Реферат: Самаркандский Государственный

Самаркандский Государственный

университет имени

Алишера Навои







Рашидов И.В.

























Экономико-математические

модели и методы








































Самарканд-1999








^ МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН


САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ


^ КАФЕДРА МЕНЕДЖМЕНТА


ТЕКСТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ: «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ»


СОСТАВИТЕЛЬ: РАШИДОВ И.В.


САМАРКАНД-1999

^ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ЭКОНОМЕТРИКА И ПРЕДМЕТ ИХ ИССЛЕДОВАНИЙ


Эконометрика, как и другие науки, стремится стать математической, потому что со времен Декарта материализация стала идеалом строгости для всякой науки. Естественные науки, особенно физика, почти его достигли. Общественные же науки еще далеки от этого идеала, но эконометрика ближе к нему, чем какая либо другая из них.

Как мы уже отметили, математическая формализация сразу невозможна, но когда она возможна, использование математики придает рассуждениям несравненную тонкость и строгость.

^ Экономико-математические методы (ЭММ) – условное название комплекса научных дисциплин на стыке эконометрики с математикой и кибернетикой. Обычно в ЭММ включаются следующие группы научных дисциплин и направлений, хотя предмет их исследования и границы между ними в литературе толкуются по-разному:

Экономико-статистические методы.

В эту группу входят математическая статистика, общая теория статистики и экономическая статистика.

Эконометрика или несколько шире моделирование экономических процессов, охватывающее как абстрактные, так и статистико-числовые, т.е. эконометрические модели.

В эту группу входят макроэкономические модели, производственные функции, методы межотраслевого баланса, национальные счета и др. Если аналитические модели чаще всего включаются в эту группу, то вопрос в нормативных моделях, например, моделях оптимизации экономических процессов, остается открытым. Этим занимается 3-я группа дисциплин.

Методы оптимальных решений или шире исследование операций в экономике.

Методы оптимизации разрабатываются прикладными разделами математики. Математическое программирование, теория игр, теория графов и т.д. Однако названная группа дисциплин занимается и вопросами применения этих методов в эконометрике. Содержательный аспект подчеркивается И.О., кроме перечисленных дисциплин в эту группу включают оптимальное планирование, модели отрасли и предприятия, управление запасами и др.

Экономическая кибернетика.

Она занимается системным анализом эконометрики, теоретическими и прикладными вопросами управления в эконометрике, в частности экономическими системами. В эту группу входят такие дисциплины, как экономическая информация, теория кодирования и др.

^ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ



Модель и моделирование

Математическое моделирование

Основные этапы исследования реальных объектов с помощью математических моделей. Вычислительный эксперимент.

I. Термин «модель» широко распространен как в научном, так и обще потребительском языке. Слово «модель» ведет свое происхождение от латинского «modulus» и означает меру, норму или же образование. Оно используется в широко распространенном методе исследования, называемым моделированием.

Моделирование – это исследование объектов познания не непосредственно, а косвенным путем при помощи анализа некоторых других вспомогательных объектов. Такие вспомогательные объекты называются моделями.

Моделирование условно можно разбить на 2 большие группы:

материальное (предметное) моделирование

идеальное моделирование

Частным случаем материального моделирования является физическое моделирование и аналоговое моделирование. В этих типах моделирования модели являются материальным отражением исходного объекта, связанной с ним своими геометрическими, физическими и другими характеристиками.

От предметного моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, основывающееся не на материальной аналогии моделируемого объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой.

Идеальное моделирование можно разбить на 2 подкласса:

знаковое (формализованное) моделирование

интуитивное моделирование

При знаковом моделировании моделями служат знаки образования: схемы, графики, формулы, чертежи и другие.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики.

При интуитивном моделировании не используют четко фиксированных знаковых систем. Такое моделирование часто встречается в тех областях науки, где познавательный процесс находится на начальной стадии.

