Реферат: Матричная оптика – оптические матрицы

Матричная оптика – оптические матрицы


В матричной оптике любая осесимметричная система описывается 2×2 матрицей


,


которая называется оптической матрицей системы. Пусть световой луч на входе в систему задается своей высотой и углом наклона (все это относительно оси системы), т.е характеризуется двумерным вектором


.


Тогда после прохождения через систему высота и угол наклона будут


,


т.е.


.


Оптическая матрица системы является последовательным произведением элементарных оптических матриц – матриц перемещения, преломления, отражения.


Матрица перемещения. Для получения матрицы перемещения рассмотрим световой луч, входящий в систему на высоте с углом наклона и свободно распространяющийся вправо на расстояние .





Рис. 1. ^ Высота светового луча на входе , на выходе

, угол не меняется


Тогда на выходе из системы его высота будет . Учитывая условие параксиальности, в частности малость угла , можно заменить тангенс этого угла на сам угол и получить


.


Учитывая, что луч распространяется в свободном пространстве, имеем также


.


Последние два соотношения можно записать в матричном виде


.


Итак, перемещение светового луча в свободном пространстве на расстояние описывается матрицей





которая и называется матрицей перемещения.


^ Матрица отражения. Переходим к отражению. Пусть световой луч отражается от сферического зеркала радиуса . При этом отражение происходит на высоте и до отражения луч имеет угол наклона . Мы используем два подхода для вывода матрицы отражения. Первый из них геометрический, как для матрицы перемещения, второй использует парксиальную или гауссову оптику.

^ Первый – геометрический вывод. Очевидно, что непосредственно при отражении высота луча не изменится, т.е.


,


а вот угол наклона поменяется, и каким образом, мы сейчас подсчитаем.





Рис. 2. При отражении высота светового луча не меняется,

угол падения и угол отражения равны


Так как зеркало сферическое, нормаль к нему совпадает с радиусом. Угол между световым лучом и радиусом – угол падения, обозначим , угол отражения тоже будет . Поэтому угол наклона отраженного луча будет , а с учетом того, что после отражения луч будет двигаться в противоположном направлении и мы должны будем изменить положительное направление оси , на самом деле будет


.


Прямоугольный треугольник на рисунке 2 дает нам или , учитывая малость углов, просто , поэтому


.


Окончательно,


.


Записав это в матричном виде, получаем


.


Итак, отражение светового луча от зеркала радиуса описывается матрицей


,


которая называется матрицей отражения.

Добавим, что для луча, движущегося в обратном направлении, матрицы перемещения и отражения имеют тот же самый вид.

^ Второй вывод – используем гауссову оптику. Воспользуемся тем фактом, что в области параксиальной оптики луч, идущий параллельно оси зеркала, т.е. луч


,


п
осле отражения попадает в фокус сферического зеркала, расположенный на расстоянии от его вершины


Рис. 3 Параксиальный луч, идущий параллельно оси зеркала, после отражения

попадает в фокус, расположенный на расстоянии от вершины


Конечно же, непосредственно после отражения высота луча тоже будет равна , а как показывает рисунок, угол наклона луча будет , т.е. отраженный луч, характеризуется вектором


.

И это означает, что


.


Из равенства первых координат левого и правого векторов следует, что , из равенства вторых координат следует, что .

Теперь обратим направление только что рассмотренного луча. Тогда луч до отражения будет задаваться вектором


,

а после отражения


.


И это означает, что


.


Опять приравняем первые координаты, тогда из того, что , следует, что . А из равенства вторых координат следует, что . Вместе с это дает, что . Итак, все элементы матрицы отражения найдены, и мы опять имеем


.


Матрица тонкой линзы. Теперь, как только что мы сделали, с помощью гауссовой оптики найдем матрицу преломления для тонкой линзы с фокусным расстоянием . Запустим два световых луча.






Рис. 4 ^ Первый луч идет параллельно оси и после прохождения через линзу попадает в

фокус, второй луч входит в линзу на нулевой высоте и не меняет своего направления


Первый из них идет параллельно оси на высоте , т.е. характеризуется вектором


.


После прохождения через линзу он попадает в фокус, т.е. непосредственно на линзе он задается вектором


.


Т.к. эти два вектора связаны соотношением (матрицу тонкой линзы, как и матрицу отражения, обозначают той же буквой )


,


отсюда сразу получаем , .

Второму лучу и до и после отражения соответствует вектор


.

И это означает, что


,

а отсюда следует и . Итак, матрица тонкой линзы имеет вид


.


И матрицу отражения, и матрицу преломления можно записать в виде


,


где – оптическая сила соответствующего устройства.


Здесь изложена всего лишь сокращенная версия оснований матричной оптики.


Подробное изложение имеется в книге: Джеррард А., Бёрч Дж.М. Введение в матричную оптику, 1978. Есть в электронной библиотеке мехмата МГУ, расположенной по адресу

http://lib.mexmat.ru/


Второй источник – конспект лекций: Родионов С.А. Основы оптики.– СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2000, расположен по адресу

http://aco.ifmo.ru/el_books/basics_optics/index.html

А вообще, http://aco.ifmo.ru/ – это сайт кафедры прикладной и компьютерной оптики Ленинградского института точной механики и оптики (ЛИТМО), который недавно стал называться Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, механики и оптики (ИТМО).