Реферат: В конце статьи приложена переписка с редакцией журнала «Космические исследования», в которой более детально обсуждаются отдельные проблемы

В конце статьи приложена переписка с редакцией журнала «Космические исследования», в которой более детально обсуждаются отдельные проблемы.

УДК 523.2 + 629.7

АСТЕРОИД АПОФИС: ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ И ВОЗМОЖНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

Смульский И.И., Смульский Я.И.*

Институт Криосферы Земли СО РАН, г. Тюмень, JSmulsky@mail.ru

*Институт теплофизики СО РАН, г. Новосибирск, ysmulskii@mail.ru


Аннотация

Проанализированы литературные источники и установлено, что ряд неопределенностей в траектории Апофиса обусловлены несовершенством методов ее определения. Новым численным методом проинтегрированы дифференциальные уравнения движения Апофиса, планет, Луны и Солнца и исследована эволюция орбиты астероида. Апофис 13 апреля 2029 г. пройдет у Земли на расстоянии 6 ее радиусов и в течении 1000 лет более близкого его прохождения не будет. Рассчитаны условия по превращению Апофиса в спутник Земли, который может быть использован для различных задач по освоению космического пространства.

1. Введение

В работе [1] описана история проблемы. Впервые астероид Апофис был обнаружен 19 - 20 июня 2004 г. в обсерватории Kitt Peak [2] и повторно наблюдался в обсерватории Siding Spring Survey [3] 20-го декабря этого же года. С тех пор к нему приковано внимание многих исследователей. По результатам первых определений элементов его орбиты были выполнены расчеты его движения, и оказалось [4], что 13 апреля 2029 г. он пройдет на расстоянии 38000 км от центра Земли. В результате воздействия Земли орбита астероида существенно изменится. Так как существующие методы расчета дают большие погрешности, то, по мнению ряда исследователей [1, 4, 5], траектория его становится неопределенной, недетерминированной и даже хаотической. Различные статические методы анализа предсказывают некоторую вероятность столкновения Апофиса с Землёй 13 апреля 2036 г. Основной интерес исследователей сконцентрирован вокруг этой проблемы.

В работе [4] анализируются возможности сближения Апофиса с Землей и его последствия. Рассматриваются различные противодействия падению астероида на Землю и предлагаются миссии его разведки. В заключении отмечается необходимость прогноза движения Апофиса на период 2029 г с максимальными ошибками, лежащими в пределах до одного километра.

Вопросы, связанные с наблюдением Апофиса наземными и космическими средствами, обсуждаются в ряде работ [1, 4, 5, 6]. Так как орбита астероида находится вблизи орбиты Земли, то на значительной части орбиты диск астероида освещен частично или совсем не виден. Поэтому необходимо установить периоды его наблюдения наземными средствами, а при использовании космических средств требуется определить наиболее эффективное расположение их на орбите.

Расчет движения астероида, представляет, по-видимому, одну из сложных проблем. В работе [7] дифференциальные уравнения возмущенного движения астероида интегрировались методом Эверхардта [8], при этом положения возмущающих тел использовались из эфемерид DE403 и DE405 Лаборатории реактивного движения США. Авторы уделили внимание резонансным явлениям, которые могут приводить к столкновению Апофиса с Землей в 2036 г.

Авторы работ [9, 10] по 933 наблюдениям улучшили начальные параметры орбиты Апрфиса. Однако при исследовании стандартными методами они получили, что в результате прохождения астероида через ряд резонансов с Землей и Марсом его движение становится хаотичным. С целью определения вероятности столкновения Апофиса с Землей в 2036 г. они выполнили 10 тыс. вариаций начальных условий, из которых 13 приводят к столкновению Апофиса с Землей [10].

Смирнов Е.А. [11] задался целью протестировать различные методы интегрирования на предмет пригодности их для расчета движения астероида, который может столкнуться с Землей. Он рассмотрел методы Эверхарта, Рунге-Кутты 4-го порядка, метод Йошиды 6 и 8 порядков, метод Эрмита 4 и 6 порядков, Multistep Predictor-Corrector (MS-PC) метод 6 и 8 порядков и метод Parker-Sochacki. Автор пришел к выводу, что методы Эверхардта и MS-PC уступают другим методам. Он также отмечает, что в этих задачах с особыми точками методы с конечными разностями плохо приближают производные высших порядков. Этот вывод является весьма важным, так как далее будут представлены результаты интегрирования уравнений другим методом, который не имеет указанных недостатков.

Отметим, что Смирнов Е.А. [11] метод Эверхардта при сближении Апофиса с Землей заменял методом Рунге-Кутты. Так как первый метод широко используется при интегрировании дифференциальных уравнений движения тел Солнечной системы то необходимо обратить внимание на его ошибки в задачах сближения тел.