Роль идеального моделирования особенно велика в экономических исследованиях, поскольку возможности проведения натурного эксперимента и эксперимента с материальными моделями в них ограниченны.

Интуитивное моделирование в течение долгого времени оставалось главным, единственным методом анализа эконометрических процессов. Проникновение в экономические исследования математических моделей создало основу для точного и строгого описания модели и объяснения выводов, получаемых на их основе.

II. В прикладных отраслях науки исследователю обычно непосредственно задается реальный нематематический объект: физическое явление, производственный процесс, система управления, экономическая проблема и т.д. Исследование, основанное на математическом моделировании, начинается с формализации объекта, с построения соответствующей математической модели, в которой выделяется его наиболее существенные черты и свойства и описываются с помощью математических соотношений. Только после того, как построена математическая модель, т.е. объекту исследования придана математическая форма, мы можем воспользоваться для ее изучения эффективными математическими методами. Математическая модель (ММ), как и другие модели, никогда не бывает, тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Основанная на упрощении, идеализации, она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, получаемые при анализе модели, всегда носят для объекта приближенный характер. Их точность определяется степенью соответствия адекватности объекта и модели. В целом, ММ позволяют свести исследование реального нематематического объекта к решению математической задачи, открывая тем самым возможность, используя для его изучения хорошо разработанного математического аппарата с мощной вычислительной техникой.

III. 1-Этап посвящен постановке проблемы. Одной из главных особенностей прикладного исследования является участие в исследовании лица или организации, которые ставят проблему перед исследователем, пользуются результатами исследования, а зачастую, и финансируют исследования. Такое лицо или организацию принято называть заказчиком.

2-Этап, после того как совместно с заказчиком сформулирована задача, которая стоит перед исследователем, последний может приступать к следующему 2 этапу – построению математической модели изучаемого объекта и ее идентификации (обозначению).

3-Этап, заключается в исследовании построенной модели. Методы исследования бывают теоретическими (которые позволяют вычислить некоторую систему показателей данной модели), оптимизационными (когда пытаются найти решение, приводящее к max или min), имитационными, при чем в данном случае задаются не только варианты решения, но и варианты реализации случайного воздействия.

Исследование конкретных объектов с помощью математических моделей принято называть вычислительным экспериментом, т.к. на втором, так и на третьем этапах могут быть использованы алгоритмы решения, сформулированные математические задачи, программы на их основе и многократная реализация программ на компьютере.

Вычислительный эксперимент имеет следующую условную схему:

Постановка исходной проблемы









^ Построение ММ Разработка алгоритма решения задачи Составление алг.программы и ее откладка Автомат. решение задачи на компьютере
Интерпретация и анализ результатов









^ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ


Особенности экономико-математического моделирования.

Основные принципы описания производно-техологического уровня экономических процессов


Хотя имеются определенные аналогии с физическими процессами, экономическое моделирование намного сложнее. Дело осложняется в первую очередь тем, что эконометрика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения.

Моделирование производственных процессов не намного сложнее физических. Моделирование же производственных отношений невозможно, не учитывая поведения людей, их интересов и индивидуально принятых решений. Для того чтобы продемонстрировать различие между моделированием чисто технологических сторон экономических явлений и описанием действия людей приведем пример: рассмотрим бригаду рабочих с мастером во главе, занятых мелкосерийным производством. Математически описать производительность каждого рабочего и поставить задачу о минимальных затратах времени на выполнение полученных заданий относительно не сложно. Такая задача сводится к задаче ЛП. Однако мы не можем математически описать все интересы мастера, поскольку принципы построения математических моделей с учетом экономических интересов отдельных людей и их коллективов разработаны слабо. Хотя изучаемые экономические системы обычно значительно сложнее участка мелкосерийного производства, во всех них можно выделить 2 основных уровня экономических процессов;

1 уровень – производно-технологический.

