Реферат: В. В. Сечко математические методы обработки психологических данных Минск 2002 оглавление

В. В. СЕЧКО


Математические методы обработки психологических данных


Минск 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ


1. ВВЕДЕНИЕ 4

2. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ 5

3. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА ИЗ НЕЕ. РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ ВЫБОРКИ 6

4. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫБОРКИ 6

5. ШКАЛЫ ИЗМЕРЕНИЙ 7

6. ТАБУЛИРОВАНИЕ ДАННЫХ 9

7. КВАНТИЛЬ 11

8. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ 13

9. МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ 16

10. МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ 21

11. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 25

12. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВЫБОРКИ 28

13. СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЫВОД. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 33

14. ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ 33

15. СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК 34

16. СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ ДВУХ ЗАВИСИМЫХ (СВЯЗАННЫХ) ВЫБОРОК 36

17. СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ РАНЖИРОВАННЫХ ПРИЗНАКОВ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК 38

n=14 m=12 41

18. СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ РАНЖИРОВАННЫХ ПРИЗНАКОВ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ВЫБОРОК 42

Н1 44

19. СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК 44

20. СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ ЗАВИСИМЫХ (СВЯЗАННЫХ) ВЫБОРОК 45

Если мы хотим сравнить два исследуемых показателя (или один и тот же, но для двух различных групп лиц по их уровню), то необходимо проверять гипотезу о равенстве средних значений. Если хотим сравнить изменчивость (разброс показателя), то необходимо проверять гипотезу о равенстве дисперсий. 47

^ 21. АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА 47

Исследователя часто интересует, как связаны между собой два изучаемых признака в данной группе лиц. Например: имеют ли ученики, 47

научившиеся читать раньше других, тенденцию к более высокой успеваемости? Связь между двумя признаками можно изобразить графически с помощью диаграммы рассеивания (рассеяния). Для ее построения на координатной плоскости каждый объект изображается точкой. Первая координата, которая соответствует значению первого признака для данного объекта, а вторая – значению второго признака для данного объекта. Для оценки связи между двумя признаками можно использовать ковариацию, которая обозначается Sxy и вычисляется по формуле: 47

i=1 47

47

Если рассматривать ковариацию какого-либо признака с самим собой Sxx, то в этом случае мы получаем дисперсию 47

22. ЗНАЧИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ 49

23. АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗИ РАНЖИРОВАННЫХ ПРИЗНАКОВ 51

24. КОЭФФИЦИЕНТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ КЕНДАЛЛА 55

25. АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗИ НОМИНАЛЬНЫХ ПРИЗНАКОВ С ПОМОЩЬЮ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА 59

26. БИСЕРИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ (БКК) 60

27. РАНГОВЫЙ БИСЕРИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ 61

28. АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ НОМИНАЛЬНЫХ ПРИЗНАКОВ С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЦ СОПРЯЖЕННОСТИ 62

29. ОДНОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ (ОФА) 65

30. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ (ОДА) 67

31. ДВУХФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 69

32. ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ (ДДА) 70

33. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ 71

Литература 80



1. ВВЕДЕНИЕ

Математическую статистику условно делят на 3 части:

-описательная статистика;

-теория статистического вывода;

-планирование и анализ эксперимента.

Описательная статистика занимается описанием, графическим представлением и табулированием совокупности исходных данных.

Теория статистического вывода – общий класс задач, характеризующийся попытками вывести свойства большого массива данных путем обследования небольшого массива данных, т.е. выборки.

Планирование и анализ эксперимента – статистические методы, разработанные для обнаружения и проверки причинной связи между изучаемыми переменными (показателями).

^ 2. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ
1 этап – исходный предварительный анализ исследуемой реальной системы. В результате этого этапа определяются:

- основные цели исследования на содержательном неформализованном уровне;

- совокупность единиц, представляющих предмет статистического исследования;

- перечень отобранных из представленных специалистами априорных (независимых от опыта человека) показателей, характеризующих каждого из исследуемых объектов;

- степень формализации соответствующих записей при сборе исходных данных;

- общее время и трудозатраты на планируемые работы.

- формализованная постановка задачи, по возможности включающая статистическую модель изучаемого явления.

2 этап – составление детального плана сбора исходной информации. При составлении этого плана необходимо по возможности учитывать полную схему дальнейшего статистического анализа.

^ 3 этап – сбор исходного материала и ввод этих данных в ЭВМ.

4 этап – первичная статистическая обработка данных. В ходе этой обработки решаются следующие задачи:

1..Отображение переменных, описанных текстом в номинальную или порядковую шкалу.

