Реферат: Проект на тему «соразмерность или вновь о золотом сечении»

Проект на тему

«СОРАЗМЕРНОСТЬ

или

ВНОВЬ О ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ»


Ученицы МОУСОШ №2:

Лошкарева Ульяна,

Гатауллина Эльвира

Руководитель: Гатауллина Фаузия Габдрауфовна, учитель математики МОУСОШ №2


Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них – теорема Пифагора, другое-

деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

И. Кеплер


1.Литературный обзор

1.1.Золотое сечение и числа Фибоначчи

Отрезок можно разделить на две части бесконечным множеством способов. В частности, можно разделить так, чтобы отношение всего отрезка к его большей части, равнялось отношению большей части к меньшей.

Пусть длина некоторого отрезка равна а, длина его большей части равна х, тогда а - х - длина меньшей части отрезка. Составим отношение согласно приведенному выше определению: а/х =х/(а - х) такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

В пропорции, как известно произведение крайних членов равно произведение средних, поэтому от пропорции а/х = х/(а-х) перейдем к равенству а(а - х) = х. Отсюда получаем квадратное уравнение х+ ах - а= 0.Длина отрезка х выражается положительным числом, поэтому из двух корней следует выбрать положительный: х = (-а +)/2,или х = ( - 1/2) ∙ 2. Число обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого это число встречается многократно. Число иррациональное, с восьмью десятичными знаками, 0.61803398… Но в практике пользуются числом , взятым с точностью или до тысячных 0.618, или до сотых 0.61, или до десятых 0.6.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему (рис.1).

a : b = b : c или с : b = b : а.



Рисунок 1. Деление отрезка в среднем и крайнем отношении


Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто исполь­зовалось в искусстве, встречается оно и в живой природе, что дало повод математику XVI в., другу известного художника Леонардо да Винчи монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божест­венной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употреблял много хвалебных слов, но в истории утвердились два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится (Таб. 1).


^ Таблица 1. Ряд Фибоначчи

Месяцы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

и т.д.

Пары кроликов

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

и т.д.


Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д..

Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: например, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...


1.2.Золотое сечение в музыке

Трудно найти человека, не знающего, что такое скрипка. Создать любой музыкальный инструмент непросто, но почему - то именно о скрипке рассказывают множество легенд, что из этого, правда, что вымысел – сказать трудно, но точно можно сказать, что изготовление хорошей скрипки – большое искусство. В этом искусстве выдающихся успехов достигли Антонио Страдивари, Амати, Гварнери, и по сей день звучание их инструментов является образцом, превзойти который не удалось еще никому.

Можно предположить, что такое звучание происходит благодаря закону золотого сечения, которое лежит в построение скрипке Антонио Страдивари (рис. 3).

Размеры этой скрипки указаны в таблице 2.


^ Таблица 2. Размеры скрипки Страдивари

Длина корпуса

355 мм


Ширина верхнего овала

167,5 мм


Ширина нижнего овала

207 мм


Ширина средней части

109 мм





^ Рисунок 3. Скрипка Страдивари с точки зрения «золотого сечения»


Но на основе золотого сечения построена не только скрипка Антонио Страдивари, но и многие произведения талантливых и выдающихся композиторов. Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято искусствоведом Л.Сабанеевым. Еще в 1925 году он, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения (Сабанеев Л.Л., Воспоминания о России, - М., 2004 – 316с.). По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. У Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.  

Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э.К.Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке (Титов Елена.http://goldsech.narod.ru/mus.html). Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И.С.Баха, ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона - закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения». Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого. Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения. Небосвод Вселенной разделен тоже на 88 секторов, которые в свою очередь распределены между 12 уровнями - от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой. И в ней отражаются извечные нерушимые законы мироздания. Пифагор писал о гармонии, музыке трех сфер - звезд (включая планеты), Луны и Солнца, которые соотносились с тремя музыкальными интервалами: квартой (3:4), квинтой (2:3) и октавой (1:2). Они-то и легли в основу настройки четырех струн орфеевой лиры до-фа-сольдо. Особенно пифагорейцы чтили число 10 - сумму первых натуральных чисел 1, 2, 3 и 4, которые графически представлялись с помощью точек магического (равнобедренного) треугольника - символа, на котором приносилась их клятва.
В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения (Елена Титова.http://goldsech.narod.ru/mus.html). По мнению Л.Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико. Их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.
Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии.
Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер. По мнению Л.Мазеля, это входило в намерения авторов, например, при сочинении скерцо, рондообразных финалов(Елена Титова.http://goldsech.narod.ru/mus.html).


