Реферат: Линейные балансовые модели в экономике

Линейные балансовые модели в экономике


Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте. Под экономическим объектом обычно понимают так называемую «чистую прибыль».

Например, чтобы правильно отразить взаимосвязи между машиностроением и металлургией, необходимо исключить продукцию металлургической и других отраслей из продукции машиностроения, а в продукции металлургической промышленности не учитывать произведенные на металлургических заводах продукты машиностроения и других отраслей.

Таким образом, продукция «чистой отрасли» складывается из продукции специализированных предприятий, очищенной от непрофильных ее видов, и продукции, соответствующей профилю данной отрасли, но произведенной на предприятиях, относящихся к другим отраслям

^ I. Межотраслевой баланс


Балансовые модели основываются на понятии межотраслевого баланса, который представляет собой таблицу, характеризую­щую связи между отраслями (экономическими объектами) эконо­мической системы.

Предположим, что экономическая система состоит из n взаи­мосвязанных отраслей P1, Р2, ..., Рn. Валовой продукт
i-й отрасли обозначим через Xi (X1 – валовой продукт P1
Х2 – валовой продукт Р2, ..., Хn валовой продукт Рn). Конечный продукт каждой отрасли обозначим буквой Y с ин­дексом, соответствующим ее номеру (Yi - конечный продукт Pi). Отрасли взаимосвязаны, т.е. каждая из них использу­ет продукцию других отраслей в качестве сырья, полуфабрика­тов и т. п.

Пусть Xij – затраты продукции i-й отрасли на производство продукции Рj. Условно чистую продукцию i-й отрасли обозна­чим Vi.

Если перечисленные показатели представлены в межотрасле­вом балансе в тоннах, литрах, километрах, штуках и т. д., то говорят о межотраслевом балансе в натуральном, выражений. Мы же договоримся, что под Xi, Уj, Vj и Xij будем понимать выраженную в некоторых фиксированных ценах стоимость со­ответствующей продукции. Такой баланс называется стои­мостным.

Всю информацию об экономической системе сведем в табли­цу – межотраслевой баланс (таблица).


Таблица

Анализ общей структуры межотраслевого баланса



Отрасли

P1

P2

…

Pi

…

Pn

Итого

Конечный

продукт

Валовой продукт

P1

X11

X12

…

X1i

…

X1n

ΣX1j

Y1

X1

P2

X21

X22

…

X2i

…

X2n

ΣX2j

Y2

X2

…

…

…

…

^ I квадрант

…

II квадрант

Pi

Xi1

Xi2

…

Xii

…

Xin

ΣXij

Yi

Xi

…






























Pn

Xn1

Xn2

…

Xni

…

Xnn

ΣXnj

Y1

X1

Итого

ΣXk1

ΣXk2

…

ΣXki

…

ΣXkn

ΣΣXkj

ΣYk

ΣXk

Условно чистая продук­ция

V1

V2

…

Vi

…

Vn

ΣVj



IV квадрант












III квадрант




Валовой продукт

X1

X2

…

Xi

…

Xn

ΣXj

Первый квадрант. В таблице каждая отрасль пред­ставлена двояким образом. Как элемент строки, она выступает в роли поставщика производимой ею продукции, а как элемент столбца – в роли потребителя продукции других отраслей экономической системы.

Если ^ Р1 – производство электроэнергии, а P2 – угольная промышленность, то Х12 – годовые затраты электроэнергии на производство угля, а Х21 – аналогичные затраты угля на производство электроэнергии. Р1 выступает как поставщик элек­троэнергии и как потребитель угля. Отрасль Р1 является также потребителем собственной продукции. Электроэнергия стоимо­стью Х11 денежных единиц используется внутри отрасли на обеспечение работы электротехники, на освещение производствен­ных помещений и т. д. Аналогичный смысл имеет X22 и все Xii. В общем случае, Хi1, Хi2, ..., Хii, ..., Хin – объемы поставок продукции i-й отрасли отраслям, входящим в экономическую систему. Сумма этих поставок

Xi1 + Xi2 +…+ Xin = Σ Xij

выражает суммарное производственное потребление продукции Рi и записывается в i-й строке (n + 1)-го столбца таблицы.

