Реферат: Это тело, размером которого по условиям данной задачи можно пренебречь

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причин этого движения

ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ:

Материальная точка – это тело, размером которого по условиям данной задачи можно пренебречь. Возможность не учитывать размеры тела при механическом движении определяется не размерами самого тела, а условиями рассматриваемого движения. Например, космический корабль при описании его движения по орбите может быть взят в качестве материальной точки, а космонавт, находящийся внутри этого корабля не может считаться материальной точкой.

^ Абсолютно твердое тело – это тело, которое не при каких условиях не деформируется, т.е. расстояние между любыми 2мя его точками остается постоянным. Существование абсолютно твердых тел запрещено теорией относительности.

Система отсчета – одно или несколько тел, относительно которых рассматривается движение данного тела.

^ Кинематическое описание движения тела: уравнение движения материальной точки при координатном способе задания

[ r = i * x ( t ) + j * y ( t ) + k * z ( t ) ].

Число степеней свободы – число независимых координат, определяющих положение точки в пространстве.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая линия, связанная с телом остается параллельной сама себе.

^ Вращательное движение – это такое движение тела, при котором каждая точка тела движется по окружности, центр которой лежит на одной прямой, оси вращения.

Траектория – линия, вдоль которой движется тело.

^ Путь – длинная траектории.

Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, называется перемещением.

Скорость показывает простоту изменения тела в пространстве.

Пусть моменту времени t1 соответствует радиус-вектор r1 движущейся точки, а близкому моменту времени t2 – радиус-вектор r2. Тогда за малый промежуток времени (delta) t точка совершит малое перемещение, равное (delta) s = (delta) r = r2 - r1. (рисунок – веторы r1, r2 выходят из нуля к точке 1, 2 на кривой; точки 1 и 2 соединены и образуют вектор deltaR; вектор средней скорости проходит через 1 и 2, а просто скорость выходит из точки по прямой). v (среднее) = < v > = (delta) s / (delta) t = (delta) r / (delta) t . Вектор средней скорости направлен вдоль вектора перемещения.

Более полно описать движение позволяет мгновенная скорость, т.е. скорость в любой момент времени. Она равна lim (при delta t  0) delta r / delta t = r ‘ ( t ). Вектор мгновенной скорости направлен по касательной траектории данной точки. Модуль полной скорости равен:

| v | = (корень) v (ст.2) по х + v (ст.2) по y + v (ст.2) по z

Ускорение показывает скорость изменения скорости. a ( среднее ) = delta v / delta t. (рисунок – точка на полуокружности, от нее 2 вектора скорости, вверх и вправо, их соединяет delta v, вдоль нее уходит в некуда вектор среднего ускорения). Мгновенное ускорение – a = lim (delta t  0) delta v / delta t = dv / dt = v ‘ (t). Направление вектора ускорения составляет некоторый угол с вектором скорости. Угол АЛЬФА между векторами скорости и ускорения может изменяться в пределах 0 <= АЛЬФА <= ПИ. Углы АЛЬФА=0 и АЛЬФА=ПИ соответствуют прямолинейному движению. При 0 <= АЛЬФА <= ПИ/2 модуль скорости возрастает, при ПИ/2 < АЛЬФА <= ПИ модуль скорости убывает. При АЛЬФА = ПИ/2 модуль скорости не изменяется.

Вектор ускорения АЛЬФА при криволинейном движении тела обычно представляют в виде суммы двух составляющих, направленных следующим образом: одна по касательной к траектории – это тангенсальное ускорение, вторая по нормали к касательной – нормальное ускорение.

a (нормальное) = v (ст.2) / R //// a (тангенсальное) = dv / dt ///// | a | = (корень) a тангенсальное (ст.2) + a нормальное ст.2.

Прямолинейное ускоренное движение. Если матерьяльная точка движется по прямолинейной траектории, то ее нормальное ускорение равно 0. Модуль полного ускорения равен модулю тангенсального. (рисунок – полуокружность, на ней точка, тангенсальное ускорение напралено по касательной, а нормальное перпендикулярно ей, сумма векторов дает ускорение). Т.к. тангенсальное ускорение характеризует только изменение модулю скорости: a = а тангенсальное = dv / dt = v ‘ ( t ). Если модуль скорости возрастает, то тангенсальное ускорение положительно, а вектор тангенсального ускорения направлен вдоль вектора скорости. Если же модуль скорости убывает, то тангенсальное ускорение отрицательно, а вектор тангенсального ускорения направлен противоположно вектору скорости.

S = интеграл от v * dt

^ Движение точки по окружности. При равномерном движении мат.точки по окружности радиус-вектор r точки описывает за время deltaT равные углы deltaФИ. Отношение deltaФИ / deltaT = ОМЕГАмаленькое, называемое угловой скоростью, остается постоянным. За время deltaT = Tбольшое, за которое совершается один оборот, радиус-вектор повернется на угол deltaФИ = 2ПИ. Следовательно ОМЕГАмал. = 2ПИ / T. Учитывая, что частота вращения v = 1 / T, получим ОМЕГАмал = 2ПИv.