^ 1.3.Ритмы стихосложения и золотое сечение

Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

Переходя к примерам золотого сечения в литературе, нельзя не остановить своего внимания на творчестве замечательных и талантливых русских поэтов: А.С.Пушкина и М.Ю.Лермонтова. Начнем с величины стихотворения, то есть количества строк в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось это не так. Н.Васютинский (Н.А.Васютинский. Золотая пропорция, - М.,1990 – 365с.) провел анализ стихотворения А.С.Пушкина и показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно, оказалось, что поэт явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).

Последние исследования показали, что закономерности золотой пропорции и чисел Фибоначчи «буквально пронизывают поэзию Пушкина, свидетельствуя, с одной стороны, о высокой гармоничности стихотворных произведений, а с другой - о его гениальности с тончайшей интуицией».

Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник" (Пушкин А.С. ,Полное собрание сочинений, 10 т. – М., 1963. – Т.3. 558с.):

Картину раз высматривал сапожник,
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво ...

А эта грудь, не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
"Суди, дружок, не выше сапога!"

^ Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах!


Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права..." состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк (Пушкин А.С., Полное собрание сочинений, 10 т. – М., 1963. – Т.3. 558с.):

Не дорого ценю я громкие права,
От коих не одна кружится голова.
Я не ропщу о том, что отказали боги
Мне в сладкой участи оспаривать налоги
Или мешать царям друг с другом воевать;
И мало горя мне, свободно ли печать
Морочит олухов, иль чуткая цензура
В журнальных замыслах стесняет балагура.
Все это, видите ль, слова, слова, слова.
Иные, лучшие, мне дороги права:
Иная, лучшая, потребна мне свобода:
Зависеть от царя, зависеть от народа -
Не все ли нам равно? Бог с ними.



Никому
Отчета не давать, себе лишь самому
Служить и угождать; для власти, для ливреи
Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;
По прихоти своей скитаться здесь и там,
Дивясь божественным природы красотам,
И пред созданьями искусств и вдохновенья
Трепеща радостно в восторгах умиленья,
Вот счастье! Вот права ...


Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции.

Представляет несомненный интерес анализ романа «Евгений Онегин», сделанный Н. Васютинским (Н.В.Васютинский. Золотое сечение, -М.,1990 – 365с.). Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!(Пушкин А.С., Полное собрание сочинение, 10 т. – М.,1964. – Т.5. 638с.)

Н. Васютинский констатирует:

"Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!"(Н.В.Васютинский. Золотое сечение, - М., 1990 – 365с.).

Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром..."), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением (Лермонтов М.Ю. Собрание сочинений: В 4 т. – М., 1964. – Т.1. 755с.).

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну, ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя).

Многие исследователи поэмы Шота Руставели "Витязь в тигровой шкуре" отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха. Эти свойства поэмы грузинский ученый академик Г.В. Церетели относит за счет сознательного использования поэтом золотого сечения, как в формировании формы поэмы, так и в построении ее стихов.

Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на два сегмента двух видов: А - полустишие с равными сегментами и четным количеством слогов (4+4); В - полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции.

Установлено, что в поэме Руставели из 1587 строф больше половины (863) построены по принципу золотого сечения.

Драматическое произведение В.Шекспира «Гамлет» построено по принципу золотого сечения (Шекспир В., Гамлет, - М., 2006 – 366с.).

Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.