В работе [12] рассматриваются математические проблемы расчета орбиты астероида и её изменения различными способами. Оценены возможности ударно-кинетического и термоядерного способов коррекции траектории Апофиса.

Всесторонние исследования астероида Апофис представлены в работе [1]. Хронологически изложена вся наблюдательная история и дана динамика уменьшения погрешностей его элементов орбиты. Авторы работы большое внимание уделили точности расчета орбиты и влиянию на нее различных факторов. Рассмотрено влияние неточности положения планет, физических параметров астероида, возмущения других астероидов. Исследовано влияние на точность интегрирования длины числа, несферичности Земли и Луны, возмущения от солнечной радиации и теплового неравномерного нагрева и др.

Уравнения возмущенного движения астероида интегрировались с помощью стандартной динамической модели (SDM), в которой положение остальных тел использовались из эфемерид DE405. Известно, что эфемериды DE405 являются аппроксимацией несколько сотен тысяч наблюдений до 1998 г. При переходе к эфемеридам DE414, которые аппроксимируют данные наблюдения до 2006 г. ошибка предсказания траектории Апофиса к 2036г уменьшилась на 140 тыс. км. Эта ошибка, как показано в работе [1], в десять раз превосходит ошибки от других возмущений. Отметим, что полученный результат свидетельствует о необходимости более точного другого способа расчета траектории астероида.

В работе [1] весьма детально рассмотрены дальнейшие исследования по уточнению траектории Апофиса. По годам расписаны периоды оптических и радарных измерений, намечены программы наблюдений при сближениях с Землей в 2021 и 2029 гг. и миссии космических кораблей в 2018 и 2027 гг. Оценены величины уменьшения погрешностей траектории астероида, которые будут обусловлены вышеотмеченными действиями.

Следует отметить, что эфемериды, построенные на аппроксимации данных наблюдений, позволяют с хорошей точностью определять положение тел в пределах интервала времени аппроксимации. Предсказание положений тел на момент времени, удаленный от этого интервала, ухудшается и тем больше, чем дальше он отстоит от интервала аппроксимации. Поэтому планируемые в работе [1] наблюдения и миссии к Апофису будут использованы для уточнения будущих эфемерид.

Итак, при расчете траектории Апофиса интегрировались уравнения возмущенного движения [1, 7, 12], а положение остальных тел использовались из эфемерид. Применялись разностные методы интегрирования, которые при сближении тел, дают большие погрешности определения высших производных. Добавление к основному Ньютоновскому гравитационному воздействию других слабых воздействий приводит к усложнению задачи и к увеличению неопределенности траектории. Многие слабые воздействия не имеют достаточного количественного обоснования. Кроме того, неизвестны физические параметры астероида и константы взаимодействия. Поэтому при учете этих воздействий используются экспертные оценки. И самое существенное это то, что погрешность решения задачи о движении астероида при ньютоновском взаимодействии на порядки превышает добавки от малых дополнительных воздействий.

Для исследования влияния начальных условий на вероятность столкновения Апофиса с Землёй применяют методику работы [1]. Начальные условия для астероида определяются из элементов его орбиты, которые известны с некоторой погрешностью σ. Например, величина эксцентриситета e=en±σe, где en – номинальное значение эксцентриситета, а σe – среднеквадратичное отклонение при обработке нескольких сотен наблюдений астероида. В этих работах поиск параметров столкновения ведут в области возможных движений астероида 3σ, например, для эксцентриситета начальные условия вычисляются в области e=en±3σe. Из неё случайным образом выбирают 10 тыс., а в некоторых работах 100 тыс. наборов начальных условий, т.е. вместо одного астероида рассматривают движение 10 или 100 тыс. астероидов. Некоторые из них могут столкнуться с Землёй. По их количеству определяют вероятность столкновения астероида с Землей.

Такая статистическая постановка некорректна. При наличии многих измерений параметра, номинальная его величина, например, en является наиболее вероятной. Поэтому траектория, рассчитанная по номинальным начальным условиям (НУ) является наиболее вероятной. Траектория, рассчитанная с небольшим отклонением от номинальных НУ, является менее вероятной, а вероятность траектории посчитанной по параметрам границы области отклонений (т.е. по e=en±σe) стремится к нулю. Траектория же с НУ, определенным по параметрам, которые в три раза больше возможных их отклонений (т.е. по e=en±3σe) имеет еще меньшую вероятность. Так как НУ определяются 6-ю элементами орбиты, то одновременная реализация граничных значений всеми элементами является еще менее вероятной.

На наш взгляд, исследовать влияние НУ следует на тех наборах, которые получают в результате последовательного накопления данных наблюдения. Если разница движений астероида на последних двух наборах НУ несущественна до определенной даты, то можно сделать вывод, что до этой даты движение астероида начальными условиями определено полностью.

Как показано в работе [1], для дальнейшего уточнения траектории Апофиса потребуется выполнения ряда дополнительных работ. Поэтому представляет интерес более точное определение его траектории, что приведет к снижению их количества.

