Реферат: Тема Принципы и методы прогнозирования

Тема 1. Принципы и методы прогнозирования


Под прогнозом понимается научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем, об альтернативных путях и сроках его существования. Прогнозирование управленческих решений наиболее тесно связано с планированием. План и прогноз представляют собой взаимодополняющие друг друга стадии планирования при определяющей роли плана как ведущего звена управления. Прогноз в системе управления является предплановой разработкой многовариантных моделей развития объекта управления. Сроки, объемы работ, числовые характеристики объекта и другие показатели в прогнозе носят вероятностный характер и обязательно предусматривают возможность внесения корректировок. В отличие от прогноза план содержит однозначно определенные сроки осуществления события и характеристики планируемого объекта. Для плановых разработок используется наиболее рациональный прогнозный вариант.

^ Целью прогнозирования является получение научно обоснованных вариантов тенденций развития показателей качества, элементов затрат и других показателей, используемых при разработке перспективных планов и проведении научно-исследовательских (НИР) и опытно-конструкторских работ (ОКР), а также развитии всей системы менеджмента. Самым сложным в системе менеджмента является прогнозирование качества и затрат.

К основным задачам прогнозирования относятся:

разработка прогноза рыночной потребности в каждом конкретном виде потребительной стоимости в соответствии с результатами маркетинговых исследований;

выявление основных экономических, социальных и научно-технических тенденций, оказывающих влияние на потребность в тех или иных видах полезного эффекта;

выбор показателей, оказывающих существенное влияние на величину полезного эффекта прогнозируемой продукции в условиях рынка;

выбор метода прогнозирования и периода упреждения прогноза;

прогнозирование показателей качества новой продукции во времени с учетом влияющих на них факторов;

прогноз организационно-технического уровня производства по стадиям жизненного цикла продукции;

оптимизация прогнозных показателей качества по критерию максимального полезного эффекта при минимальных совокупных затратах за жизненный цикл продукции;

обоснование экономической целесообразности разработки новой или повышения качества и эффективности выпускаемой продукции исходя из наличных ресурсов и приоритетов.

К основным принципам научно-технического прогнозирования относятся:

^ Принципы системности требуют взаимоувязанности и соподчиненности прогнозов развития объектов прогнозирования и прогностического фона.

Принцип непрерывности требует корректировки прогноза по мере поступления новых данных об объекте прогнозирования или о прогнозном фоне. Корректировка прогнозов должна носить дискретный характер, причем оптимальные сроки обновления прогнозов могут быть выявлены только по результатам практического использования (ориентировочно два раза в пятилетку), т.е. результаты реализации прогнозов, уточнение потребностей, изменение тенденций развития объекта или прогнозного фона должны периодически поступать к разработчику прогноза.

^ Принцип адекватности прогноза объективным закономерностям характеризует не только процесс выявления, но и оценку устойчивых тенденций и взаимосвязей в развитии производства и создании теоретического аналога реальных экономических процессов с их полной и точной имитацией. Реализация принципа адекватности предполагает учет вероятностного характера реальных процессов господствующих тенденций и оценку вероятности реализации выявленной тенденции.

^ В результате оптимизации прогнозных значений полезного эффекта и затрат по критерию максимизации экономического эффекта из множества альтернативных вариантов должен быть выбран наилучший.

Основными источниками исходной информации для прогнозирования являются:

статистическая, финансово-бухгалтерская и оперативная отчетность предприятий и организаций;

научно-техническая документация по результатам выполнения НИОКР, включая обзоры, проспекты, каталоги и другую информацию по развитию науки и техники в стране и за рубежом;

патентно-лицензионная документация.

Информацию прогнозной ситуации образуют данные, характеризующие цели прогноза и условия, в которых будет протекать развитие прогнозируемого объекта. Состав этой информации и ее объем также зависят от принятых методов прогнозирования, от степени дифференциации и требуемой точности прогнозных расчетов.

Информацию обратной связи составляют данные проведенных научно-технических прогнозов, данные об отклонениях фактического состояния объекта прогнозирования от прогнозных величин, а также об отклонениях фактического состояния прогнозного фонда от показателей, принятых при прогнозировании. Информация обратной связи позволяет оценить фактическую достоверность прогноза качества справочно-нормативных материалов и выявить причины отклонений.