Модуль скорости при таком движении (линейная скорость) равен производной от длины дуги по времени: скоростьV = ds / dt = s’ ( t ).

(рисунок – окружность, 2 точки, расстояние между ними deltaS, от нуля до точек проведены вектора r, угол между ними deltaФИ). Так как deltaS = r * deltaФИ, то между модулями линейной и угловой скорости получается:

v = r dФИ / dt = r ОМЕГАмал. Так как модуль скорости остается неизменным, а вектор скорости меняется по направлению, то ускорение в этом движении связано только с изменением направления скорости, т.е.

вектор a нормальное = lim (при delta t 0) вектор delta v нормальное / delta t = dv нормальное / dt.

(рисунок – точки A и D на окружности, delta s, r, угол АЛЬФА между радиус-векторами, вектор скорости по касательной к точке A v1 и тоже к точке D v2; проекция v2 к точке A; теперь расстояние между v1 и v2 = BC = delta v нормальное; расстояние от точки A до D = delta t)

Из рисунка видно, что треугольник ABC равнобедренный. Если delta t  0, то угол АЛЬФА между векторами v1 и v2 также стремится к нулю, т.к. сумма углов в треугольнике равна ПИ, то угол между векторами delta v нормальное и v в пределе равен ПИ/2. Следовательно вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору скорости. Т.к. вектор скорости всегда направлен по касательной, то вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности.

Если матерьяльная точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, то это движение происходит с ускорением, направленным в каждый момент времени перпендикулярно вектору скорости.

a нормальное = v (ст.2) / r = v ОМЕГАмал = ОМЕГАмал. (ст.2) r = 4ПИ (ст.2) r / T (ст.2) = 4ПИ (ст.2) v (ст.2) r

Угловое ускорение: Е = dw / dt.

В случае равноускоренного движения –

ФИ = ФИ нулевое + w нулевое * t + E * t (ст.2) / 2

^ Произвольное криволинейное движение:

a = a тангенсальное = dv / dt = v ‘ ( t )

a нормальное = v / r * lim (при delta t 0) delta s / delta t = v (ст.2) / r

Причем r в выражении – это не радиус окружности, а радиус кривизны траектории в этой точку.


1.2 Динамика поступательного движения

Динамика изучает движения тел и причины, вызывающие это движение.

Чтобы решить основную задачу механики, необходимо выбрать рациональную систему отсчета и выяснить причины возникновения ускорений. Раздел механики, где решаются эти задачи называется динамикой. Механику, основанную на законах Ньютона называют классической механикой.

Масса – мера количества вещества. F=ma, F=G * m1 * m2 * / R*R

Импульс тела – количество движения. P = m v (вектор) – справедливо для матерьяльной точки. Если тело имеет конечный размер, то импульс этого тела можно найти как векторную сумму импульсов матерьяльных точек, на которое можно разбить это тело. P – импульс.

^ Сила – мера взаимодействия тел друг с другом. 4 вида взаимодействий:

1. Гравитационное – взаимодействие притяжения 2х тел, обладающих массой.

2. Слабые взаимодействия – ответственно за некоторые виды распада элементарных частиц, в частности за бета-распад.

3. Электро-магнитные взаимодействия – кулоновская и лоренцева силы.

4. Сильное взаимодействие – обеспечивает связь нуклонов в ядре. Закон всемирного тяготения:

F=G m1 m2 / R * R; Fk = (1 / 4ПИ * Rнулевое) * (E1 E2 / R * R);

Fл = kq[v,b (векторы)]


^ 1 закон Ньютона: Если на тело не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Согласно этому закону всякое тело, не подверженное внешнему воздействию находится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно.

Первый закон выполняется только в инерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета ускорение тела может быть вызвано только его взаимодействием с другими телами.

^ 2 закон Ньютона: F = ma (F,a-векторы); a = F / m; ma=F1+F2+…+Fn;

a=dv/dt; F=m dv / dt = d(wv) / dt = dP / dt; [ F = dP / dt ]; В таком виде 2ой закон применяется для описания движения тела с переменной массой.

Fх= dPx / dt= m dVx / dt= m d2 X / d t*t; Fy= m d2 Y / d t*t; Fz= m d2 Z / t*t

^ 3 закон Ньютона: 2 тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой. Эти силы равны по величине и противоположны по направлению. 3-ий закон позволяет перейти от динамики отдельной матерьяльной точки к динамике системы матерьяльных точек. Это следует из того, что и для сист.мат. точек взаимодействия этих матерьяльных точек сводятся к парным взаимодействиям.


1.3 Закон сохранения импульса

Замкнутой системой матерьяльных точек называется система матерьяльных точек, рассматриваемое как единое целое. Силы, действующие между матерьяльными точками, входящими в замкнутую систему называются внутренними. Силы, с которыми на мат.точки замкнутой системы действуют внешние тела, называются внешними.

Согласно 3му закону Ньютона геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

(F’ – внутр., F – внеш.) Пусть система состоит из n матерьяльных точек:

[знак системы] d (m1 v1) / dt = F1’ + F1; ….; d (mn vn) / dt = Fn’ + Fn.

