Реферат: Егоров Е. А. Организация модельного эксперимента

Егоров Е.А.


Организация модельного эксперимента


4.1.Моделирование случайных факторов.


Случайные факторы при ИМ могут иметь характер случайных вели-

чин (СВ), случайных процессов (СП), случайных событий (СС), потоков

случайных событий (ПСС). На практике обычно можно по результатам

имитации СВ имитировать другие виды фактеров.

Возникает задача моделирования СВ с произвольными законами

распределения. На практике используются некоторые базовые распреде-

ления, функциональным преобразованием которых можно обеспечить про-

извольное распределение СВ. В качестве базовых используется СВ с

равномерным ЗР.


Базовая СВ


f(z) ^ f(z)- плотность распределения

1/(b-a)+----------------+---------------+- - - - - - - -

| | / |

| | / |

| | F(z) / |

| | / |

| | / |

| | / |

| |/ |

|- - - - - - - - +---------------+------------------> z

a b

z

F(z) = INTEGRAL f(t)dt интегральный ЗР

-0-0 - функция распределения

+

| 0, z < a

|

| z - a

F(z) = < -------, a <= z <= b

| b - a

|

| 1, z > b

+


a + b (b - a)**2

Mz = ------- , Dz = сигмаz**2 = ------------

2 12


В качестве базовой СВ часто используются СВ с равномерным ЗР в

интервале [0 - 1[.


f(z) ^

n +----------------+- - - - -

| /|

| / |

| / |

| / |

| / |

|/ |

- - - -+----------------+------------------> z

0 1


+

| 0, z < 0

|

F(z) = < z, a <= z <= b

|

| 1, z > 1

+


4.1.1. Моделирование БСВ.


Для генерации БСВ используются различные способы

- приставки к ЭВМ - аппаратный

- табличный

- алгоритмический


1. Аппаратный способ.


Датчик реализуется в виде некоторого аппаратного

расширителя, использующего случайного свойства какого-либо из

физических явлений.

Датчики шума часто используют п/п переход, обладающий шумящими

свойствами. После усиления с помощью амплитудного дискриминатора

создается случайная последовательность импульсов, которая преобра-

зуется с помощью пересчетных схем в параллельный двоичный код, со-

ответствующий числу накопленных за интервал Т импульсов из входной

случайной последовательности.


++++

+----+ +----+ +----+ -++++- +----+ Nz

| ДШ +--->| |> +--->| АД +--------| ПС +--->

+----+ +----+ +----+ +----+

^

| T


"+" - случайные свойства подобных датчиков

"-" - нестабильность (температурная и временная) случайной после-

довательности (СП), невозможность повторного воспроизведения СП.


2. Табличный.


Хранение в некоторой памяти реализации случайного процесса

достаточной длины, полученной с помощью аппаратного датчика

либо по таблице случайных чисел (ТСЧ).


"+" - возможность повторного воспроизведения СП,

"-" - значительные затраты памяти для хранения ТСЧ.


3. Алгоритмический.


Способ предполагает генерацию последовательности детерминиро-

ванных чисел, обладающих при достаточно большой длине последова-

тельности свойствами, приближающимися к случайным (псевдослучайные

числа).

Чаще всего используются рекуррентные соотношения:

z = f(z ,........,z ).

i (i-r) (i-1)

К началу генерации должны быть заданы первые r значений.

Чаще всего используются соотношения простые, r = 1.

Метод срединных квадратов.

-------------------------

Преобразование f заключается в возведении в квадрат предыдуще-

го отсчета и в выделении в полученном произведении двойной длины n

промежуточных результатов. При этом предполагается формат с ФЗ.


z = f(z ) = CUT (z **2)

i (i-1) n (i-1)


Мультипликативный метод.

----------------------

Наиболее популярен в настоящее время, предполагает преобразо-

вание вида:


z = MOD [ALFA + BETA * z ]

i GAMMA (i-1)

Выделяется остаток по MOD суммы ALFA + BETA* z

^ GAMMA (i-1)

и принимается в качестве следующего значения.


Пример.


AKFA = 3, BETA = 9, GAMMA = 15, z = 1.

1

Строим последовательность

1,12, 6, 3, ...

Наблюдается периодичность.


В общем случае можно выделить период T и отрезок апериодичнос-

ти в начальной последовательности.

Свойства датчика тем выше, чем больше длина периода Т. При мо-

делировании объем выборки не должен превышать длины периода, иначе

будет наблюдаться статистическая зависимость результатов испытаний

за счет повторения элементов псевдослучайной последовательности.

Полученная последовательность целых чисел может быть за счет деле-

ния на величину GAMMA преобразована в последовательность действи-

тельных чисел, изменяющихся в диапазоне [0, 1[.


