается" по пути, на котором находятся меньшие по сравнению с ним элементы, которые одновременно поднимаются вверх. В примере значение 5 сначала меняется местами с 1, затем с 2, и так формируется дерево, показанное на Рис.6.10.б. Предложенный способ просеивания позволяет сохранить условия, определяющие пирамиду.



Способ построения пирамиды in situ был предложен в[7]. В нем можно использовать процедуру просеивания Sift, приведенную ниже. В ней используется массив h1, ... ,hn, элементы hn/2+1, ... ,hn которого уже образуют пирамиду, поскольку не существует двух индексов i, j, таких. что j = 2i (или j = 2i+1). Эти элементы составляют последовательность, которую можно рассматривать как нижний ряд соответствующего двоичного дерева (см.Рис.6.9), где не требуется никакого упорядочения. Теперь пирамида расширяется влево: на каждом шаге добавляется новый элемент и при помощи просеивания помещается на соответствующее место.


procedure Sift(L,R : Index);

var

I,J : Index;

X : Item;

begin

I := L;

J := 2 * I;

X := A[I];

while J < R do

begin

if J < R then

if A[J].Key > A[J+1].Key then

J := J+1;

if X.Key <= A[J].Key then break;

A[I] := A[J];

I := J;

J := 2 * I

end;

A[I] := X

end; {Sift}




Этот процесс иллюстрируется Рис.6.11 и приводит к пирамиде, показанной на Рис.6.9. Следовательно, процесс построения пирамиды из n элементов in situ можно описать следующим образом:

L := (N div 2)+1;

while L > 1 do

begin

L := L - 1;

Sift(L,N)

end;


Для выполнения условия in situ на каждом шаге из пирамиды выбирается последняя компонента (пусть – х), верхний элемент пирамиды помещается на освободившееся место, а х просеивается на свое место. В этом случае необходимо совершить n-1 шагов, что иллюстрируется рисунком 6.12 и описывается с помощью процедуры sift:




R := N;

while R > 1 do

begin

X := A[1];

A[1] := A[R];

A[R] := X;

R := R - 1;

Sift(L,R)

end;


Из рисунка следует, что с помощью этих действий искомая последовательность формируется в обратном порядке. Это можно подправить, изменив направление отношения порядка в процедуре Sift. В результате пирамидальная сортировка может быть реализована с помощью процедуры Heapsort:


procedure Heapsort;

var L,R: Index;

X : Item;

procedure Sift;

var I,J : Index;

begin

I := L;

J := 2 * I;

X := A[I];

while J <= R do

begin

if J < R then

if A[J].Key < A[J+1].Key then

J := J+1;

if X.Key >= A[J].Key then Break;

A[I] := A[J];

I := J;

J := 2 * I

end ;

A[I] := X

end ;

begin

L := (N div 2) + 1;

R := N;

while L > 1 do

begin

L := L - 1;

Sift

end ;

while R > 1 do

begin

X := A[L];

A[L] := A[R];

A[R] := X;

R := R - 1;

Sift

end

end; {Heapsort}


Сортировка с разделением.

Несмотря на то, что метод пузырька является наименее эффективным среди алгоритмов простой сортировки, рассматриваемый ниже метод, основанный на обмене, является вообще одним из лучших и назван Хоором быстрой сортировкой.

Быстрая сортировка основана на том, что для достижения наибольшей эффективности желательно производить обмены элементов на больших расстояниях. Так, если предположить, что заданы n элементов с ключами, расположенными в обратном порядке, то их можно рассортировать, выполнив всего n/2 обменов. Для этого необходимо сначала поменять местами самый левый и самый правый элементы и постепенно продвигаться с двух концов к середине. Этот пример позволяет предложить следующую процедуру: выбрать случайным образом какой-то элемент (пусть x) и просматривать массив, двигаясь слева направо, пока не найдется элемент аi > x, а затем просматривать его справа налево, пока не найдется элемент аj < x. Затем, поменяв местами эти два элемента и продолжить процесс "просмотра с обменом", пока два просмотра не встретятся где-то в середине массива. В результате массив разделится на две части: левую – с ключами меньшими, чем x, и правую – с ключами большими x. В процедуре Partition, реализующей такое разделение, отношения > и < заменены на >= и <=, отрицания которых в операторе цикла с предусловием – это и есть < и >. При такой замене x действует как барьер для обоих просмотров.