Для интегрирования дифференциальных уравнений движения тел Солнечной системы за большие интервалы времени [13]- [14] нами разработана программа Galactica. В ней учитываются только сила тяготения Ньютона и не используются разности для определения производных. В задачах о составной модели вращения Земли [15] и гравитационном маневре у Венеры [16] интегрировались уравнения движения с малым расстоянием (порядка радиуса планеты) между телами. В результате решения этих задач и выполнения многочисленных проверок установлено, что с помощью программы Galactica можно рассчитать движение астероида Апофиса как до сближения с Землёй, так и после с достаточно высокой точностью. Поэтому в настоящей работе были выполнены исследования эволюции орбиты Апофиса, в результате которых открылись некоторые перспективы его использования.

^ 2. Постановка проблемы

При взаимодействии астероида, Солнца, планет и Луны по закону тяготения Ньютона дифференциальные уравнения движения имеют следующий вид [17]:

i =1,2,…,n, (1)

где - радиус-вектор тела с массой относительно какого-либо неускоренного центра, например, барицентра Солнечной Системы;

G – гравитационная постоянная,

= – радиус-вектор до тела с массой mi от тела с массой mk.

n = 12 (девять планет, Солнце, Луна и астероид).

В результате численных экспериментов и их анализа мы пришли к выводу, что конечно-разностные методы интегрирования не обеспечивают необходимую точность. В алгоритме программы Galactica значение функции в следующий момент времени t=t0+ t определяется с помощью ряда Тейлора, который, например, для координаты x имеет вид:

, (2)

где x0(k) – производная порядка k в момент t0.

Значение скорости x’ определяется по аналогичной формуле, а ускорение x0’’ – по формуле (1). Более высокие производные x0(k) определены аналитически в результате дифференцирования уравнений (1). Сейчас используется расчетная схема шестого порядка, т.е. при K=6.

^ 3. Подготовка начальных условий

Задача рассматривается в барицентрической экваториальной системе координат на эпоху J2000.0 с юлианским днем JDs = 2451545. Элементы орбиты Апофиса (эксцентриситет e, большая полуось a, угол наклона к плоскости эклиптики ie, угол восходящего узла , аргумент перигелия ωe и др.) и его положения (средняя аномалия M) были использованы из базы малых планет тел [18] на 30.0 ноября 2008 г. Они представлены 16-ю десятичными знаками и приведены в таблице табл. 1 в виде трёх вариантов. Сейчас рассматривается 1-ый вариант. Эти элементы соответствуют решению с номером JPL sol. 140, которое получено Otto Mattic 04.04.2008 г. В табл. 1 также даны неопределенности  этих данных. Относительная их величина  находится в пределах от 2.4·10-8 до 8·10-7. Эти же данные имеются в базе данных астероидов Эдварда Боуэлла [19], но они представлены 8-ю десятичными знаками и отличаются от предыдущих элементов в 7-ом знаке, т.е. в пределах погрешности . В работе [1] использовались элементы орбиты астероида Апофис на эпоху JD = 2453979.5 (01.0 сентября 2006 г.), которые соответствуют решению с номером JPL sol. 142. По публично доступной JPL системе Horizons решение sol. 142 можно продлить до 30.0 ноября 2008 г. В этом случае видно, что отличие орбитальных элементов решения 142 от решения 140 не превышают 0.5· неопределённостей элементов орбиты.

По элементам, представленным в табл. 1, были рассчитаны декартовые координаты и скорости Апофиса в барицентрической экваториальной системе по следующему алгоритму [14, 15, 20, 21]. Из уравнения Кеплера

E - e·sinE = M (3)

определяется эксцентрическая аномалия E, а по ней рассчитывается истинная аномалия 0

, (4)

В дальнейших расчетах использовались результаты взаимодействия двух тел (Солнца и астероида) [16, 21]. Уравнение траектории тела в полярной системе координат с началом в Солнце, имеет вид:

, (5)

где полярный угол φ (в астрономии: истинная аномалия) отсчитывается от положения перигелия r = Rp;

– параметр траектории;

Rp = a·(21+1)/1 – радиус перигелия.


Табл. 1. Три варианта элементов орбиты астероида Апофис [18] на две эпохи в гелиоцентрической эклиптической системе координат 2000.0 г. c JDS = 2451545.


Элемент

1-ый вариант

30.0 ноября 2008 г. JD01 = 2454800.5

JPL sol.140

2-ой вариант

04.0 января 2010 г. JD02 = 2455200.5

JPL sol.144

3-ий вариант

30.0 ноября 2008 г. JD01 = 2454800.5

JPL sol.144

Неопреде-

ленности

±

1-ый вар.