Сумма всех внутренних сил F’ = 0 !!! F, P – векторные величины

(d / dt) * (m1 v1 + … + mn vn) = F1 + … +Fn

dP / dt = F , где F – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к замкнутой системе матерьяльных точек. F = 0  dP / dt = 0  ^ P = const

Закон сохранения импульса: Если равнодействующая всех сил, приложенных к замкнутой системе матерьяльных точек равна нулю, то суммарный импульс в замкнутой системе остается постоянным.

Закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов физики. Он справедлив не только в классической механике, но и в квантовой. Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства – его однородность. При параллельном переносе в пространство замкнутой системы как целого, ее физические свойства и законы движения не изменяются. Импульс системы матерьяльных точек может быть выражен через импульс центромасс этой системы.

(рисунок – ось ОХ, точки 0, x1, x0, x2; от x1 и x2 вниз идут вектора – m1, m2 - масса; расстояние от x1 до x0 = Xc – X1; от x0 до x2 = X2 – Xc)

m1 g (Xc – X1) = m2 g (X2 – Xc); m1 Xc – m1 X1 = m2 X2 – m2 Xc;

(m1 + m2) Xc = m1 X1 + m2 X2; Xc = (m1 X1 + m2 X2) / m; m= m1 + m2;

^ Xc= (сумма Mi Xi) / m ; r центромасс = (сумма m * r) / m ;

v центромасс = dr / dt = (d / dt)*([сумма m*v] / m) = (сумма m * dv / dt) / m =

(сумма m*v) / m = P / m ; P = m * v центромасс ; Видно, что сумма импульсов замкнутой системы матерьяльных точек равен импульсу центромасс этой системы – dP / dt = F1 +…+Fm ;

m * (dv центромасс / dt) = F1+…+Fm

dP / dt = F ; dP = F * dt. Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы.

^ Реактивное движениею Уравнение Мещерского.

(рисунок – летящая ракета, подписи – t+dt ; m –dm ; v+dv ; над хвостом подпись – dm (u+v)). dP = (m – dm)(v dv) + (u + v)dm – mv = mv +vdm + mdv – dm dv + udm + vdm – mv = mdv + udm. dP = mdv + udm ; Разделим обе части на dt: dP / dt = mdv / dt + udm / dt ; ma = F – udm / dt ; Fp = udm / dt (реактивная сила). [m*a = F – Fp] – уравнение Мещерского.

Если внешние силы на систему не действуют, то F=0 ; ma = - udm / dt ;

mdv / dt = - udm / dt; mdv = - udm; dv = - udm / m ;

v = - (интеграл от m 0 до m 0 – m) udm / m = - u (интеграл) dm / m =

= u*ln (m 0 /m 0 - m). ^ Уравнение цеалковского [v = u*ln (m 0 / m0 - m)]

v – конечная скорость, u – скорость истока газа, m – масса ракеты.


1.4. Закон сохранения энергии.

Работа и кинетическая энергия. Мощность.

В качестве единой количественной меры различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий в физике вводится скалярная величина, называемая энергией.

Движение – неотъемлемое свойство материи, поэтому любое тело, любая система тел и полей обладает энергией.

Энергия системы количественно характеризует систему в отношении возможных в ней превращений движений.

Изменение механического движения тела и следовательно его механической энергии возможно за счет действия на это тело других тел, т.е. сил. Элементарной работой, силой F, называется величина, равная

dA = F * dr = F dr cosАЛЬФА ; |dr| = ds ; Работа равна нулю в том случае, если: ^ 1. тело неподвижно dr = 0  dA= 0. 2. АЛЬФА=+ - ПИ/2, dA= 0.

dA>0, если АЛЬФА – острый угол и dA< 0, если АЛЬФА – тупой угол.

Вектор F (Fx, Fy, Fz) ; вектор dr (x, y, z) ; dA= F*dr = Fx*dx+Fy*dy+Fz*dz

A = (интеграл от 1 до 2) Fdr – работа силы по перемещению тела из 1 в 2.

Другой вариант записи – A = (интеграл от 1 до 2) Ft ds.

^ Кинетическая энергия – это энергия механического движения. Изменение кинетической энергии происходит за счет работы внешних сил.

dVk = dA = Fdr ; dr = vdt ; dWk = Fdr = F v dt = vdP

F = dP / dt = 1/m * vdP = d(P[ст.2] / 2m) ; dWk = d(P[ст.2] / 2m) ;

Wk = P[ст.2] / 2m = mv(ст.2) / 2

Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета.

(рисунок – точка, 2 системы координат k и k’, проведены 2 радиус-вектора от начала отсчета – r и r ’) r итое = r нулевое + r итое ' ;

v итое = dv / dt = (dr нулевое / dt) + (dr итое штрих / dt) = v нулевой + v итое’

v итое = v нулевое + v итое' ; v итое в кв. = v нулевое в кв. +2 v нулевое v итое’ + v итое’ в кв. Wk = сумма mi vi в кв. / 2 = v нулевое в кв. * сумма[mi /2] + 2 v нулевое * сумма[mi vi / 2] + 1/2 *сумма[mi vi’ в кв.] – кин. энергия.