При математическом моделировании производственных возможностей экономической системы ее обычно разбивают на отдельные производственные единицы. После этого необходимо описать: во-первых, производственные возможности каждой единицы; во-вторых, возможности обмена ресурсами производства и продукции между производственными единицами.

Производственные возможности описывают при помощи производственных функций, а при описании возможностей обмена главную роль играет баланс соотношения.

2 уровень – социально-экономический.

На этом этапе определяется, каким образом реализуются производственные возможности, описанные при моделировании производно-технологического уровня. Возвращаясь к нашему примеру, можно сказать, математическое описание квалификации рабочих и производительности оборудования еще не достаточно, для того чтобы с помощью модели оценить результат действия участка производства. Для решения такой задачи необходимо описать процесс распределения мастером заданий на изготовление деталей между отдельными рабочими. Существует огромное число вариантов распределения заданий. В математических моделях выделяют специальные переменные, которые принято называть управляющими воздействиями или управлениями на уровне социально-экономических процессов определяется механизм выбора управляющих воздействий. Таким образом, для описания функции отражения экономической системы необходимо смоделировать оба уровня, хотя есть большое число проблем, где описание 2-го уровня не является необходимым. Это так называемые нормативные проблемы, т.е. задачи планирования.

II. Изучаемая экономическая система, будь то эконометрика в целом, отрасль, экономический район, отдельные предприятия или даже цех и участок, моделируется в виде совокупности некоторого числа элементарных экономических единиц, причем каждая из единиц характеризуется некоторой функцией, устанавливающей связь между затратами тех или иных ресурсов в процессе производства и выпуском продукции. Такие функции принято называть производственными функциями.

П
усть в процессе производства на описываемой производственной единице выпускаются l видов изделий (продуктов). Обозначим выпуск k – того продукта через Yk(k=1,l). Совокупность показателей выпуска обозначим через вектор Y, т.е. Y=(Y1,Y2,…,Yl). Иногда вектор Y может состоять из одного элемента, т.е. превращаться в скалярное.

Д
ля производства продукта в описываемой производственной единице необходимо использование рабочей силы, основных и оборотных фондов, природных ресурсов, сырья и т.д. Все эти величины принято называть ресурсами. Пусть используется всего m ресурсов. Обозначим количество j –того ресурса через Xj(j=1,m). Совокупность всех m ресурсов обозначим через вектор Х=(Х1,Х2,…,Хm).

Производственной функцией в широком смысле называют соотношение между используемыми ресурсами и выпуском продукции:

F(x, y, a)=0 (1)

где а – вектор, состоящий из р числовых параметров (а=(а1,а2,…,ар)).

Соотношение (1) может быть векторным. Оно может быть задано в аналитическом виде или в виде таблицы. Вид функции F и ее параметры обычно определяются из общеэкономических или технологических соображений. А также путем обработки статистической информации. Вместо общего представления производственные функции в неявном виде (1) часто используют его частные случаи, представляемые с помощью функций явного вида:

Функции выпуска, в котором в качестве независимых переменных берутся затраты ресурсов, а функцией является выпуск:

Y = f(x, a) (2)

Функции затрат, в которых независимыми переменными является выпуск, а функцией затраты ресурсов:

X = h(y, a) (3)

В соотношениях (2) и (3) величины X, Y и a могут быть многокомпонентными, т.е. векторными. Обычно функцию виды (2) называют производственной функцией в узком смысле.

