Реферат: Даже определение длины требует абсолютно жесткого мерного стержня, который, однако, вполне может оказаться нежестким

230







Даже определение длины требует абсолютно жесткого мерного стержня, который, однако, вполне может оказаться нежестким. Изменение температуры в какой-то части стержня может при­вести к неконтролируемому изменению его размеров, о котором мы даже не подозреваем. Аналогичным изменениям подвержены так­же площадь и объем.

Созданная человеком математическая теория физического мира — это не описание явлений в том виде, в каком мы их вос­принимаем, а некая символическая конструкция. Математика, сбросившая с себя оковы чувственного опыта, занимается не описанием реальности, а строит модели реальности, предназначен­ные для объяснения, вычисления и предсказания.

Если примерно до середины XIX в. математический порядок и гармония рассматривались как неотъемлемые черты плана, положенного в основу мироздания, и математики стремились раскрыть этот план, то, согласно более новой точке зрения, к которой они пришли на основе собственных творений, математикам отводится роль своего рода законодателей, решающих, какими должны быть законы мира. Они принимают любой план или любой порядок, позволяющий им описывать ограниченные классы явле­ний, которые по необъяснимым причинам продолжают подчи­няться выведенным ими законам. Означает ли последнее обстоя­тельство, что существует некий окончательный, или предельный, закон и порядок, к которым математики неуклонно приближаются? Полного ответа на этот вопрос нет, тем не менее вера в математи­ческую первооснову Вселенной должна уступить место сомнению. Разве стихийные бедствия — землетрясения, падение метеоритов на Землю, извержения вулканов, эпидемии,— не разрешенные вопросы космогонии, наше неведение относительно того, что лежит за пределами ближайшей окрестности в нашей собственной Галактике, не говоря уже о множестве других проблем, стоящих перед человечеством,— разве все это не отрицает даже отдаленное подобие существования высшего порядка во Вселенной? То, чего нам удалось достичь с помощью математического описания и предсказания, напоминает удачу человека, случайно нашедшего стодолларовую купюру.

История физики усеяна обломками отвергнутых теорий. Воскресающие время от времени надежды на то, что всю слож­ность природы удастся «вогнать» в некую конечную систему законов, по-видимому, малооправданны. Было бы безрассудно полагать, будто эти уроки прошлого не повторятся в будущем и что существующие ныне теории выдержат всесокрушающий напор времени и опыта. Наши столь тщательно возведенные системы — всего лишь более или менее полезные модели того, что мы временно принимаем за истину. Ни одна из математических теорий не может претендовать на абсолютное постижение реаль-

ности в самой ее сути. Утверждение о том, что физика объективна, тогда как политика и поэзия не объективны, лишено основания. И физика, и поэзия, и политика стремятся к постижению истины, и в этом отношении физик не имеет ни малейших преимуществ перед политиком или поэтом. Однако ничто не может соперничать с физикой в точности и предсказании. В окружающем нас мире существует нечто такое, что математическая теория способна «схватить» и сохранить.

Наша наука о природе — это наши представления о ней и описание ее. Наука стоит между человечеством и природой. Но в свете квантовой теории элементарные частицы не реальны в том смысле, как реальны камни или деревья, а представляются абстракциями, почерпнутыми из реальных результатов наблюде­ний. Но коль скоро невозможно приписать элементарным части­цам существование в самом «подлинном» смысле, рассматри­вать материю как подлинно реальную становится труднее.

Хотя Блез Паскаль (1623—1662) был убежден в истинности математических законов природы, он все же так охарактеризовал применимость математики: «Истина — слишком тонкая материя, а наши инструменты слишком тупы, чтобы ими можно было при­коснуться к истине, не повредив ее. Достигнув истины, они сминают ее и отклоняются в сторону, скорее ложную, нежели истинную» ([13], с. 374).