Если выбрать начальную систему отсчета k’ в центре масс, то vc’=0 и среднее слагаемое в кинетической энергии равно 0.

^ Теорема Кёнита – Wk = Wk’ + mvo2/2

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий этой системы, ее движение относительно центромасс и кинетической энергии, которая имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью ее центромасс.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Энергия движения системы как целого.

Рассмотрим систему из n матерьяльных точек. Общая работа dA, совершаемая всеми силами, приложенными к системе за время dt, будет

dA= сумма [Fi * dr итое]. Покажем, что суммарная работа, совершаемая всеми другими силами системы равна 0. Возьмем 2 точки системы – i и k.

(рисунок – прямая, на концах стрелки – слева Fik, справа Fki; на ней 2 точки i и k; соединенены вектором r ik; другая точка, от нее радиус-векторы r i и r k). Согласно 3мц закону Ньютона Fik = - Fki.

dAik = Fik*dri + Fki*drk = Fik*dri – Fik*drk = Fik (dri - drk) ; dri – drk = drik.

[i, k – это индексы!!!]. Т.к. тело абсолютно твердое, то Fik*drik = const (т.к. для абсолютно твердого тела расстояние между любыми 2мя его точками остается в процессе движения неизменным). drik – т.к. |rik|= const, то вектор rik может менять только свое направление, следовательно изменение этого вектора будет направлено перпендикулярно вектору drik. Сила Fik перпендикулярна перемещению drik, следовательно такая сила работы не совершает – dAik = Fik*drik = 0, т.е. внутренние силы работы не совершают.

dA = сумма Fi*dri (где F – внешняя сила).

Если тело движется поступательно, то dri = drc ; dA= сумма Fi * drc = drc * сумма Fi = F *drc ; Получаем dA= F * drc ; Работа всех сил, приложенных к системе матерьяльных точек равна работе внешних сил по перемещению центромасс этой системы. Wk = сумма mi * vi(ст.2) / 2 = mvc(ст.2) / 2.

[Где c, k, i – индексы!!!]

--------------------------------------------------------------------------------------------------

^ Консервативные и неконсервативные силы.

Сила F, действующая на матерьяльную точку называется консервативной или потенциальной, если работа этой силы по перемещению этого тела из состояния 1 в состояние 2 не зависит от формы траектории движения, а зависит только от начального и конечного положения тела. Для консервативной или потенциальной силы работа по перемещению тела по замкнутой траектории равна нулю.

^ A = (интеграл с кружком в центре) Fdt=0 – условие потенциальной силы.

В противном случае сила называется диссепативной. Дессипативная сила зависит от скорости точек и совершает отрицательную работу.

N = dA / dt – мгновенная мощность

Потенциальная энергия. Работа, совершаемая потенциальными силами при изменениии конфигурации системы, т.е. расположении ее частей относительно системы отсчета не зависит от пути перехода из начального состояния в конечное. Эта работа A1-2 определяется только начальной и конечной конфигурацией систем, следовательно ее можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы, называемой потенциальной энергией Wп. A1-2= Wп (1) – Wп (2) ;

dA= - dWп. В каждой конкретной задаче для получения однозначной энергетической зависимости каждой потенциальной рассматриваемой системы от ее конфигурации, выбирают нулевую конфигурацию, в которой потенциальная энергия системы считается равной нулю.

^ Потенциальной энергией механической системы называется величина, равная работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные силы, при переводе системы из данного состояния в нулевое. dA= Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz ; dA = - dWп ;

dWп = дWп*dx / дх + дWп*dy / дy + дWп*dz / дz

dA = Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz = - дWп*dx / дх - дWп*dy / дy - дWп*dz / дz

F = i * Fx + j * Fy + k * Fz = - (i *дWп / дх + j *дWп / дy + k *дWп / дz) =

= - gradWп

Потенциальная энергия матерьяльной точки в однородном поле.

Силовое поле однородно, если сила F одинакова во всех точках поля. Рассмотрим однородный случай! Пусть сила F, приложенная к матерьяльной точке действует вдоль оси Z ; dWп = - dA = Fz dz ;

Wп = (интеграл z0 – z1) Fz dz = - Fz (z1 – z0) = -Fz * z ; Например тело в поле силы тяжести: F= mg ; z = h ; Wп = mgh

^ Закон сохранения энергии. Все законы сохранения связана с определенными свойствами симметрии пространства и времени. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства, т.е. вид физических знаков не изменяется при параллельном переносе в пространстве системы отсчета. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени, т.е. выбор начала отсчета времени не изменяет физических законов или физические законы имвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

^ Полной энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий. Механическая система называется консервативной, если все приложенные к ней непотенциальные силы не совершают работу, а все потенциальные силы постоянны во времени. Потенциальная энергия системы может изменяться только за счет изменения ее консервации, поэтому если конфигурация системы не меняется, то Wп = const 

дWп / dt = 0. Рассмотрим консервативную систему, на которую действует внутренняя и внешняя консервативные силы и внешние диссепативные силы. Пусть вектор Fi – это внешняя консервативная сила, приложенная к внешней точке. Вектор Fi’ – внутренняя консервативная сила. Вектор f i – внешняя диссепативная сила. Запишем 2ой закон Ньютона для i-той точки матерьяльной системы: m i * dv i / dt = Fi + Fi’ + f i ; dr = v i * dt ;

mi vi dt * dv / dt = (Fi’ + Fi) dvi + fi dri ; d (mi vi [ст.2] / 2) = (Fi’+Fi)dri+fidri

Для всей системы будет тоже самое, но ставится знак суммы перед каждым слагаемым. Отсюда следует dWk + dWп = dA ; d(Wk + Wп) = dA ;

^ A1-2 = (интеграл 1-2) d(Wk + Wп) ; A1-2 = (Wk + Wп)2 = - (Wk - Wп)1.