В нашем примере

X11+ X12 +…+ X1n = Σ X1j

есть суммарное производственное потребление электроэнергии, а

X21+ X22 +…+ X2n = Σ X2j

– суммарные затраты угля на производственные нужды отрас­лей, входящих в экономическую систему.

Посмотрим теперь на Pi как на элемент столбца. В столбце с номером i расположены объемы текущих производственных за­трат продукции отраслей, входящих в экономическую систему, на производство продукции i-й отрасли. В (n + 1)-й строке указан­ного столбца записана сумма текущих производственных затрат Рi за год:

= X1i + X2i+ … +Xni


Просуммировав первые n элементов (n + 1)-й строки, получим величину текущих производственных затрат всех отраслей:

+ +…++…+= (1)

Сумма первых n элементов (n + 1)-го столбца

+ +…++…+= (2)

есть стоимость продукции всех отраслей, которая была использо­вана на текущее производственное потребление.

Нетрудно убедиться в том, что суммы (1) и (2) состоят из одних и тех же слагаемых (всех Xkj) и поэтому равны между собой:

= (3)

Равенство (3) означает, что текущие производственные затра­ты всех отраслей равны их текущему производственному потреблению. Число есть так называемый промежуточный продукт экономической системы.

Элементы, стоящие на пересечении первых (n + 1) строк и первых (n + 1) столбцов, образуют первый квадрант (четверть). Это важнейшая часть межотраслевого баланса, поскольку имен­но в ней содержится информация о межотраслевых связях.

^ Второй квадрант расположен в таблице справа от первого. Он состоит из двух столбцов. Первый из них – столбец конечного потребления продукции отраслей. Под конечным по­треблением понимают личное и общественное потребление, не идущее на текущие производственные нужды. Сюда включаются накопление и возмещение выбытия основных фондов, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата и оборону, затраты по обслуживанию населения (здравоохранение, просвещение и т. д.), сальдо экспор­та и импорта продукции. Во втором столбце представлены объемы валовой продукции отраслей. Суммарный (валовой) вы­пуск i-й отрасли определяется как

(4)

Равенство (4) означает, что вся произведенная i-й отраслью продукция потребляется. Часть ее, в форме суммарного произ­водственного потребления продукции Pi идет на производствен­ные нужды отраслей, входящих в экономическую систему. Дру­гая часть потребляется в форме конечного продукта.

Так, часть продукции угольной промышленности, как мы уже отмечали, используется внутри экономической системы, а дру­гая – в качестве сырья, топлива – будет потреблена отрасля­ми, не вошедшими в состав экономической системы, и составит часть экспорта страны, пойдет на отопление жилищ и т. п.

Квадранты I и II отражают баланс между производством и потреблением.

Ко второму квадранту относится также и та часть (n+1)-й строки, в которой расположены суммарный конечный продукт



и суммарный валовой продукт



^ Третий квадрант расположен в таблице под первым. Он состоит из двух строк. Одна из них содержит объем валового продукта по отраслям, а другая – условно чистую продукцию отраслей V1, V2 ,..., Vn. В состав условно чистой продукции входят амортизационные отчисления, идущие на возмещение выбытия основных фондов, заработная плата, прибыль и т.д.

Она определяется как разность между валовым продуктом отрасли и суммой ее текущих производственных затрат. Так, для Рi имеет место равенство

(5)

Первый и третий квадранты отражают стоимостную струк­туру продукции каждой отрасли. Так, равенство (5) показывает, что стоимость валового продукта Xii-й отрасли складывается из стоимости той части продукции отраслей системы, которая была использована для производства Хi, из амортизационных отчисле­ний, затрат на оплату труда, из чистого дохода отрасли, из стоимости ресурсов, не производящихся внутри экономической системы, и т.д.

Используя равенства (4) и (5), подсчитаем суммарный валовой продукт.

Из (4) следует, что

(6)

а из (5) получаем:

(7)

Вторые слагаемые в правых частях равенств (6) и (7) выра­жают одну и ту же величину – промежуточный продукт. Отсюда и из равенства левых частей (6) и (7) делаем вывод о равенстве первых слагаемых:

= (8)

Итак, суммарный конечный продукт равен суммарной ус­ловно чистой продукции.