Единицы

Значение

e

.1912119299890948

.1912110604804485

.1912119566344382

7.6088e-08




a

.9224221637574083

.9224192977379344

.9224221602386669

2.3583e-08

ае

q

.7460440415606373

.7460425256098334

.7460440141364661

8.6487e-08

ае

ie

3.331425002325445

3.331517779979046

3.331430909298658

2.024e-06

градус



204.4451349657969

204.4393039605681

204.4453098275707

0.00010721

градус

ωe

126.4064496795719

126.4244705298442

126.4062862564680

0.00010632

градус

M

254.9635275775066

339.9486156711335

254.9635223452623

5.7035e-05

градус

tp

2454894.912750123770
(2009-Mar-04.41275013)

2455218.523239657948
(2010-Jan-22.02323966)

2454894.912754286546
(2009-Mar-04.41275429)

5.4824e-05

JD

день

P

323.5884570441701

0.89

323.5869489330219

0.89

323.5884551925927

0.89

1.2409e-05

3.397e-08

день
год

n

1.112524233059586

1.112529418096263

1.112524239425464

4.2665e-08

градус /день

Q

1.098800285954179

1.098796069866035

1.098800306340868

2.8092e-08

ае


Выражения для радиальной и трансверсальной скоростей имеют вид:

, при ; , (6)

где = r/Rp – относительный радиус, а скорость в перигелии

, (7)

где mS= m11 – масса Солнца (значение m11 см. табл. 2), а mAs=m12 – масса астероида.

Время движения тела по эллиптической орбите, от точки перигелия до положения на орбите с радиусом , определяется по формуле:

, (8)

где – относительная радиальная скорость.

В начальный момент t0 = 0, который соответствует эпохе JD0 (см. табл. 1), полярный радиус r0 астероида рассчитывается по формуле (5) в зависимости от начального полярного угла (истинной аномалии) Начальные радиальная и трансверсальная скорости определяются по формулам (6) в зависимости от r0.

Декартовые координаты и скорости в плоскости орбиты астероида (ось xo проходит через перигелий) рассчитывается по формулам:

xo=r0·cos 0; yo=r0·sin0; (9)

; . (10)

Координаты астероида в гелиоцентрической эклиптической системе координат определяются следующим образом:

xe= xo·(cos ωe·cos - sin ωe·sin ·cos ie) - yo·(sin ωe·cos + cos ωe·sin ·cos ie); (11)

ye= xo·(cos ωe·sin - sin ωe·cos ·cos ie) - yo·(sin ωe·sin - cos ωe·cos ·cos ie); (12)

ze= xo sin ωe·sin ie + yo· cos ωe·sin ie. (13)

Компоненты скорости астероида и в этой системе координат рассчитывается по формулам, аналогичным (11) – (13).

Так как уравнения (1) рассматриваются в неподвижной экваториальной системе координат, то эклиптические координаты (11) – (13) преобразуются в экваториальные по формулам:

x = xe; y = ye·cos 0·- ze·sin 0 ; z = ye·sin 0+ ze·sin 0, (14)

где 0·- наклон между эклиптикой и экватором в эпоху JDs.

Компоненты скорости и в экваториальную систему координат преобразуются по формулам, аналогичным (14).

В этих вычислениях использовано 6 элементов орбиты из табл. 1, а именно: e, a ie, ωe и M. Остальные использовались для контроля. Радиусы перигелия Rp и афелия Ra = -Rp/(21+1) сравнивались с q и Q, соответственно. Период обращения рассчитывались по формуле (8) как удвоенное время движения от перигелия до афелия при r = Ra. По этой же формуле рассчитывался при r = r0 момент прохождения перигелия. Эти два параметра сравнивались с P и tp из табл. 1, соответственно. Наибольшее относительное отличие по q и Q не превышало 1.9·10-16, а по P и tp было не больше 8·10-9.

Положения и скорости планет и Луны на эпоху JD0 определены по JPL-теории DE406/LE406 [22-23]. Массы этих тел были модифицированы в [14], а масса астероида рассчитана как для шара с диаметром d = 270 м и плотностью  = 3000 кг/м3. Массы всех тел и начальные условия представлены в табл. 2.

Отметим, что весь алгоритм (3)-(14) подготовки начальных условий и их проверки реализован в программе AstCoor2.mcd в среде MathCad.


Табл. 2. Массы mbj планет от Меркурия до Плутона, Луны, Солнца и Апофиса и начальные условия на эпоху JD0 = 2454800.5 (30.0 ноября 2008 г.) в гелиоцентрической экваториальной системе координат на эпоху 2000.0, JDS = 2451545. G = 6.67259E-11 м3/(с2·кг).