Анализ резко выделяющихся наблюдений.

Восстановление пропущенных наблюдений.

Проверка статистической независимости элементов исходной выборки.

5 этап – составление детального плана вычислительного анализа исходного материала. На этом этапе определяются основные группы, для которых будет проводиться дальнейший анализ. Обычно описывается блок-схема анализа с указанием привлекаемого метода.

^ 6 этап – вычислительная реализация основной части статистической обработки данных.

7 этап – подведение итогов исследования. На этом этапе проверяется, в какой мере достигнуты сформулированные на 1 этапе содержательные цели работы. Если эти цели не достигнуты, то объясняется, почему. Работа завершается содержательной формулировкой новых задач, вытекающих из проведенного исследования.

^ 3. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА ИЗ НЕЕ. РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ ВЫБОРКИ

Генеральная совокупность – это совокупность всех мысленных наблюдений (или всех мыслимо возможных объектов), которые могут быть проведены при данном реальном комплексе условий.

Понятие ГС – это абстрактное математическое понятие. ГС может быть конечной или бесконечной.

Выборка из данной ГС представляет собой результат ограниченного ряда наблюдений интересующего нас показателя (признака, переменной). ГС всегда больше, чем выборка. В статистике выборка обозначается х1, х2, …, хn количество наблюдений n.

Количество наблюдений – «n»- называется объемом выборки.

Сущность статистических методов – чтобы по некоторой части ГС, т.е. по выборке, выносить суждения о свойствах ГС в целом.

Одним из важнейших вопросов, от успешного решения которого зависит достоверность выводов, получаемых в результате статистической обработки данных, является вопрос репрезентативности выборки, т.е. вопрос полноты и адекватности представления выборкой интересующих нас свойств ГС. Одним из важных путей повышения степени репрезентативности выборки является достижение полностью случайного отбора объектов из ГС.

^ 4. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫБОРКИ

При отборе объектов из ГС для получения выборки используется ряд различных способов:

- простой случайный отбор – это способ получения n объектов выборки из конечной генеральной совокупности, состоящей из N объектов, при которой каждая выборка имеет одинаковый шанс быть отобранной (1000 детей - N, а нужно 100 -n). На практике для реализации простого случайного отбора объекты генеральной совокупности нумеруются от единицы до N (каждой единице – свой номер). Затем используют таблицу случайных чисел (или корзину с шарами) и отбирают последовательно друг за другом n объекты для выборки. Полученная таким образом выборка – случайная.

- простой отбор с помощью регулярной, но не существенной для изучаемого явления процедуры (например, по первой букве фамилии). - стратифицированный (расслоенный). В этом случае генеральная совокупность объема N разделяется на непересекающиеся подсовокупности (страты).

N

N1 … N k n1 + n2 + …+ nk = n

N2

Например, студенты – студенты 1 курса, 2 курса и т.д. Один и тот же человек не может попасть в другие совокупности. Из каждого слоя извлекается простая случайная выборка соответственно V. Стратифицированный отбор применяется, когда объекты внутри каждого слоя являются однородными (по возрасту; один слой - дети из полных семей, другой слой - дети из неполных семей).

- серийный отбор используется тогда, когда удобнее использовать не отдельные элементы генеральной совокупности, а целые блоки или серии таких элементов (например, исследуются семьи в одном доме или все дома на одной стороне улицы). Такой способ отбора называют гнездовым.

- комбинированный (ступенчатый). Он объединяет в себя сразу несколько из вышеперечисленных способов отбора, которые составляют различные ступени выборочного исследования.

- последовательный (активный). Этот способ отбора используется при анализе физико-химических и технологических процессов. Он называется активным, т.к. мы можем влиять на некоторые переменные.

^ 5. ШКАЛЫ ИЗМЕРЕНИЙ


Данные эксперимента представляют собой результат измерения (наблюдения, регистрации, описания) свойств исследуемых объектов. Измерение – приписывание значений признакам объекта в соответствии с определенными правилами или шкалой измерения. В статистике наиболее часто употребляются следующие шкалы измерения:

- шкала наименований (номинальная, номинативная, шкала классификации). Она используется для отнесения объектов к определенному классу. Объекты, отнесенные к одному и тому же классу, получают одни и те же обозначения. Если количество классов шкалы известно, а также известны правила отнесения к ним объекта, то такая шкала называется категоризованной (примером такой шкалы является пол: м и ж). Простейшим случаем номинальной шкалы является дихотомическая шкала, которая состоит только из двух классов (курит – не курит). К сожалению, для номинальной шкалы арифметические операции не имеют смысла. После того, как с помощью номинальной шкалы мы классифицировали исходные объекты на классы, мы можем перейти от наименований к числам, подсчитав количество наблюдений в каждом из классов. Такая величина называется частотой. Можно работать с помощью математических методов.

