Реферат: В начале несколько цитат, для предуведомления о чём пойдёт речь в моей маленькой статье, из интернетовского сайта -теория противоречивости бытия. Математика

В начале несколько цитат, для предуведомления о чём пойдёт речь в моей маленькой статье, из интернетовского сайта -ТЕОРИЯ ПРОТИВОРЕЧИВОСТИ БЫТИЯ. Математика. В МИРЕ НАУКИ

75 лет теореме Геделя

www.sciam.ru/2007/3/matematika.shtml · 53 КБ


«Где же тогда искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?», — сокрушался Гильберт, в своем докладе на съезде математиков в июне 1925 г.


В максимально упрощенном виде ее можно изложить следующим образом: математику можно представить в виде набора следствий, выводимых из некоторой системы аксиом, и доказать, что:


1. Математика является полной, т.е. любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины.

2. Математика является непротиворечивой, т.е. нельзя доказать и одновременно опровергнуть какое-либо утверждение, не нарушая принятых правил рассуждения.

3. Математика является разрешимой, т.е., пользуясь правилами, можно выяснить относительно любого математического утверждения, доказуемо оно или опровержимо.


Фактически программа Гильберта стремилась выработать некую общую процедуру для ответа на все математические вопросы или хотя бы доказать существование таковой. Сам ученый был уверен в утвердительном ответе на все три сформулированные им вопроса: по его мнению, математика действительно была полной, непротиворечивой и разрешимой. Оставалось только это доказать».


«Однако «вселенская аксиоматизация» не состоялась. Вся суперамбициозная, грандиозная программа, над которой несколько десятилетий работали крупнейшие математики мира, была опровергнута одной-единственной теоремой. Ее автором был Курт Гедель, которому к тому времени едва исполнилось 25 лет.


В 1930 г. на конференции, организованной «Венским кружком» в Кенигсберге, он сделал доклад «О полноте логического исчисления», а в начале следующего года опубликовал статью «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах». Центральным пунктом его работы были формулировка и доказательство теоремы, которая сыграла фундаментальную роль во всем дальнейшем развитии математики, и не только ее. Речь идет о знаменитой теореме Геделя о неполноте. Наиболее распространенная, хотя и не вполне строгая ее формулировка утверждает, что «для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто». Тем самым Гедель дал отрицательный ответ на первое утверждение, сформулированное Гильбертом».


«Коварным «обстоятельством» был получивший впоследствии широкую известность «парадокс Рассела», представлявший собой вопрос: будет ли множество всех множеств, не являющихся своими элементами, своим элементом?»

Конец цитирования.


^ ОБРАЗЫ И СЛОВА В МАТЕМАТИКЕ

Мы мыслим образами, образы не обязательно зрительные. Образ, это идеальное отражение мира в нашем сознании, изменённое сознание не рассматриваем.

Что есть наш мир? Это объекты и взаимодействия между объектами. Математика начиналась с аналогий между числами и объектами мира. Взаимодействие между объектами и взаимодействия между числами не отличались друг от друга, (сложить, отнять). По мере развития математики, она всё более становится абстрактной, связь между математикой и миром уже приходится доказывать, объяснять. И как апофеоз абстракции, математики начали размышлять словами. Математики размышляют словами, отсюда противоречия, непонимание, разночтения и тому подобное. Отсюда формальная математика.

Слово в любом языке, всего лишь обозначение объекта по некоторым признакам и обозначение взаимодействия. Когда просматривалась аналогия с объектами мира и математикой, больших проблем не возникало. Но когда математика абстрагировалась настолько, что сначала вводят новое понятие (слово, или слова) например – множество, а потом тщатся это новое понятие объяснить словами же, наступает коллапс. Не углубляясь, рассмотрим такие понятия, как ноль и бесконечность. В мире нет объектов аналогичных бесконечности или нулю, тем не менее, в математике они существуют, внося сумятицу при бездумном использовании.

Но это ещё полбеды, в теории множеств произошла подмена, слово бесконечность (прошу заметить слово, а не образ) заменили на слово множество. И началась игра слов: будет ли множество всех множеств, не являющихся своими элементами, своим элементом? Переведём: будет ли бесконечность, всех бесконечностей, не являющихся своими элементами, своим элементом? Слова, слова и слова, немного отступить от формальной математики, от бесконечности и сразу же появятся образы, объекты, решения, доказательства, истина, в конце концов. Я думаю в своей работе «Ложная бесконечность в математике» это показано и доказано на реальном примере.

Я не против формальной математики, но её использование должно быть продуманно с точки зрения соответствия нашему миру, нашему мышлению образами, а не словами.