[z / GAMMA] принадлежит [0, 1[.

i

^

|

+----------+

| |

+----------+---->

0 1


Датчик, построенный на ЭВМ с разрядной сеткой в 42 разряда

при GAMMA = 5**17 дает Т ~= 2**40.


"+" - возможность получения повторяемых псевдослучайных

последовательностей

"-" - трудность моделирования систем СВ


4.1.2. Моделирование СВ с произвольным распределением.


4. Второй алгоритмический способ - метод исключения.


Требует наличие какого - либо датчика БСВ. Предположим, что

известен вид плотности распределения СВ, f(x) - плотность

распределения СВ х.


Ограничения.


f(x) ^

|

| _____

| / \

| / \

| |

| |

+-----+----------------->

a b


f(x) принимает ненулевые значения в диапазоне [a, b].


Можно получить СВ х по правилам:


1. Получить два отсчета БСВ Z1, Z2.

2. Расчет промежуточных значений


e1 = Z1*(b - a) + a e2 = Z2*fmax

| |

V V

масштабирование смещение


3. Если значения e2 <= f(e1), f - функция плотности, то

значения е1 - новый элемент последовательности.


Метод легко обобщается на случай многомерной СВ.


Пример.


N - мерная плотность f(x1, x2, ..., xn)

Для системы n СВ.

Для получения нового элемента псевдослучайной

последовательности, которой является вектор из n компонент,

используются следующие шаги:


1. Генерируются Z1, Z2, ..., Zn, Zn+1

Zn+1 - отсчеты БСВ

----

2. Промежуточные значения ei = Zi*(bi - ai) + ai, i = 1, n

ai, bi - граничные значения для i координаты


В данном случае функция плотности - поверхность

(строится по линиям равного уровня).


en+1 = Zn+1*fmax


Если en+1 <= f(e1...en), то l1...ln - новый вектор.


Метод исключения применим для произведения одно- и

многомерных распределений, удовлетворяющих свойствам

ограниченности по каждой из координат.


"-" - сравнительно низкий коэффициент использования

исходной последовательности, формируемой датчиком БСВ.


На практике очень популярным для одномерных распределений

являются так называемый метод обратной функции.


f(x) - плотность распределения (желаемая)

Существует датчик БСВ [0, 1].

Условие: возможность получения прямой и обратной формы


z x

F(z) = интеграл fz(тау)dтау F(x) = интеграл Tx(f)df

-беск-ть -беск-ть


Если допустить F(x) = F(z), то можно применить обратное

преобразование

Fx**(-1)(F(x)) = Fx**(-1)(F(z))


+

| 0, z < 0

x = Fx**(-1)(F(z)) F(z) = | z, z принадлежит [0, 1]

| 1, z > 1

+


^ ^

| f(z) | F(z)

| |

+-----------+ | -------

| | | /

| | | /

| | | /

| | | /

+-----------+-----> ----+----------------------->

0 1 z 0 1 z


экспоненциальное

распределение


^ Т. к. СВ (1 - z) распределена по такому

| \ f(x) же ЗР как и СВ z.

| \

| \ Рассмотренный метод положен в основу

| \ формирования экспоненциально-распре-

| \ деленной СВ в GPSS.

| \

| \

| \

| \

| \

+------------------------------>

x


x = Fx**(-1)(z), где z - БСВ


Если fх(х) = лямбда*е**(-лямбда*х), х >= 0

Найден Fx(x) = 1 - е**(-лямбда*х)

Fx(x) = Fz(z) = z

1 - е**(-лямбда*х) = z

1 - z = е**(-лямбда*х)

ln(1 - z) = е**(-лямбда*х)

-лямбда*х*lne = ln(1 - z)

-лямбда*х = ln(1 - z)

+----------------------------+

| 1 - ln(1 - z) |

| ------lnz = ----------- = x|

| лямбда лямбда |

+----------------------------+


Для моделирования СВ по НЗР используется свойство суммы

независимых СВ с произвольным распределением, которое с

увеличением числа слагаемых неограниченно стремится к СВ с НЗР.


n

х = сумма Zi, Zi - отсчеты БСВ

i = 1


МО mzi = 0.5 Dzi = 1 / 12


Для суммы: mсум = n*mzi = n * 0.5

Dx = n * Dzi = n / 12


при n = 12 mx = 6 Dx = 1


Распределение СВ х будет являтся некоторым приближением к

НЗР СВ. Для получения нормирования, нормального распределение СВ

с mx = 0 и сигмаско = 1 надо выполнить преобразования


12

x = сумма Zi - сигма (избегаем смещения)

i = 1


Использование данного метода объясняется тем, что для НЗР

не удается получить аналитические преобразования по методу

обратной функции.