- порядковая шкала (ранговая, ординальная). Эта шкала используется для отнесения объектов к определенному классу в соответствии со степенью выраженности, заданности свойства. В порядковой шкале должно быть не менее 3-х классов. Например, 1 класс – подходит для занятия вакантной должности; 2 класс – подходит с оговорками; 3 класс – не подходит. В порядковой шкале мы можем только сказать «больше», «меньше». Но не можем сказать «на сколько». В нашем примере 1 и 2 классы могут быть ближе друг к другу, чем 2 и 3 классы. От класса мы можем перейти к числам с помощью ранжирования. Обычно принято считать, что низший класс получает ранг 2 и т.д. Чем больше классов в шкале, тем больше у нас возможности для математической обработки полученных данных. В общих случаях числа в порядковой шкале не отражают количества свойства, которыми обладают исследуемые объекты. Поэтому для этой шкалы арифметические операции также чаще всего не имеют смысла. Примерами порядковой шкалы являются оценки на экзамене. Основные психологические исследования обычно используют порядковую шкалу, при этом необходимо стараться, чтобы в порядковой шкале было достаточное количество классов. Фактически в качестве единицы измерения в порядковой шкале используется расстояние в1 ранг, но при этом расстояние между соседними рангами может быть различным.

- количественные шкалы. Таких шкал имеется 2 типа: интервальная и шкала отношений. ^ Интервальная шкала позволяет классифицировать и упорядочивать объекты, а также количественно описать различия между свойствами объектов. Для задания такой шкалы устанавливают единицу измерения и произвольную точку отсчета. Примером является календарное время. Для этой шкалы арифметические операции имеют смысл. Шкала отношений отличается от интервальной шкалы только тем, что в ней задано абсолютное начало отсчета. Например, рост в см – абсолютное начало 0. В шкале отношений мы можем определить не только на сколько одно измерение превосходит другое, но и во сколько раз.

-5 С ------------0------------- +5 С

ОК --------------------------------------

Считается, что в психологии примером шкалы отношений являются шкала порога абсолютной чувствительности. Примечание: данные, полученные в одной шкале, можно перевести в другую шкалу только в следующих направлениях: 3 2 1. От количественной к порядковой к номинальной (много курит, немного курит, не курит). В обратном направлении перевод информации не возможен. По мере возможности нужно стараться измерять в количественной шкале, т.к. в этом случае мы сможем перейти к любой из рассматриваемых выше шкал. Однако при этом происходит частичная потеря информации. Перевод исходной выборки из количественной шкалы называется ранжированием. При ранжировании каждому элементу выборки приписывается ранг, который соответствует месту этого элемента в упорядоченной выборке. Наиболее часто выборку ранжируют по возрастанию, т.е. ранг, равный 1, получает наименьший элемент выборки. В результате ранжирования «новая» выборка содержит значения от 1 до n. Пример ранжирования выборки. Пусть в ходе эксперимента измерялся коэффициент IQ и получена следующая выборка:

112, 108, 84, 96, 75, 124, 106, 89. n=8

7 6 2 4 1 8 5 3

Проранжировать полученную выборку (не путать с упорядочиванием). 75, 84, 89, 96, 106, 108, 112, 124.

Иногда в выборке встречаются несколько одинаковых значений. Такая ситуация называется проблемой совпадающих рангов. В этом случае каждому из совпадающих значений присваивается ранг, равный среднему значению рангов, если бы эти элементы не совпадали.

Пример: 108, 96, 96, 74, 84, 108, 104, 108, 103. (3+4):2=3,5

8 3,5 3,5 1 2 8 6 8 5 (7+8+9):3=8

Пример перевода исходной выборки из количественной шкалы в номинальную. Пусть в ходе эксперимента измеряется уровень тревожности в диапазоне от 0 до 20. Необходимо перевести полученные данные в номинальную шкалу, содержащую 3 класса: высший (15-20); средний (6-14); низший (0-5). Исходная выборка имеет вид:

Количественная 14, 6, 8, 4, 18, 12, 10, 9.

Номинальная с с с н в с с с.

Переводя, мы теряем информацию. в-1, с-6, н-1.