Тела

j

Массы тел в кг, их координаты в м и скорости в м/с

mbj

xj, vxj,

yj, vyj

zj, vzj

1

3.30187842779737E+23

-17405931955.9539

-60363374194.7243

-30439758390.4783

37391.7107852059

-7234.98671125365

-7741.83625612424

2

4.86855338156022E+24

108403264168.357

-2376790191.8979

-7929035215.64079

1566.99276862423

31791.7241663148

14204.3084779893

3

5.97369899544255E+24

55202505242.89

125531983622.895

54422116239.8628

-28122.5041342966

10123.4145376039

4387.99294255716

4

6.4185444055007E+23

-73610014623.8562

-193252991786.298

-86651102485.4373

23801.7499674501

-5108.24106287744

-2985.97021694235

5

1.89900429500553E+27

377656482631.376

-609966433011.489

-270644689692.231

11218.8059775149

6590.8440254003

2551.89467211952

6

5.68604198798257E+26

-1350347198932.98

317157114908.705

189132963561.519

-3037.18405985381

-8681.05223681593

-3454.56564456648

7

8.68410787490547E+25

2972478173505.71

-397521136876.741

-216133653111.407

979.784896813787

5886.28982058747

2564.10192504801

8

1.02456980223201E+26

3605461581823.41

-2448747002812.46

-1092050644334.28

3217.00932811768

4100.99137103454

1598.60907148943

9

1.65085753263927E+22

53511484421.7929

-4502082550790.57

-1421068197167.72

5543.83894965145

-290.586427181992

-1757.70127979299

10

7.34767263035645E+22

55223150629.6233

125168933272.726

54240546975.7587

-27156.1163326908

10140.7572420768

4468.97456956941

11

1.98891948976803E+30

0

0

0

0

0

0

12

30917984100.3039

-133726467471.667

-60670683449.3631

-26002486763.62

16908.9331065445

-21759.6060221801

-7660.90393288287


^ 4. Исследование сближений астероида с планетами и Луной

В программе Galactica предусмотрена возможность определения минимального сближения Rmin астероида с небесным телом на заданном интервале T. Эти исследования были выполнены интегрированием уравнений (1) с начальными условиями, представленными в табл. 2. Интегрирование выполнялось на суперкомпьютере НКС-160 в ВЦ СО РАН, г. Новосибирск. При этом в программе Galactica использовались расширенная длина числа (34 десятичных знака) и шаг счета dT = 10-5 года. Исследования были выполнены на трех интервалах времени: 0 ÷ 100 лет (рис. 1, а), 0 ÷ -100 лет (рис. 1, б) и 0 ÷ 1000 лет (рис. 1, в).



Рис. 1. Сближение Апофиса за время T на минимальное расстояние Rmin в км с небесными телами: Марс (Ma), Земля (Ea), Луна (Mo), Венера (Ve) и Меркурий (Me); а, б – T = 1 год; в – T = 10 лет. T, cyr – время в юлианских столетиях от эпохи JD0 (30.0 ноября 2008 г.).


На графиках рис. 1 точками, соединенными жирной линией, представлены минимальные расстояния Rmin сближения астероида с телами, которые отмечены точками, объединенные горизонтальной линией. То есть, точка на линии означает минимальное расстояние, на котором за время T = 1 год астероид прошел у тела, которое отмечено точкой на горизонтальной линии в тот же момент времени. На рис. 1, а видно, что с 30.0 ноября 2008 г. в течении 100 лет будет только одно значительное сближение Апофиса с Землей (т. А) в момент TA = 0.203693547133403 столетия на расстояние RminA = 38907 км. Следующее сближение (т. В) будет также с Землей, но в момент TB = 0.583679164042455 столетия на расстояние RminB = 622231 км, которое в 16 раз больше расстояния при первом сближении. Из других тел наиболее близкое сближение имеется только с Луной (т. D) (см. рис 1, б) в момент TD= -0.106280550824626 столетия на расстоянии RminD=3545163 км.

На рассмотренных графиках рис. 1, а и рис. 1, б представлены минимальные сближения астероида с телами на отрезках T = 1 год. При интегрировании уравнений (1) на интервале времени 1000 лет (см. рис. 1, в) рассматривались минимальные сближения астероида с телами на отрезке времени T = 10 лет. На этих отрезках времени сближения с Меркурием и Марсом не проявились, так как на 10-и летних интервалах астероид к другим телам подходит ближе. Также как и на рис. 1, а имеется сближение в момент TA с Землей. Второе по величине сближение также происходит с Землей в т. Е в момент TE = 5.778503 столетий на расстоянии RminE = 74002.9 км. При этом сближении астероид проходит на расстоянии от Земли почти в два раза большем, чем в момент TA.