Другие пошли еще дальше. П. У. Бриджмен в книге «Логика современной физики» (1946) утверждал: «Чистейший трюизм, истинность которого становится очевидной при самом поверхност­ном взгляде, состоит в том, что математика изобретена человеком». Но в таком случае математика, как и все, созданное человеком, подвержена ошибкам. Наши достижения в физической теории сводятся к набору математических соотношений, согласующихся с наблюдаемыми явлениями, и предсказаниям, касающимся физи­ческих явлений, часть которых, как, например, электромагнитное излучение, недоступна непосредственному наблюдению. Абстракт­ные рассуждения позволяют нам выйти за рамки представлений, основанных на чувственном восприятии, хотя это не означает, что мы в состоянии полностью освободиться от своего чувственного опыта.

Различные рассуждения на тему о том, в какой степени мате­матика отражает и представляет истину о реальном физическом мире, следует отличать от многочисленных утверждений об истин­ности самой математики и ее объективной реальности, но не обязательно касающихся отношения математики к реальному миру. Например, Платон в диалоге «Meнон» утверждал, что математические конструкции не зависят от опыта и даже пред­шествуют ему. В существовании математики Платон видел в действительности доказательство существования бессмертной













души, ибо, поскольку теоремы невозможно получить из опыта, они должны сопровождать душу при возвращении к истинному бытию. Формулировка новой теоремы по Платону — это акт воспроизве­дения того, что хранилось в памяти.

Примерно до начала XIX в. подобных взглядов придержива­лись практически все математики, а некоторые представители математической науки разделяли их и позднее. Уильям Р. Гамиль­тон (1805—1865) —хотя именно он изобрел тот самый объект (кватернионы), который поставил под сомнение истинность ариф­метики,— в своих взглядах во многом сходился с Декартом:

Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являются науками чистого разума, не подкрепляемыми опытом и не получающими от него помощи, изолированными или могущими быть изолированными от всех внешних и случайных явлений.., Вместе с тем это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколько-нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявления человеческого начала. ( [13], с. 371.)

Один из ведущих алгебраистов XIX в. Артур Кэли, выступая с докладом перед Британской ассоциацией поощрения наук (1883), заявил, что «мы... обладаем априорными познаниями, не завися­щими не только от того или иного опыта, но абсолютно от всякого опыта... Эти познания составляют вклад нашего разума в интер­претацию опыта».

В то время как одни ученые, подобно Гамильтону и Кэли, считали математику неотъемлемой частью человеческого разума, другим она представлялась существующей в мире вне человека. До начала XX в. существование единственного объективного мира математических истин, не зависящих от человека, ни у кого не вызвало сомнений, и это вполне понятно. Даже Гаусс, первым оценивший значение неевклидовой геометрии, был убежден в истинности понятий числа и математического анализа. Один из выдающихся французских математиков XX в. Жак Адамар (1865- 1963) в книге «Исследование психологии процесса изобре­тения в области математики» утверждал: «Хотя Истина еще не известна нам, она предсусцествует и неизбежно подсказывает нам путь, которым мы должны следовать». На Международном математическом конгрессе в Болонье (1928) Давид Гильберт вопрошал: «Что было бы с истинностью наших знаний вообще и как обстояло бы дело с существованием и прогрессом науки, если бы даже в математике не было достоверной истины?» ( [27], с. 388).

Примерно то же мнение выразил в своей книге «Апология

математика» выдающийся аналитик Джефри Г. Харди (1877-

1947): «Я убежден в том, что математическая реальность лежит вн° нас и наша роль заключается в том, чтобы открывать или

наблюдать ее, а теоремы, которые мы доказываем и столь пышно именуем нашими «творениями», в действительности представляют просто записи наших наблюдений». Математики только открывают понятия и их свойства.

Некоторые из приведенных выше высказываний принадлежат мыслителям XX в., не уделявшим особого внимания основаниям математики или вообще не занимавшимся ими. Удивительно, что даже по утверждениям признанных лидеров в области оснований математики, таких, как Давид Гильберт, Алонзо Черч и члены группы Бурбаки (см. гл. XII), математические понятия и свойства существуют в некотором смысле объективно и познаваемы чело­веческим разумом. Таким образом, математическую истину откры­вают, а не изобретают; поэтому то, что изменяется и эволюцио­нирует, есть не математика, а лишь человеческое знание мате­матики.