^ Временные ряды

Числовые данные наблюдений, характеризующие процессы или явления, которые постоянно изменяются во времени, называются временными рядами, а отдельные наблюдения временного ряда— уровнями этого ряда. Временные ряды делятся на моментные и интервальные.

Моментными рядами называются такие, уровни которых характеризуют размеры исследуемого явления в определенные даты, моменты времени. Интервальными рядами называются такие, уровни которых характеризуют размеры исследуемого явления за определенные промежутки, интервалы, периоды времени.

^ Показатели изменения временных рядов.

При решении задачи анализа временных рядов возникает необходимость, прежде всего, определить изменения, происходящие в явлениях или процессах, а также вычислить направление, скорость и интенсивность этих изменений. Для характеристики этих изменений ряда используются следующие показатели.

^ Абсолютный прирост показывает размер увеличения (уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых ровней и выражает абсолютную скорость роста:

y=yi-yi-k(1)

где y — абсолютный прирост

yi, — i-й уровень ряда (t = /, 2, ... N)

yi-k- уровень, отстоящий от i-и уровня на k единиц времени

Абсолютный прирост может быть базисным и целым. Формула (1) служит для определения цепного абсолютного прироста. Частным случаем (при А:=1) является

y=yi-yi-1

т. е. абсолютный прирост между текущим и предыдущим уровнями временного ряда. Базисный абсолютный прирост определяется как

y=yi-yk(2)

где yk — базисный (при k = 1 — первый) уровень ряда.

^ Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше (или меньше) уровня ряда, отстоящего от данного на k единиц времени

Kp=yi/yi-k(3)

где Kp — коэффициент роста;

yi — i-й уровень ряда;

yi-k - уровень, отстоящий от 1-го на k единиц времени.

Коэффициент роста также может быть базисным и цепным. Формула (2.3) служит для определения цепного коэффициента роста. Частным случаем (k = 1) является

Kp=yi/yi-1

т. е. коэффициент роста, выражающий отношение смежных уровней. Базисный коэффициент роста определяется по формуле

Kp=yi/yk(4)

где yk — базисный (при k = 1 — первый) уровень ряда.

^ Коэффициент прироста показывает абсолютное изменение коэффициента роста. Он вычисляется по формуле

Кпp=(yi - yi-k) /yi-k(5)

где Кпp — коэффициент прироста;

yi — i-й уровень ряда;

yi-k-уровень, отстоящий от 1-го на k единиц времени.

Коэффициент прироста аналогично коэффициенту роста может быть базисным и цепным.

^ Темп роста. На практике чаще применяются не коэффициенты роста и прироста, а темпы роста и прироста, которые рассчитываются по формулам:

Тр= yi/yi-k*100%

Тпр=Тр-100% Тпр=(yi - yi-k) /yi-k*100%


^ Средние характеристики временного ряда

Средние величины временного ряда — это обобщенные характеристики развития явления за изучаемый период. К ним относятся: средняя хронологическая, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

^ Средняя хронологическая. Средняя хронологическая, или средний уровень ряда, показывает, какова средняя величина уровня, характерная для 'всего анализируемого периода. К расчету среднего уровня чаще прибегают для рядов, изменение которых стабилизируется в течение большого периода времени и рядов с колеблющимися уровнями в короткие промежутки времени. Например, необходимо вычислять средний уровень урожайности за ряд лет, так как уровень одного года не характерен для урожайности; в то же время средняя величина является более устойчивой характеристикой. Или же возьмем другой пример. Численность работников предприятия изменяется каждый день.

Для отражения работы предприятия рассчитывается средняя численность и т.д.

Средняя хронологическая вычисляется по-разному для интервальных и моментных временных рядов.