Четвертый квадрант непосредственного отношения к сфере производства не имеет, поэтому мы его заполнять не будем.

В IV квадранте показывается, как полученные в сфере мате­риального производства первичные доходы населения (заработ­ная плата, личные доходы членов кооперативов, денежное до­вольствие военнослужащих и т. д.), государства (налоги, прибыль с производства государственного сектора и т. д.), кооперативных и других предприятий перераспределяются через различные ка­налы (финансово-кредитную систему, сферу обслуживания, обще­ственно-политические организации и т. д.), в результате чего образуются конечные доходы населения, государства и т. д.


Выводы:

Межотраслевой баланс – это таблица, характеризующая
связи между экономическими объектами, входящими в экономи­ческую систему.

Различают межотраслевой баланс в натуральном и стоимо­стном выражении.

Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов. I квадрант – его важнейшая часть. В нем содержится информа­ция о межотраслевых связях.

Вся произведенная внутри экономической системы продук­ция потребляется. Часть ее в форме суммарного производственного потребления идет на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему. Другая часть потребляется в форме конечного продукта.

I и II квадранты отражают баланс между производством и
потреблением.

I и III квадранты отражают стоимостную структуру про­дукции каждой отрасли.

Суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции.

Межотраслевой баланс был построен по данным отчетного
периода (например, истекшего года),

С построением балансовой таблицы завершается первый этап решения задачи методом математического моделирования: выявлены объекты изучения, установлены существенные связи между ними, собрана статистическая информация.

Основные соотношения



– баланс между производством потреблением.



– стоимостная структура продукции i-ой отрасли



– равенство суммарного конечного продукта и суммарной условно
чистой продукции.

– промежуточный продукт экономической системы.


Пример.

Завершим составление баланса, располагая следующими дан­ными об экономической системе, состоящей из трех экономических объектов (например, Р1 – промышленность, Р2 – сельское хозяйство, Р3 – транспорт). Прочерки в таблице означают, что X22= X31=0.


Отрасли

P1

P2

P3

Σ

Y

X

P1

20

50







200

300

P2

10

-

40







500

P3

-










240




Σ










310




V




390







X















Решение.



Используем баланс между производством и потреблением продукции Р1, для отыскания , а затем и X13:



Аналогично, используя баланс между производством и по­треблением продукции Р2, найдем V2, предварительно подсчитав .

Значения X1 и Х2 запишем на первых двух местах в последней строке таблицы (строка X). Таблица принимает вид:




Отрасли

P1

P2

P3

Σ

Y

X

P1

20

50

30

100

200

300

P2

10

-

40

50

450

500

P3

-










240




Σ










310




V




390







X

300

500







Найдем теперь

(использовали соотношение между элементами столбца Σ)



(использован баланс между производством и потреблением про­дукции P3).

Теперь запишем величину X3 в столбец X и строку X.

Суммарные затраты всех трех отраслей на производство

продукции первой отрасли запишем на первом месте в строке Σ.

Теперь можно найти условно чистую продукцию Vl как разность между валовым выпуском и суммарными затратами :

Таблица принимает вид:

Отрасли

P1

P2

P3

Σ

Y

X

P1

20

50

30

100

200

300

P2

10

-

40

50

450

500

P3

-







160

240

400

Σ

30







310




V

270

390







X

300

500

400







Из равенства между суммарным конечным продуктом и суммарной условно чистой продукцией получаем величину

Теперь, когда строки V и X полностью заполнены, можно определить суммарные затраты на производство продукции вто­рой и третьей отраслей:



Завершит составление баланса вычисление затрат продукции третьей отрасли на производство продукции ^ Р2 и на собственные производственные нужды P3:



Окончательно получаем:



Отрасли

P1

P2

P3

Σ

Y

X

P1

20

50

30

100

200

300

P2

10

-

40

50

450

500

P3

-

60

100

160

240

400

Σ

30

110

170

310




V

270

390

230




X

300

500

400






^ II. Межотраслевая балансовая модель и ее свойства

Как известно, при построении математической модели кон­кретного объекта или процесса невозможно учесть все многооб­разие его свойств, связей, особенностей. В первую очередь все сказанное относится к экономико-математическому моделирова­нию. Это связано со сложностью, многогранностью изучаемого объекта, с большим количеством самых разнообразных зависимо­стей между его отдельными элементами. Поэтому построению математической модели предшествует этап выделения главных, существенных связей, которые и будут в дальнейшем изучаться. Здесь же формулируется цель построения модели.