^ 1.4.Золотое сечение в геометрическом анализе классической литературы

Проведем геометрический анализ произведения Чехова «Шуточка». Содержание рассказа по-чеховски просто и непритязательно – вечная тема любви. Гимназист любит, а может, и не любит гимназистку и шепчет ей на ухо заветные слова: «Я люблю вас, Надя!» Любовь их, как водится, распалась, прошли годы, но зрелая Надя, мать троих детей, все еще вспоминает ласковый шепот: «Я люблю вас, Наденька!». (Чехов А.П., Шуточка, - М., 2004–368с.).
Рассказ распадается на две части. Первую, мажорную часть, когда беззаботные гимназисты катаются на санках, можно назвать одним словом «вместе». Вторую, чуть грустную часть, в которой юные друзья расстаются, озаглавим «одни». Эти две части заключают в себе основную антитезу или семантическую антисимметрию рассказа. Какова морфология этих частей?
Всего в рассказе 163 строки; в первой части – 101, а во второй – 62. Неважно, по какому изданию мы подсчитываем число строк. Важно не абсолютное число строк, а их отношение, которое для всех изданий будет одним и тем же. И это отношение в рассказе поразительно точно выдержано в золотой пропорции: 163/101 = 1,614 ( = 1,618, и значит относительная ошибка = 0,25%!).
Композиция «шуточки» состоящей из 163 строк, настолько точна, что снова всплывает все тот же вопрос: неужели писатель рассчитывает на бумаге пропорции своего произведения? Конечно, лучше всего этот вопрос адресовать самому писателю. Но люди искусства предпочитают уходить от ответа на подобные вопросы, хотя и признаются: после долгих (а часто и мучительных) раздумий композиция произведения сама «приходит» к художнику, разумеется, без всяких математических расчетов.


^ 1.5.Проявление золотого сечения в советском киноискусстве

В наше время родился новый вид искусства - кино, вобравший в себя драматургию действия, живопись, музыку. В выдающихся произведениях киноискусства правомерно искать проявления золотого сечения. Первым это сделал создатель шедевра мирового кино "Броненосец Потемкин" кинорежиссер Сергей Эйзенштейн, он искусственно построил фильм по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный. Как отмечает сам Эйзенштейн, красный флаг на мачте восставшего броненосца (точка апогея фильма) взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма.

Лучший фильм по признанию Американской Киноакадемии (1926) признан «одним из лучших» — в 1954 году, признан первым в числе 12-ти лучших фильмов всех времён и народов по результатам международного опроса критиков в Брюсселе в 1958 году (110 голосов из 117); первый среди ста лучших фильмов по опросу киноведов мира (1978); завоевал приз на всемирной выставке в Париже (1926).

Другим примером использования правила «Золотого сечения» в киноискусстве — расположение основных компонентов кадра в особых точках — «зрительных центрах».




^ Рисунок 2. Зрительные центры кадра

Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости. В ХХ веке при обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов - например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение, как оптимальное, и считает его пропорции «слишком вытянутыми».


^ 1.6.Пропорции в архитектуре

В архитектуре тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Гармоничное единство этих начал помогает создавать памятники, совершенство которых не подвластно времени. Египетские пирамиды, греческий Акрополь, римские акведуки, таинственные средневековые замки, восточные мечети и минареты, кружево готических соборов — яркие свидетельства мастерства ремесленника, вдохновения художника, логики ученого. Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.


^ 1.6.1.Пирамида Хеопса

И действительно, пропорции пирамиды Хеопса (фото 1), храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Почему из всех геометрических тел именно пирамиду выбрали древнеегипетские зодчие для того, чтобы в веках прославить своих фараонов? Скорее всего, причина кроется в том, что такая конструкция — одна из самых устойчивых. Ведь с увеличением высоты пирамиды масса ее верхней части уменьшается, а это — главный принцип надежности постройки. В пирамидах чувствуется надежность и устремленность ввысь. Так и должно было быть. Они служили символами величия и могущества фараонов, свидетельствами богатства страны. Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

Многие исследователи, пытавшиеся измерить и проанализировать размеры пирамиды, совершали методическую ошибку: использовали метрическую систему мер. Если учесть уровень знаний тех времен, психологию создания пирамиды, становится ясно, что египтяне использовали три единицы дины: локоть(466мм), равнявшийся семи ладоням(66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм). Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.

Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и было определен в 500 локтей. Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1м2 нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.



Рисунок 4.Строение пирамиды Хеопса

Не исключено, что основным, исходным элементом, определяющим главные пропорции пирамиды, является треугольник OMN в ее осевом сечении. Установлено, что отношение катетов OM и MN равно отношению гипотенузы ON к катету OM. Причем ON : MN=Ф (рис.4).