^ 6. ТАБУЛИРОВАНИЕ ДАННЫХ

Для анализа и интерпретации исходных количественных данных их необходимо обобщить. Чаще всего 1 этапом представления исходных данных является упорядочивание их по величине (по возрастанию или по убыванию). Если исходная выборка упорядочена по возрастанию, т.е. сначала расположено наблюдение, наименьшее по величине, затем 2 по величине и т.д., то такая выборка называется вариационным рядом и обозначается следующим образом: х(1), х(2), …, х(n) - упорядочены, х(1) < х(2) < … < х(n) (некоторые элементы 84, 84, 106, 106 могут совпадать); х1, х2 - не упорядочены, в произвольном порядке.

Когда исходная выборка имеет достаточно большой объем, то используют табулирование данных – т.е. представляют исходную выборку в виде таблицы соответствующего вида. Табулирование обычно осуществляется в 4 этапа:

1 этап – определение размаха выборки. Для этого из максимального элемента выборки вычитают минимальный.

R= хmax – xmin = x(n) - x(1), где R – размах выборки.

2 этап – определение ширины интервала, группирование данных. Прежде чем искать ширину интервала, необходимо определиться с количеством интервалов в группировании. Очень небольшое количество интервалов может слишком упростить и сгладить общую тенденцию, а слишком большое количество интервалов может привести к излишней детализации рассматриваемого явления. Рекомендация: количество интервалов выбирается таким образом, чтобы в каждый интервал попадало в среднем 5-6 элементов выборки. Для этого объем выборки делим на 5 и на 6, в результате получаем два числа.

k1=n/5, k2 = n/6, где n - объем выборки. После этого в качестве требуемого количества интервала выбирается целое число к, находящееся между k1 и k2 . Пример: n=32, k1=32/5=6,4; k2 =32/6=5,3; отсюда получается в качестве к будет 6 (к=6 или к=5). Тогда ширина интервала группирования получается путем деления размаха выборки на количество интервалов.

h= R/k, где h – ширина.

Т.к. в большинстве случаев наши исходные данные являются целыми числами, то ширину интервала можно также округлить до ближайшего целого числа. h=50/6=8,3=8

3 этап – определение границ интервалов группирования данных. При этом нужно обращать внимание на то, чтобы левая граница первого интервала не оказалась справа от наименьшего значения на числовой оси.

( * * * * * * * )

xmin xmax

( )( )( )( )( )( )( )

х min=42, левая граница не может быть 44, а может 40, т.е. левая граница первого интервала не может быть больше наименьшего значения. Каждая последующая граница получается путем прибавления ширины интервала к предыдущей границе.

h=8, x min =42. Левая граница 40; 40 – 48; 48 – 56.

4 этап – непосредственно само табулирование данных. На этом этапе мы подсчитываем, сколько элементов выборки попало в каждый интервал. Количество наблюдений, попавших в интервал, называется частотой. Результатом табулирования данных является таблица, состоящая из двух столбцов, первый из которых содержит границы интервала, второй – частоты. Пример: в результате проведения контрольной работы по чтению в классе из 38 учеников были получены следующие результаты: 90, 66, 106, 84, 105, 83, 104, 82, 97, 97, 59, 95, 78, 70, 47, 95. 100, 69, 44, 80, 75, 75, 51, 109, 89, 58, 59, 72, 74, 75, 81, 71, 68, 112, 62, 91, 93, 84. Протабулировать полученные исходные данные. xmin=44; xmax=112; R=112-44=68; n=38; k1=38/5=7,5; k2=38/6=6,3 ; k=7. Находим ширину:h=R/k; h= 68/7=9,7=10.

Границы интервалов

Частоты

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

100-110

110-120

11 2

1111 4

11111 5

11111111 8

1111111 7

1111111 7

1111 4

1 1




38


Перед непосредственным подсчетом частот мы определяем для себя, в какой интервал будем включать значения, попадающие точно на границу интервала (левую и правую). Для контроля правильности вычисления нужно сложить все полученные частоты, если мы все сделали правильно, то сумма частот должна равняться количеству наблюдений в выборке.

Иногда выборка может быть представлена в виде частотного ряда. ^ Частотным рядом называется таблица следующего вида:

zi

z1

z2

...

zk

ni

n1

n2

...

nk


z1, z2, …, zn - различные значения элементов исходной выборки.

x1, х2, …, хn

k < n

n1, n2, …,nk – частота встречаемости того или иного различного значения в выборке.

Имеет смысл задача построения частотного ряда, если в исходной выборке встречается много одинаковых значений. Пример: на занятиях по статистике проводится эксперимент по регистрации номера месяца рождения каждого из студентов. Опрос проводится по списку. Представить полученную выборку в виде вариационного и частотного рядов, а также определить размах выборки.

