Реферат: Комплекс условий с овокупность условий, в которых рассматривается данное событие. Испытание

2 ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ


2.1 Понятия о случайных событиях, величинах и функциях


Событие - всякий факт, который может произойти в данных условиях.

Комплекс условий - совокупность условий, в которых рассматривается данное событие.

Испытание - реализация определенного комплекса условий на практике.

В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.

Достоверным называется такое событие, которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий (Обозначение U).

Невозможным называется событие, которое никогда не наступает при реализации данного комплекса условий (Обозначение ).

Случайным называется событие, которое может либо наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить (Обозначение А, В, С...).

Частота события А - отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие m(А), и общего числа испытаний n:



^ Вероятность события - количественная мера степени возможности появления события для заданного комплекса условий.

Частоту, вычисленную при достаточно большом числе испытаний, можно считать близкой к соответствующей вероятности (по закону больших чисел)

( - статистический способ определения вероятности).

Для случайного события А: и 0<Р(А)<1.

Вероятность невозможного события .

Для любого события А вероятность противоположного события

^ Случайные события могут быть представлены через случайные величины (СВ).

СВ - величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) может принять то или иное значение, причем до испытания неизвестно, какое именно.

Типы СВ:

Дискретная – СВ, имеющая конечное или счетное множество значений;

Непрерывная – СВ, множество значений которой представляет собой множество всех точек, принадлежащих какому-либо интервалу числовой оси.

СВ смешанного типа - СВ, для которых наряду с участками непрерывных значений имеются отдельные, изолированные значения (например, время ожидания в очереди).

^ Закон распределения СВ - соотношение, позволяющее определить вероятность появления СВ в любом интервале.

Основные формы закона распределения: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения.

^ Ряд распределения - таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

Пусть хi — i-e значение случайной величины Х, и Pi — вероятность появления i-го значения случайной величины X. Тогда ряд распределения имеет вид:




^ Эмпирический ряд распределения - таблица, в которой перечислены наблюдаемые значения (фактические реализации) случайной величины (хi) и соответствующие им частоты (mi).




Ряд распределения не может служить характеристикой непрерывной СВ, т.к. ее значения нельзя перечислить.

Функция распределения СВ ^ X - функция аргумента х, равная вероятности того, что СВ Х примет любое значение, меньшее х:



Вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал [а, b) равна разности значений функции распределения в точках b и а:



Функция распределения дискретной СВ:



где суммирование распространяется на значения xj, которые меньше х..

Функция распределения дискретной СВ увеличивается скачками каждый раз, когда Х при своем изменении проходит через какое-нибудь из возможных значений х, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

Функция распределения непрерывной СВ



где f(x) – плотность распределения.

Плотность распределения f(x) - предел отношения вероятности попадания случайной величины на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении



Плотность распределения применяется для непрерывной СВ, т.к. в этом случае нельзя использовать в качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений.

Вероятность попадания непрерывной СВ на произвольный участок [а, b)



^ График плотности распределения (кривая распределения) совместно с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице (т.к. ).

(заштрихована ).


^ 2.2 Числовые характеристики СВ


Характеристики положения:

Среднее значение - величина, относительно которой группируются всевозможные значения СВ.

^ Математическое ожидание (МО) - теоретическая характеристика СВ.

МО дискретной СВ



где хi - возможные значения случайной величины Х,

Pi —вероятность появления i-го возможного значения СВ Х.

Эмпирическая средняя - эмпирическая характеристика СВ



^ Эмпирическая средняя СВ по мере увеличения испытаний (наблюдений) стабилизируется относительно математического ожидания.

МО непрерывной СВ



Медиана (Me) СВ - величина, относительно которой равновероятно получение большего или меньшего значения СВ:

Р(Х > Me) = Р(Х < Me).

Мода (Мо) дискретной СВ - ее значение, обладающее наибольшей вероятностью.

Мода непрерывной СВ - такое значение, которое отвечает максимальной плотности распределения.

Математическое ожидание, медиана и мода совпадают только в частном случае при симметричном распределении.

Характеристики рассеяния:

Дисперсия - МО квадрата отклонений СВ от своего МО



Дисперсия дискретной СВ

Дисперсия непрерывной СВ

Среднее квадратическое отклонение .

Эмпирические значения характеристик рассеивания:



Коэффициент вариации - относительная характеристика рассеивания


^ 2.3. Статистическая оценка законов распределения СВ


Обработка статистического материала производится для нахождения законов распределения СВ.

Рассмотрим некоторую СВ ^ X.

Статистическая выборка - совокупность из п определенных значений СВ Х, которые она принимает при функционировании системы в течение некоторого времени t.