Рассмотрим одну из наиболее распространенных производственных функций – степенную производственную функцию с одним продуктом и двумя ресурсами производства:

Y

= a0X1a1X2a2, ai›0, (i=0,2)

Линии уровня этой функции, т.е. линии постоянного значения Y имеют следующий вид:

Х




2

0
Х1

Соотношение (2) часто записывают в следующем виде:

Y ≤ f(x, a) (4)

Неравенство (4) задает целую область технологически возможных выпусков продукции, которые принято называть областью производственных возможностей производственной единицы. Для случая одного продукта и одного ресурса в степени производственной функции Y=a0xa1 область производственных возможностей имеет следующий вид:



а0>0

0<а1<1

Y







0 X

Второе важнейшее понятие, используемое при моделировании производно-технологического уровня, связано с описанием потоков продуктов и ресурсов между производственными единицами. Поскольку потоки продуктов и ресурсов материальны, то к ним применим закон сохранения вещества, который в эконометрике отражается в виде балансовых соотношений. Например, если имеются две производственные единицы и продукт 1-ой является сырьем для 2-ой, а также может использоваться вне системы в количестве W, то балансовое соотношение записывается в следующем виде:

X2+W≤Y1

Где Y1 – выпуск продукции 1-ой производственной единицы,

X2 – потребление ресурсов 2-ой производственной единицей.

В общем, виде принцип построения балансовых соотношений можно сформулировать так:

суммарное использование любого ресурса в системе не больше, чем его запасы плюс его производство в системе плюс его поставки из вне.

Таким образом, мы рассмотрели 2 основных принципа списания производно-технологического уровня экономической системы:

Разделение ее на элементарные производственные единицы

Установление балансовых соотношений между ними.
^ АГРЕГИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ

Агрегирование в моделировании – это уменьшение числа переменных в модели.

Сильно агрегированные модели экономики предназначаются обычно для анализа основных тенденций развития экономики в течение продолжительного периода времени. В таких моделях экономика списывается с помощью небольшого числа показателей. В моделях развития экономики в целом необходимо иметь следующие 5 блоков:

Блок производственной деятельности

Блок НТП

Блок ресурсов

Блок демографии

Блок социально-экономических механизмов

Рассмотрим подходы к проблеме долгосрочного прогнозирования экономики с помощью математических моделей, в которых фигурируют лишь основные показатели развития экономики, как национальный доход, суммарные основные фонды и общее количество занятых в производстве. В таких экономических моделях в качестве элементарной производственной единицы берется вся экономика страны в целом.

Основное балансовое соотношение, используемое в долгосрочном моделировании, имеет следующий вид:

It+Ct=Yt (1)

Где t – время

It – часть национального дохода, который сводится на капитальные вложения (наклонение) в году t

Ct - непроизводственное потребление в году t

Yt – национальный доход в году t

Это соотношение (1) основывается на законе сохранения. При этом предполагается, что внешняя торговля сбалансирована.

Динамику основных производственных фондов можно описать при помощи следующего соотношения:

Kt+1=Kt+It (2)

Где K – основные производственные фонды

В простейшей модели национальный доход в году t можно описать как функцию основных фондов и числа трудящихся, занятых в производстве в году t:

Yt=F(Kt, Lt, t) (3)

Соотношение (3) является производственной функцией в котором ресурсы: основные фонды Kt и затраты труда Lt. Обычно предполагается, что число трудящихся растет с темпом α , т.е.:

Lt=L0eαt (4)

Удобно определить капитальные вложения и накопления через норму наклонения:


St=

It

Yt


(5)


Отсюда: It=St · Yt (6)

Ct=(1- St) · Yt (7)

Обычно норма накопления St меняется в достаточно узких пределах, но в рассматриваемой модели она меняется в сегменте [0;1].

О

(8)

бычно предполагается, что в начальный момент времени t=0 число трудящихся, занятых в производстве L0, капитальный вложения, а также основные производственные фонды K0 и α заданы. Тогда объединяя все соотношения, получим следующую прогнозную модель:

В Yt=Ct+It
Yt=F(Kt, Lt, t)

It=St Yt

Ct=(1 - St)Yt

Kt+1=Kt+It

Lt=L0e αt

этой системе (8) одна свободная переменная St. Можно считать ее управлением и изучать последствия ее изменения.