Все эти рассуждения о существовании объективного единого «здания» математики ничего не говорят об истинном «место­пребывании» ее. Все они сводятся к тому, что эта наука существует в некоем «сверхчеловеческом мире», каком-то воздушном замке, а математики только открывают ее положения. Аксиомы и теоремы не есть лишь творения одного человеческого разума; подобно богатствам, скрытым в земных недрах, их надлежит извлечь на поверхность, терпеливо раскапывая одну за другой. Существо­вание их представляется столь же независящим от человека, как существование планет.

Что же такое математика: россыпь алмазов, скрытых в недрах реального мира и постепенно извлекаемых оттуда, или груда искусственных камней, созданных людьми, столь блестящих, что они своим блеском ослепили иных математиков, которые и без того переполнены гордостью за свои творения?

Другой, восходящей к Аристотелю точки зрения, согласно которой математика всецело является продуктом человеческой мысли, придерживается школа математиков, получивших название интуиционистов. В то время как одни утверждают, что истину гарантирует человеческий разум, другие полагают, что матема-тика — создание склонного к заблуждениям человеческого разума, а не законченный свод знаний.

Герман Ганкель, Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасе счи­тали математику творением человека. В письме к Веберу Дедекинд так говорил о «рукотворности:» математики: «По-моему, то, что мы понимаем под числом, само по себе есть не класс, а нечто новое..., созданное нашим разумом. Мы божественная раса и обладаем... способностью творить» ([13], с. 374). Вейерштрасе вторит ему: «Истинный математик всегда поэт» ([13], с. 374). Ученик Рассела, известный философ Людвиг Витгенштейн также считал, что математик — изобретатель, а не открыватель. Эти и













многие другие мыслители рассматривали математику как нечто не связанное с эмпирическими открытиями или рациональной дедук­цией. Их позиция не лишена оснований: ведь даже такие эле­ментарные понятия, как иррациональные и отрицательные числа, не являются ни дедуктивными следствиями из эмпирически уста­новленных фактов, ни объективными сущностями внешнего мира.

Тех, кто склонен видеть в математике творение человеческого разума, по существу можно отнести к кантианцам, ибо Иммануил Кант видел источник математики в организующей силе челове­ческого разума. Однако современные философы утверждают, что математика имеет своим истоком не морфологию или физиологию разума, а его активность. Именно активность разума с ее эволю­ционирующими методами несет в себе организующее начало. Творческая активность разума постоянно рождает новые, высшие формы мысли. На примере математики можно ясно видеть, что человеческий разум не ограничен в своей способности созидать некий объем знания, который он сам считает интересным или полезным. Область такого созидания не замкнута. Творческая активность способна создать понятия, применимые как к суще­ствующим, так и к вновь возникающим областям мысли. Челове­ческий разум наделен способностью изобретать конструкции, включающие в себя результаты опыта, и упорядочивать их. Источник математики — в непрерывном развитии самого разума.

Ныне возникает немало разногласий по поводу природы самой математики и утрате ею своего исключительного положения как общепризнанной бесспорной области знания, и это свидетель­ствует о том, что математика — творение человеческого разума. Как сказал Эйнштейн, «всякий, кто осмеливается взять на себя роль судьи во всем, что касается Истины и Знания, терпит крушение под смех богов» ( [13], с. 375).

Математики «оставили бога», поэтому им не оставалось ничего другого, как обратиться к человеку, что они и сделали. Они про­должали развивать свою науку и искать законы природы, прекрас­но понимая, что их открытия отнюдь не замысел божий, а творения человека. Успехи, достигнутые математиками в прошлом, помогли им обрести уверенность в собственной правоте, и, к счастью, не­мало новых успехов увенчало их усилия. Жизнь математики была спасена благодаря чудодейственному лекарству, также приготовленному людьми: великолепным достижениям в небесной механике, акустике, гидродинамике, оптике, теории электромагне­тизма, технике и фантастической точности предсказаний, осно­ванных на математических теориях.