Если внешние силы не совершают работу, то dA=0 ; d (Wk + Wп) = 0 ;

т.е. полная энергия системы остается постоянной ^ Wk + Wп = const


1.5. Твердое тело в механике

^ Условие равновесия твердого тела. Всякое движение твердого тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движения. Отсюда вытекает 2 условия равновесия твердого тела: 1) F1+…+Fn = 0 – тело не движется поступательно ; 2) M1 +… Mk= 0 – тело не вращается.

^ Момент инерции тела относительно оси.

Моментом инерции матерьяльной точки относительно оси называется величина J = m r (ст.2). Где r – расстояние от точки до оси вращения.

Wk = m*v*v / 2. Если тело состоит из нескольких матерьяльных точек, то момент его инерции будет равен сумме моментов инерций этих точек. Эта формула справедлива для дискретного распределения масс. В случае непрерывного распределения масс J = (интеграл) v (ст.2) dm .

Момент инерции сплошного диска: (рисунок – диск, толщина h ; радиус R ; r – половина радиуса, проведена двойная окружность ; диск крутится)

d J = r (ст.2) dm ; Площадь кольца: dS = 2ПИ r dr ; dV = rds = 2ПИrhdr

dm = ПЛОТНОСТЬ * dV = 2ПИ p h r dr ; p – плотность.

d J = 2ПИph r (ст.3) dr ; J = (интеграл 0 - R) 2ПИph r (ст.3) dr = 2ПИph *

* r (ст.4) / 4 | 0-R = 1/2 ПИ R (ст.2) ph R (ст.2) ; m = ПИ R(ст.2) ph ;

J=1/2 m R (ст.2)

Момент инерции стержня. (рисунок – стержень, ось O, слева расстояние до оси = a, справа тоже расстояние = r , еще такое же расстояние как r вправо дает вместе dr ; l – расстояние вниз от центра пересечения оси и стержня). dm = (m / l) * dr ; d J = r (ст.2)*dr ; J = (m / 3l) ((l-a)(ст.3) +a(ст.3))

Если a =0, то J = 1/3 m l (ст.2)

^ Теорема Штейнера: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен массе тела, умноженной на квадрат расстояния от оси вращения до центромасс тела, плюс момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его ось центромасс.

^ J = ma (ст.2) + J нулевое ; r i = a + Ri ; mi ri (ст.2) = mi (a - Ri) (ст.2) = mi (a (ст.2) + 2aRi + Ri (ст.2)) = a (ст.2)mi + mi Ri (ст.2) + 2amiRi ; J=сумма(miri2)

Теорема Штейнера J = ma (ст.2) + J центромасс.

^ Вращательный момент. Моментом силы M называется величина M=r *F

(* - скалярное произведение, все значения векторные) r – радиус-вектор, F – сила ; r *sinАЛЬФА = l ; M = r F sinАЛЬФА = r sinАЛЬФА F = F l

(рисунок – вектор M вверх; вектор r чуть выше места, где по идее должна быть ось OX; на 90 градусов от r от M проходит из той же точки прямая L ; векотор F скрещивается с r под углом АЛЬФА).

^ Основное уравнение динамики вращательного движения. Wk = 1/2 J * w(ст.2) ; dWk = 1/2 J 2w dw = Jwdw ; dWk = dA ; M dФИ = Jwdw;

M dФИ/dt = Jw dw/dt ; w = dФИ/dt ; E = dw/dt ; M w = J w E ; M = J E (M,E - вектора). Основное уравнение динамики вращательного движения. Это аналог 2го закона Ньютона для вращательного движения. (F-M, m-J, a-E).

^ Кинетическая энергия катящегося тела. При вращательном движении катящегося тела каждая точка участвует в 2х движениях – поступательном и вращательном. Скорость поступательного движения всех точек колеса одинакова и равна скорости поступательного движения колеса в целом.

mi vi (ст.2) / 2 ; vi (ст.2) = v пост. (ст.2) + vi вращ. (ст.2) ; v вращ. = wRi ;

mi vi (ст.2) / 2 = 1/2 mi v пост. (ст.2) + 1/2 mi w (ст.2) Ri (ст.2) ;

Wk = сумма (mi vi (ст.2) / 2) = 1/2 v пост (ст.2) СУММА(mi) + 1/2 w(ст.2) СУММА(mi Ri (ст.2)) ; Wk = 1/2 m v пост. (ст.2) + 1/2 J w (ст.2)