При построении производственной функции страны в целом существенную роль играют численность населения, основные фонды, запасы полезных ископаемых и т.д. Важнейшим интегральным показателем является национальный доход. Следовательно, исследование производственной функции вида: Yt=F(Kt, Lt, t) всегда актуально.

Рассмотрим производственную функцию, независящую от времени:

Y=F(K, L) (9)

Где K и L – положительные.

Сделаем некоторые предположения. Предположим что функция (9) является дважды непрерывно – дифференцируемой, это предположение означает, что

во-первых, – входящие переменные могут меняться непрерывно,

во-вторых, – результат деятельности Y достаточно гладко меняется при изменении количества используемых ресурсов.

П
F(0, L)=0
F(K, 0)=0


(10)

ервым экономическим предположением является следующее: при отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно:


Следующее экономическое предположение связано с направлением изменения результата деятельности при изменении ресурсов. Предполагается, что рост ресурсов приведет к росту национального дохода, т.е.:

∂F

∂K


>0




∂F

∂L


>0





(11)

Кроме того, часто предполагают, что увеличение затрат лишь одного ресурса приведет к снижению эффективности в его использовании, т.е.:



∂2F

∂K2


<0




∂2F

∂L2


<0





(12)

Необходимо обратить внимание на то, что эта закономерность наблюдается лишь при отсутствии качественных изменений в производстве.

Теперь рассмотрим вопрос о том, что происходит при пропорциональном росте используемых ресурсов.

В математической постановке этот вопрос имеет следующий вид: как связаны между собой значения: F(K, L) и F(λK, λL) при λ>0

На основании формулы (11) можно получить следующее соотношение:

F(λK, λL) > F(K, L) при λ>1

Часто при моделировании экономики страны используется предположение о том, что:

F(λK, λL) = λF(K, L) при λ>0 (13)

Соотношения (10)-(13) являются основными предположениями о свойствах производственных функций.

На их основе сделаем некоторые заключения о производственной функции и введем некоторые понятия.

Производственная функция F (K, L) обладает тем свойством что одно и то же количество национального дохода может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов производства K и L. Геометрическое место точек на плоскости {K и L}, для которых: F(K, L)=Yc называется изокватой. Здесь Yс фиксированное количество национального дохода. Изоквата имеет следующий вид:


K


y>yc


F(K, L)=Yc





yc

L

Она характеризует соотношение ресурсов между основными фондами и трудовыми ресурсами.

Изоквату описываемую соотношением F(K, L)=Yc, можно рассматривать как зависимость K (L). Эта зависимость является представлением неявной функцией в явном виде. Из графика видно, что эта функция является монотонно убывающей, т.е.:

dK

dL


<0

Докажем что действительно так. Для этого величинам K и L дадим малые приращения dК и dL так, чтобы точка с координатами (L + dL, K + dK) также лежала на рассматриваемой изоквате, т.е.: F(L + dL, K + dK) – F(L, K)=0

Или же:

∂F

∂K


dK +

∂F

∂L


dL=0

Из последнего получим:

dK

dL


= -

∂F/∂L

∂F/∂K


<0


Здесь видно, что эта производная меньше 0.

Соотношение:


γ=

dK

dL





(14)

назовем предельной нормой замещение ресурсов, которая показывает сколько основных фондов основных фондов может быть сэкономлено при увеличении затрат труда на 1. Или наоборот, сколько основных фондов необходимо дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на 1, если мы хотим оставить национальный доход на прежнем уровне. Для количественной характеристики скорости изменения предельной нормы замещения при движении вдоль изокваты используется эластичность замещения ресурсов, которая определяется по следующей формуле:


σ =

d(K/L)

K/L


:

d γ

γ


=

γ

K/L


·

D(K/L)

d γ





(15)

σ – скорость изменения предельной нормы, она показывает, на сколько процентов должно измениться отношение основных фондов к количеству трудовых ресурсов (фондовооруженность), чтобы при этом σ изменялась на один процент. У σ по отношению к другим подобным показателям большое преимущество. Она постоянна для большинства используемых на практике производственных функций.