4, 12, 12, 6, 5, 1, 8, 6, 12, 8, 7, 1, 10, 6, 10, 8, 12, 12, 10, 1, 11, 12, 2, 4, 10, 12. n=26;

в виде вариационного ряда (по возрастанию):1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12.

В виде частотного ряда:

z(i)

1

2

4

5

6

7

8

10

11

12

n(i)

3

1

2

1

3

1

3

4

1

7


n=26 (общее количество) ; к=10.

Для контроля правильности вычислений можно просуммировать частоты n1+n2+…+nk=n

Находим размах выборки: R=12-1=11; max –12; min –1; меньше 11 может быть, 1/2 - 26, 1 – 50.

7. КВАНТИЛЬ

Квантиль – это точка на числовой прямой, которая делит совокупность исходных наблюдений на две части с известными пропорциями в каждой из частей. Показатель одной из пропорций обычно записывается при обозначении квантили в качестве индекса справа внизу и называется уровнем или порядком. В общем виде записывается следующим образом:

Кр читается квантиль уровня (порядка); показатель от 0 до 1.

Например, К0,2. Пусть имеется квантиль уровня 0,2. Характеризует левую часть пропорции исходных наблюдений.




0,2 0,8

К0,2

Квантиль – это общее понятие. Частными случаями квантиля являются: квартили; децили; процентили. Квартиль делит исходную совокупность на две части, каждая из которых пропорциональна одной или нескольким четвертым частям. Обычно рассматривают 3 квартиля: Q1, Q2, Q3.

1/4

Q1


Слева ¼ наблюдений, Q4 не рассматривается, т.к. слева 4/4 наблюдений, т.е. все наблюдение. Q1 – x max, чтобы не перегружать, поэтому Q4 не рассматриваем. Это лишняя информация, которая дублирует предыдущую.


Дециль – делит исходную совокупность наблюдений на 2 части, каждая из которых пропорциональна одной или нескольким десятым частям. Обычно рассматривают 9 децилей: D1, D2, D3, …, D9.




3/10 10/10

D3 D10

Слева расположено 3/10 всех наблюдений. Д10 не используют, она не несет полезной информации.


Процентиль – делит исходную совокупность наблюдений на 2 части, каждая из которых пропорциональна одной или нескольким сотым частям. Обычно рассматривают 99 процентилей: Р1, Р2. …, Р98, Р99.



42/100=42%

P42


Иногда некоторая точка на числовой оси может одновременно являться и квантилью, и децилью, и процентилью. Например, Q2=D5=Р50=К0,5.




Q2

Q3=децилью не может быть=Р75=К0,75. ¾=75/100.


Q Q1 Q2

D1 D2

D

D5 D9





Р Р10 Р20 Р25 Р50 Р90 Р99


ГС В.испыт. Петров, Иванов

х1, х2, …, хn

Процентиль показывает Q1=160 (сильн.) P94=62 (слаб.)




25%

5 набл. 160

Q

Мы можем сказать, какая доля слева, т.е. часть. Q1=160 Q=48 Это для каждой выборки свое. Списать можно только механизм, а не результат у другого. Например, Уровень тревожности 0 – 20. Р13=16.




13% 87%

16

В данном случае лучше смотреть вправо, чтобы интерпретировать. В данном случае уровень тревожности высокий.

Процентиль – та часть людей, которая имеет показатель 16 (в психодиагностике). В Exsel – квантиль мастер функций (статистич.) Ранг и персентиль.

К0,25=Р25 Р24=48,12

Р23=К0,23

48 Р24 53

Главное – сами числа получить по их выборке.

^ 8. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Существует три основных метода графического представления данных – гистограмма (столбиковая диаграмма), полигон частот и сглаженная кривая (огива).

Гистограмма представляет последовательность столбцов, каждый из которых опирается на один интервал группирования данных, а высота столбца соответствует количеству элементов выборки, попавших в этот интервал группирования. Для построения гистограммы по горизонтальной оси откладываются границы интервалов группирования данных, а по вертикальной оси частоты попадания наблюдений в интервалах.



Границы интервалов

Частоты

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

100-110

110-120

2

4

5

8

7

7

4

1




Частоты

8

7

6

5

4

3

2

1 Границы интервалов

40 50 60 70 80 90 100 110 120


Если в гистограмме будут часто провалы, значит вы много интервалов взяли.