Если мы примем меньший катет MN за х, то из отношения ON : x = Ф получим, что ON = Ф ∙ x. Тогда пропорция ON = Ф ∙ х. тогда пропорция ON : MN = ON: OM дает: OM : x = (Ф ∙ x) : OM, или OM= Фх, т.е. OM = . Тогда: ON = == ==Фх.



Фото 1. Пирамида Хеопса


1.6.2.Парфенон

Золотое сечение многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона (Рис 6).

Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим далеким предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию.


Рис.5.Поликлет «Дорифор» Yв.до н.э.






Рис.6.Парфенон


Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за 1 ширину торцевого фасада здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно , между третьей и шестой — , между четвертой и пятой — , Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получим прогрессию: 1, , , , , .

Здесь поучительно вспомнить о пропорциях человеческого тела отмеченных ранее. Сравнивая Парфенон и фигуру человека (рис 5), видим, что отношение торцевой длины здания к его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части тела. Высота крыши Парфенона относится к расстояний между крышей и капителями колонн, как :, т.е. так же, как отрезок ВС к отрезку ЕС на рис.5.

Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творения древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.


^ 1.6.3.Новые архитектурные формы современного строительства

Пропорции Покровского собора (фото 2, рис.7) на Красной площади в Москве (более известного как храм Василия Блаженного) определяются восемью членами ряда золотого сечения: 1, d, d2 … d7. Многие члены этого ряда повторяются в затейливых элементах храма многократно, причем d + d2 = 1, d2 + d3 = d, d3 + d4 = d2, d4 + d5 = d3 и т. д.



Фото 2. Собор В. Блаженного Рис.7.Собор В.Блаженного с точки зрения «золотого

соотношения

Город Томск издавна славится не только как город многих вузов, но имеет еще одно имя – «Сибирские Афины». Он прекрасен своими старинными домами. Великолепные строения деревянной архитектуры, учебные корпуса томских университетов имеют прекрасные гармоничные пропорции (таб.2). Многие здания созданы в XIX столетии на деньги томских меценатов – купцов, которые заботились о том, чтобы их имена остались в памяти потомков, о красоте и гармонии в строениях города Томска.


^ Таблица 2. Пропорции некоторых томских зданий

Объект исследования

Общая высота, м

Ширина, м

Пропорция

ТПУ главный корпус

7,8

5,2

0,67

Мэрия г.Томска

10,1

6,6

0,65

Администрация Томской обл.

12,3

7,6

0,62



^ 1.7.Золотое сечение у мастеров живописи

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости (Рис.8).




^ Рисунок 8. Зрительные центры картины


Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.


^ 1.7.1.Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда”

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на" золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника)



Леонардо да Винчи «Джоконда»



1.7.2.Золотое сечение в картинах русских художников



Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском»


В картине Н.Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», фигура Пушкина  поставлена художником слева на линии золотого сечения. Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.

Широко использовал золотое сечение в своем творчестве талантливый русский художник Константин Васильев, рано ушедший из жизни. Еще будучи студентом Казанского художественного училища, он впервые услышал о "золотом сечении". И с тех пор, приступая к каждой своей работе, он всегда начинал с того, что мысленно пытался определить на холсте ту основную точку, куда должны были стягиваться, как к невидимому магниту, все сюжетные линии картины. Ярким примером картины, построенной «по золотому сечению», является картина «У окна».