В своей «Загадочной Вселенной» (1930) Джеймс Джине как бы подводит итог этому развитию математики:

Каши далекие предки пытались интерпретировать природу с помощью ими же созданных антропоморфных понятий и потерпели неудачу. Столь

же безуспешными оказались и усилия наших не столь отдаленных пред­шественников, пытавшихся рассматривать природу как своего рода меха­низм... Вместе с тем наши усилия познать природу, пользуясь понятиями

чистой математики, до сих пор были необычайно успешными. Ныне пред­ставляется бесспорным, что природа теснее связана с понятиями чистой математики, чем с понятиями биологии и техники.

Далее Джине, подчеркивая близкое родство между человеком и физическим миром, замечает: «Во всяком случае, не подлежит сомнению, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам» ( [13], с. 398). И далее осторожно добавляет: «Вселенную лучше всего изображать (хотя и этот образ далек от совершенства и неадекватен) как чистую мысль, принадлежащую кому-то, кого за неимением более подходящего слова мы назовем математическим мысли­телем». Тем, кто все еще сетует на то, что физические науки достигают успеха ценой математической абстракции, следовало бы поразмыслить и попытаться понять, какие откровения они ожидали найти в самом полном научном изложении природы физического мира.

Независимо от того, что могут поведать о существовании и нашем знании физического мира новейшие философские учения, одно не вызывает сомнений. Современная физика отказалась от механических моделей или даже наглядных картин физической реальности; она все большее значение придает математическому описанию и даже всецело полагается на него. Эта тенденция, насколько можно судить, сохранится и впредь. Возврат к прош­лому вряд ли возможен. Новейшие области физики столь далеки от повседневного опыта, от чувственного восприятия, что постичь их по силам только математике.

По словам Джинса, «создание моделей или картин для объяснения математических формул и описываемых ими явле­ний — шаг не к реальности, а от нее; поступать так все равно, что взять идолов, изображающих бесплотные духи».

Платон в свое время использовал образ пещеры, на стене ко­торой человек видит только тени людей и событий; так и мы, живущие в физическом мире, наблюдаем только тени многих физических явлений, и эти «тени» — математические. Может не быть духов, ведьм или чертей, но физические явления, столь же не доступные нашему восприятию, как и любые другие творения человеческого воображения, заведомо существуют.

Тенденция к толкованию математических закономерностей как самой реальности отчетливо прослеживается в работах многих авторов. Дж. У. Н. Салливен в книге «Ограничения науки» (1933) утверждает, что только количественные аспекты материальных явлений имеют отношение к реальному миру. В частности, совре­менное естествознание не требует понимания природы исследуе­мых сущностей, оно довольствуется знанием их математической



структуры. Джине в своей «Загадочной Вселенной» назвал Вселен­ную гигантской мыслью. Разум перестал быть незваным гостем в материальном мире, отныне он — его создатель.

Имея в виду не Вселенную в целом, а лишь круг явлений, изучением которых занимается квантовая механика, физик и философ Генри Маргенау утверждает, что волновые функции Шрёдингера есть подлинная реальность.

Но, быть может, лучше всех позицию большинства современ­ных ученых выразил Эйнштейн в книге «Мир, каким я вижу его» (1934):

Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа пред­ставляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответ­ствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постиг­нуть реальность. ([7], т. 4, с. 184.)

Наделенные немногими и весьма ограниченными по своим воз­можностям органами чувств и головным мозгом, люди начали проникать в окружающий их загадочный мир. Используя соб­ственный чувственный опыт и данные, полученные из эксперимен­тов, люди выработали некий набор аксиом, применив к ним мощь своего разума. Целью их поисков было выявление порядка, лежащего в основе мироздания. Они стремились построить системы знания, которые противостояли бы мимолетности ощуще­ний и могли бы служить основой для создания неких схем, способ­ных объяснить окружающий мир и помочь овладеть им. И глав­ным продуктом человеческого разума стала математика. Она отнюдь не безупречно ограненный и идеально отшлифованный драгоценный камень, и даже непрерывная «доводка» не в состоя­нии устранить всех ее изъянов. И все же именно математика воплощает в себе звено, наиболее эффективно связывающее реаль­ный мир с миром чувственных восприятий, и остается поныне драгоценнейшим сокровищем человеческого разума, которое над­лежит всячески оберегать. На протяжении долгого времени математика находилась в авангарде человеческой мысли и, не­сомненно, сохранит передовые позиции, даже если более тща­тельные исследования выявят в ней какие-нибудь новые изъяны.

