Реферат: Аннотация программы дисциплины (модуля) уравнения в частных производных

АННОТАЦИЯ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)


УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

(УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ)


Направление подготовки 010400.62 прикладная математика и информатика (математическое и информационное обеспечение)


Квалификация (степень) выпускника бакалавр

Общая трудоемкость дисциплины 144 ч.


1. Цели освоения дисциплины.

Целями освоения дисциплины "Уравнения в частных производных" являются:

фундаментальная подготовка в области уравнений в частных производных;

овладение аналитическими методами математической физики;

овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.


^ 2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Дисциплина «Уравнения в частных производных» может входить в цикл профессиональных дисциплин в вариативной части, а может являться продолжением курса «Дифференциальных уравнений в базовой части цикла профессиональных дисциплин.

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, алгебра, дифференциальные уравнения.

Освоение дисциплины «Уравнения в частных производных» необходимо при последующем изучении дисциплин (модулей) «Численные методы», «Механика сплошных сред», специальных курсов.


^ 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: ОК-5, ОК-6, ОК-8, ОК-11, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-9, ПК-10, ПК-11, ПК-12, ПК-15, ПК-16, ПК-19, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-23, ПК-24, ПК-25, ПК-27, ПК-29.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

1) Знать: основные понятия теории уравнений в частных производных, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области уравнений в частных производных.

3) Владеть: математическим аппаратом уравнений в частных производных, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области.


^ 4. Структура и содержание дисциплины.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 7-8 зачетных единиц.

Основные разделы дисциплины.

.

Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач.

Линейное уравнение с частными производными второго порядка. Главная часть уравнения, ее преобразования при линейных и нелинейных заменах. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классификация линейных уравнений второго порядка.

Понятие характеристики для линейного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зависимости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения, условия согласования.

Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний закрепленной струны.

Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Характеристический конус. Теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных.

Распространение колебаний в R. Передний и задний фронт волны.

Метод спуска. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение волн в R и R. Область зависимости решений от начальных данных.

Вывод уравнения теплопроводности. Физический смысл краевых условий. Смешанная краевая задача. Принцип максимума в цилиндре. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от начальных и граничных условий.

Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе ограниченных в слое функций.

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности при помощи преобразования Фурье. Обоснование формулы Пуассона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции. Гладкость решения. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных.

Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае одной пространственной переменной методом Фурье. Обоснование метода Фурье для задачи с нулевыми граничными условиями. Гладкость решения.

Формулы Грина. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа. Обобщенная задача Дирихле для уравнения Пуассона.


Автор: доцент кафедры МАиМ Т.В.Труфанова