^ К.Васильев «У окна
1.10. Гармонические частоты ритмов

Равномерно бьется сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Предсердия выполняют роль резервуара, принимающего кровь из вен, а желудочки -  насоса, ритмически перекачивающего кровь в артерии. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здорового молодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического ) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем1,6,т.е.близко к золотой пропорции.
   Сердце бьется непрерывно – от рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. А так как золотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в живой природе, естественно предположить, что и в работе сердца возможно проявление этого критерия. Нужны были глубокие исследования, и они были проведены советским ученым В.Д.Цветковым.
При работе сердца возникает электрический ток, который можно уловить специальным прибором и получить кривую – электрокардиограмму (ЭКГ) с характерными зубцами, отражающими различные циклы работы сердца. На ЭКГ человека выделяются два участка различной длительности, соответствующие систолической и диастолической деятельности сердца. В.Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382 : 0,618 : 1 , т.е. в полном  соответствии с золотой пропорцией. Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, для собак – 94 , что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя (http://www.goldenmuseum.com). Далее В.Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382  , а диастолическое – 0,618 от среднего давления крови в аорте. Доля объема левого желудочка при ударном выбросе крови по отношению к конечно диастолическому объему у десяти видов млекопитающих в состоянии покоя составляет 0,37-0,4   , что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.
Мозг человека представляет собой сложнейшую самонастраивающуюся систему, основным назначение которой является регуляция деятельности различных органов человеческого тела, осуществление связи человека с окружающей средой. В составе мозга  различают серое и белое вещества. Серое вещество представляет собой скопление нервных клеток, белое – нервных волокон, отростков этих клеток. Нервная клетка с отростком называется нейроном. Нейроны мозга образуют разнообразные сети, взаимодействующие с помощью электрических сигналов.
Конфигурации нейронных сетей представляют собой колебательные электрические цепи. Различным состояниям мозга соответствуют электрические колебания с разными частотами.
Многочисленные исследования показали, что в мозгу взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменение  активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний.
Состоянию спокойного бодрствования отвечает наиболее устойчивый a- ритм с частотами колебаний преимущественно от 8 до 13 герц. Это основной ритм электрических колебаний мозга, он появляется в детском возрасте и постепенно с возрастом увеличивается с 2-3  до 8-13 гц в возрасте 8-16 лет. Наиболее медленные колебания с частотой 0,5 –4 гц у D- ритма, характерно для состояния глубокого сна. Для  D- ритма верхняя граничная частота достаточно стабильна и равна 3-4 гц, а пределы нижней граничной частоты изменяются от 0,2 до 1,5 гц.
При появлении неприятности или опасности в мозгу доминирует q - ритм с частотами от 4-7 до 6-8 (по данным различных авторов). Советские ученые-братья    Я.и А. Соколовы считают, что наиболее устойчивы для    q- ритма граничные частоты колебаний 4 - 7 гц.  Умственной  работе  отвечает  b- ритм  с  граничными  частотами 14-35гц. (по другим данным, диапазон частот этого ритма более широк – от 14 до 100гц). Эмоциональному возбуждению мозга соответствует g- ритм с граничными частотами 35-55 гц. Нетрудно заметить, что граничные частоты ритмов почти точно отвечают числам Фибоначчи. Отклонения граничных частот от чисел Фибоначчи находятся в пределах точности эксперимента. Соколовы считают, что существуют еще не обнаруженные опытами r- ритм и s- ритм. Расчеты показали, что у s- ритма пограничные частоты 118 и 225 гц, а у r- ритма -  55 и 118 гц. И здесь очевидна близость чисел Фибоначчи.
Исследования в этой области только начинаются, впереди -  открытие самых сокровенных тайн организации и работы мозга человека, закономерности его эволюции.


2.Методика

2.1. Методика

С октября по декабрь 2007 года мы провели два психологических опыта. В первом опыте приняли участие люди жители города Стрежевого разного возраста, а в другом мы привлекли учеников седьмого класса нашей школы. В первом исследовании участвовало 80 человек. Из них 20 - дошкольники (детский сад «Ромашка»), 19 человек - учащиеся начальной школы (3 класс МОУ СОШ № 2), 22 человек - учащиеся старших классов (10-11 класс МОУ СОШ № 2) и 19 человек от 20 до 60 лет (жители г.Стрежевого). Им были предложены следующие задания:

1.Постройте прямоугольник, такой, какой вам нравится.

2.Постройте произвольный отрезок и разделите его произвольно на две части.

3.Постройте произвольный треугольник.

С учащимися 7 класса был проведен второй эксперимент (фото 4). Были вырезаны 3 прямоугольника с одинаковой площадью, но с различным соотношением сторон, и попросили выбрать тот из них, который кажется им наиболее «приятным для глаз».




^ Фото 4. 7 а класс. А этот прямоугольник лучше всех!


Кроме психологических опытов, нами в декабре 2007 года было проведено следующее исследование. Были рассмотрены здания города Стрежевого с точки зрения поиска «божественной пропорции». Всего рассмотрено 7 зданий, как дер