Математическая мысль без устали бьется о скалистый берег, препятствующий ее проникновению на новые территории. Но даже гранитные утесы не выдерживают ее могучего натиска, не осла­бевающего на протяжении столетий, и рушатся, открывая перед математикой новые просторы.


XII

^ НЕПОСТИЖИМАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ

МАТЕМАТИКИ

Вечная загадка мира — его познаваемость*

Альберт Эйнштейн

Жизнь — это искусство делать верные вы­воды из неверных посылок.

^ Сэмюэл Батлер

Поскольку природу математики и ее взаимосвязь с физическим миром оценивают по-разному, нередко с взаимоисключающих позиций, мы не можем обойти молчанием вопрос о том, почему математика вообще действенна. Нельзя не признать, что полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физи­чески реальных явлений — будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математи­ческая интерпретация того немногого, что доступно наблюдению на атомном уровне, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, не говоря о сотнях других достижений,— требуют какого-то объяснения.

Итак, человек стоит перед двойной загадкой. Почему в тех случаях, когда физическое явление понято нами и мы приняли соответствующие аксиомы, сотни следствий, полученных из них, оказываются столь же применимыми к реальному миру, как и сами аксиомы? Согласуется ли природа с человеческой логикой? Не менее важен и другой вопрос: почему математика эффективна и при описании тех физических явлений, которые непонятны для нас? От этих вопросов невозможно отмахнуться. Слишком многое в современной науке и технике зависит от математики. Очевидно, в ней скрыты какие-то силы и ресурсы.

В Древней Греции, где математика сводилась в основном к геометрии, а приложения ее были весьма ограничены, мыслители

* [7], т. 4, с. 201.













пытались ответить на поставленные выше вопросы, однако по современным стандартам эти ответы чрезмерно упрощены и весьма догматичны. Ученым XVI—XVIII вв. ответ на вопрос, по­чему математика столь эффективна, также казался простым и ясным. Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен на математических принципах, и принимая средне­вековые представления, гласившие, что мир был создан на матема­тических принципах не кем иным, как Богом, они видели в мате­матике путь к познанию истин о природе. Иначе говоря, превратив Бога в ревностного и непогрешимого математика, стоящего над всем миром, средневековые мыслители как бы отождествили поиск математических законов природы с религиозными иска­ниями. Изучение природы стало изучением слова божьего, его деяний и его воли, Гармония мира в их глазах была проявлением математической структуры, которой Бог наделил мир при сотворе­нии. Именно он заложил в мир тот строгий математический порядок, познание которого дается нам с таким трудом. Математи­ческое знание почиталось абсолютной истиной, как любая строка Священного писания. Более того, математическое знание станови­лось в чем-то выше Священного писания, ибо по поводу толко­вания тех или иных мест в Священном писании возникало немало разногласий, тогда как относительно математических истин не могло быть ни малейших споров.

Так, католическое вероучение, считавшее сотворение мира рациональным актом Бога, и учение пифагорейцев и Платона, усматривавшее в математике фундаментальную реальность физического мира, слились в программе естественнонаучных поисков, суть которой сводилась к следующему: наука призвана открывать математические соотношения, лежащие в основе всех явлении природы и объясняющие их, и тем способствовать славе и величию божественного творения. Как отмечал в своей книге «Становление человеческого разума» Джон Герман. Рзндалл, «наука родилась из веры в математическую сущность природы, утвердившуюся задолго до того, как это удалось проверить экспе­риментально».