Для интервального ряда, уровни которого можно суммировать и получить итоги за более продолжительный период, средняя определяется по формуле



Для моментного временного ряда с равностоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается как



^ Средний абсолютный прирост. Средний абсолютный прирост показывает скорость развития явления. Он вычисляется по формуле



^ Средний темп роста. Для определения средней скорости изменения изучаемого явления за рассматриваемый период времени вычисляют средний темп роста. Чаще всего его рассчитывают по формуле средней геометрической:



Средний темп прироста соответственно равен: Тпр=Тр-100%


^ Тема 2. Однофакторные прогнозные модели


При прогнозировании в результате реализации метода однопараметрических зависимостей устанавливают форму связи между двумя переменными на основе корреляционно-регрессионного анализа.

Установление формы связи сводится к тому, чтобы определить тип аналитической функции (линейной, дробно-линейной, степенной, логарифмической и т. д.), с помощью которой представляется возможность определить наилучшие значения параметров, входящих в эмпирическую формулу.

В разделе математики, называемом математическим анализом, различают следующие наиболее часто встречающиеся эмпирические зависимости переменных.

y – функции (зависимой переменной)

x – аргумент (независимой переменной).

1. Линейная y=Ax+B, (23)

2. Степенная y=AxB, (24)

3. Показательная y=AeBx (25)

4. Гиперболическая

(26)

5. Логарифмическая

(27)

6. Дробно-линейная

(28)

7. Дробно-рациональная

(29)

Во всех формулах функциональных связей двух переменных x и y имеются постоянные величины в виде свободных членов (В) и коэффициентов регрессии при независимой переменной (А). Параметры А и В – искомые величины, которые необходимо определить.

Параметры уравнений (23, 24, 25, 26, 27, 28, 29) Находятся с помощью метода наименьших квадратов. Это значит, что нужно выполнить требование, при котором фактически значения зависимой переменной величины у будут как можно ближе к вычисленной (выровненной), т.е. надо найти условие, при котором параметры уравнений дадут наименьшую сумму квадратов отношений выровненных уравнений от фактических. Это требование можно представить в виде:

(30)

где S – сумма квадратов положительных и отрицательных отклонений;

yi – значение ординаты опытной точки;

– значение ординаты соответствующей точки, вычисленной по полученной модели.

Вычисление по формуле (30) производится в следующем порядке:

в уравнение (30) подставляется значение выраженное искомой регрессионной модели;

берутся частные производные первого порядка величины по параметрам искомой регрессионной модели и приравниваются к нулю;

путем простейших преобразований получается система нормальных уравнений;

решая систему нормальных уравнений, определяют параметры регрессионной модели.

Предположим, что искомые регрессионные модели выражаются уравнением линейной зависимости:

=Ax+B (31)

Тогда подставив в уравнение (14) вместо

его значение, получим:

(32)

Величина S зависит от параметров А и В, ее минимальная величина будет в том случае , когда ее первые производные по параметрам А и В равны нулю, т. е.:

(33)

(34)

Выполняя элементарные преобразования и учитывая, что b=mb (m – число элементарных точек) получаем систему нормальных уравнений:



(35)

Решая систему нормальных уравнений получаем следующие формулы для определения параметров регрессионного уравнения:


(36) (37)

Опыт построения регрессионных моделей в прогнозировании показывает, что на практике наиболее часто применяются виды однофакторных регрессионных моделей, приведенных в табл.


Виды однофакторных регрессионных моделей для прогнозирования

№№ п.п.

Форма

связи

Вид зависимости

(эмпирическая формула)

Определение параметров искомой зависимости

Система уравнений

формула

1

Линейная

y=Ax+B

mB+Ax=y

Bx+Ax2=yx




2

Степенная

y=AxB

lgy=lgA+Blgx

mlgA+Blgx=lgy

lgAlgx+Blg2x=lgylgx




3

Показательная

y=AeBx

lny=lnA+Bx

mlnA+Bx=lny

lnAx+Bx2=xlny




4

Гиперболическая




Пусть тогда

Y=A+Bx

mA+Bx=y

Ax+Bx2=xy




5

Дробно-рациональная



Пусть тогда



mA+B=t

A+B=t




6

Дробно-линейная



Пусть тогда



mB+Ax=y

Bx+Ax2=yx




7

Логарифмическая



Пусть lgx=k тогда

Y=Ak+B

mB+Ak=y

Bk+Ak=yk





^ Тема 3. Модель прогнозирования сезонных явлений


Одна из основных задач прогнозирования является задача выявления сезонности. К сезонным относят такие явления, которые обнаруживают в своем развитии определенные закономерности, более или менее регулярно повторяющиеся из месяца в месяц, из года в год. Изучение сезонности при анализе экономических процессов ставит следующие задачи: численное выражение сезонности колебаний, выявление их силы и характера на различные товары и на различных секторах рынка, установление факторов, вызывающих сезонные колебания, найти экономические последствия выявления сезонности.