Рассмотренные методы исключения, обратной функции и метод

суммирования показывает возможность моделирования

псевдослучайной величины с заданным ЗР на основании БСВ и РЗР.


Пример.

Рассмотрим частный случай моделирования дискретной СВ с

произвольным распределением.


Xi - множество значений ДСВ P(x1) P(x3)

P(Xi) - вероятность | |

сумма P(Xi) = 1 --+--+--+--+---

P(x2)


Моделирование сводится к отображению P(Xi) на интервал [0,

1] в виде.

При обращении к датчику БСВ будет разыграно значение z на

попадание в отрезок.


^

|

|

|

|P(x1) P(x2) P(Xn)

+--+-----+--+----+--+------>

0 z 1


Надо определить интервал, содержащий значение z, и принять

в качестве отсчета ДСВ значение х, связанное с этим интервалом.

Чем больше P(Xi), тем чаще отсчет БСВ будет попадать на

соответствующий интервал.


Раздел 4. Организация модельного эксперимента


4.1.Моделирование случайных факторов.


Случайные факторы (СФ) - это различные внешние возмущения,

воздействующие на исследуемую систему извне, или внутренние возму-

щения, возникающие внутри системы. Они могут иметь характер случай-

ных величин (СВ), случайных процессов (СП), случайных событий (СС),

потоков случайных событий (ПСС).

Примерами внещних случайных факторов любых ВС могут служить

погрешности, сопровождающие ввод исходных данных. Примерами внут-

ренних случайных факторов являются для аналоговых ВС - дрейфы опе-

рационных усилителей, для цифровых ВС - сбои различных элементов.

Воспроизедение случайных факторов с заданными вероятностными

характеристиками при статистическом моделировании может соущест-

вляться тремя способами: аппаратным, табличным или алгоритмическим.


4.1.1. Аппаратный и табличный способы моделирования СФ.


Аппаратный способ предполагает применение специальных элект-

ронных генераторов случайных сигналов. Действие их основано на не-

которых физических случайных явлениях, например, шумах в электрон-

ных и полупроводниковых приборах. Выходное напряжение генератора,

получаемое усилением шумовой э.д.с., представляет собой случайную

функцию времени U(t) c определенными вероятностными характеристика-

ми. Напряжение, фактически действующее на выходе генератора после

его включения - это реализация u(t) случайной функции U(t). Значе-

ния u(t), фиксируемые в определенные моменты времени t1,t2,.......,

tn после включения генератора, составляют систему (u1,u2,.....,un)

- реализацию системы случайных величин U1=U(t1),U2=U(t2),......,Un=

U(tn). Если интервалы между моментами времени t1,t2,.......,tn дос-

таточно велики, то случайные величины U1,U2,.....,Un могут считать-

ся независимыми. Если случайная функция U(t) стационарна относи-

тельно одномерного закона распределения, то значения

u1=u(t1),u2=u(t2),......,un=u(tn) реализации u(t) являются возмож-

ными значениями случайной величины U с тем же законом распределе-

ния. ния генератора

Рассмотрим две возможные структурные схемы аппаратных генерато-

ров случайных сигналов, пригодных для использования в качестве ап-

паратных расширителей для ЭВМ.

а). После усиления низковольтного шума, формируемого датчиком

шума (ДШ) усилителем (УС) с помощью амплитудного дискриминатора (АД)

создается случайная последовательность импульсов, которая преобразу-

ется с помощью пересчетных схем (ПС) в параллельный двоичный код Nz,

соответствующий случайному числу импульсов, накопленных за интервал

времени Т.

++++

+----+ +----+ +----+ -++++- +----+ Nz

| ДШ +--->| УС +--->| АД +--------| ПС +--->

+----+ +----+ +----+ +----+

^

| T

а). После усиления низковольтного шума, формируемого датчиком

шума (ДШ) усилителем (УС) с помощью аналого-цифрового преобразовате-

ля (АЦП) формируется последовательность отсчетов Nz в произвольные

моменты времени t, в частном случае с периодом Т.

+----+ +----+ +-----+ Nz

| ДШ +--->| УС +--->| АЦП +--->

+----+ +----+ +-----+

^

| t, T

"+"- случайность сигналов подобных генераторов случайных сигналов.

"-"- нестабильность (температурная и временная) вероятнстных ха-

рактеристик случайной функции U(t), невозможность воспроизведения ,

т.е. невозможность повторного получения одной и той же реализации u

(t).


Табличный способ моделирования СФ предполагает фиксацию реали-

заций случайных величин, функций и их систем и хранение их в памяти

с последующим считыванием и воспроизведением. Реализации могут быть

получены с помощью аппаратного генератора либо по таблице случайных

чисел (ТСЧ).