^ Работа при вращательном движении. dA = Fds = F sinАЛЬФА ds = F r sinАЛЬФА dФИ ; ds = r dФИ ; ds = r dФИ ; dA = M dФИ ; ФИ – угол поворота при повороте на большой угол. A=(интеграл ФИ1-ФИ2) M dФИ

Для матерьяльных точек Wk = 1/2 mv(ст.2) = 1/2 m r (ст.2) w (ст.2) =

1/2 J w (ст.2) ; v = w r ; Wk = 1/2 J w (ст.2)


1.6. Закон сохранения импульса

^ Моментом импульса (моментом количества движения) матерьяльной точки относительно оси называется векторная величина L = r * P ; где все величины – векторы ; r – расстояние от оси вращения до этой точки. Импульс точки: P = mv. Моментом силы M называется величина M=r *F

Моментом импульса твердого тела относительно оси является

L = сумма ri Pi ; |L| = |r | |P| sinАЛЬФА ; Рассмотрим случай, когда АЛЬФА=ПИ/ 2: L = сумма mi vi ri = w сумма mi vi (ст.2) = J w; L = J w ;

Продефференцируем это выражение по времени: dL / dt = J dw/dt = J центромасс = M ; dL / dt = M ; Если M= 0, то dL / dt = 0  L = const

Это закон сохранения импульса!!! --- Если на систему тел не действует момент силы M или равнодействующая всех сил равна нулю, то момент импульса этой системы остается постоянным. Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом физики. Он справедлив не только в классической механике, но и в релитивистской и в квантовой механике. Закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства – пространство обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.


1.7. Принцип относительности в механике

Инерциальная система отсчета и принцип относительности.

Установлено, что во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики имеют одинаковую форуму. В этом состоит суть принципа относительности Галелея. В Ньютоновской механике при переходе от одной инерциальной системы отсчета k (x, y, z, t) к другой

k’ (x’, y’, z’, t’), движущейся относительно 1ой со скоростью u, справедливы преобразования Галелея. Они основаны на 2х аксиомах – об неизменности промежутков времени между 2мя событиями и расстояния между 2мя точками по отношению к центру системы отсчета. Иными словами – время течет одинаково во всех инерциальных системах отсчета и размеры тел не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

r = r’ + r нулевое = r’ + u t ; U – скорость ; r – радиус вектор до точки от 1ой системы отсчета; r ‘ – радиус-вектор до точки от 2ой системы ; r нулевой – расстояние от одной системы до другой ;

Будем считать, что скорость u направлена вдоль радиус-вектора r нулевое:

x = x’ + Ux t ; y = y’ + Uy t ; z = z’ + Uz t ; t = t’ – преобразования Галилея

v = dr / dt = dr / dt + dr нулевое / dt ; v = v’ + u ; a = dv / dt = a’ ; a = a’ ;

При таком переходе ускорение не меняется ; z = z’ ; Из этих выражений следует, что уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Иными словами – никакими механическими опытами нельзя определить движение инерциальной системы отсчета.

^ Постулаты специальной теории относительности. Специальная теория относительности также как и Ньютоновская механика предполагает, что время однородно, а пространство однородно и изотопно. В основе специальной теории относительности лежат 2 постулата, которые являются результатом эксперементально установленных закономерностей.

1 постулат обобщает принцип механической независимости Галилея на все физические явления. В любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинакова.

2 постулат выражает принцип имвариантности скорости света. Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника. Она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в вакууме является предельной скоростью в природе.

Эйнштейн пересмотрел классические свойства пространства и времени. Он предположил, что время в различных инерциальных системах отсчета течет неодинаково. Пространство и время в теории относительности рассматривается совместно, а не обособленно, как в Ньютоновской механике. Они образуют единое 4х-мерное пространство и время. Возьмем в таком 4х-мерном пространстве и времени декартовую систему координат с осями (x, y, z, ct). Положение тела в таком 4х-мерном пространстве изображается точкой с координатами (x, y, z, ct). Эта точка называется мировой точкой. Со временем она меняет свое положение, описывая в 4х-мерном пространстве некоторую линию, называемую мировой линией. Даже в том случае, если тело остается неподвижным в обычном 3х-мерном пространстве, его мировая точка перемещается вдоль оси ct.

Выберем 2 инерциальные системы отсчета k (x, y, z, t) и k’ (x’, y’, z’, t’). Будем считать, что система отсчета k’ движется относительно системы k со скоростью v, направленной вдоль оси OX. Пусть в начальный момент времени начала этих систем отсчета совпадают. В этот момент из начала отсчета вдоль оси OX излучается световой импульс. За время t в системе отсчета k он дойдет до точки ; x = ct ; x’ = ct’

ГАММА (x - vt) = x’ ; ГАММА (x’ – vt’) = x ;

ГАММА (ct - vt) = ct’ УМНОЖАЕМ НА ГАММА (ct + t) = ct ; ПОЛУЧАЕМ ГАММА (ст.2) (c (ст.2) – v (ст.2)) = c (ст.2);

^ ГАММА = 1 / [ (корень) 1 – v(ст.2) / c(ст.2) ] ;

В k : x = (x’ + vt’) / (корень) (1-v(ст.2)/c(ст.2)) ; y = y’ ; z = z’

В k’ : x = (x + vt) / (корень) (1-v(ст.2)/c(ст.2)) ; y = y’ ; z = z’

Используем значение ГАММА из предыдущего выражения:

t = (t’ + x’ v/c (ст.2)) / ((корень) 1 – v(ст.2)/ c (ст.2))

t’ = (t + x v/c (ст.2)) / ((корень) 1 – v(ст.2)/ c (ст.2))

--- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА!!!!!