Если расположить отдельные значения СВ X в возрастающем или убывающем порядке и указать относительно каждого значения, как часто оно встречалось в данной совокупности, то получится эмпирическое распределение СВ, или вариационный ряд, на основании которого определяются аналитическая форма неизвестной плотности вероятности f(х), функция распределения F(x) и оцениваются входящие в нее параметры.

Построение вариационного ряда.

1. Диапазон значений непрерывной СВ X разбивается на интервалы. Оптимальная длина интервала .

Число интервалов

2. Подсчитывается количество значений mi СВ Х, приходящееся на каждый интервал, и определяется частота ее попадания в данный интервал по формуле



3. Строится вариационный (статистический) ряд



Вариационные ряды могут быть изображены графически в виде полигона распределения (чаще для дискретных СВ) и гистограммы (для непрерывных СВ).

Построение полигона распределения:

1. В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для фактических значений СВ X, на оси ординат — для частот .

2. Наносят точки Mi с координатами хi и .

3. Точки , , соединяют ломаной линией.

Многоугольник - полигон распределения.




Построение гистограммы распределения

1. В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для реализаций случайной величины X, на оси ординат — величины .

2. Строят прямоугольники ABCD, DEFG, ..., основания которых соответствуют ширине интервала х, а высоты равны отношениям -

Многоугольник ABCEF... QORJA - гистограмма распределения.



При уменьшении интервалов х гистограмма будет приближаться к графику плотности распределения СВ.


^ 2.4. Основные законы распределения случайных величин


Полигон и гистограмма есть реализация распределения выборочной совокупности при ограниченном числе наблюдений (N), а предельная кривая при N—>  является распределением генеральной совокупности - теоретическим распределением. Отдельные распределения поддаются точному аналитическому описанию.

Дискретные законы распределения

А. Биномиальное распределение. Распределение числа ^ X появления события А в серии из n испытаний. В каждом испытании возможны два исхода: наступление или ненаступление события А. Пусть р - вероятность наступления события А в каждом испытании. Распределение числа появления события А определяется формулой Бернулли



Определяется двумя параметрами р и п.

МО биномиально распределенной СВ

Дисперсия биномиально распределенной СВ



Б. Распределение Пуассона - предельный случай биномиального распределения. Пусть в биномиальном распределении тогда плотность вероятности биномиального распределения выражается законом Пуассона:



Распределение Пуассона зависит только от одного параметра — математического ожидания М[Х] = а.:



Непрерывные законы распределения

В. Нормальное распределение – наиболее известно. Полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией. Кривая f(x) симметрична относительно математического ожидания.






Г. Гамма-распределение и распределение Эрланга. Неотрицательная СВ X имеет гамма-распределение, если



МО СВ X, подчиненной гамма-распределению

Дисперсия СВ X

При целом k>1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка



Закону Эрланга k-го порядка подчинена сумма независимых случайных величин, каждая из которых распределена по показательному закону с параметром .

При k=1 гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром .

Д. Показательное распределение.





 - параметр распределения, .



МО СВ X

Дисперсия СВ X откуда


Е. Непрерывная СВ Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, b], если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне его — равна нулю:






МО СВ Х


Дисперсия и СКО СВ X


^ 2.5. Выбор теоретического закона распределения СВ


В любом статистическом распределении присутствуют элементы случайности, и, как следствие, экспериментальные точки гистограммы обычно колеблются от опыта к опыту около неизвестной кривой истинного распределения.

При наличии числовых характеристик СВ (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть приближенно определены по табл.


Законы распределения СВ в зависимости от коэффициента вариации



Для более точного определения теоретического закона распределения проводят построение теоретической кривой распределения.

Оно состоит в подборе такой функций теоретического распределения f(x), которая обеспечивала бы максимальное приближение теоретических данных к эмпирическим . Для оценки правдоподобия этого приближения используется несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции f(x), например, критерий Пирсона.

Мера расхождения между теоретическим законом распределения и статистическим распределением:



где k - число интервалов статистического ряда;

— соответственно, статистическая и теоретическая вероятности попадания случайной величины Х в i-й интервал.

С учетом получим



Полученное расхождение может объясняться двумя причинами: 1) ограниченный объем выборки, в этом случае расхождение случайно; 2) наличие существенной разницы между теоретическим и статистическим распределениями, в этом случае нужно отвергнуть выбранное теоретическое распределение.

Для выявления причины вводится величина  - мера расхождения теоретического и статистического распределений за счет число случайных факторов.

Далее находится вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоретического и статистического распределений будет не меньше, чем фактическое значение для данной выборки .

Величина определяется по таблицам при известных r и .

r - число степеней свободы

где l — число статистических характеристик (средняя, дисперсия и т. д.), использованных при вычислении теоретического распределения.

Если вероятность p мала (меньше 0,1), то выбранное теоретическое распределение считается неудачным.

Критерий Пирсона применим в тех случаях, когда объем выборки и в каждом интервале число наблюдений .