"+" - высокая точность и стабильность во времени вероятностных

характеристик моделируемых СФ; возможность повторного воспроизведения

реализации,

"-" - значительные затраты памяти для хранения ТСЧ.


4.1.2. Алгоритмический способ моделирования СФ.


4.1.2.1. Моделирование базовых случайных величин (БСВ).


На практике обычно можно по результатам моделирования СВ моде-

лировать другие виды факторов. Возникает важная задача моделирова-

ния СВ с произвольными законами распределения. На практике исполь-

зуются некоторые базовые СВ, функциональным преобразованием которых

можно обеспечить произвольное распределение СВ. В качестве базовых

чаще всего используются СВ с равномерным ЗР.


f(z) ^ f(z)- плотность распределения

1/(b-a)+----------------+---------------+- - - - - - - -

| | / |

| | / |

| | F(z) / | Базовая СВ

| | / |

| | / |

| | / |

| |/ |

|- - - - - - - - +---------------+------------------> z

a b

z

F(z) = INTEGRAL f(t)dt интегральный ЗР

-0-0 - функция распределения

+

| 0, z < a

|

| z - a

F(z) = < -------, a <= z <= b

| b - a

|

| 1, z > b

+


a + b (b - a)**2

Mz = ------- , Dz = (SIGMAz)**2 = ----------

2 12


В качестве базовой СВ часто используются СВ с равномерным ЗР в

интервале [0 - 1[.


f(z) ^

n +----------------+- - - - -

| /|

| / |

| / |

| / |

| / |

|/ |

- - - -+----------------+------------------> z

0 1


+

| 0, z < 0 Mz = .5

|

F(z) = < z, a <= z <= b Dz = 1/12

|

| 1, z > 1 SIGMAz = 1/(2*SQRT(3)

+


Алгоритмический способ предполагает генерацию детерминирован-

ной последовательности чисел, обладающих при достаточно большой

длине последовательности свойствами, приближающимися к случайным

(псевдослучайные числа).

Чаще всего используются рекуррентные соотношения:

z = f(z ,........,z ).

i (i-r) (i-1)

К началу генерации должны быть заданы первые r начальных значе-

ний. Чаще всего используются простые соотношения , r = 1. Пригод-

ность выбранной функции f определяется анализом получаемой последо-

вателности z0,z1,.....,zi статистическим методами.

Пример. Метод срединных квадратов.

-------------------------

Преобразование f заключается в возведении в квадрат предыдущего

отсчета и в выделении в полученном произведении двойной длины n про-

межуточных результатов. При этом предполагается формат с ФЗ.


z = f(z ) = CUT (z **2)

i (i-1) n (i-1)


Пример. Мультипликативный метод.

----------------------

Наиболее популярен в настоящее время, предполагает преобразова-

ние вида:


z = MOD [ALFA * z ]

i BETA (i-1)

где ALFA, BETA, z0 - целые положительные константы. Выделяется остаток

по MOD произведения ALFA* z и принимается в качестве следующего

BETA (i-1)

значения.

Характер последовательности z0,z1,.....,zi зависит от выбора

ALFA, BETA, z0. Во всех случаях после некоторого числа шагов L по-

лучится отрезок последовательности z0,z1,.....,zk,zk+1,......,zL-1

такой, что остальные значения последовательности будут получаться

повторением отрезка zk+1,.....,zL-1.

Отрезок z0,....,zk длиной k+1 называется отрезком апериодич-

ности псевдослучайной последовательности, отрезок zk+1,.....,zL-1 -

периодом, число P=L-(k+1) - длиной периода.

Свойства датчика тем выше, чем больше длина периода P. При мо-

делировании объем выборки не должен превышать длины периода, иначе

будет наблюдаться статистическая зависимость результатов испытаний

за счет повторения элементов псевдослучайной последовательности.

Пример. ALFA = 3, BETA = 15, z0 = 1.

Строим последовательность 1, 3, 9, 12, 6, 3, 9, 12,..., в ко-

торой L=5, P=4


Полученная последовательность целых чисел может быть за счет де-

ления на величину BETA преобразована в последовательность действи-

тельных чисел [z / BETA], принадлежащих интервалу [0, 1[.

^

|

+----------+

| |

+----------+---->

0 1

Пример. Датчик, построенный на ЭВМ с разрядной сеткой в 42 разряда при

ALFA = 5**17, BETA = 2**42 дает L=P= 2**40.


"+" - возможность получения повторяемых псевдослучайных последо-

вательностей,

"-" - трудность получения высококачественных датчиков БСВ.


4.1.2.2. Моделирование непрерывных СВ с произвольным распределением.


На практике очень популярным для одномерных распределений явля-

ются так называемый метод обратной функции.

----------------------

Пусть f(x) - плотность распределения (желаемая) и существует

датчик БСВ Z [0, 1[.