Определив численно влияние сезонного фактора, можно попытаться использовать найденные закономерности для прогнозирования дальнейшего изучаемого процесса. Сезонные временные ряды можно разложить на следующие компоненты:


Xt=Ut+Vt+Et (14)


где Ut - тенденция ряда;

Vt - кратковременные колебания;

Et - случайные колебания.


Тенденция отражает общее изменение ряда за длительный промежуток времени: постоянный подъем или постоянное снижение. Тенденция представляется как плавное непрерывное движение, скрадывающее скачкообразные изменения в месяцах, кварталах или годах.

Краткосрочные колебания (сезонные волны) – это более или менее регулярные изменения временного ряда, возникающие с наступлением данного времени года и повторяющиеся с небольшими отклонениями из года в год. К таким колебаниям относятся также изменения, не связанные с временами года, но регулярно повторяющиеся через определенные промежутки времени. Сезонные колебания обычно имеют постоянный период.

Случайные колебания вызываются внешними, случайными причинами, влияние которых сказывается на уровнях ряда, искажая тенденцию, а также сезонные и циклические колебания.

Выявление сезонных периодических явлений предусматривает проведение комплексного анализа полученных в результате маркетинговых исследований сведений. Эти данные, как правило, содержат значительные помехи, что определяет необходимость их фильтрации перед построением прогнозных моделей. Далее необходимо выделить две составляющих временного ряда – тренд и сезонные волны. Заключат этот процесс вычисление прогнозных значений по модели сезонной волны.

Рассмотрим эти этапы более подробно.

Сглаживание (фильтрация) временных рядов. Для исключения случайной составляющей Et из общей модели временного ряда применяется сглаживание временных рядов методом скользящего среднего. Применяя этот метод можно элиминировать (исключить) случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов. Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних значениях взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит в следствии того, что первоначальные уровни временного ряда заменяются средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного периода. Затем период сдвигается на одно наблюдение и расчет средней повторяется, причем периоды определения средней берутся за все время одинаковыми. При сглаживании временного ряда в расчетах участвуют все значения временного ряда. Чем шире интервал скольжения, тем более правильным получается тренд. Сглаженный ряд короче первоначального на К-1 наблюдений, где К – величина интервала сглаживания. При больших значениях К колеблемость сглаженного ряда значительно снижается при одновременном сокращении длины ряда.

Длина интервала сглаживания может быть четной или нечетной. Если число членов интервала начетное, то полученные значения скользящей средней относятся на средний член интервала сглаживания:

(15)

При четной длине интервала сглаживания полученные значения скользящей средней располагаются в промежутке между значениями ряда:

(16)


Рассмотрим пример сглаживания временного ряда методом скользящей средней при длине интервала сглаживания К=3.


Исходный ряд: 1 3 4 2 2 4 5 3 2


Y1=(1+3+4)/2=2.67 Y5=(2+4+5)/3=3.67

Y2=(3+4+2)/3=3 Y6=(4+5+3)/3=4

Y3=(2+4+2)/3=2.67 Y7=(5+3+2)/3=3.33

Y4=(2+2+4)/3=2.67


Сглаженный ряд: 2.67 3 2.67 2.67 3.67 4 3.33


Определение тенденции временного ряда. Сглаживание временного ряда приводит к исключению случайного колебания Et из модели ряда. Модель приобретает вид:


Yt=Ut+Vt (17)


Тенденция ряда Ut может быть определена на основе метода наименьших квадратов, где в качестве аргумента принимается порядковый номер периода наблюдения, а функцией – значения сглаженного ряда. В качестве тренда (функции описывающей тенденцию) могут быть использованы линейные, квадратичные и другие функции:


Yt=A0+A1t; Yt=A0+A1t+A2tt; и т. д.