Основные предположения о свойствах экономической системы

Экономическая система состоит из экономических объектов. Количество выпускаемой каждым объектом продукции может быть охарактеризовано одним числом.

Мы договорились под экономическими объектами понимать чистые отрасли. Поэтому в качестве такого числа разумно использовать валовой выпуск отрасли в натуральном или стоимо­стном выражении. В силу принятого выше условия будем в дальнейшем считать, что все характеристики, в том числе и валовой выпуск, представлены в стоимостном выражении (т. е. в рублях, тыс. руб., млн. руб. и т. п.).

Итак, в качестве характеристики выпускаемой каждым эконо­мическим объектом продукции выбираем ее валовой выпуск:

P1→X1P2→X2…Pn→Xn

Комплектность потребления: для выпуска данного коли­чества продукции Xi экономический объект Рi должен получить строго определенное количество продукции других объектов:



Xi

Вспомним, что под Xki мы понимаем стоимость той части продукции k-й отрасли Pk, которую должна использовать Рi в качестве сырья, полуфабрикатов, топлива и т.д., чтобы обеспе­чить выпуск своей продукции в объеме Xi.

Линейность: увеличение выпуска продукции в некоторое чис­ло раз k требует увеличения потребления экономическим объек­том всех указанных в п. 2 продуктов также в k раз. Другими словами, нормы производственных затрат не зависят от объема выпускаемой продукции. Для того чтобы Рi выпустила валовой продукции стоимостью в одну денежную единицу, она должна получить от отраслей системы продукции на а1i, а2i, ..., аni денежных единиц, а для обеспечения всего валового выпуска i-й отрасли потребуется соответственно

(1)

продукции отраслей системы.

Аналогичные соотношения имеют место для всех отраслей:

(2)

Функции вида (2) – однофакторные производственные функ­ции, представленные как функции затрат.

Все n2 указанных функций линейны относительно объема выпускаемой продукции. Поэтому мы и говорим о линейных балансовых моделях.

Коэффициенты пропорциональности аij называют технологи­ческими коэффициентами или коэффициентами прямых внут­рипроизводственных затрат.

Выпускаемая каждым экономическим объектом продукция частично потребляется другими объектами системы в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п. (внутрипроизводственное потребле­ние), а часть идет на личное и производственное потребление вне данной экономической системы (внепроизводственное потребление в форме конечного продукта):

(3)

Построение балансовой модели

Используя предположения 1–4, производственные функции (2) и балансовые уравнения (3), приходим к линейной балансо­вой модели:

(4)


Как мы видим, система (4) содержит n2 + 2n величин: n2 технологических коэффициентов аij, n конечных продуктов Yi и n валовых продуктов Xj. Система линейна как относительно Xj, так и относительно Yi.


III. Задачи, решаемые с помощью балансовой модели

Эта математическая модель имеет вид системы n линей­ных уравнений с 2n неизвестными. Первая группа неизвестных X1, X2,…, Xnпредставляет объемы валовой продукции экономических объектов P1, P2,…, Pn, которую предстоит произвести в планируемомпериоде. Вторую группу Y1, Y2,…, Ynсоставляют конечные продукты P1, P2,…, Pn, т. е. та часть ва­ловой (или суммарной) продукции, которая в будущем пойдет на личное потребление, а также на производственное потребление за пределами изучаемой экономической системы (в других отраслях, регионах, странах).

Технологические коэффициенты аij считаем известными. А имен­но предполагаем, что они имеют те же значения, что и в от­четном периоде.

Если в системе (4) задать любые n из 2n неизвестных, то получим систему n линейных уравнений относительно оставшихся n = 2n - n неизвестных.

