Реферат: О математических методах теории принятия решений рогов С. Ф

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Рогов С.Ф.
Московская финансово-юридическая академия


Введение

Изначально математика имела своей целью изучение возможностей использования методов вычислений для нужд общественных: торговли, работ строительных , целей военных .

Времена эллинов характеризуются в этом отношении многими усилиями к отчуждению этих методов от непосредственных потребностей в практической деятельности людей , в том числе возложению на математику попыток решения также проблем мировозрений людей и стараний познания разумом, что называется логического единства окружающего нас мира.

Аксиоматический подход в том числе весьма способствовал развитию этих направлений человеческой деятельности , также фактически безграничным возможностям расширения круга учеников основателей аксиоматического подхода среди многих стран и народов и на многие века.

Сам процесс принятия решений в процессе практической деятельности людей , также, ныне является предметом приложения метода аксиоматического.

В данной работе предлагается некоторый обзор предлагаемых автором схем выбора, также вычислительные методы для их реализации, в том числе дающие возможность достаточно эффективно решать и традиционные задачи поиска глобального экстремума для классов функций на дискретных множествах и для многих действительных переменных, также для функционалов на бесконечномерных пространствах, также многокритериальные задачи математического програмирования.

^ Общая схема выбора решений из множества альтернатив.

Обобщение аксиомы независимости несвязанных альтернатив для общих решающих схем.

Следующую тройку будем называть общей решающей схемой (Х,Е,) .

Х-генеральная совокупность всех альтернатив, для принятия решения

.Е- система подмножеств , которые могут быть представлены для выбора лицу принимающему решение.

-функция выбора, заданная на системе множеств Е.

(x)=(х+,х-,х0), х+х-=, х-,х+Х,х0=Х\(х-х+). (1.1)

х+ - множество хороших альтернатив из предьявленного подмножества.

х- - множество отвергнутых альтернатив из предьявленного подмножества.

х0 - область неопределенности из предьявленного подмножества.

х-Е-,х0Е0,х+Е+; Е-,Е0, Е+ - системы подмножеств Х.

В частности возможно Е=Е-=Е0=Е+.

Представляют особый интерес решающие схемы, для которых выполняется аксиома, которую мы по аналогии с аксиомой для арбитражных схем [1] будем называть аксиомой независимости несвязанных альтернатив.

Аксиома независимости . Если для решающей схемы (1.1)

~ ~ ~

хх, то х+(х)х+(х)(x\x).

^ Можно показать, что схема выбора на частично
max

упорядоченном множестве х+(х)=[х], x0= удовлетворяет условию

max

независимости, где множество [х], множество всех максимальных элементов множества х.

Аксиома независимости Нэша [1]для схем выбора, таких, что х+(х) =1 , х0(х)=  состоит в том , что добавление новых альтернатив в предьявленном множестве не меняет предпочтения на старых альтернативах.

~ ~ ~ ~

То есть, если хх, то или х+(х)= x+(x), или х+(х)х.\х . В обеих

~ ~

случаях x+(x)x+(x)(x\x).

Решающая схема в задаче позицирования товара на рыночном сегменте удовлетворяет условию независимости.

Можно показать, что выполнение аксиомы Нэша на дискретных множествах X и если Е- система всех подмножеств Х эквивалентно существованию единого числового показателя эффективности на всей генеральной совокупности альтернатив Х.

^ Показатель определенности решения для схем выбора.

Если тройка (Х,Е, ) такова, что система Е подмножеств на генеральной совокупности альтернатив Х представляет собой -алгебру (е), еЕ -аддитивная положительная ограниченная функция (мера) .[6].

При этом -алгебра Е согласована со схемой выбора и включает в себя также системы Е,Е+,Е-,Е0, иследуемой решающей схемы(все элементы из Е,Е+,Е-,Е0, также измеримы для (Х,Е, )).

То для каждого выбора х Е определим р=(х+)/(х), q=(х-)/(х)

s,s=p+q назовем показателем определенности решения.

Очевидно, что решение получающееся на основе выбора единственного максимального значения функции действительного переменного обладает максимальным значением определенности решения равным 1.

3.Алгоритмы построения монотонных последовательностей элементов и множеств для задач математического программирования.

Построение монотонной по значениям функций и оценок точности последовательности допустимых значений аргумента целевой функции основная схема алгоритмов нахождения глобального экстремума функций многих переменных с любой заданной по значениям функционалов точностью на дискретных и недискретных множествах, в том для числе метода ветвей и границ и метода построения последовательности планов [2], также см.[3,4].

Предлагаемые в [3,4], процедуры позволяют также производить более полное решение соответствующих задач , основанное на вышеуказаннх схемах выбора среди соответствующиего множества аргументов функции.

Например, для случая единого критерия F(x) на множестве альтернатив Х, можно находить три множества.

Х+={x:xX,F(x)SupF(x)- } Х-={x:xX,F(x) SupF(x)- }, X0=X\(X-+X+).

Cлучай , когда мера множеста Х0 равна 0, соответствует наиболее полному решению такой задачи. Всегда множество Х+ есть множество --оптимальных решений задачи отыскания глобального экстремума функции F(x) на всем множестве Х.

Для случая многих критериев , также как и для задачи определения множества максимальных элементов строятся монотонные последовательности доминирующих множеств . Такие алгоритмы также можно использовать получения вышеуказанных схем выбора среди множества альтернатив.

4.Нахождение глобального экстремума функций многих действительных переменных и приближенных решений операторных уравнений при известной мажоранте на приращение целевой функции.

Приведем пример классов функций, на которых возможно получать монотонные последовательности элементов для получения --оптимальных решений задач глобальной оптимизации функций многих действительных переменных, также получать схемы выбора , согласно вышеуказанным.

Это классы функций с ограниченной мажорантой на приращение функции

F(x)-F(y)K(x-y), в частности.

n

F(x)-F(y)ci*xi-yi.

I=1

F(x)-F(y)max ci*xi-yi, ci0.

in

Показано, что решение задачи возможно для любого 0 и получены оценки трудоемкости алгоритмов решения таких задач , когда множества допустимых элементов ограничено.

Для задачи определения всех комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами используется модификация мажоранты, вида K(х,x-y).

Также получена оценка точности решений на каждом шаге итерации по норме пространства значений многочлена и по норме пространства аргументов и гарантируемая трудоемкость алгоритма в зависимости от требуемой точности .

Рассматриваются оптимальные свойства используемых разбиений. для последовательных и пассивных алгоритмов поиска глобальных экстремумов функций многих действительных переменных.
Литература
Льюис и Райфа “Игры и решения”

Емеличев В.А., Комлик. В.И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. Москва Наука Главная редакция физико-математической литературы. 1981 г.

Ковалев М., С.Ф. Рогов С.Ф. Сложностной аспект метода частичных порядков. Изв АН БССР N 3 Mинск 1987 г.

Рогов С. Ф. Метод построения F- монотонной последовательностей при ассимптотическом подходе к решению линейной оптимизационной задачи и оптимизация на графах. с 19;25) Работы ЦПТБ Агроснаба Госагропрома по разработке и использованию методов решения оптимизационных задач в экономических и производственных целях (сборник) М.1989 г.55 с.библ.в конце статей (Рукопись депонирована во ВНИИТЭИ).