Условие: возможность получения прямой и обратной функции f,f*(-1).


z x

F(z) = INTEGRAL fz(TAU)dTAU F(x) = INTEGRAL fx(f)df

-0-0 -0-0


Если допустить F(x) = F(z), то можно применить обратное

преобразование

Fx**(-1)(F(x)) = Fx**(-1)(F(z))


+

| 0, z < 0

x = Fx**(-1)(F(z)) F(z) = | z, z принадлежит [0, 1[

| 1, z > 1

+


^ ^

| f(z) | F(z)

| |

+-----------+ | -------

| | | /

| | | /

| | | /

| | | /

+-----------+-----> ----+----------------------->

0 1 z 0 1 z


Пример. Пусть необходимо смоделировать СВ с экспоненциальным распре-

делением.

f(x) = LA * exp (- LA*x)

^

| \ f(x)

| \

| \

| \

| \

| \

| \

| \

| \

| \

+------------------------------>

x


x = Fx**(-1)(z), где z - БСВ


Пусть fх(х) = LA * е **(-LA * х), х >= 0

Найдем Fx(x) = 1 - е**(-LA * х)

Fx(x) = Fz(z) = z

1 - е**(-LA * х) = z

1 - z = е**(-LA * х)

ln(1 - z) = ln [е**(-LA * х)]

-LA * х * lne = ln(1 - z)

-LA * х = ln(1 - z)

+-----------------------------+

| 1 - ln(1 - z)|

|x = - --- * lnz = -----------|

| LA LA |

+-----------------------------+

т.к. СВ (1 - z) распределена по такому же ЗР как и СВ z. Рассмот-

ренный метод положен в основу формирования экспоненциально-распре-

деленной СВ в GPSS.


Второй метод - метод исключения.

----------------

Требует наличия какого - либо датчика БСВ. Предположим, что из-

вестен вид плотности распределения СВ, f(x) - плотность распределения

СВ х.


Ограничения.


f(x) ^

|

fmax _ _ _ _ _ _____

| / \

| / \

| |

| |

+-----+----------------->

a b


f(x) принимает ненулевые значения в диапазоне [a, b].


Можно получить СВ х по правилам:


1. Получить два отсчета БСВ Z1, Z2.

2. Расчет промежуточных значений


e1 = Z1*(b - a) + a e2 = Z2*fmax

| |

V V

масштабирование смещение


3. Если значения e2 <= f(e1), f - функция плотности, то значе-

ния е1 - новый элемент последовательности.


Метод исключения легко обобщается на случай многомерной СВ.


Пример. Пусть необходимо моделировать многомерную СВ с n - мерной

плотностью f(x1, x2, ..., xn) для системы n СВ, причем значения

всех переменных должны удовлетворять ограничениям ai <= xi <= bi.

В данном случае функция плотности - поверхность в n-мерном прост-

ранстве (строится по линиям равного уровня) и характеризуется мак-

симальным значением fmax.

Для получения нового элемента псевдослучайной последователь-

ности, которым является вектор из n компонент, используются следую-

щие шаги:


1. Генерируются n+1 отсчет БСВ: z1, z2, ..., zn, zn+1

2. Рассчитываются промежуточные значения

___

ei = zi*(bi - ai) + ai, i = 1,n;

где ai, bi - граничные значения для i координаты, и

en+1 = zn+1 * fmax

3. Если en+1 <= f(e1...en), то (e1...en) - новый отсчет слу-

чайного вектора, в противном случае этот вектор исключается из

рассмотрения.


Сравнительная оценка рассмотренных методов

Метод обратной функции.

"+" - сравнительно прост в реализации;

- пригоден для "хвостатых" распределений.

"-" - пригоден только для распределений, для которых существу-

ет обратная функция F**(-1);

- пригоден только для одномерных распределений.

Метод исключения.

"+" Метод исключения применим для моделирования как одномер-

ных, так и многомерных распределений;

"-" - пригоден только для распределений, удовлетворяющих

свойствам ограниченности по каждой из координат (непригоден для

"хвостатых" распределений.

- сравнительно низок коэффициент использования

исходной последовательности, формируемой датчиком БСВ, причем коэф-

фициент использования падает с ростом размерности случайной величи-

мы.


4.1.2.3. Моделирование нормально-распределенных СВ


Нормальный закон распределения (закон Гаусса):


(x - Mx) ** 2

- -------------

1 2 * SIGMAx**2

f(x) = ---------------- * e

SIGMAx*SQRT(2*PI)


Для моделирования непрерывных СВ с нормальным законом распре-

деления(НЗР) неприменимы рассмотренные выше метод обратной функции

(не существует прямая и соответственно обратная функция распределе-

ния) и метод исключения ("хвостатое" распределение).