Так для линейной функции тренда необходимо определить значения коэффициентов Ai, решив систему линейных уравнений:

(18)

Построение модели сезонной волны. Функцию, заданную в каждой точке интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных функций. Нахождение конечной суммы членов с косинусами и синусами называется гармоническим анализом. Синусоидальная или косинусоидальная функция с определенным периодом и есть гармоника. Каждый член суммы –представляет собой гармонику с определенным периодом. Первая гармоника имеет период, равный длине исследуемого периода. Вторая имеет период, равный половине основного, третья – третьи основного и т. д. Вообще, если имеется p наблюдений, то число гармоник не будет превышать p/2.

Если величину изучаемого показателя записать как

(19)


где p – число значений изучаемого показателя или величина периода, то зависимость соответствующих им значений показателя запишется следующей суммой:



или короче

(20)

где p – полный период;

i – номер гармоники;

– переменная;

Ai, Bi – коэффициенты гармоник.


Коэффициенты Ai и Bi оцениваются по методу наименьших квадратов, Получение формул для коэффициентов облегчается благодаря свойству ортогональности.

Для оценки параметров Ai и Bi используются следующие формулы:


(21)


Значение коэффициента A0 представляет функцию, описывающую тренд, рассчитанный на основе тенденции временного ряда.

Получение прогнозных значений. Полученная модель сезонной волны используется в дальнейшем для получения прогнозных значений временного ряда. Для получения прогноза параметру t придаются некоторые значения, выходящие за диапазон исследуемого признака. Далее, на основании этих данных рассчитываются новые значения функции.

Рассмотрим последовательность получения прогнозных значений на конкретном примере.

Пусть имеется следующий временной ряд, представляющий собой помесячное наблюдение спроса на какой-либо товар.


Таблица 6. Исходные данные

T

1

2

3

4

5

6

7

Yt

1.24

2.94

38.12

7.09

14.55

42.17

8.80

T

8

9

10

11

12

13

14

Yt

22.41

46.31

9.37

28.56

55.10

17.91

34.56


Полученный после сглаживания с параметром К=3 временной ряд имеет следующий вид:


T

1

2

3

4

5

6

Yt

14.10

16.05

19.92

21.27

21.84

24.46

T

7

8

9

10

11

12

Yt

25.84

26.03

28.08

31.01

33.85

35.85

Далее, с помощью метода наименьших квадратов определим уравнение тренда сглаженного временного ряда. Расчеты представим в виде таблицы 7.

Таблица 7.

N

T

t2

Y

Yt

1

1

1

14.10

14.10

2

2

2

16.05

32.10

3

3

9

19.92

59.76

4

4

16

21.27

85.08

5

5

25

21.84

109.20

6

6

36

24.46

146.76

7

7

49

25.84

180.88

8

8

64

26.03

208.24

9

9

81

28.08

252.72

10

10

100

31.01

310.10

11

11

121

33.85

372.75

12

12

144

35.85

430.20




78

650

298.31

2201.64


4.2.9. На основании расчетов, изложенных в таблице, строим систему линейных уравнений для расчета уравнения тренда

12.00A0+78.00A1=298.31

78.00A0+650.00A1=2201.64


Решая данную систему, получаем уравнение тренда


Ut=12.92+1.84t


Вычтя из сглаженного ряда значения, полученные на основании уравнения тренда, получим ряд, содержащий только гармонические колебания. Расчеты представим в виде таблицы 8.

Таблица 8.

N

Yt

Ut

Vt=Yt-Ut

1

14.10

14.75

-0.65

2

16.05

16.59

-0.54

3

19.92

18.43

1.48

4

21.27

20.26

1.00

5

21.84

22.10

-0.26

6

24.46

23.94

0.51

7

25.84

25.77

0.06

8

26.03

27.61

-1.58

9

28.08

29.45

-1.37

10

31.01

31.28

-0.27

11

33.85

33.12

0.73

12

35.85

34.96

0.89


Расчет коэффициентов модели сезонной волны приведем в виде таблицы 9.

