Реферат: 20. Построение и анализ расчетных моделей

20. Построение и анализ расчетных моделей

20. Построение и анализ расчетных моделей
20.1. Выбор сетки конечных элементов 20.1.1. Сходимость МКЭ
В теории метода конечных элементов большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. асимптотическому поведению оценок точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Установлен ряд важных теорем о сходимости, например, для совместных элементов определено [26, стр. 195-196], что если (k-1) является степенью полинома, с помощью которого внутри конечных элементов аппроксимируется перемещение и решается эллиптическая краевая задача порядка 2m, для которой получено приближенное решение в перемещениях u*, то ошибка в энергии по сравнению с точным решением u составляет

U(u-u*, u-u*)  C2h2(k-m)||u||2k,

где h – максимальное значение относительного размера элемента (шаг сетки).

Для s-х производных z имеем оценки ошибок

||z-z*||s  Chk-s||z||k , если s > 2m-k ;

||z-z*||s  Ch2(k-s)||z||k , если s  2m-k.

Для несовместных элементов аналогичные оценки получены в серии работ И.Д. Евзерова и В.С. Карпиловского (см., например, [8], [13]). Используя эти результаты можно получить оценки сходимости для всех конечных элементов из библиотеки SCAD, которые представлены в таблице 20.1.

Таблица 20.1.


Тип


Наименование конечного элемента

Показатель степени в оценках скорости сходимости по:

КЭ




ïåðåìå­ùåíèÿìперемещениям


íàïðÿæå­­íèÿìнапряжениям

ìîìåí­òàìмоментам

ïîïåðå÷­íûì ñèëàìпоперечным силам

11,13

Универсальный прямоугольный элемент плиты

2

—

2

1

12,14

Универсальный треугольный элемент плиты

2

—

1

0

20

Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плиты

2

—

1

0

21

Универсальный прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости

2

1

—

—

22

Универсальный треугольный элемент плоской задачи теории упругости

2

1

—

—

23

Универсальный прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости

2

1

—

—

24

Универсальный треугольный элемент плоской задачи теории упругости

2

1

—

—

27

Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости

2

1

—

—

29

Универсальный четырехугольный (от 4 до 12 узлов) элемент плоской задачи теории упругости

2

1

—

—



















30

Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости

2

1

—

—

31

Параллелепипед

2

1

—

—

32

Тетраэдр

2

1

—

—

33

Трехгранная призма

2

1

—

—

34

Пространственный изопараметрический шестиузловой элемент

2

1

—

—

36

Пространственный изопараметрический восьмиузловой элемент

2

1

—

—

37

Пространственный изопараметрический двенадцатиузловой элемент

2

1

—

—

41

Универсальный прямоугольный элемент оболочки

2

1

1

0

42

Универсальный треугольный элемент оболочки

2

1

1

0

44

Универсальный четырехугольный элемент оболочки

2

1

1

0

50

Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент оболочки

2

1

1

0

61

Универсальный кольцевой элемент с прямоугольным поперечным сечением

2

1

—

—

62

Универсальный кольцевой элемент с треугольным поперечным сечением

2

1

—

—

64

Универсальный кольцевой элемент с прямоугольным поперечным сечением (от 4 до 8 узлов)

2

1

—

—

71

Прямоугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны)

2

1

—

—

72

Треугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны)

2

1

—

—

73

Четырехугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны)

2

1

—

—

74

Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны)

2

1

—

—

81

Прямоугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны)

2

1

—

—



















82

Треугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны)

2

1

—

—

83

Четырехугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны)

2

1

—

—

84

Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны)

2

1

—

—


Данные, представленные в таблице 20.1, дают возможность приблизительно назначить требуемую густоту сетки конечных элементов, исходя из такого весьма характерного рассуждения [3, стр.55]: "... заметим лишь, что при естественных ограничениях на исходные данные и сетку области, сходимость имеет место и погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок ch/L, где через с обозначена константа, зависящая от формы области; h — шаг сетки; L — характерный размер области. Эта оценка служит ориентиром при назначении шага сетки в зависимости от желаемой точности (средней), например, задав точность приближенного решения 5%, нужно выбрать шаг сетки равным примерно 1/20 от характерного размера...", т.е. для характерного двумерного пятна необходимо иметь около 400 узлов, а в трехмерной задаче – примерно 8000.
^ 20.1.2. О практической сходимости
Следует учитывать, что упомянутые выше оценки скорости сходимости ориентированы на выяснение асимптотических свойств решения, а практического расчетчика интересует степень близости приближенного решения, полученного на вполне определенной сетке конечных элементов. Конечно, в большинстве случаев асимптотическая сходимость сопровождается и приемлемой "практической сходи­мостью", под которой мы будем понимать возможность получения приемлемой точности при сравнительно грубом разбиении, но из этого правила есть и исключения. Приведем в связи с этим высказывание великого математика и физика А. Пуанкаре (цитируется по [1, стр.52]):