Широко распространенным методом моделирования СВ с НЗР являет-

ся метод суммирования, основанный на одной из центральных предель-

ных теорем теории вероятностей.

Теорема Ляпунова: при широких предположениях относительно за-

конов распределения независимых случайных величин xi, i in Nn с

ростом n закон распределения суммы

n

^ Z = SUMMA Xi

i=1

неограниченно приближается к нормальному.

Пусть Xi - отсчеты равномерно-распределенной БСВ:

МО MXi = 0.5; Dzi = 1 / 12.

Для суммы Z: MZ = n * MXi = n * 0.5;

DZ = n * DXi = n / 12.

при n = 12 MZ = 6, DZ = 1.


Распределение СВ Z будет являться некоторым приближением к

нормально распределенной СВ. Для получения нормированного нормаль-

ного распределения СВ с MZ = 0 и SIGMAZ = SQRT(DZ) = 1 надо выпол-

нить преобразования


12

Z = SUMMA Xi - 6 (устранение смещения).

i = 1


Рассмотренные методы обратной функции, исключения, суммирова-

ния показывает возможность моделирования непрерывной псевдослучай-

ной величины с заданным ЗР на основании БСВ с равномерным ЗР.


4.1.2.4. Моделирование дискретных СВ с произвольным распределением.


Пусть задано произвольное распределение дискретной СВ (ДСВ):

xi - множество значений ДСВ X, P(x1) P(x3) P(xn)

P(xi) - вероятность xi, | | |

сумма P(xi) = 1 --+--+--+--+-------------+-

P(x2)


Множество вероятностей P(xi), i in Nn отображается на интервал

[0, 1[ согласно следующему рисунку.


P(x1) P(x2) P(xi) P(Xn)

+-----+-------+----------+---*---+-------+----------+------> Z

0 z 1


При обращении к датчику БСВ будет разыграно значение z, попа-

дающее на некоторый подинтервал интервала [0,1[. Надо определить

подинтервал, содержащий значение z, и принять в качестве отсчета

ДСВ значение хi, связанное с этим подинтервалом. Чем больше P(Xi),

тем чаще отсчет БСВ будет попадать на соответствующий подинтервал.

Время, необходимое для определения подинтервала, содержащего

z, уменьшается, если предварительно расположить возможные значения

СВ X x1,x2,.....,xn в порядке убывания их вероятностей, то есть

так, чтобы p(x1) >= p(x2) >= ......>= p(xi) >= ......>= p(xn).


^ 4.1.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОВ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ


Рассмотрим вначале моделирование полной группы несовместных

событий:

----

{Ai} - множество событий Ai, i = 1, n;

----

P(Ai) - вероятность события Ai, i = 1, n;

n

SUMMA P(Ai)= 1 - полная группа событий.

i = 1

P(Ai, Aj) = 0 - несовместные события, i =/= j.


Моделирование полной группы сводится к рассмотренному

случаю моделирования дискретных СВ. В качестве значений

дискретных СВ можно рассматривать номера событий.


P(A1) P(A2). . . P(Ai) . . . P(An)

+-----+-------+---+-----+---+-+-+---+-+

0 ^ 1

| Z - отсчет датчика СВ


Последовательность шагов:

1. Разыграть значения БСВ, используя датчик.

2. Определить подинтервал, содержащий значение z.

3. Номер подинтервала принять в качестве номера наступающего

в опыте события Ai.


Очень важной является задача моделирования потока однородных

событий. В общем случае поток можно охарактеризовать многомерной

совместной плотностью распределения вероятностей. На оси каждой

вершины (+) соответствует однородное событие. Отметим интервалы Ti

между соседними событиями в потоке.


Т1 Т2 Т3 Ti

____ ___ _____ _ ___ ___

/ \ / \ / \ / \ / \ / \

--+-----+-----+-------+---+-----+-----+-- t


Полная характеристика: многомерная плотность распределения.

f(TAU1, TAU2, ..., TAUi, ..., TAUn)

Если многомерная плотность распределения задана каким-либо об-

разом, моделирование потока сводится к моделированию случайного

вектора или многомерной СВ. Каждая реализация случайного вектора

будет отображать отрезок на оси t, соответствующий n случайным ин-

тервалам времени между соседними событиями в потоке. Для моделиро-

вания многомерной СВ можно использовать метод исключения. Но данный

метод практически применим только для очень коротких отрезков оси

t, так как резко возрастает трудоемкость моделирования МСВ и ухуд-

шаются стохастические свойства псевдослучайной последовательности

многомерной СВ.