С целью проверки результатов, уравнения (1) были проинтегрированы за 100 лет с двойной длиной числа (17 десятичных знаков) с тем же шагом и с расширенной длиной числа с шагом dT = 10-6 года. Точность интегрирования (см. табл. 3) определяется [14] относительным изменением Mz, z-проекции момента количества движения всей Солнечной системы за 100 лет. Как видно из таблицы, Mz изменяется от -4.510-14 до 1.4710-26, т.е. на 12 порядков. В двух последних колонках табл. 3 приведены разности времен сближения астероида с Землей в т. А (см. рис. 1, а) и разности расстояний по отношению к решению 1. В решении 2, с малой длиной числа, момент сближения не изменяется, а минимальное расстояние уменьшилось на 2.7 м. В решении 3, с уменьшенным в 10 раз шагом интегрирования, произошло изменение момента сближения на -210-6 года = -1.052'. Так как это изменение меньше шага dT =110-5 решения 1 и равно двум шагам решения 3, то оно является уточнением момента сближения. В этом случае также уточнено расстояние сближения на -1.487 км. По уточненным расчетам сближение Апофиса с Землёй происходит в 21 час 44 мин 45 сек на расстояние 38905 км. Следует отметить, что графически представленные результаты на рис.1, а для решений 1 и 3 совпадают полностью. Небольшие отличия решения 2 от решений 1 и 3 имеются при Т > 0.87 столетий.

Таблица 3. Сравнение результатов сближения астероида Апофис с Землей при разных точностях интегрирования: Lnb – длина числа в десятичных знаках

№ решения

Lnb

dT, год

Mz

TAi-TA1, год

RminAi-RminA1, км

1

34

110-5

1.4710-21

0

0

2

17

110-5

-4.510-14

0

-2.710-3

3

34

110-6

1.4710-26

-210-6

-1.487


При интегрировании на интервале 1000 лет относительное изменение момента количества δMz= 1.45·10-20. Как видно из решения 1 табл. 3 эта величина превышает величину δMz при интегрировании на интервале 100 лет в 10 раз, т.е. погрешность при расширенной длине числа пропорциональна времени. Это позволяет оценить погрешность второго сближения Апофиса с Землей в TE= 578 году по результатам расчетов на интервале 100 лет решения с шагами dT = 1·10-5 года и 1·10-6 года. Через 88 лет после начала интегрирования относительная разница расстояний между Апофисом и Землей составила δR88 = 1·10-4, что приводит к погрешности в расстоянии 48.7 км в TE= 578 году.

Итак, за тысячелетний интервал времени астероид Апофис существенно сблизится только с Землей. Это произойдет в момент TA от эпохи JD0. Моменту сближения соответствует юлианский день JDA = 2462240.406075 и календарная дата 13 апреля 2029 г. в 21 час 45' времени по Гринвичу. Астероид пройдет на расстоянии 38905 км от центра Земли, т.е. на расстоянии ~6 радиусов Земли. Следующее сближение Апофиса с Землей произойдет через 578 лет от эпохи JD0, при котором астероид пройдет на расстоянии почти в два раза большем от Земли, нежели при первом сближении.

Рассчитанный момент сближения Апофиса с Землей 13 апреля 2029 г. совпадает с моментами, полученными в других работах. Например, в последней работе [1] он приводится с точностью до минуты: 21 час 45' UTC. А геоцентрическое расстояние прохождения дано в диапазоне от 5.62 до 6.3 радиуса Земли, т.е. полученное нами расстояние в 6 радиусов Земли находится в этом диапазоне. Совпадение результатов расчетов, выполненных различными методами, с одной стороны, свидетельствует о достоверности этого события. С другой стороны, эти вычисления выполнены с различающимися начальными элементами орбиты Апофиса (как уже отмечалось ранее, они отличаются в 4-5 знаке), поэтому дальнейшее уточнение элементов орбиты, по-видимому, не приведет к существенному изменению результатов сближения в 2029 г.

Что же касается сближения Апофиса с Землей в 2036 году, то, как видно из рис. 1, а, его не будет. Близкое по времени в т. F приближение Апофиса на расстояние 7.26 млн. км произойдет с Луной 5 сентября 2037 года.

^ 5. Эволюция орбиты Апофиса

При интегрировании уравнений движения (1) на интервале –1 столетие ≤ T ≤ 1 столетие координаты и скорости тел через каждый год записываются в файл, т.е. всего 200 файлов на этом интервале времени. Затем по данным в каждом файле уравнения (1) снова интегрировались за интервал времени, равный периоду обращения Апофиса, а координаты и скорости астероида и Солнца сохранялись в новом файле. По этим данным с помощью программы DefTra определялись параметры орбиты Апофиса относительно Солнца в экваториальной системе координат. Такие вычисления выполнялись для каждого из 200 файлов. Они проводятся в автоматизированном режиме под управлением программы PaOrb. После этого угловые параметры орбиты были пересчитаны в эклиптическую систему координат (см. рис. 2).



Рис. 2. Эволюция параметров орбиты Апофиса под воздействием планет, Луны и Солнца на интервале -100 лет ÷ +100 лет от эпохи 30.0 ноября 2008 г.: 1 – по результатам интегрировании уравнений движения (1); 2 – начальные значения согласно табл. 1. Угловые величины: , ie, ωe – даны в градусах, большая полуось a – в а.е., а период обращения P – в днях.