В связи с этим возникают следующие три основные задачи:


По данному вектору-столбцу X, который будем называть вектором-столбцом объемов производ­ства, найти вектор-столбец конечной продукции Y.

Обратная задача: по заданному вектору Y найти вектор X.

Смешанная задача: зная значения части Xi и Yj, найти соответствующие Yi и Xj.

Получения значений коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат

Технологические коэффициенты, или, как их еще называют, коэффициенты прямых внутрипроизводственных затрат аij пока­зывают, какое количество продукта i-й отрасли надо затра­тить на производство единицы валового продукта j-й отрас­ли. Коэффициенты прямых затрат считаются постоянными вели­чинами в статических межотраслевых моделях.

Прежде всего возникает вопрос о том, каким образом можно получить значения коэффициентов аij.

Есть два основных пути.

Статистический. Коэффициенты аij определяются на основе анализа отчетных балансов за прошлые годы. Неизменность во времени коэффициентов прямых затрат в этом случае достигает­ся подходящим выбором отраслей межотраслевого баланса. Как показывает практика, при правильном выборе достаточно круп­ных отраслей коэффициенты аij оказываются достаточно устойчи­выми.



где Xij и Xj взяты из отчетного баланса.

Нормативный. Строится модель отрасли межотраслевого баланса. В этой модели отрасль рассматривается как совокуп­ность отдельных производств, для каждого из которых уже разработаны нормативы затрат. Если заранее знать, какую продукцию будут выпускать производства отрасли, то по норма­тивам затрат можно рассчитать среднеотраслевые коэффициенты прямых затрат.

Определив коэффициенты аij, можно использовать систему (4) для решения сформулированных выше задач 1 – 3.

Технологические коэффициенты аij обладают следующими свойствами:






Пример. Используя отчетный баланс:

Найдите аij.

Построй­те систему балансовых уравнений.

По вектору Y = (10, 20) найдите вектор X.

Найдите вектор Y , если X=(50,100).







P1

P2

Σ

Y

X

P1

5

12

17

23

40

P2

6

12

18

32

50


Решение.





При Y = (10, 20) система из п.2 принимает вид:



Решая эту систему, получим:

Если X=(50,100), то из системы в п.2 получим:




^ IV. Решение системы балансовых уравнений в матричной форме

Систему (4) заменим матричным уравнением:

Y = (E-A)X, (5)

где








Система (5) позволяет по данному вектору-столбцу объемов производства найти вектор-столбец конечной продукции.

Для решения обратной задачи надо решить следующую систему:

X = (E-A)-1Y, (6)

где (E-A)-1 – матрица, обратная матрице (E-A).

Матрица А называется продуктивной, если существует неотрицательный вектор X0, такой, что X0 > A X0. Другими словами, если матрица А продуктивна, то для выпуска продукта каждой отрасли требуется затрат меньше, чем стоит сам продукт.

Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица B =(^ E-A)-1неотрицательна.

Матрицу В = ||bij|| называют матрицей коэффициентов полных внутренних затрат. Коэффициент bij выражает стоимость той части валового продукта Pi, которая необходима Pi для выпуска ею единицы конечной продукции.


До сих пор мы говорили о затратах, распределении и потреблении продукции, произведенной экономическими объектами, входящими в данную экономическую систему. Однако, если экономическая система не охватывает всю экономику страны, то не исключена возможность того, что в процессе производства в качестве сырья, полуфабрикатов и т. д. будут использоваться продукты, произведенные за ее пределами.

Особая роль принадлежит трудовым ресурсам и капиталовложениям. Эти два фактора производства всегда являются внешними по отношению к любой экономической системе. Тем не менее с помощью метода межотраслевого баланса можно определить затраты труда, капитала и других ресурсов, не производящихся внутри нее.


Статическая модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых материальных затрат. Достаточное условие продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Структурная форма линейной модели баланса межотраслевых материально-вещественных связей.

Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Балансы бывают отчетные и плановые. Отчетные фиксируют сложив­шиеся пропорции, а плановые отражают некоторое желательное состояние и получаются в результате расчета по моделям, о которых и пойдет речь в этой главе.