Из философов, убежденных в том, что математика — верный путь к реальности, наиболее влиятельным был Рене Декарт. И хотя его метод оказался недолговечным, именно Декарт был последним из схоластов и первым из представителей науки нового времени, который провозгласил особое значение математики как инструмента познания мира.

Декарт задумался над тем, почему следует верить, что матема­тические конструкции, созданные человеческим разумом, откры­вают путь к познанию физического мира. Декарт, как мы уже знаем, опирался при этом на свою веру в Бога. Он считал, что человеческому разуму внутренне присущи идеи пространства,

времени, числа и Бога, а также способность распознавать истин­ность других интуитивно постигаемых понятий. Внутреннее зна­ние незыблемо и неоспоримо. Идею Бога, по мнению Декарта, невозможно почерпнуть в чувственном опыте, ибо вечность, всеведение, всемогущество и совершенство отсутствуют в окру­жающем нас физическом мире. К числу идей, составляющих достояние разума, принадлежит и идея внешнего мира. Сущест­вует ли то, что мы называем внешним миром? Существует, заявлял Декарт, ибо Бог в силу своей добродетели не стал бы вводить нас в заблуждение. С другой стороны, ощущения, по Декарту, это не более, чем заблуждения, рожденные нашими чувствами. К сча­стью, из математических истин, постигаемых разумом независимо от опыта, мы можем с помощью чисто умозрительных рассужде­ний выводить новые истины о физическом мире. Каким образом мы могли бы удостовериться в правильности наших рассуждений? И здесь Декарт опять уповает на Бога, полагая, что именно благо­даря промыслу божьему наше мышление согласуется с реаль­ностью.

Убеждение Декарта в том, что природа основана на матема­тических принципах, разделяли и его современники, и на протя­жении двух столетий последующие поколения философов и естествоиспытателей. Кеплер также усматривал реальность мира в описывающих его математических соотношениях. По словам Галилея, математические символы — те письмена, которыми Бог начертал великую книгу Природы. Не знающий их не в состоянии понять в ней ни единого слова и обречен вечно блуждать по лабиринту в кромешной тьме. Познаваемы лишь те свойства физического мира, которые могут быть выражены с помощью математических понятий и формул. Вселенная математична по своей структуре и поведению, и природа действует согласно незыблемым и неизменным законам. В одном из писем Галилея содержится весьма откровенное признание: «Что касается меня, то пусть хоть бы все споры по поводу Священного писания пребывали в вечной дреме; ни один астроном или естествоиспытатель, если он в здравом рассудке, не станет вдаваться в такие детали». Разумеется, Галилей был глубоко убежден, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. В приведенном отрывке из письма он имеет в виду лишь то, что для объяснения явлений природы не следует привлекать потусторонние сверхъестественные

силы.

Ньютон также считал, что Бог сотворил мир на основе мате­матических принципов. В его письме к Ричарду Бентли от 10 де­кабря 1692 г. есть такие строки: «Когда я писал свой трактат о нашей системе [«Математические начала натуральной фило­софии»], мне хотелось найти такие начала, которые были бы сов­местимы с верой людей в Бога; ничто не может доставить мне













большее удовлетворение, чем сознание того, что мой труд ока­зался не напрасным» ( [13], с. 73).

Главную ценность своих научных трудов Ньютон видел в под­держке религиозного вероучения. Он был ученым-теологом, хотя не имел духовного сана. Занятия наукой Ньютон считал делом тяжелым и скучным, но продолжал отдаваться ему, ибо наука поз­воляла находить все новые подтверждения божественного со­творения мира. Как и его предшественник по кафедре в Кембрид­жском университете Исаак Барроу, Ньютон в более зрелые годы обратился к богословию. Свято веря, что мироздание построено по божественному плану, Ньютон в отличие от своих предшест­венников считал, что Бог также призван следить за тем, чтобы все в мире функционировало в соответствии с этим планом. Ньютон сравнивал Вседержителя с часовщиком, следящим за точностью хода часов и устраняющим любые неисправности.