Как видно из рис. 2, эксцентриситет е орбиты Апофиса изменяется неравномерно. Имеются скачки или разрывы эксцентриситета. Один из значительных разрывов наблюдается в момент TA, когда Апофис сближается с Землей на самое малое расстояние. Второй существенный скачок эксцентриситета происходит при сближении с Землей в момент TB.

Долгота  восходящего узла менее подвержена разрывам и, как видно из рис. 2, практически монотонно уменьшается. Остальные элементы орбиты ie, ωe, a и P имеют значительные разрывы в момент (TA) самого близкого прохождения Апофиса у Земли.

На графиках рис. 2 штриховой линией нанесены значения элементов орбиты в начальный момент времени, которые представлены в табл. 1. Как видно из графиков, они совпадают с элементами орбиты, полученными в результате интегрирования уравнений (1), в момент T=0: относительное отличие параметров e, , ie, ωe, a и P от начальных значений (в табл. 1) равно 9.410-6, -1.110-6, 3.710-6, -8.510-6, 1.710-5 и 3.110-5, соответственно. Это совпадение свидетельствует о достоверности выполненных вычислений на всех этапах: определение начальных условий, интегрирование уравнений, определение параметров орбит и преобразования между различными системами координат.

Кроме используемых нами неупрощенных дифференциальных уравнений (1) движения небесных тел используются, как упоминалось во Введении, также другие уравнения. В уравнениях возмущенного движения, как известно [20], используются элементы орбиты. Поэтому такие уравнения будут давать существенные погрешности в представленных на рис. 2 случаях разрывов параметров орбиты. Существуют также другие методы решения дифференциальных уравнений, в том числе с разложением в ряды по элементам орбиты, или с использованием разделенных разностей. Как уже отмечалось во Введении, они чувствительны к различным резонансным явлениям и резким изменениям орбиты при сближении тел. Интегрируемые нами уравнения (1) и использованный метод (2) не имеют отмеченных недостатков. Это дает основания полагать, что полученные в настоящей работе результаты не претерпят существенных изменений в дальнейшем.

^ 6. Влияние начальных условий.

С целью проверки влияния начальных условий (НУ) на траекторию Апофиса уравнения (1) были проинтегрированы на интервале 100 лет еще с двумя вариантами начальных условий. Второй вариант НУ задан на 04.0 января 2010 г. (см. табл. 1). Они взяты из базы малых планет [18] и соответствуют решению с номером JPL sol. 144, полученном Steven R.Chesley 23 октября 2009 г. На рис. 3 представлены результаты двух решений с различными НУ. Линией 1 показано изменение во времени расстояния R между Апофисом и Землей за 100 лет при первом варианте НУ. Как видно из графика, расстояние R изменяется колебательно, при этом можно выделить два периода: короткий период TR1 = 0.87 года и долгий период TR2. Амплитуда короткого периода Ra1 = 29.3 млн. км, а долгого – Ra2 = 117.6 млн. км. Величина долгого периода до T ~ 70 лет равна TR20 = 7.8 лет, а далее немного увеличивается. После сближения 13 апреля 2029 г. (т. A на рис. 3) немного увеличивается амплитуда вторых колебаний. Как короткие, так и долгие колебания не являются регулярными, поэтому выше приведены их средние характеристики.

Отметим также второе по минимальному расстоянию сближения Апофиса с Землей на интервале 100 лет. Оно происходит в момент TF1 = 58.37 г (точка F1 на рис. 3) на расстояние RF1 = 622 тыс. км. В дату 13 апреля 2036 г. (т. H на рис. 3) Апофис проходит у Земли на расстоянии RH1 = 86 млн. км. Вышеотмеченные характеристики решения представлены в табл. 4.



Рис 3. Эволюция расстояния R между Апофисом и Землей за 100 лет. Влияние начальных условий (НУ): 1 – НУ от 30.0 ноября 2008 г.; 2 – НУ от 04.0 января 2010 г. Календарные даты сближений в точках: A – 13 апреля 2029 г.; F1 – 13 апреля 2067 г.; F2 – 14 апреля 2080 г.


Линией 2 представлено решение со вторым вариантом НУ при шаге интегрирования dT = 1·10-5 года. Момент сближения совпал с точностью до 1 мин, а расстояние сближения со вторыми НУ стало RA2 = 37886 км, т.е. уменьшилось на 1021 км. Для уточнения этих параметров уравнения (1) вблизи точки сближения были проинтегрированы с шагом dT = 1·10-6 года. По уточненным расчетам Апофис сближается с Землей в 21 час 44 мин 53 сек на расстояние RA2 = 37880 км. Как видно из табл. 4, этот момент сближения отличается от момента сближения при первых НУ на 8 сек. Так как при шаге dT = 1·10-6 года точность определения времени составляет 16 сек, то отсюда следует, что моменты сближения в пределах точности их вычисления совпадают.