Таблица 9.

T

Yt

A1

B1

A2

B2

A3

B3

A4

B4

1

-0.66

-0.33

-0.57

-0.57

-0.33

-0.66

-0.00

-0.57

0.33

2

-0.55

-0.47

-0.27

-0.47

0.27

-0.00

0.55

0.47

0.27

3

1.49

1.49

0.00

0.00.

-1.49

-1.49

-0.00

-0.00

1.49

4

1.00

0.87

-0.50

-0.87

-0.50

-0.00

1.00

0.87

-0.50

5

-0.26

-0.13

0.23

0.23

-0.13

-0.26

-0.00

0.23

0.13

6

0.52

0.00

-0.52

-0.00

0.52

0.00

-0.52

-0.00

0.52

7

0.06

-0.03

-0.05

0.05

0.03

-0.06

-0.00

0.05

-0.03

8

-1.58

1.37

0.79

-1.37

0.79

0.00

-1.58

1.37

0.79

9

-1.37

1.37

0.00

-0.00

1.37

-1.37

-0.00

0.00

-1.37

10

-0.28

0.24

-0.14

0.24

0.14

-0.00

0.28

-0.24

0.14

11

0.73

-0.37

0.64

-0.64

0.37

-0.73

-0.00

-0.64

-0.37

12

0.90

-0.00

0.90

-0.00

0.90

-0.00

0.90

-0.00

0.90

Сумма

4.01

0.50

-3.39

1.94

-4.58

0.62

1.55

2.30

Сумма 2/р

0.67

0.08

-0.57

0.32

-0.76

0.10

0.26

0.38





На основании ранее рассчитанного уравнения тренда и значений коэффициентов модели сезонной волны Ai и Bi получаем окончательное уравнение прогноза:



Проводим проверку полученных данных, сравним сглаженный ряд со значениями, полученными на основании представленной модели (см. табл. 10)


Значения функции Y' для значения параметра t=13, 14, …, 18 представляют собой прогноз на шесть периодов.


Таблица 10.

N

Y

Y'

Y-Y'

1

14.10

14.11

0.00003

2

16.05

16.05

0.00002

3

19.92

19.92

0.00001

4

21.27

21.27

0.00000

5

21.84

21.84

0.00000

6

24.46

24.46

0.00000

7

25.84

25.84

0.00000

8

26.03

26.03

0.00000

9
^ Тема 4. Метод экспоненциального сглаживания



Сущность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону распределения, в отличии от скользящей средней, использующей одинаковые веса для всех наблюдаемых значений. Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весами характеризует значение процесса на конце интервала сглаживания, т.е. является средней характеристикой последних уровней ряда. Именно это свойство используется для прогнозирования.

(7)

при a1>a2>…>ara1+a2+…+ar=1. В частности выбираются такие коэффициенты

a2=(1-)a1, a3=(1-)a2, a4=(1-)a3, где =const.

На основании этого имеем следующую рекурентную формулу для определения экспоненциальной средней:

(8)

В случае повторного применения формулы:

(9)

В общем случае имеем

(10)

Предположим, что исходный ряд описывается полиномом

(11)

который в последствии можно использовать для расчета прогноза.

Пусть ряд описывается полиномом второго порядка

(12)

Для того, чтобы выразить коэффициенты полинома a0, a1, a2 через экспоненциальные средние на основании теоремы Брауна-Майера получаем систему уравнений:

(13)

Откуда получаем

(14)


Прогноз на n периодов осуществляется по формуле



Алгоритм экспоненциального сглаживания рассмотрим на примере. Пусть имеется временной ряд из 12 наблюдений x, значения которого представлены в виде таблицы 5. (=0.6)

Таблица 5.