Они связывают координаты и время в различных инерциальных системах отсчета. В приделе при c  к бесконечности, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Различие в течении времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существованием предельной скорости взаимодействий. При малых скоростях движений v0 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Следствия из преобразований Лоренца:

^ 1. Сокращение длинны движущихся объектов:

l = x2 – x1 = (x2’ – vt’ – x1’ – vt’) / (корень 1 – v(cn/2) / с (ст.2)) ;

l’ = l * корень 1 – v (ст2) / с (ст.2) ; l’< l

Отсюда видно, что в движении системы отсчета происходит сокращение, поперечные размеры тела не изменяются.

^ 2. Замедление движущихся часов:

delta t = t2 – t1 = (t2’ + v x’ / c (ст.2) – t’ – v x’ / c (ст.2)) / (корень 1 – v (cn/2) / c (ст.2)) = t2’ – t1’ / корень … = delta t’ / корень…  delta t’ < delta t

^ 3. Закон сложения скоростей:

Vx = dx / dt ; dx = dx’ + vdt’ / корень… = dt’ (v’ + v) / корень… ;

dt = (dt’ + dx’ v / c (ст.2)) / корень… = dt’ (1 + [v/c (ст.2)] *dx’/dt’) / корень…

vx =(vx’ + v) (корень 1 + v vx’ / c (ст.2))

vy = vy’ (корень…) / 1 + v vx’ / c (ст.2) ;vz=аналогично vy; x, y, z -индексы

Из этих соотношений видно, что в общем случае направление скоростей в k и k’ не совпадают.


1.7. Элементы релятивистской механики

Релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистских частиц

Законы сохранения должны быть соблюдены во всех инерциальных системах отсчета, т.е. должны быть имвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца. Если определить импульс тела как P = mv (как в Нбюоновской механике), то можно показать (рассмотрим например неуправляемые соударения частиц), что в релятивистском случае при определении P, закон сохранения не будет имвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца. Можно показать, что закон сохранения импульса будет имвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, если определить импульс как P = m0 v / (корень 1 – v (ст.2) / c (ст.2)).

Величина m0 – масса покоя частиц. Если через m обозначить величину

m = m0 / корень…, то импульс частицы будет записан также как в Ньютоновской механике P = mv , где m – релятивистская масса частиц. Видно, что релятивистская масса частиц изменяется при изменениии скорости ее движения. Из 2х возможных (в Ньют. мех.) формулировок 2го закона Ньютона (F=ma ; dP / dt = F) будет справедлива 2ая.

Второй закон будет иметь вид: (d/dt) * (m0 v / корень…) = F – основной закон в рел. механике. В релятивистском случае масса утрачивает пропорцианальность между силой и ускорением. В релятивистской механике сила и ускорение (в отличие от Ньютоновской механики) не являются имвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца, т.е. изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Кроме этого сила F и ускорение a оказываются неколлинеарными.

^ Работа и энергия. Имвариантность уравнения движения относительно преобразований Лоренца. Законы сохранения энергии и импульса.

dWk = dA ; dA = F ds ; ds = v dt ; dA = F v dt ; F = dP/ dt ; dA = v dP ;

dWk = v dP = v d(m0 v / корень…)

Прямым дифференцированием можно показать, что:

v d(m0 v / корень…) = d (m0 c (ст.2)/ корень…)

dWk = d (m0 c (ст.2) / корень…) ; P = m0 v / корень…

Wk = (m0 c (ст.2) / корень…) + const ; Определим постоянную интегрирования из условия, что v = 0  Wk = 0 ; 0 = m0 c (ст.2) + const  const = - m0 c (ст.2) ; ^ Wk = (m0 c (ст.2) / корень… ) – m0 c (ст.2)

Это есть выражение, определяющее кинетическую энергию в релятивистском случае. Полная энергия частиц: W = m0 c (ст.2) / корень… ; Энергия покоя частиц: W0 = m0 c (ст.2) ; Как показывает опыт, закон сохранения энергии оказывается имвариантным только в том случае, если к свободным частицам приписывать кроме кин. энергии, энергию, равную m0 c (ст.2), называемую энергией покоя частиц, такой энергией обладает неподвижная частица. Эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы. В случае сложного тела энергия покоя включает в себя кроме энергиии покоя образующих тело частиц, также кинетическую энергию частиц, обусловленных их движением относительно центромасс и энергию их взаимодействий друг с другом. В энергию покоя как и в полную энергию не входит потенциальная энергия частиц во внешнем положении тела. Термин “полная энергия” имеет в релятивистской механике иной смысл, чем в Ньютоновской.