^ Полигон частот – построение полигона частот во многом напоминает построение гистограммы, только в этом случае по горизонтальной оси откладываются значения середин интервалов группирования данных (по вертикальной то же самое). После этого на координатной плоскости наносятся точки. Первая координата, которая соответствует середине интервала группирования и вторая – частоте. Для окончательного построения полигона частот точки соединяются отрезками прямых. На компьютере – двухлинейчатая (только в качестве 1 столбца середины значений интервалов)

Частоты



7

6

5

4

3

2

1 Границы интервалов

55 65 75 85 95 105 115

Сглаженная кривая или огива иногда вместо гистограммы или полигона частот строят сглаженную кривую. Основное отличие в том, что она проводится по точкам таким образом, чтобы график не имел острых углов или зубцов. Для ее построения по горизонтальной оси всегда откладываются значения от 0 до 100 (они соответствуют процентам). По вертикальной оси откладываются границы интервалов группирования данных. После этого на координатной плоскости наносятся точки, вторая координата которой соответствует границе интервала, а первая координата накопленной частоте попадания, выраженной в процентах. Для окончательного построения нанесенные точки соединяются гладкой кривой.

В качестве исходных данных для построения огивы используется таблица, полученная после табулирования данных, но при этом второй столбец этой таблицы (частоты) мы должны преобразовать в накопленные частоты, а затем в проценты.



Границы интервалов

Частоты

Накопленные частоты

Накопленные частоты в %

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

100-110

110-120

2

4

5

8

7

7

4

1

2 2/38=0,05

(4+2)=6 4/38=0,1

(6+5)=11

19

26

33

37

38

5

15

28

48

65

83

95

100


38 учеников; 38 –100%; 2 – х%; х=2 100/38=2 2,5


Границы интервалов

110

100

90
^ 80 Огива всегда
70 начинается с точки на

60 вертикальной оси.

50

40 %




20 30 40 50 60 70 80 90 100



Сглаженная кривая представляет собой неубывающую функцию. С помощью сглаженной кривой можно находить приближенно процентили. Р35=74.




Может ли такая кривая быть огивой? Нет, т.к.огива – неубывающая функция.


С помощью сглаженной кривой можно судить о наличии малых и больших значений исследуемого показателя.





Мало умных или нет?(IQ)

Мало больших значений

Нормальная кривая

(на компьютере – нестандартная)


10 80 %

Иногда при построении гистограммы и полигона частот по вертикальной оси откладываются не частоты, которые вычисляются путем деления частоты на количество наблюдений. В этом случае максимальное значение по вертикальной оси не превосходит единицы.


^ 9. МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ

В статистике наиболее распространенными являются следующие меры центральной тенденции: мода, медиана, среднее значение.

Мода – это такое значение в выборке, которое встречается наиболее часто. хmod . Например: 4, 2, 8, 8, 4, 8, 10. В данном случае хmod=8, т.к. 8 встречается наиболее часто во всей выборке. Возникают различные ситуации, в которых необходимо найти моду.

1 ситуация. В случае, когда все значения выборки встречаются одинаково часто, то принято считать, что выборка не имеет моды.

4, 2, 6, 7, 5, 10 – не имеет моды.

4, 2, 4, 2, 4, 2, 6, 6, 6 – не имеет моды.

4, 2, 4, 2, 4, 2, - не имеет моды.

4, 4, 4, 4, 4 – мода равняется 4 хmod=4.

2 ситуация. Когда два соседних значения в упорядоченной выборке встречаются одинаково часто и чаще, чем все остальные значения, то в этом случае мода равняется среднему значению этих двух соседних величин.

1, 4, 3, 3, 6, 2, 8, 2, 10

1, 2, 2, 3, 3, 4, 6, 8, 10 – упорядоченная выборка.

Хmod= (2+3):2=2,5

1, 2, 2, 5, 5, 7, 9 (если между ними нет других значений – то соседние значения) хmod= (2+5):2=3,5

1, 4, 3, 3, 6, 6, 8, 2, 10 – это не вторая ситуация, а третья. Выборка здесь не упорядочена.

3 ситуация. Если два не соседних значения в упорядоченной выборке встречаются одинаково часто и чаще, чем все остальные значения, то в этом случае говорят, что выборка имеет две моды и называют выборку бимодальной (тримодальной).

Пример: 4, 2, 3, 6, 4, 2

2, 2, 3, 4, 4, 6

4, 2, 3, 6, 4, 2, 6

2, 2, 3, 4, 4, 6, 6 хmod1=2; xmod2=(4+6):2=5

2, 2, 4, 4, 6, 6, 10, 12 хmod=(2+4+6):3=4

4, 4, 4, 8, 8, 8, 11, 11 xmod=(4+8):2=6

Например: xmod=108 (IQ). Значит, в этой группе наиболее часто встречается 108, но не говорится сколько.