Хотя Готтфрид Вильгельм Лейбниц был человеком разно­сторонне одаренным и достиг блестящих успехов в математике, главным образом в дифференциальном и интегральном исчисле­ниях, он отнюдь не распространял господство математики на сколько-нибудь широкую область естествознания. Философия науки, развитая Лейбницем (как и философия науки Декарта), стала его наиболее значительным вкладом в учение о математи­ческих принципах, заложенных в основе мироздания.

В «Теодицее» Лейбница мы встречаем уже знакомую нам идею: Бог есть тот высший разум, который сотворил наш тщательно спланированный мир. Согласие между реальным миром и миром математическим, а в конечном счете применимость к реальному миру дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц объяснял единством мира и Бога: Cum Deus calculat, fit mundus (Как Бог считает, так мир и делает). Наш мир — самый совершен­ный из всех миров, какие только можно себе представить, и рациональное мышление открывает его законы — таков был глав­ный тезис Лейбница.

Суть того, во что неколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гар­монии наблюдение в сочетании с математическим анализом поз­воляет предсказывать явления природы. Даже в далеком прошлом такая предпосылка неизменно получала подтверждения, прево­сходившие самые смелые ожидания.

Математический план природы открывается человеку лишь в неустанном поиске. Пути господни, как говорится, неисповедимы, но, несомненно, они математически совершенны, и человеческий разум со временем открывает все больше подробностей того

рационального плана, которым Бог руководствовался при сотворе­нии мира. То, что человек рассуждает так же, как, видимо, рас­суждал Бог, обдумывая свой план мироздания, казалось ученым прошлого довольно понятным: ведь правильным, по их мнению, могли быть рассуждения только одного типа.

В своей работе «Прагматизм» (1907) Уильям Джеймс так описывает умонастроение математиков того времени;

Когда были открыты первые математические, логические и физи­ческие закономерности, первые законы, проистекавшие из этих открытии, ясность, красота и упрощение настолько захватили людей, что они уверо­вали в то, будто им удалось доподлинно расшифровать непреходящие мысли Всемогущего. Его разум громыхал громовыми раскатами и эхом отдавался в силлогизмах. Бог мыслил коническими сечениями, квадратами, корнями и отношениями и геометризовал, как Евклид. Бог предначертал законы Кеплера движению планет, заставил скорость падающих тел возрастать пропорцио­нально времени, создал закон синусов, которому свет должен следовать при преломлении... Бог измыслил архетипы всех вещей и придумал их вариации, и когда мы открываем любое из его чудесных творений, то постигаем его замысел в самом точном предназначении. { [13], с. 82.)

С исторической точки зрения можно усмотреть определенную иронию в том, что роль Бога становилась все менее значительной по мере того, как начинали доминировать универсальные законы, охватывающие движения небесных и земных тел, и неизменное согласие между математическими предсказаниями и результа­тами наблюдений свидетельствовало о совершенстве законов. Бог оказался оттесненным на задний план, и все внимание сосредо­точилось на математических законах, царящих во Вселенной. Лейбниц отлично сознавал, какие следствия можно извлечь из ньютоновских «Математических начал», в частности из представ­ления о мире, функционирующем по определенному плану, неваж­но, с Богом или без оного, и обрушился на сочинение Ньютона, назвав его антихристианским.

Почтительное восхищение божественным планом творения по­степенно уступило место стремлению получить чисто математи­ческие результаты. Хотя многие математики продолжали верить в божественное сотворение мира по единому плану и видели ос­новную функцию математической науки в поисках способов рас­шифровки божественного замысла, вера в Творца во второй поло­вине XVIII в. изрядно потускнела. Чем успешнее развивалась математика того времени, чем многочисленнее становились ее достижения, тем в меньшей степени занятие математикой нуж­далось в религиозном вдохновении.

