Реферат: Темы для изучения по предмету «Высшая математика» для студентов Iкурса (Заочное обучение, 1 семестр) Раздел Линейная алгебра

Темы для изучения по предмету «Высшая математика»
для студентов I курса (Заочное обучение, 1 семестр)

Раздел 1.Линейная алгебра

Понятие матрицы размером mn. Виды матриц: матрица-столбец, матрица-строка, треугольная, квадратная, единичная, и др. Операции над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, транспонирование, умножение) и их свойства. Понятие минора и алгебраического дополнения матрицы. Обратные матрицы. Условие существования и алгоритм нахождения обратной матрицы. Ранг матрицы и метод его определения. Элементарные преобразования матриц. Определители квадратных матриц и их свойства. Определители второго и третьего порядка. Схемы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка. Определитель порядка n.. Вычисление определителей методом разложения по строке ( столбцу).


^ Раздел 2. Системы линейных уравнений.

Системы m линейных уравнений c n неизвестными: различные формы записи систем, в том числе с помощью знака суммирования и в матричной форме. Совместные, несовместные, определенные и неопределенные системы. Условия существования единственного решения и бесконечного множества решений. Формулы Крамера и метод обратной матрицы для решения систем n линейных уравнений c n неизвестными. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений произвольного вида. Однородные системы и их решение. Общее решение неоднородной системы уравнений. Базисное решение.

^ Раздел 3. Векторная алгебра

Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Определение n-мерного вектора, координаты вектора. Векторы на плоскости и в пространстве. Равенство векторов, длина, нулевой вектор. Выражение координат вектора через координаты начала и конца, орты. Операции с векторами: сумма, разность, противоположный вектор; умножение на число; проекция вектора на ось, единичный вектор. Скалярное умножение векторов: определение, свойства, геометрическая интерпретация. Нахождение угла между векторами. Векторное умножение векторов: определение, свойства, умножение в координатной форме, геометрический смысл. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, в координатной форме, геометрический смысл. Коллинеарность и компланарность векторов, их взаимосвязь с векторным и скалярным произведениями


^ Раздел 4. Аналитическая геометрия

Различные формы уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Нормальный и направляющий векторы прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью. Различные формы уравнения плоскости; расстояние от точки до плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, плоскостей, прямой и плоскости. Угол между плоскостями. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, окружность и их канонические уравнения. Приведение общего уравнения второй степени к каноническому виду. Поверхности второго порядка.

^ Раздел 5. Комплексные числа

Понятие комплексного числа, тригонометрическая и показательная формы.

Операции с комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа и их свойства.


Задание 1. Выполнить операции с матрицами

и

№
Вар.

а)

б)

в)

1







2







3







4







5







6







7







8







9







10









Задание 2. Вычислить определители методом разложения по строке или столбцу, имеющим большее количество нулей.


№ вар.

1

2

3

4

5














№ вар.



6


7


8


9


10
















Задание 3. Определить, имеет ли матрица обратную, и если имеет, найти ее


№ вар.


1


2

3

4

5














№ вар.


6

7

8

9

10
















Задание № 4. Решить системы линейных уравнений, записанные в матричной форме,
методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.



№ варианта

Система линейных уравнений

№ варианта

Система линейных уравнений


1






6





2





7





3





8





4





9





5





10




Задание 5. Дана прямая на плоскости. Через точку, не лежащую на этой прямой провести две прямые: параллельную и перпендикулярную данной. Начертить все три прямые и написать их уравнения.



№ варианта






2x+3y-3=0



x–5y-1=0



3x–y+1=0



x+y-5=0



2x–y-6=0



–x+2y–4=0



4x–3y-2=0



2x–3y+5=0



2x–2y+1=0



2x+3y-3=0



Задание 6. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4 .Найти:

1)угол между ребрами А1 А2 и А1А3 ;

2)площадь грани А1 А2 А3.

3) уравнение плоскости А1 А2 А3.

4) угол между плоскостями А1 А2 А3 и А1 А2 А4

5) уравнение прямой А1 А2

6) объем пирамиды.



№ варианта

А1

А2

А3

А4



(-1, 2, 1)

(-2, 2, 5)

(-3, 3, 1)

(-1, 4, 3)



(-2, 1, -1)

(-3, 1, 3)

(-4, 2, -1)

(-2, 3, 1)



(1, 1, 2)

(0, 1, 6)

(-1, 2, 2)

(1, 3, 4)



(-1, -2, 1)

(-2, -2, 5)

(-3, -1, 1)

(-1, 0, 3)



( 2, -1, 1)

(1, -1, 5)

(0, 0, 1)

(2, 1, 3)



( -1, 1, -2)

(-2, 1, 2)

(-3, 2, -2)

(-1, 3, 0)



(1, 2, 1)

(0, 2, 5)

(-1, 3, 1)

(1, 4, 3)



(-2, -1, 1)

(-3, -1, 5)

(-4, 0, 1)

(-2, 1, 3)



(1, -1, 2)

(0, -1, 6)

(-1, 0, 2)

(1, 1, 4)



(1, -2, 1)

(0, -2, 5)

(-1, -1, 1)

(1, 0, 3)



Задание 7 Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки


№ варианта

Координаты точки 1

Координаты точки 2

Координаты точки 3



1, 0, 3

-1, -2, 1

3, 1, 2



3, 1, 1

5, 5, -1

-2, -3,2



-2, 4, -5

0, -2, 1

1, 3, 3



7, 6, 7

5, 10, 5

-1, 8, 9



-4, -7, -5

1, 0, 1

-3, 1, 5



1, 2, 4

-3, -12, 10

2, -2, -5



0, 6, 3

1,-3, -2

1, 8, 1



-1, 3, 1

2, 9, -2

3, 9, -4



-2, -2, -4

1, 3, 4

3, 5, 12



1, 3, -11

-1, 2, -4

2, -5, 11



Задание 8. Преобразованием системы координат привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, найти точки ее пересечения с прямой линией и построить графики.

.


№
варианта


Уравнение кривой второго порядка

Уравнение прямой линии

1

2x2– 4x – 2y+3=0

2x – y –1=0

2

4х2 + 9y2 – 40 х +36y +100=0

x – 2y -3=0

3

x2– 2x – y +2=0

x – y =0

4

x – y2 + 2y –2=0

x + y –2=0

5

9х2 – 16y2 – 54 х –64y –127=0

x – 3y –2=0

6

x + y2 – 2y +3=0

x + y +1=0

7

5х2 + 9y2 – 30 х +18y +9=0

2x + y – 3 =0

8

x + 2y2 – 4y +4=0

x – 2y +4=0

9

5х2 – 4y2 +30х +8y +21=0

x – y +1=0

10

x + 2y2 + 4y +1=0

x + 2y + 1=0


Задание 9. Решить уравнения на множестве комплексных чисел. Результат представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.


№ варианта




№ варианта






Z4+9Z2+20=0



Z2+(2i–5)Z+5–5i=0




Z8–17Z4+16=0



Z2–4Z+8=0




Z4 –4Z2+20=0



3Z2– Z+2=0



Z3=1/i



Z2– Z+5=0



Z2+8Z+41=0



Z4 –Z2 –2=0



Z4 +3Z2 –10=0



Z3+8i=0



Z2–8iZ–15=0



Z4 +4Z2 –5=0



Z4 –Z2 –6=0



Z6– 9Z3+8=0