4, 4, 4, 2, 6, 7 – хmod=4

^ Медиана – это такое значение, которое делит упорядоченную выборку пополам, т.е. половина значений выборки меньше медианы, а вторая половина больше медианы, хmed или Md.

xmed=K0,5(квантиль)=P50(процентиль)=D5(дециль)=Q2(квартиль).

При вычислении медианы возможны две ситуации:

1 ситуация. Количество наблюдений в выборке нечетно. В этом случае медиана равна значению, расположенному точно в середине упорядоченной выборки.

3, 8, 6, 5, 4

3, 4, 5. 6. 8 – сначала упорядочиваем выборку, Хmed=5.

2 ситуация. Количество наблюдений в выборке четно. В этом случае в качестве медианы выбирается среднее значение двух центральных значений упорядоченной выборки.

2, 3, 5, 8, 7, 10

2, 3, 5, 7, 8, 10 хmed=(5+7):2=6

хmed=108. это говорит о том, что половина клиентов имеет IQ 108 и меньше, а вторая –108 и больше.

Если исходная выборка представлена в виде таблицы, полученной в результате табулирования данных, то медиану можно найти, рассматривая накопленные частоты. Пример: в результате табулирования получилась таблица:


Границы интервалов

Частоты

Накопленные частоты

4-6

6-8

8-10

10-12

12-14

2

5

4

13

3

2

7

11

24

27


13+1+13=27 – медианой будет выступать 14-ое значение, Хmed=11.

Среднее значение вычисляется следующим образом: суммируются все элементы выборки и полученная сумма делится на количество элементов в выборке. Обозначается х. хср, х.

x=(x1+x2+…+xn) : n= xi : n

n

xi=x1+x2+...+xn

i=1

48

х6+х7+…+х48= хi

i=6

21

y4+y5+…+y21= yk

k=4

n 2 2 2 2

xi = x1 + x2 +...+ xn

i=1

Если выборка представлена в виде частотного ряда


zi

z1

z2

...

zk

ni

n1

n2

...

nk

k k

x=(z1 n1+z2 n2+...+zk nk) : (n1+n2+...+nk)= (zi ni) : ni

i=1 i=1

Пример: вычислить моду, медиану и среднее значение следующей выборки: 7, 3, 3, 6, 4, 5, 1, 2, 1, 3

xmod=3

1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7

n=10

xmed=(3+3):2=3

x= (7+3+3+6+4+5+1+2+1+3):10=35:10=3,5

Пример: вычислить моду, медиану и среднее значение для выборки, представленной в виде следующего частотного ряда:



zi

2

3

4

5

7

10




ni

3

1

2

3

4

2

=15



xmod=7 (самое большое число во второй строчке)

n=15

xmed=5

x=(2 3+3 1+4 2+5 3+7 4+10 2):15=80:15=5,33


Свойства среднего значения.

1. Если выборка состоит из одного и того же значения, то среднее значение этой выборки будет равно этому значению. 1245, 1245, 1245 х=1245.

2. Если к каждому элементу выборки добавить одну и ту же величину с, то среднее значение новой выборки будет равняться среднему значению старой выборки, измененному на эту величину с. хнов.=хстар.+с. с может быть положительным и отрицательным. 220, 221, 223, 225

0 1 3 5

хнов.=(0+1+3+5):4=9:4=2,25

хнов.=хстар.+с хстар.=хнов.-с=2,25-(-220)=2,25+220=222,25

3. Если каждый элемент выборки умножить на одну и ту же величину с, то среднее значение новой выборки будет равно среднему значению старой выборки, измененному в с раз. 2, 3, 5, 8 с=120

х=(2+3+5+8):4=18:4=4,5

240. 360, 600, 960 хнов.=4,5 120=540

Вычисление мер центральной тенденции можно производить с помощью мастера функций, имеющегося вMicrosoft Excel (fx). Мода выборки вычисляется с помощью функции Мода (исходный диапазон). В качестве аргумента указывается диапазон ячеек, в которых находится исходная выборка. Мода (А1:А38) #Н/Д (моды нет)





А

В

С

Д

1

…




…




2

…




…




3

…




…




…

…




…




38

…




…





К сожалению, в случае нескольких мод у одной выборки в качестве результата выдается только одна из них (не дают информации, что несколько мод).