В зависимости от того, в каких единицах измеряются межотраслевые потоки, различают балансы натуральные и стоимостные. Далее мы будем иметь в виду в основном стоимостные балансы.

Предположим, что народное хозяйство представлено совокупностью п отраслей. Будем считать, что каждая отрасль производит только один про­дукт и каждый продукт производится только одной отраслью, т. е. между от­раслями и продукцией существует взаимно однозначное соответствие. В действительности это не так, поэтому в МОБ фигурируют не реальные, а так называемые "чистые", или "технологические", отрасли.

Общий вид межотраслевого баланса представлен в таблице. Она состоит из четырех разделов. Первый раздел образуется перечнем "чистых" отраслей. Каждая отрасль представлена в МОБ дважды: как производящая и как пот­ребляющая. Отрасли как производителю соответствует строка таблицы, от­расли как потребителю соответствует столбец. На пересечении i-й строки и j-го столбца находится величина xij - количество продукции i-й отрасли (в денежном выражении), израсходованной на производственные нужды j-й отрасли. Таким образом, первый раздел характеризует межотраслевые по­токи сырья, материалов, энергии и т. д., обусловленные производственной деятельностью отраслей.




1

2

…

n

У

Х

1

x11

x12

…

x1n

y1

x1

2

х21

x22




x2n

y2

x2

…

…

…

…

…

…

…

n

xn1

xn2

…

xnn

yn

xn

V

v 1

v2

…

vn







Х

x1

x2

. . .

xn








Второй раздел МОБ состоит из двух столбцов. Столбец ^ Y - это конечная продукция отраслей. Конечная продукция включает в себя непроизводствен­ное потребление (личное и общественное), возмещение выбытия основных фондов и накопление. Столбец Х содержит величины валового производст­ва отраслей.

Третий раздел представлен двумя нижними строками. Строка ^ Х содер­жит те же самые величины, что и соответствующий столбец второго раздела. Строка V содержит величины условно-чистой продукции отраслей. Условно-чистая продукция включает в себя амортизационные отчисления и вновь созданную стоимость (заработную плату и прибыль).

Четвертый раздел МОБ не имеет непосредственного отношения к ана­лизу межотраслевых связей. Он характеризует перераспределительные отно­шения в народном хозяйстве и здесь рассматриваться не будет.

Строки показывают распределение продукции. Для любой i-й строки первого раздела справедливо соотношение



т.е. вся произведенная i-й отраслью продукция хi (валовая продукция в де­нежном выражении) делится на промежуточную и конечную. Промежуточ­ная продукция - это та часть валовой продукции i-й отрасли, которая расхо­дуется другими отраслями в процессе осуществления ими собственных производственных функций.

Столбцы МОБ показывают структуру затрат. Для любого j-го столбца можно записать:



т.е. стоимость всей произведенной j-й отраслью продукции хj состоит из те­кущих производственных затрат и условно-чистой продукции vj.

Суммарный конечный продукт равен суммарной условно-чистой про­дукции. Действительно,





Сравнивая правые части этих соотношений, видим, что



Зная суммарный конечный продукт или, что то же, суммарную условно-чистую продукцию, можно определить национальный доход. Он равен разности суммарного конечного продукта и амортизационных отчислений, направляемых на возмещение выбытия основных фондов.

Рассмотренная таблица МОБ всего лишь форма представления статистической информации о взаимосвязи отраслей. Перейдем теперь к построе­нию математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:

                                  (1)

Коэффициент aij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици­енты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что

                                 (2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений



следующим образом:



Перенося yi в правую часть, а xi в левую и меняя знаки на противопо­ложные, получаем



В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим обра­зом:

X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,

где Е - единичная матрица n-го порядка;

 - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, кото­рую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа – каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство матрицы А – сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

                                 (3)

Для доказательства разделим обе части балансового соотношения



на хj и, выполнив простейшие преобразования, полу­чим



где vj / xj= - доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что>0, так как в процессе производства не может не создавать­ся новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы ^ А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицатель­ном Y система

X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэф­фициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде



Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу ^ В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+...+Аk+...                                             (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы ^ А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k³ ≈30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточне­ния промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести эконо­мическая система, равен ^ Y. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х0 =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X1 =АХ0=АY. Вектор X1 можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х0. Но под обеспечение производства X1 тоже нужна проме­жуточная продукция: X2 =АХ1 =А2Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х0+Х1+Х2+...+Хk+... = Y+АY+А2Y+...+AkY+... =

= (е+а+а2+…+аk+...)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвенную составля­ющие. Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А2+А3+…+Аk+... относятся к предшествую­щим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посред­ство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А2 представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А3 - косвенные затраты второго порядка и т. д.
Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная балансом труда. Коэффициенты полных затрат труда. Коэффициенты фондоёмкости отраслей. Баланс основных производственных фондов. Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная балансом основных производственных фондов.

Показатели использования трудовых ресурсов и основных производст­венных фондов также могут быть исследованы в межотраслевом контексте.

Пусть ^ L - среднегодовая численность работников i-й отрасли. По ана­логии с коэффициентами прямых материальных затрат вводятся коэффи­циенты прямых затрат труда:



Зная эти коэффициенты, можем вычислить суммарную потребность в трудовых ресурсах при заданном объеме валового производства:



Валовое производство можно выразить через конечную продукцию по формуле



Воспользуемся этой формулой и запишем предыдущее соот­ношение так:



Величина показывает, какое количество трудовых ресурсов i-й отрас­ли необходимо для того, чтобы обеспечить i-й продукцией выпуск единицы j-го конечного продукта. Суммируя по всем отраслям, получаем



или в векторной форме:

Т=ВTt.

Тj - коэффициент полных затрат труда (полная трудоемкость). Он по­казывает, какое количество трудовых ресурсов всех отраслей необходимо для производства единицы j-го конечного продукта.

Таким образом, суммарная потребность в трудовых ресурсах может быть вычислена двумя способами:

                                         (1)

Аналогично определяются коэффициенты прямой и полной фондоемкости. Пусть Fi - среднегодовое количество используемых основных фон­дов. Тогда коэффициент прямой фондоемкости



Коэффициент полной фондоемкости



То же в векторной форме:

Ф = ВTt.

Коэффициент Фj показывает, какое количество основных фондов всех отраслей необходимо для производства единицы j-го конечного продукта.

По аналогии с (1) суммарная потребность в основных фондах вычис­ляется так:



Коэффициенты полной трудоемкости и фондоемкости можно подобно коэффициентам полных материальных затрат рассматривать как сумму прямой и косвенной составляющих. Например, для полной фондоемкости:

Ф=(Е+А+А2+...+Ак+...)Т,  f=f+(А+А2+...+Аk+...)Тf.

Косвенная составляющая полной фондоемкости (так же, как и полной трудоемкости) сравнительно невелика в сырьевых отраслях и возрастает в "завершающих" отраслях до 90¸95%.


Пример. Вычислить общую потребность в трудовых ресурсах, если известны коэффициенты прямых материальных затрат, коэффициенты прямых затрат труда и задан вектор конечного продукта:



Для решения этой задачи нужно воспользоваться формулой



Как видим, возможны два способа: 1) вычислить ^ Х = ВY, а затем приме­нить формулу L=(t,x); 2) вычислить коэффициенты полных затрат труда Т =BTt и далее L=(Т,Y). Но в обоих случаях необходимо сначала вычислить

матрицу В.



Первый способ:





Второй способ:





Важнейшую часть национального богатства составляют основные производственные фонды, представляющие собой материально-техническую базу народного хозяйства. Основные производственные фонды – это средства труда, функционирующие во всех отраслях материального производства. К основным производственным фондам относят только продукты общественного труда, начавшие функционирование в производстве.

Основные производственные фонды весьма различны по своему вещественно-материальному составу и назначению. Одни создают условия для осуществления производственного процесса, другие выполняют транспортные функции, при помощи третьих осуществляется производственный процесс и т.д. В настоящее время в практике нашей статистики принята следующая единая типовая классификация основных производственных фондов по всему народному хозяйству.

Здания.

Сооружения.

Передаточные устройства.

Машины и оборудование, в том числе: силовые машины