Короткие и долгие колебания при двух вариантах НУ также совпали до момента сближения. После сближения в т. A период долгих колебаний уменьшился до TR22 =7.15 года, т.е. стал меньше, чем период TR20 при первом варианте НУ. Второе сближение на интервале 100 лет происходит в момент TF2 = 70.28 лет на расстоянии RF2 =1.663 млн. км. В 2036 г (т. H) Апофис проходит на расстоянии RH2 = 43.8 млн. км.

При втором варианте начальных условий на 04.0 января 2010 г. по сравнении с первым вариантом изменяются НУ как Апофиса, так и воздействующих тел. Чтобы выявить влияние погрешностей НУ только Апофиса, третий вариант НУ задан (см. табл. 1), как и первый, на 30.0 ноября 2008 г., но НУ Апофиса вычислены в системе Horizons согласно решению с номером JPL sol. 144. Как следует из табл. 1, из шести элементов орбиты e, a, ie, , ωe и M отличия трех: ie,  и ωe от аналогичных элементов первого варианта НУ составляют 2.9, 1.6 и 1.5 соответствующих неопределенностей . Отличие остальных элементов не превышает их неопределенностей.


Таблица 4. Влияние начальных условий на результаты интегрирования уравнений (1) программой Galactica и уравнений движения Апофиса системой Horizons: TimeA и RminA – момент времени и расстояние сближения Апофиса с Землей 13 апреля 2029 г., соответственно; RH – расстояние прохождения Апофиса у Земли 13 апреля 2036 г.; TF и RF – время и расстояние второго сближения (т. F на рис. 3).


Параметры

Решения при разных вариантах начальных условий

Galactica

Horizons

1

2

3

1

2

3

30.11.2008

JPL sol.140

04.01.2010

JPL sol.144

30.11.2008

JPL sol.144

18.07.2006

JPL sol.144

30.11.2008

JPL sol.140

04.01.2010

JPL sol.144

TimeA

21:44:45

21:44:53

21:44:45

21:46:47

21:45:47

21:44:45

RminA, км

38905

37880

38813

38068

38161

38068

RH, млн. км

86.0

43.8

81.9

51.9

55.9

51.8

TF, .юл. ст.

от 30.11.08

0.5837

0.7138

0.6537

0.4237

0.9437

0.4238

RF, тыс. км

622

1663

585

1515

684

1541


При третьем варианте НУ при шаге интегрирования dT = 1·10-5 года момент сближения совпал с таковым при первом варианте НУ. Расстояние сближения стало RA3 = 38814 км, т.е. уменьшилось на 93 км. Для уточнения этих параметров уравнения (1) вблизи точки сближения были также проинтегрированы с шагом dT = 1·10-6 года. По уточненным расчетам при третьем варианте НУ Апофис сближается с Землей в 21 час 44 мин 45 сек на расстояние RA3 = 38813 км. Эти и остальные характеристики решения представлены в табл. 4. По сравнению с первым вариантом НУ видно, что немного изменяется расстояние сближения в 2036 г. и параметры второго сближения в т. F1. Однако отличия результатов первого варианта с третьим значительно меньшие, чем первого со вторым.

Во втором варианте изменение положений и скоростей воздействующих тел с 30 ноября 2008 г. по 04.01.2010 г. рассчитано по DE406, а в третьем варианте – по программе “Galactica”. НУ для Апофиса в двух вариантах определены согласно одного и того решения JPL sol. 144. Как видно из табл. 4, момент сближения в этих решениях отличается на 8 сек, а расстояние сближения на 933 км. Также в большей степени отличаются другие результаты третьего решения со вторым, по сравнению третьего решения с первым. Это свидетельствует, что отличия НУ для Апофиса менее существенны по сравнению с отличиями результатов расчетов по двум программам: Galacticaи DE406 ( или Horizons).

Такие же исследования по влиянию начальных условий мы провели с интегратором NASA. В системе Horizons (the JPL Horizons On-Line Ephemeris System, руководство смотри на сайте http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons_doc) предоставлена возможность вычислять движение астероида по той же стандартной динамической модели (SDM), по которой выполнены расчеты в работе [1]. Кроме рассмотренных двух НУ мы использовали еще одни НУ на дату 12 июля 2006 г. Характеристики и основные результаты всех решений представлены в табл. 4. Время сближения 13 апреля 2029 г. изменяется в пределах 2-х минут, а расстояние находится вблизи 38000 км. Расстояние сближения 13 апреля 2036 г. колеблется от 52 до 56 млн. км. Характеристики второго за 100 лет сближения изменяются примерно в тех же пределах, что и для решений по программе Galactica. Отмеченные выше другие закономерности о влиянии НУ также повторились и для интегратора NASA.