"... из двух рядов, коих общие члены суть 1000n/n! и n!/1000n, математики назовут первый сходящимся ... потому что миллионный член гораздо меньше 999 999-го, второй же ряд они рассматривают как расходящийся, ибо его общий член может беспредельно возрастать. Астрономы, наоборот, примут первый ряд за расходящийся, потому что первые его 1000 членов идут возрастая; второй ряд они сочтут за сходящийся, потому что первые его 1000 членов идут убывая и в начале убывание весьма быстрое". И далее совершенно головокружительный вывод: "Оба воззрения законны: первое — в исследованиях теоретических, второе в численных приложениях".

По-видимому, при решении любой достаточно ответственной задачи нельзя обойтись без анализа качества решения, которое можно проверить путем повторного рассмотрения задачи на другой сетке элементов. Конечно, большую задачу вряд ли стоит решать целиком на сгущающихся сетках, но очевидно, что выполнение такого анализа для характерных фрагментов расчетной схемы является рациональным. Эмпирически установленный факт устойчивости результата при сгущении сетки является весьма убедительным доводом в пользу правильности выбранного подхода к решению.

Сказанное не следует трактовать как призыв к голому эмпиризму, теоретические исследования сходимости весьма важны и их результаты могут быть использованы в практических целях, однако здесь имеются и некоторые указанные ниже серьезные проблемы, которые расчетчик должен учитывать. Одна из первых проблем состоит в том, что при удовлетворительной практической сходимости по перемещениям могут не так хорошо сходиться интересующие расчетчика внутренние усилия или напряжения. Они определяются дифференцированием перемещений, а операция дифференцирования является некорректной в том смысле, что незначительному изменению функции может отвечать значительное изменение производной.

Таким образом, проверки практической сходимости должны быть ориентированы на исследование тех результатов, которые требуются в решаемой задаче. Вот, например, характерная цитата из известной монографии О. Зенкевича: "Размеры разбиения, необходимого для получения приемлемой точности в задачах теории оболочек, зависят от многих причин. Часто оказывается, что при малой толщине оболочки область действия изгибающих моментов ограничена краевой зоной, где происходит значительное изменение этих моментов. При этом мембранные силы вычисляются точно даже при очень грубом разбиении, но, чтобы уловить изменение моментов вблизи границ, требуется крайне мелкое разбиение." [10, стр.257].

При этом имеется определенная трудность в сопоставлении напряжений, полученных на сетках разной густоты, которая связана с тем, что напряжения зачастую определяются в центрах конечных элементов и нужно приложить определенные усилия для того, чтобы иметь возможность сопоставить напряжения в одинаковых точках.

Кроме того, при использовании некоторых типов конечных элементов (например, треугольные элементы с линейной аппроксимацией перемещений для решения плоской задачи теории упругости), поля напряжений имеют вид кусочно-постоянных функций, причем область их постоянства совпадает с треугольниками сетки. Значения напряжений, определенные с использованием этих элементов, очень меняются при переходе от элемента к элементу, поэтому обычно применяется осреднение напряжений по элементам звезды, и относят их к узловой точке. Сопоставления таких полей напряжений затрудняется еще и наличием операции осреднения.

Организация проверки практической сходимости должна учитывать, что решаемая задача может иметь неприятные особенности, связанные с некорректной идеализацией конструкции. Типичным примером является идеализация нагрузки в виде сосредоточенной силы (практически нереализуемая ситуация), с которым могут быть связаны такие свойства решения задачи, как появление уходящих в бесконечность решений (логарифмическая особенность прогиба пластины под сосредоточенной силой) и высокие градиенты поля напряжений.

Таким образом, проверку практической сходимости стоит организовать на примерах с близких к практически интересующему расчетчика классу задач, но таких, для которых имеются точные решения и известны их неприятные особенности. Тогда интерпретация результатов тестирования оказывается более содержательной. Некоторые задачи такого рода рассмотрены в следующем разделе.
^ 20.1.3. Проверка сходимости для некоторых моделей
Были проведены сопоставительные расчеты шарнирно опертой квадратной пластинки загруженной по всей площади равномерно распределенной нагрузкой. Расчеты выполнялись при четырех сетках конечных элементов — 44, 88, 1616 и 2424 (рис.20.1).