procedure Partition;

var W,X: Item;

begin

I :=L;

J := N;

{выбор случайного элемента X}

repeat

while A[I].Key < X.Key do I := I+1;

while X.Key < A[J].Key do J := J - 1;

if I <= J then

begin

W := A[I];

A[I] := A[J];

A[J] := W;

I := I+1;

J := J - 1

end;

until I > J

end;{Partition}


Если, например, в качестве х выбрать средний ключ, равный 4, из массива ключей

5 6 2 4 8 1 3 7,

то для разделения массива потребуются два обмена: 3 с 5 и 1 с 6. Результатом будет массив

3 1 2 4 8 6 5 7

и конечные значения индексов i = 5 и j = 3. Таким образом, ключи а1, ..., аi-1 меньше или равны ключу х = 4, а ключи аj+1, ..., аn больше или равны х. Следовательно, получены два подмассива


Ak.Key <= X.Key для k = 1, ..., i-1,

Ak.Key > X.Key для k = j+1, ..., n,

причем

Ak.Key = X.Key для k = j+1, ..., i-1.


Теперь для сортировки, разделив массив, нужно повторить ту же процедуру применительно к обеими полученным частями, затем к частями этих частей и т.д., пока каждая часть не будет содержать только один элемент. В таком виде метод может быть реализован процедурой Quicksort, в тексте которой вместо процедуры Partition описана рекурсивная процедура Sort:


procedure Quicksort;

procedure Sort (L,R : Index);

var I,J : Index;

X,W : Item;

begin

I := L; J := R;

X := A[(L+R) div 2];

repeat

while A[I].Key < X.Key do I := I+1;

while X.Key < A[J].Key do J := J - 1;

if I <= J then

begin

W := A[I];

A[I] := A[J];

A[J] := W;

I := I+1;

J := J - 1

end

until I > J;

if L < J then Sort(L,J);

if I < R then Sort(I,R)

end ;

begin

Sort(1,N)

end; {Quicksort}


Поиск медианы

Медианой последовательности из n элементов называется элемент, значение которого меньше (или равно) половины n элементов и больше (или равно) другой половины. Так, в последовательности 5 6 2 4 8 3 1 7 медианой является элемент 4.

Задачу поиска медианы принято связывать с сортировкой, т.к. медиану всегда можно найти, упорядочив n элементов и затем выбрать средний элемент. Но потенциально найти медиану значительно быстрее позволяет разделение, которое выполняет процедура Partition. Кроме того, рассматриваемый ниже метод позволяет решить более общую задачу поиска элемента с k - м по величине значением (квантилей) из n элементов в неупорядоченном массиве.

Процедура поиска медианы сводится к следующему [7]. С помощью операции разделения, которая используется при быстрой сортировке, для l=1, r=n и a[k], выбранного в качестве разделяющего значения х, определяются значения индексов i и j, такие, что a[h] для всех h, a[h]>x для всех h>j и i>j. При этом возможны три варианта:

Разделяющее значение х было слишком мало. В результате граница между двумя частями оказалась ниже искомого значения k. Тогда процесс разделения следует повторить для элементов a[i], ..., a[r].

Выбранная граница х была слишком велика. Операцию разделения следует повторить для a[l], ..., а[j].

Значение k лежит в интервале j < k < i: элемент a[k] разделяет массив в заданной пропорции и, следовательно, является искомым.

Процесс разбиения повторяется до появления случая 3. Одной итерации соответствует фрагмент программы:


. . .

L := 1;

R := N;

while L < R do

begin

X := A[K];

Partition(A[L]...A[R]);

if J < K then L := I;

if K < I then R := J

end;


Учитывая условие окончания поиска, можно сформулировать всю процедуру Find.


procedure Find (K : Integer);

var

L,R,I,J,W,X : Integer;

begin

L := 1;

R := N;

while L < R do

begin

X := A[K];

I := L;

J := R;

repeat {split}

while A[I] < X do

I := I+1;

while X < A[J] do

J := J-1;

if I < J then

begin

W := A[I];

A[I] := A[J];

A[J] := W;

I := I+1;

J := J - 1

end

until I > J;

if J < K then L := I;

if K < I then R := J