Еще одной важной характеристикой производственных функций является коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам:





Ek=

K

F(K, L)


·

∂F(K, L)

∂K














El=

L

F(K, L)


·

∂F(K, L)

∂L






(16)




Эти коэффициенты показывают, на сколько % изменится национальный доход при изменении соответствующего ресурса на 1 процент.

Рассмотрим производственные функции, наиболее широко используемые для описания производства в масштабе страны. Первая из таких функций имеет вид: Y=Y0x1a1x2a2…xnan

В рассматриваемом нами случае она имеет следующий вид:


Y=Y0(


K

K0


)α (


L

L0


)β





(17)


Здесь Y0, K0, L0, α, β - положительные числа.

Если K=K0, L=L0 → Y=Y0 – национальный доход не изменяется. Можно показать, что в функции (17) при 0<α<1 и 0<β<1 удовлетворяются соотношения (10)-(13). Соотношения (13) выполнится в том случае, если выполнится условие:

α+ β=1 (18)

С учетом (18), (17) можно представить



Y=Y0(


K

K0


)α (


L

L0


)1- α





(19)


функция Кобба-Дугласа.

Исследуем свойства производственной функции (19).

Изокваты (линии равного выпуска) этой функции при Y=Yc описываются следующим уравнением:



K=K0[


Yc

Y0


(


L

L0


)α-1


]1/ α


(20)


Очевидно что:

lim K(L)=∞ lim K(L)=0 (21)

L→0 L→∞

Для функции (19) предельная норма замещения γ определяется следующим образом:


γ= -

1-γ

γ



·

K

L


(22)



Для функции (19) σ = 1.

Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам:


Ek = α ; El = 1 - α


МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА


Росту эффективности использования производственных ресурсов способствует большое число технических организационных и социальных факторов. В экономико-математических моделях под НТП обычно понимают совокупность всех явлений, которые приводят к росту национального дохода без роста объема используемых ресурсов. Подходов к описанию технического прогресса в сильно агрегированных моделях, используемых при анализе долгосрочного развития экономики, очень много. Среди них особое место занимает подход на основе выделения особой отрасли в экономической системе, продуктом которой является технический прогресс. Рассмотрим этот подход. Для этого рассмотрим производственную функцию следующего вида:

Y=AF(K, L) (1)

Где A - не является заданной функцией времени и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

dA

dt


= φ(A, V)


(2)


Здесь A (t) - описывает повышение эффективности использования основных фондов и трудовых ресурсов.

V (t) - характеризует затраты на научные исследования.

Функция φ(A, V) задана.

С

Y(t) = A(t) F(K(t), L(t))

I(t) = S1(t)·Y(t)

V(t) = S2(t)·Y(t)

C(t) = (1-S1(t)-S2(t)) ·Y(t)

dK

dt


= I(t)

dA

dt


= φ(A(t), V(t))

Lt = L0·eαt

K0 = K(0); A0 = A(0)




учетом технического прогресса агрегированная модель развития экономики страны в целом (8), рассмотренной в предыдущей теме, можно модифицировать и представить в следующем виде:


В этой модели национальный доход Y(t) распределяется между капитальными вложениями в основные фонды, затратами на НТП и потреблением.

Очевидно, что S1 и S2меняются в сегменте (0;1) и их сумма не больше 1.

Для этой модели также как для модели (8) можно провести исследование относительно возможности сбалансированного роста, решить задачу выбора оптимальных управлений S1 и S2 при различных критериях развития экономической системы.

Пример:

Как было сказано, производственная функция может быть исследована и использована на различных уровнях экономики. Рассмотрим пример построения производственной функции, описывающей валовой продукции сельского хозяйства за один год (Y) в зависимости от использованных ресурсов:

использование земельной площади (Х);

число фактически проработанных в году человеко-дней.