Рис.20.1. Изополя изгибающих моментов для расчетных схем

с различными сетками конечных элементов

В таблице 20.2 приведены результаты по перемещениям, изгибающим моментам и поперечным силам для конечных элементов различного типа, полученные на упомянутых сетках, эти же данные проиллюстрированы на графиках, представленных на рис.20.2.

Таблица 20.2




Перемещения центра плиты при сетке:

Тип КЭ

4x4

8x8

16x16

24x24

11/41

0,0180329

0,0172754

0,0170823

0,0170453

20/50

0,0166168

0,0169137

0,0169918

0,0170051

12/42

0,0161403

0,0168034

0,0169658

0,0169938




^ Момент в центре плиты:

М -11/41

0,04781

0,04509

0,04443

0,04443

М -20/50

0,03991

0,04313

0,04393

0,04408

М -12/42

0,04787

0,04528

0,04432

0,04448




^ Поперечная сила на краю:

Q -11/41

0,22

0,28

0,31

0,32

Q -20/50

0,37

0,4

0,43

0,44

Q -12/42

0,24

0,31

0,33

0,34




а)



б)



в)





Обозначения:




Рис.20.2. Сходимость результатов при равномерной нагрузке: а   по прогибам, б   по моментам, в   по поперечным силам


Как видно из таблицы и рисунка, практическая сходимость имеет место для прогибов и изгибающих моментов при использовании конечных элементов всех типов, а для поперечных сил элементы 11-го типа дают значения, заметно отличающиеся от величин, полученных с использованием других конечных элементов. Отметим, что элемент типа 20/50 был использован в схеме, где он присоединялся только к четырем узлам, хотя имеется возможность ввести узлы на его сторонах (всего до восьми узлов). Контрольные расчеты при такой схеме использования показали, что точность результатов существенно возрастает и они приближаются к данным, получаемым на сетках вдвое большей густоты. Например, для сетки элементов 8х8 прогиб равнялся 0,01701, изгибающий момент   0,0442 и поперечная сила   0,278.

В другой серии численных экспериментов, когда та же пластинка была загружена сосредоточенной силой, результаты, представленные в таблице 20.3 и на рис.20.3, оказываются менее оптимистичными. Здесь замедляется скорость практической сходимости по моментам, и еще более существенно   по поперечным силам, значения которых взяты в точке, расположенной на расстоянии четверти толщины от центра пластинки. По-видимому для поперечных сил вообще не следует брать во внимание значения для точек, столь близко расположенных около места приложения сосредоточенной нагрузки. Более детально этот вопрос анализируется ниже.


Таблица 20.3




^ Перемещения центра плиты при сетке:




Тип КЭ

4x4

8x8

16x16

24x24




11/41

0.511522

0.494164

0.488470

0.487183




20/50

0.466266

0.480460

0.484425

0.485222




12/42

0.432918

0.470046

0.481375

0.483493







Момент в центре плиты:




М -11/41

2.61566

3.27276

3.93364

4.32066




М -20/50

2.31761

3.04494

3.72290

4.11309




М -12/42

1.89259

2.52465

3.17713

3.56252







Поперечная сила около центра:




Q -11/41

7.26

14.58

29.18

43.77




Q -20/50

6.50

13.31

26.81

40.26




Q -12/42

11.37

25.59

53.21

80.42




а)



б)



в)




Обозначения:




Рис.20.3. Сходимость результатов при нагружении сосредоточенной силой: а   по прогибам, б   по моментам, в   по поперечным силам



Следует отметить, что более быстрая сходимость результатов для некоторых типов конечных элементов дается за счет заметного увеличения времени счета. Поэтому следует сопоставлять потери времени от использования этих элементов с потерями на решение задачи на более густой сетке при использовании элементов другого типа.


^ 20.1.4. Обход особых точек


Вблизи особых точек, таких, где имеется резкая концентрация напряжений, применение конечных элементов (равно как и других методов дискретизации) обычно затруднено, особенно в представлении поля напряжений. Приходится резко сгущать сетку конечных элементов и существенно увеличивать размер задачи.

Однако упомянутое сгущение сетки может и не привести к результату (см., например рис. 20.2.в), что подталкивает к дополнительному анализу ситуации. Одним из наиболее распространенных суждений является следующее   сосредоточенная сила есть не существующая в природе абстракция и если бы она была создана, то, проткнув бы конструкцию любой прочности и не встречая сопротивления, унеслась бы в бесконечность. Выходит, что эта идеализация создает искусственную трудность, в борьбе с которой можно совершать героические подвиги, но практическая значимость таких подвигов весьма относительна. Следовало бы помнить о том, каким образом фактически реализована в конструкции та сила, которая идеализируется в форме сосредоточенной, тогда могут отпасть и вопросы о сходимости конечно-элементного решения к точному.