Вытеснение Бога из математического исследования природы происходило постепенно, принимая различные формы — от ортодоксальной религиозности через различные промежуточные стадии до рационалистического супернатурализма: деизма, агно-













стицизма и воинствующего атеизма. Все эти течения оказали свое влияние на математиков XVIII в. Дени Дидро (1713—1784), бесспорно, одному из ведущих мыслителей своего века, принад­лежит высказывание, хорошо выражающее умонастроение той эпохи: «Если вы хотите, чтобы я верил в Бога, сделайте так, чтобы я мог дотронуться до него». Ревностный католик Оггостен Луи Коши (1789—1857) заявил во всеуслышание, что «без всяких колебаний отвергнет любую гипотезу, противоречащую истинам божественного откровения». Тем не менее вера в Бога как творца мироздания практически умерла. По словам известного мате­матика Жана Лерона Д'Аламбера, основного соратника Дени Дидро по работе над изданием знаменитой французской «Энцикло­педии», «истинная система мира была познана, развита и усовер­шенствована». Закон природы, очевидно, есть закон математи­ческий.

Лагранж и Лаплас, хотя оба и выросли в католических семьях, не были верующими людьми. Лаплас полностью отвергал все метафизические принципы, основанные на вере в Бога. Известна такая история. Когда Лаплас преподнес Наполеону экземпляр своей «Небесной механики», император заметил: «Месье Лаплас, говорят, что вы написали эту большую книгу о системе мира, ни разу не упомянув Создателя». На что Лаплас якобы ответил: «Мне не понадобилась эта гипотеза». Природа заменила Бога. Математики с головой ушли в поиски математических законов природы, не сомневаясь, что именно им выпало на долю открывать те самые основополагающие принципы, которые ранее приписы­вались Богу.

К концу XVIII в. математика представляла собой как бы вели­чественное двухтысячелетнее дерево, прочно стоящее на почве реальности с могучими корнями и мощными ветвями, возвышав­шееся над всеми остальными областями знания. Мог ли кто-нибудь усомниться в том, что такому дереву суждено жить вечно! Убеждение в том, что природа основана на математических принципах, было прочно, как никогда. Задача математиков со­стояла в том, чтобы открывать эти принципы и познавать законы, управляющие Вселенной, и сама математика считалась инстру­ментом, как нельзя лучше приспособленным для решения этой задачи. Трудясь не покладая рук, настойчиво и прилежно, можно было рассчитывать на открытие все новых истин.

Развитие неевклидовой геометрии (см. гл. VIII) показало, что созданная человеком математика ничего не говорит о природе и имеет мало общего с доказательством существования Бога. Выяснилось также, что именно человек фиксирует порядок в при­роде, предполагаемую простоту и математическую регулярность. Вполне возможно, что в природе не заложено никаких математи­ческих принципов. По-видимому, вернее будет сказать, что мате-

матика предлагает нам не более чем некий ограниченный, вполне осуществимый, рациональный план.

В нашем столетии перед математикой были поставлены еще более скромные цели. Эварист Галуа (1811 — 1832) так отзывался о ней: «Эта наука — всего лишь одно из множества творений человеческого разума, более приспособленного к тому, чтобы изучать и искать истину, чем к тому, чтобы ее находить и позна­вать» ([28], с. 61). Видимо, истине свойственно быть неуловимой; как сказал римский философ Луций Сенека (ок. 4 г. до н. э.— 65 г. н. э.,) «природа не сразу открывает все свои тайны».

Но даже если математика утратила свое место в цитадели истины, в физическом мире она прочно удерживала свои позиции. Нельзя было обойти или недооценить главного: математика была и остается превосходным методом исследования открытия и описания физических явлений, В некоторых областях физики математика, как мы узнали, составляет самую суть нашего пони­мания физического мира. Даже если математические структуры сами по себе не отражают реальности физического мира, их тем не менее можно считать единственным ключом к познанию реальности. Неевклидова геометрия не только не уменьшила цен­ности математики в этом отношении и не подорвала доверия к ее результатам, ко, напротив, как это ни парадоксально, способство­вала расширению ее приложений, ибо математики, почувствовав большую свободу в исследовании радикально новых идеи, обна­ружили, что некоторые из них вполне применимы