Для построения производственной функции было проведено выборочное наблюдение, которое охватило n=5 объектов сельского хозяйства. В результате наблюдения была построены матрица:


Y

X

L

10.000

1.000

10

1.000.000

10.000

100

10.000

1.000

100

1.000

100

10

1.000

1.000

100


Y=a0xa1La2 (a1+a2=1) (1)

Применяя метод наименьших квадратов, приступим к нахождению первого приближения коэффициентов a0, a1, a2. Система уравнений для нахождения этих коэффициентов будет иметь следующий вид:

lg Y=lg a0 + a1 lgx + a2 lgL (2)


Y

na0' = a1∑x' + a2∑L'=∑y'


a0'∑x' + a1∑ (x')2 + a2∑L'x'=∑y'x'


a0'∑L' + a1∑x'L' + a2∑ (L')2=∑y'L'

'=a0'+ a1x' + a2L' (2')

МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА РАЗВИТИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА

При анализе развития экономической системы в течение коротких периодов времени, возможно, использование менее агрегированных моделей, в которых рассматривается значительно большее число продуктов. Среди них особое место занимает так называемая межотраслевая модель, которая основывается на понятии межотраслевого баланса народного хозяйства. Впервые межотраслевой баланс был составлен как составная часть баланса народного хозяйства СССР за 1923-24 гг. в настоящее время межотраслевые балансы составляются в большинстве стран мира (основоположник – В.Мотьев).

Межотраслевой баланс (МБ) – это таблица, характеризующая связи между отраслями экономической системы. Прежде чем составить такую таблицу необходимо составить список отраслей, которые будут фигурировать в межотраслевом балансе. Межотраслевой баланс обычно состоит из 4 разделов (квадратов).

МБ имеет следующий вид:


Отрасли


1


2


…


n

n

∑Xij

j=1

Конечный продукт

Валовая продукция

1

2

…

n

X11

X21

…

Xn1

X12

X22

…

Xn2

…

…

…

…

X1n X2n

…

Xnn

∑X1j

∑X2j

…

∑Xnj

Y1

Y2

…

Yn

X1

X2

…

Xn

n

∑Xij

i=1

∑Xi1

∑Xi2

…

∑Xin

∑∑Xij

∑Yi

∑Xi

Условно-чист.прод.

V1

V2

…

Vn

∑ Vj







В с е г о

X1

X2

…

Xn

∑ Xj






1>1>


Для каждой i-той отрасли в балансе соответствует i-тая строка и i-тый столбец. Матрица элементов стоящих на пересечении первых n+1 строк и n+1 столбцов называется первым разделом МБ. Это важнейшая часть МБ, поскольку именно в ней содержится информация о межотраслевых связях.

Э

лемент xij (i=1,n; j=1,n) показывает производственный затраты j-той отраслью продукции i-той отрасли за год, т.е. характеризует межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива от i-того к j-той отрасли, обусловленные производственной деятельности отраслей производства.

В n+1 столбце первого раздела записаны суммы величин xij по строкам, и в n+1 строке раздела записываются суммы величин xij по столбцам. Суммы, записанные n+1 столбце характеризуют сумму всех поставок i-той отрасли другим отраслям, которая называется производственным потреблением. Величины, записанные n+1 строке характеризуют производственные затраты j-той отрасли.

Величина, записанная на пересечении n+1 строки и n+1 столбца характеризуют сумму всех производственных затрат всех отраслей или же сумму производственного потребления продукции всех отраслей. Она называется (∑∑Xij) промежуточным продуктом народного хозяйства.