xt

yt1

yt2

yt3




1

2

3

4

5

6

1

82.3

82.3

82.3

82.3

0.482.3+0.675.4=78.2

2

75.4

78.2

79.8

80.8

0.482.3+0.678.2=79.8

3

83.7

81.5

80.8

80.8

0.482.3+0.679.8=80.8

4

82.9

82.3

81.7

81.4

…

5

89.8

86.8

84.8

83.4

0.478.2+0.683.7=81.5

6

86.0

86.3

85.7

84.8

0.479.8+0.681.5=80.8

7

77.2

80.9

82.8

83.6

0.480.8+0.680.8=80.8

8

79.5

80.0

81.1

82.1

…

9

81.0

80.6

80.8

81.3

…

10

72.3

75.6

77.7

72.2

0.474.4+0.683.3=79.1

11

73.6

74.4

75.7

77.1

0.475.7+0.679.7=78.1

12

83.3

79.7

78.1

77.7

0.477.1+0.678.1=77.7

а0=379.7-378.1+77.1=82.54


0.6

а1=------------[(6-50.6)79.7-2(5-40.6) 78.1+(4-30.6) 77.7]=7.33

2(1-0.6)2


0.62

a2=-----------(79.7-278.1+77.7)=2.68

(1-0.6)2


На основании рассчитанных коэффициентов ai получаем прогнозную модель. На ее основании для значений параметра t строим прогнозные значения:


T

1

2

3

4

5

Y

91.2

102.5

116.6

133.3

152.7


Важнейшую роль в методе экспоненциального сглаживания играет выбор оптимального параметра сглаживания , т.к. именно он определяет оценки коэффициентов модели, а, следовательно, и результаты прогноза.

В зависимости от величины  прогнозные оценки по-разному учитывают влияние изменения значения исходного ряда наблюдений: чем больше , тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий быстро убывает. При малых  прогнозные оценки параметров модели учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более «старой» информации происходит медленно.


^ Тема 5. Адаптивное прогнозирование


Упрощенная модель экспоненциального сглаживания

Для составления прогноза (особенно краткосрочного) на основе временного ряда н при отсутствии или несущественности данных за прошедший период применяется метод экспоненциального сглаживания. Получаемый при этом прогноз является теоретически устойчивым. Вместе с тем его чувствительность к изменениям можно регулировать выбором коэффициента отклика , вводимого ниже.

Пусть требуется предсказать сбыт за (t+1)-й месяц на основании данных о сбыте за r прошедших месяцев Xi(i=t—г+1,... ,t). На первый взгляд решение состоит в том, чтобы взять в качестве прогнозируемой величины среднее значение

mt=(xt-r+1+…+xt)/r

Однако оценка mt, как правило, не годится, так как Xt+1 зависит в большей степени от Xt, чем от Xt-1, в большей степени от Xt-1, чем от Xt-2, и т. д. Поэтому разумнее в качестве прогнозируемой величины брать взвешенное среднее

Yt=a1Xt+ a2Xt-1+ …+arXt-r+1

где a1>a2> …>ar и a1+a2+ …+ar =1. В частности, можyо выбирать экспоненциальные весовые коэффициенты: a2= (1—)a1; a3== (1—)a2,...., где a—константа. Для больших r из условия нормировки получаем: a1=, a2=(1-). При этом

yt=(1-)yt-1+xt=yt-1+(xt-yt-1)=yt-1+et

где et — погрешность, т. е. разность между предсказанным и фактическим показателями в текущий момент t.

Допустив, что х является входом, а прогноз у—выходом некоторой управляемой системы, можно по виду передаточной функции доказать, что при <1 процесс на выходе i/i будет устойчивым. Когда система идеально устойчива, т. е. не подвержена никаким флуктуациям во времени, коэффициент отклика  равен нулю; при больших флуктуациях для отслеживания процесса следует увеличивать  почти до 1.

Прогноз на начальный период иногда приходится лишь угадывать; в последующие периоды прогноз вычисляется с учетом погрешности, имевшей .место в предшествующий период. Значение коэффициента отклика обычно выбирается субъективно н сохраняется постоянным в течение длительного времени, если только значения погрешности не получаются слишком большими.


^ Применение экспоненциального сглаживания в адаптивном прогнозировании

Метод экспоненциального сглаживания разработан для частного случая, когда сведения о динамических изменениях показателя отсутствуют и для принятия решений требуется хотя бы грубый краткосрочный прогноз. Если прогнозируемый показатель подвержен значительным флуктуациям, то данный метод позволяет отслеживать уже происшедшие изменения. Поэтому целесообразно так обобщить этот метод, чтобы коэффициент отклика  изменялся со временем.