Выражение импульса частиц через полную энергию:

P / m0 v = W / m0 c (ст.2) ; P = W v / c (ст.2) ;

W = m0 c (ст.2) / (корень 1 – P (ст.2) c (ст.4) / W (ст.2) c(ст.2)) =

= m0 c (ст.2) W / (корень W (ст.2) – P v (ст.2))  W (ст.2) – P (ст.2) c (ст.2) =

= m0 (ст.2) c (ст.4) ; ^ W = c (корень P (ст.2) + m0 v (ст.2)) ; W (ст.2) / c (ст.2) – P (ст.2) = m0 (ст.2) c (ст.2). Т. к. m0, c меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. являются имвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца, то имвариантным будет и отношение: W (ст.2) – P (ст.2) = имвариантно, т.е. при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой сохраняется не отдельно энергия и отдельно импульс, а именно это выражение. Из формулы W0 = m0 c (ст.2) следует, что всякое изменение массы тела сопровождается изменением энергии покоя delta W = delta (m c (ст.2)), отсюда также следует, что суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется.

1.9. Механика колебаний и волн. Кинематика гармонических колебаний.

Колебательными называются процессы в той или иной степени повторяющиеся во времени. Виды колебаний:

Свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в колебательной системе, в отсутствии внешних воздействий. Эти колебания возникают в следствии какого-либо начального наклонения колебательной системы от положения равновесия.

Вынужденные колебания – это колебания, возникающие в колебательной системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Колебания называют переодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему повторяется через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, удовлетворяющий этому условию называется периодом колебания T.

Амплитуда, круговая частота, фаза гармонических колебаний.

ν = 1/T – частота ; Циклическая частота – ω = 2ПИ / t = 2ПИv ; S(t)=S(t+T) ;

^ Гармонические колебания – это колебания по закону sin или cos.

S(t)=A sin(wt + φ0); φ0 – фаза колебаний ; скорость v = Awcos(wt+φ0) ;

u = -Aw(ст.2) sin(wt+φ0) = - w (ст.2) A sin(wt + φ0) = - w (ст.2) S;

d2 S / dt (ст.2) = - w (ст.2) S ; d2 S / dt (ст.2) + w (ст.2) S = 0 ;

Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания.

Общим решением этого уравнения является S= A1 sinwt+ A2 coswt; A2=S(0)

dS / dt = A1 w coswt + A2 w sinwt ; A1 = (1/w)(dS/dt) при t=0 ; Общее решение можно привести к виду: S = A sin (wt + φ0), где

A = корень A1(ст.2) + A2(ст.2) ; амплитуда. φ0 = arctg (A2/A1)

^ Комплексная форма представления колебания.

S=Asin(wt + φ0) = Acos(wt + φ1); φ1 = φ0 – ПИ/2 ; Согласно формуле Эйлера: e (ст. iφ) = cosφ + i sinφ; (i – мнимая единица), поэтому гармонические колебания можно записать в экспоненциальной форме:

S = N e (ст. iwt) = A e (ст. i (wt + φ)) = cos(wt + φ1) + i Asin(wt + φ1)

^ Сложение гармонических колебаний. Векторная диаграмма.

Графически гармонические колебания можно изобразить с помощью вращающегося вектора на плоскости: (рисунок – оси OX, OY, вектор, угол между ним и OX равен wt + φ0; под графиком подпись S = A sin (wt + φ0)).

Графическое представление гармонических колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды A называется методом векторных диаграмм. Рассмотрим с помощью этого метода сложение 2х одинаково направленных гармонических колебаний, одинаковой частоты w.

S1 = A1 cos (w0 t + φ1); S2 = A2 cos (w0 t + φ2); S = S1+ S2 = A cos (w0 t + φ)

Используя теорему косинусов можно получить:

A(ст.2)=A1(ст.2) + A2(ст.2) + 2A1 A2 cos (φ2 – φ1) ;

tg φ = (A1 sin φ1 + A2 sin φ2) / (A1 cos φ1 + A2 cos φ2)

1) φ2 – φ1 = + - 2ПИn, n = 0,1,2… A=A1+A2; MAX;

2) φ2 – φ1 = + - (2n +1)ПИ ; A= |A1 – A2|; MIN – это когерентные волны

Биения. Рассмотрим результат сложения 2х одинаково направленных колебаний, с одинаковой амплитудой, но с мало-различающимися частотами: S1 = A cos wt ; S2 = A cos (w+ delta w)t, где delta w намного меньше w; S = S1 + S2 = A [coswt + cos(w + delta w)t]

S = 2Acos(delta w t/2) * cos(wt + (delta w t / 2)).

Так как delta w значительно меньше, чем w, то сомножитель cos(delta w t /2) будет меняться значительно медленнее во времени, чем coswt. Таким образом, результат сложения 2х близких по частоте колебаний можно представить как колебания той же частоты с медленно меняющейся амплитудой, которая равна A0 = |2Acos (delta w t / 2)|. Такие колебаниями с медленно меняющейся амплитудой называются биениями. (рисунок – синусойда и косинусойда, период, высота 2A).

^