Ситуация несколько упрощается, если моделируются потоки с ог-

раниченным последействием (в общем случае они нестационарны по t).

n

f(TAU1, TAU2, ..., TAUi, ..., TAUn) = П fi(TAUi)

i=1

- свойство потока с ограниченным последействием.

Задача в этом случае сводится к моделированию n одномерных СВ,

что позволяет использовать метод обратной функции. Обязательное ус-

ловие - возможность получения обратной функции для распределения

длины каждого из n интервалов в случайном потоке событий.

Для моделирования отрезка с n интервалами надо n раз обратить-

ся к датчику СВ и выполнить n обратных преобразований, использую-

щих, в общем случае, различные обратные операторы.

Для стационарных потоков с ограниченным последействием.

n

f(TAU1, TAU2, ..., TAUi, ..., TAUn) = П f(TAUi)

i=1

Для моделирования отрезка с n интервалами надо n раз обратить-

ся к датчику БСВ и выполнить n однотипных обратных преобразований.

Пример. Стационарный пуассоновский (простейший) поток событий ха-

рактеризуется плотностью вероятности длины интервала TAU в потоке:


f(TAU) = LA * e**(-LA*TAU), TAU >= 0.

TAU = - (1/LA) * LN(1-Z), где Z - отсчет БСВ in [0,1[.


Распространенной моделью потока событий, позволяющей менять

свойства в широком диапазоне, является поток Эрланга (ПЭ). Базовый

(производящий) поток -простейший. Моделирование ПЭ k-го порядка

сводится к выбору из простейшего потока k-го события, что эквива-

лентно образованию длины интервала в ПЭ в виде суммы k смежных ин-

тервалов. При k принадлежащем (1, бесконечность) свойства потока

меняются от потока без последствия до регулярного потока, его ин-

тервалы стремятся к детерминированным (случайным) величинам.


4.2 Планирование машинных экспериментов.


4.2.1. Цели планирования машинных экспериментов.


Машинный эксперимент (МЭ) предполагает наблюдение за поведени-

ем имитационной модели, причем каждому прогону модели соответствует

определенная комбинация значений параметров модели и длительность

интервала времени, обеспечивающая набор необходимой статистики, при

условии обеспечения заданной точности модели.

Целью планирования экспериментов является минимум затрат на

проведение всего комплекса экспериментов при ограничении на объем и

статистическое качество собираемой информации.

максимум информации

Цель: -------------------

минимум ресурсов

Теория планирования экспериментов (биология, физика)

Особенности МЭ.

"+"

1. простота повторения условий эксперимента;

2. возможность управления экспериментом;

3. легкость варьирования условий МЭ.


"-"

1. наличие корреляционных связей между результатами измерений

для различных условий, что снижает количество информации, приходя-

щейся на один эксперимент;

2. трудности определения длины интервалов моделирования.


Общей задачей ИМ является исследование объекта-оригинала как

"черного ящика".

+ +---------+ +

факторы вх.|х1 ---> |blaсk box| ---> y1| реакция,

воздействия|х2 ---> | | ---> y2| отклик

| . . . | (ЧЯ) | . . . |

|xn ---> +---------+ ---> yn|

+ +

----

yj = yj(x1, ..., xi, ..., xn) j = 1, n


Так как исследуемые объекты имеют стохастическую природу, то

реакцией является случайный вектор Y, отражающий влияние как учтен-

ных, так и неучтенных факторов.

Исследователь ставит задачу определения неизвестных функций yj

по результатам экспериментов.


^ --------------

| / y(x10,y10) /

| //////+///////- y(x1,x2)-поверхность

| ///////|////// отклика

| ////////|/////

|--------------

| |

| x1min| x10 x1max

+--------+|----+------+----> X1

/ / | / /

/ / | / /

x2min +------------|---------

/ / |/ /

x20 +--------/-----+ /

/ / /

/ / /

x2max +----------------------

/

Х2 /

(x1min, x1max),(x2min, x2max) - интервалы изменения управляемых уч-

тенных факторов;

(x10,x20) - точка факторного пространства, в окрестности которой

исследуется поведение функции отклика y.

Единичный эксперимент выполняется для некоторого набора факто-

ров(в одной точке факторного пространства), требует накопления зна-

чений отклика в течение определенного времени (накопление выборки

определенного объема с последующей статистической обработкой). Ре-

зультат усреднения выборки будет являться СВ с некоторым ЗР и будет

отклоняться от истинного значения функции отклика в данной точке

факторного пространства. Для построения некоторого приближения по-

верхности отклика надо решить вопрос о числе экспериментов и о на-

борах значений факторов в каждом из этих экспериментов.


4.2.2. Тактическое планирование машинных экспериментов.


Определяет условия проведения единичного эксперимента и чаще

всего сводится к определению объема выборки, обеспечивающего задан-

ную статистическую погрешность оценок числовых характеристик расп-

ределения функции отклика.