Для вычисления медианы используется функция Медиана (исходный диапазон) С1:С36. Для вычисления среднего значения используется функция Срзнач (исходный диапазон)

Желательно при обработке исходных данных использовать все 3 меры центральной тенденции. Отметим некоторые особенности рассмотрения мер центральной тенденции.

1. В небольших выборках мода может быть совершенно не стабильной. 1, 1, 1, 3, 5, 7, 7, 8 хmod=1 xmod=7.

2. На медиану не влияют величины самых больших и самых малых значений. 1, 1, 3, 5, 7 хmed=3.

3. На величину среднего значения оказывает влияние каждый элемент выборки, если какой-либо элемент выборки изменится на величину с, то среднее значение изменится в том же направлении, на величину с/n.

4. Некоторые выборки вообще нельзя охарактеризовать с помощью мер центральной тенденции. Особенно это справедливо для выборок, имеющих более, чем 1 моду.

Пусть тест успеваемости, состоящий из 8 различных задач, позволяет разделить исследуемую группу учащихся на тех, кто усвоил определенные понятия и тех, кто не усвоил. Предположим, что усвоившие получают оценки 6,7,8, а не усвоившие 0,1,2. В ходе эксперимента получаемые результаты можно представить в виде следующей гистограммы:


Частоты

15


10




5

Оценка, баллы

1 2 3 4 5 6 7 8

24

В данном примере среднее значение х=3,85, хотя мы видим, что даже не существует ученика, получившего 4. Медиана этой выборки =2,17, хотя имеется достаточно большое количество значений =8. В данном примере ни медиана, ни среднее значение не дают правильного представления об изучаемой выборке. Наиболее простой правильной характеристикой для данной выборки является следующее утверждение: «Гистограмма является бимодальной и имеет V-образную форму. хmod1=0, xmod2=8».

5. Если выборка является унимодальной, т.е. имеет 1 моду и гистограмма такой выборки является симметричной, то в этом случае мода, медиана и среднее значение совпадают.

Наиболее просто из рассмотренных 3 мер центральной тенденции вычисляется мода, ее можно легко вычислить по гистограмме или полигону частот.







С точки зрения трудности вычисления медиана занимает промежуточное положение между модой и средним значением. Рассмотрим пример, как изменяются меры центральной тенденции, если выборки отличаются хотя бы одним элементом.

1, 3, 3, 5, 6, 7, 8 xmod=3 xmed=5 x=(1+3+3+5+6+7+8):7=33/7

1, 3, 3, 5, 6, 7, 16 xmod=3 xmed=2 x=(1+3+3+5+6+7+16):7=41/7

Мода и медиана являются более устойчивыми характеристиками, чем среднее значение. В общем случае нельзя однозначно сказать, какая из мер центральной тенденции больше, а какая меньше, т.е. имеется в виду если изображать на числовой оси, могут оказаться различные варианты.

^ 10. МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ

Меры центральной тенденции позволяют нам судить о концентрации наших исходных данных на числовой оси. Каждая такая мера дает значение, которое представляет в каком-то смысле все элементы выборки. В этой ситуации фактически пренебрегают различиями, существующими между отдельными элементами выборки. Поэтому для учета таких различий будем использовать некоторые другие описательные статистики, которые называются мерами изменчивости (рассеяния, разброса). Самой простой мерой изменчивости является размах выборки, для вычисления которого необходимо из максимального элемента выборки вычесть минимальный. R=xmax-xmin

Т.к. размах определяется только двумя элементами выборки, то он не учитывает распределения остальных элементов выборки. Пример: пусть первая выборка содержит значения, равномерно распределенные от 1 до 10. И всего таких значений 100. Вторая выборка содержит также 100 значений, но одно из них равно единице, еще одно равно 10, а остальные 98 значений равны 5.

1) 1….1 2….2 … 10….10

10 10 10


2) 55….55 10

98

R1выб.=10-1=9 R2выб.=10-1=9

Иногда в качестве меры изменчивости используют интерквартильный размах (между квартилями).

Q=Q3-Q1





¼=25% ¾=75%


Q1 Q3

50% Q

1 выборка: Q1=3 Q3=8 (75%) Q=8-3=5

2 выборка: Q1=5 Q3=5 Q=0


Интерквартильный размах используется достаточно редко. Наиболее популярной мерой изменчивости является дисперсия.

х1, х2, …, хn

n

(xi-x)=0

i=1


Дисперсия.


Для учета различий между отдельными элементами выборки в качестве меры изменчивости можно было бы взять сумму отклонени