. ^ Метод Тригга и Личй. Тригг и Лич предложили 'метод следящих сигналов для обновления значения коэффициента отклика в .каждый момент времени [21]. Этот .'метод благодаря своей простоте 'получил широкое распространение. Его можно назвать двухэтапным сглаживанием. На первом этапе происходит сглаживание погрешности с произвольным коэффициентом отклика  и определяется сглаженная погрешность e(t) в момент t

et=et+(1-)et-1

а среднее абсолютное отклонение mt; в момент t удовлетворяет соотношению

mt=et+(1-)mt-1

Параметр et=et+(1-)et-1 берут обычно в интервале 0,1—0,3. По определению следящий сигнал Tt в момент t равен отношению сглаженной погрешности к среднему абсолютному отклонению:

T=et/mt

В качестве нового значения  в формулу подставляют

t=|Tt|

Если погрешность et имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией 2, то можно показать, что математическое ожидание mt=0,4. Математическое ожидание следящего сигнала равно коэффициенту отклика только в отдельных случаях, тем не менее оценка хорошо зарекомендовала себя на практике.


^ Метод динамической регрессии*.


Этот метод был предложен для обновления значений . Искомая оценка для  в момет t получается при минимизации суммы квадратов погрешностей за предыдущие периоды. В результате



По существу речь идет о регрессии величины dr=xr—yr-2 по величине er-1=xr-1-yr-1, иначе говоря, о регрессии погрешности прогноза на два периода вперед по погрешности прогноза на один период вперед. Линейное уравнение регрессии имеет вид

dr= er-1

В данном случае коэффициент пропорциональности обновляется по мере накопления информации, поэтому метод назван методом динамической регрессии. После вычисления по формуле прогноз yt на (t+1)-u период получается из соотношения

yt= yt-1+ er


^ Тема 6. Многофакторные прогнозные модели


В предшествующем разделе были рассмотрены примеры прогнозирования на основе однофакторной параметрической зависимости. Однако опыт прогнозирования показывает, что применение однопараметрических зависимостей в экономическом прогнозировании не всегда обеспечивает получение предъявленных требований и точности к прогнозам и объективности зависимостей в прогнозных моделях.

Наиболее характерные многопараметрические зависимости, используемые в практике экономического прогнозирования имеет следующий вид:

Линейные

y=A0+A1x1+A2x2+…+Anxn (45)


где А0 – свободный член многопараметрической модели;

А1, А2, Аn - регрессионные коэффициенты, отражающие степень влияния соответствующих параметров (факторов) X1, X2, Xn;

n – количество параметров (факторов), рассматриваемых в модели.


Степенная

(46)


- где к – постоянный коэффициент многопараметрической регрессионной модели;

В1,В2,В3…Вn – постоянные показатели степени при соответствующих факторах (параметрах), включаемых в данную модель.

Практическое решение задачи успешного построения многопараметрических прогнозных моделей возможно лишь при последовательном выполнении взаимосвязанных стадий:

Стадия 1. Вырабатывается первоначальная гипотеза о наборе факторов, влияющих на результативность показателя у на основе профессионального (логического) анализа. При этом первоначально может быть отобрано большое количество факторов, чтобы в дальнейшем, в процессе корреляционного анализа, можно было ограничиться только теми, которые лучше всего характеризуют существенные изменения моделируемого показателя.

Стадия 2. Сбор исходных данных. На этой довольно трудоемкой стадии решается вопрос о необходимости получения (сбора) исходных данных о рассматриваемом прогнозном объекте. Эти сведения можно получить на базе накопленной ранее информации, которая может быть получена из данных первичного учета действующих организаций. Результаты этой стадии являются основой для построения многопараметрических прогнозных моделей.

Стадия 3. Разрабатывается сводная таблица, которая включает в себя столбцы значений полученных исходных данных расчета, необходимых для вычисления параметров прогнозной модели (табл. 15)

Таблица 15.

Макет таблицы для определения лин