Второй раздел МБ состоит из матрицы элементов, стоящих на пересечении n+1 первых строк и (n+2) и (n+3) столбцов МБ. Первый столбец этого раздела называется столбцом конечного потребления продукции отраслей, под которым понимаются личное и общественной потребление, не идущее на текущее производственной потребление. Сюда включаются накопление и возмещение выбытия основных фондов, прирост запасов, личное потребление населения, бюджетные расходы. Кроме того в конечный продукт входит сальдо экспорта и импорта продукции. В нашей таблице конечное потребление продукции i-той продукции обозначено через Yi. Обычно в Мб конечный продукт рассматривается более подробно. Второй столбец второго раздела называется столбцом валовых продуктов отраслей, который определяется следующим образом:

n

Xi =∑ Xij + Yi,(i=1,n)

j=1

В n+1 строке второго раздела стоят величины, ∑Yi и ∑Xi , которые характеризуют соответственно суммарный конечный продукт народного хозяйства и суммарную валовую продукцию.

Третий раздел расположен под первым и отражает структуру валового продукта отраслей. В нашей таблице она состоит из двух строк. В первой из них стоят величины Vj, каждая из которых означает условно-чистую продукцию отрасли. Условно-чистая продукция отрасли равна разнице между валовой продукцией Xj и производственными j-той отрасли

n

∑ Xij

i=1

Математически это можно записать

n

V
j =Xj - ∑ Xij,(j=1,n)

i=1

Обычно в МБ условно-чистая продукция каждой отрасли разделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли, в которую включаются заработная плата, прибыль и т.д.

Следует отметить, что верно следующее соотношение:

n




n

∑ Yi

=

∑ Vj

i=1




j=1


^ СТАТИЧЕСКИЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ


Обычно межотраслевая модель строится в следующих предпосылках:

В каждой отрасли имеется единственная технология производства

Нормы производственных затрат зависят от объема выпускаемой продукции

Не допускается замещение в производстве одних видов продукции другими.

П
ри этих предпосылках величину Xijможно представить в следующем виде:

Xij =aij · Xj (i, j = 1, n) (1)

Величину aij называют коэффициентом прямых затрат, который показывает, какое количество продукта i-той отрасли надо затратить на производство единицы продукции j-той отрасли. Эти коэффициенты считаются постоянными величинами в межотраслевых моделях. Соотношение (1) определяет функцию затрат для отрасли. Она дает возможность по выпуску Xj продукции j-той отрасли на основе технологических коэффициентов aij определить затраты Xij. Если соотношение (1) поставим в баланс продукции:

n

Xi =∑ Xij +Yi

j=1

то получим следующее соотношение:

n




Xi =∑ aij Xj +Yi

(2)

j=1




Последнее удобно записывать в матричной форме:


X = Ax + y (3)


где x – вектор столбец x = (x1, x2, …, xn)'

y – вектор столбец y = (y1, y2, …, yn)'

A = (

an, …, a1n

)

an1, …, ann

Матрицу А принято называть матрицей прямых затрат, а соотношение (3) – балансом распределения продукции. Оно является основным соотношением в межотраслевой модели. Возникает вопрос: как построить матрицу А? Имеются два основных метода:

Статистический, в котором коэффициенты определяются на основе анализа отчетных балансов за предыдущие годы

Нормативный, в котором aij определяется по нормативам затрат

Если матрица А построена то соотношение (3) можно использовать для анализа и планирования народного хозяйства. Действительно, если задать конечный продукт Y, то валовой выпуск X определяется из соотношения:

(E - A)X = Y

где Е - единичная матрица.

Из последнего можно получить следующее:

X = (E - A)-1·Y (4)

Таким образом, баланс распределения продукции дает возможность по конечному выпуску ^ Y сразу определить валовые выпуски X. В этом заложена основная идея использования межотраслевых моделей для планирования производства. Прежде чем переходить к использованию соотношения (4), необходимо выяснить:



Всегда ли существует обратная матрица: (E - A)-1

Не получим ли в некоторых случаях отрицательные значения валовых выпусков.

Вместе с тем в теории матриц доказано, что такая обратная матрица существует и ее элементы неотрицательны, если выполняются следующие условия