Оценки типа вероятностей событий.


N - число наблюдений (объём выборки);

А - наблюдаемое событие;

Р(А) = P - искомая характеристика.

m

Р~(А) = --- - выборочная оценка вероятности события,

N

m - число наступлений события А,

m / N - частота событий, являющаяся несмещенной оценкой веро-

ятности P(A) и распределенной по нормальному закону:


M[P~(A)] = P(A)= P; P(1-P)

D[P~(A)] = SIGMA**2[P~(A)]= -------- .

N

f ^ (P*)

| _______

| ////|\\\\

| /////|\\\\\

| //////|\\+----- gamma - доверительная вероятность

| ///////|\\\\\\\

| ////////|\\\\\\\\

| /////////|\\\\\\\\\

|__//////////|\\\\\\\\\\___

+------------+----------------->

0 P P*


f(P~) - функция плотности распределения вероятностей


P[|1P*(A)-P(A)|<=Zgamma * SIGMA(P~(A))] = gamma


1 Zgamma gamma

Zgamma: ------ INTEGRAL е**(t**2/2)dt = -------

___ 0 2

\/2П


EPS = Zgamma*SIGMA(Р~(А))

Р(1-Р)

EPS**2 = Zgamma**2*SIGMA**2(Р*(А)) = Zgamma**2 --------

N

P(1-P)

N >= Zgamma**2 * ---------- .

EPS**2


Таким образом, можно определить объем выборки, обеспечивающий

достижение заданной абсолютной погрешности EPS оценки вероят-

ности.

Зададимся относительной погрешностью:

EPS

delta = -------- ; EPS**2 = delta**2*Р**2

Р

(1 - P)

N >= Zgamma**2* ------------- .

P * delta**2


Из данного неравенства видно, что объем выборки растет по ги-

перболическому закону при малых значениях Р, т. е. при оценивании

вероятностей редких событий.


Оценки типа математического ожидания


в ходе эксперимента накоплены х1, x2, ..., xn,

1 n

mx* = --- SUMMA xi

N i = 1

+ +

| Sx Sx |

P|mx* - tgamma------ <= mx <= mx* + tgamma------ | = gamma

| __ __ |

+ \/N \/N +


Sx - выборочный стандарт (статистическая оценка СКО)

tgamma - значение СВ, ЗР Стьюдента со степенью свободы

n - 1, соответствующее значению j - доверительной вероятности

N - объем выборки

mx - истинное значение

mx* - наблюдаемое значение


В нашем случае должна решаться обратная задача: определение

такого объема выборки, при котором обеспечивается заданная

программа статистической оценки эпсилон.

Sx Sx**2

EPS = tgamma ------ N = tgamma -------

__ EPS**2

\/N

EPS - погрешность оценки.


Использовать данную оценку N затруднительно, т. к. для

отыскания tgamma надо знать степень свободы, связанную с N.

Поэтому для начального приближения можно предположить, что

выборочный стандарт Sx совпадает с истинным стандартом

нормальной генеральной совокупности.


+ +

| Sx Sx |

P|mx* - Zgamma------ <= mx <= mx* + Zgamma------ | = gamma

| __ __ |

+ \/N \/N +


Zgamma - определяется по НЗР


Zgamma 1

INTEGRAL ------ е**(-t**2/2)dt = gamma/2

0 ___

\/2П


SIGMAx**2

N >= Zgamma**2 -----------

EPS**2


|

|__ gamma/2

|\\\

|\\\\

|\\\\\___

+------------------


Как для оценок типа вероятностей, так и для оценок МО,

предполагается знание истинных значений оцениваемых

количественных характеристик. В первом случае: знание Р, во

втором: Dx (SIGMAх). Поэтому объем выборки определяется

итеративно.

Задаются некоторые начальные значения N', определяются

оценки статистических характеристик, и приравнивая их истинным

значениям определяют новые значения N".

Выполнив эксперимент для N" уточняют значения оценок

(находят новое значение N'''), до тех пор, пока значения в цепи

N' -> N" -> N''' -> ... будут отличаться незначительно.


4.2.2. Стратегическое планирование эксперимента.


Существенно понимание цели, поставленной экспериментатором

при работе с ИМ. Если задача сводится к анализу, т. е. к

определению вектора характеристик для некоторого набора

параметров, то фактически можно ограничиться тактическим

планированием, рассматривая эту задачу как эксперимент в одной

точке ФП. Если решается задача синтеза, т. е. определения

параметров, обеспечивающих требуемое качество функционирования

исследуемой системы, необходимо знание зависимости характеристик

от параметров.


Прямая задача.

-------------


Проводится некоторая серия экспериментов и по их

результатам необходимо определить функционал