Мы рассмотрим указанную проблему на примере расчета плиты на упругом основании, к которой приложена сосредоточенная сила. Этот пример является часто используемой идеализацией при расчете фундаментных плит (сосредоточенной силой имитируется нагрузка, передаваемая колонной), аэродромных и дорожных покрытий (здесь сосредоточенная сила имитирует давление колеса) и в других практически важных случаях.

20.2. Фрагментация
^ 20.2.1. Методы сшивки решений
Если поведение решения вблизи особых точек все же представляет интерес, то возникает необходимость локального уточнения расчетной модели. Типичным примером может служить действие сосредоточенной силы на пластинку, когда в малой окрестности этой силы напряженное состояние является существенно пространственным, а обычные гипотезы теории пластин не выполняются. Возможен переход к трехмерной модели, однако полная замена пластинчатых конечных элементов трехмерными приведет к резкому возрастанию размеров задачи. Следовательно, необходимо комбинирование двухмерной идеализации объекта с уточнениями, выполненными в трех измерениях. Проще всего сделать это методом фрагментации, используя глобально-локальный анализ. Такой анализ, вообще говоря, можно выполнить в трех формах [30]: 1   по методу сил, когда на выделенный фрагмент передаются усилия от остальной системы, найденные из глобального расчета; 2   по методу перемещений, когда граница фрагмента смещается таким же образом, как в глобальном расчете; и 3   смешанным методом. Мы приведем выкладки для первого из указанных подходов.

В упомянутом и других подобных случаях достаточно естественной представляется следующая двухэтапная процедура:

а) пренебрегая локальными особенностями конструктивного решения строится загрубленная расчетная схема первого приближения, которая дает возможность оценить напряженно-деформированное состояние объекта в целом, и выполняется ее расчет;

б) выделяется фрагмент конструкции, содержащий интересующую нас особенность. К этому фрагменту прикладываются реакции, полученные при отбрасывании остальной части конструкции, и силы, непосредственно приложенные к выделенному фрагменту. Фрагмент рассчитывается с использованием более детальной расчетной схемы и из полученного таким образом решения используется та часть, которая относится к точкам, расположенным на некотором удалении от границ фрагмента.

Такой подход согласуется с практикой выбора серии расчетных схем для анализа различных особенностей поведения конструкции [28]. Однако он требует определенной интуиции и опыта для исключения опасности, связанной с наличием неустранимой погрешности решения загрубленной задачи. Представленный ниже анализ возможного происхождения погрешности должен облегчить выбор решений для расчетчика.


^ 20.2.2. Оценка погрешностей


Анализ основан на сопоставлении двух расчетных схем, одна из которых (вообще говоря, воображаемая) является подробной и детализирована в такой степени, что содержит полное описание локальной особенности. Часть именно этой схемы потом рассматривается при расчете фрагмента. Детальная расчетная схема описывается системой уравнений МКЭ в перемещениях

[K]{u} = {p}. (20.1)

Вторая расчетная схема загрублена и удобна для практического анализа. Пусть для нее выбран вектор основных неизвестных {uo}, размерность которого много меньше размерности вектора {u}, и пусть эти векторы связаны интерполяционным соотношением

{u} = [D]{uo}. (20.2)

Тогда сужение матрицы жесткости [K] на загрубленную расчетную схему выглядит как

[Ko] = [D]T[K][D], (20.3)

при этом [Ko] - матрица загрубленной расчетной схемы, для которой

легко строится решение загрубленных уравнений

[Ko]{uo} = [D]T{p} (20.4)

или может быть получена обратная матрица [Ko]-1.

Если считать, что искомое решение {u} может быть представлено через решение системы (20.4) как интерполяция (20.2) с поправкой {d}, то

{u} = [D]{uo} + {d} = [D][Ko]-1[D]T + {d} (20.5)

и подстановка (20.5) в (20.1) дает

[K]{d} = ([E] - [K][D][Ko]-1[D]T){p} = [S]{p}. (20.6)

В силу того, что

[D]T[S] = [D]T - [D]T[K][D][Ko]-1[D]T =

= [D]T - [Ko][Ko]-1[D]T = [D]T - [D]T = [0], (20.7)

для любого решения {x} системы разрешающих уравнений (20.1) и для любого решения {xo} системы (20.4) выполняется условие

([D]{xo})Т() = {xo}Т[D]Т[S]{x} = 0. (20.8)

Следовательно, при любой нагрузке {p} вектор правых частей (20.6) ортогонален интерполированному решению (20.2).

Сказанное означает, что при переносе решения с загрубленной расчетной модели на детальную (детализируемый фрагмент) может быть потеряна та часть, которая связана с ортогональным дополнением к подпространству интерполяции, определяемому строками матрицы [D]. Если обратиться к уравнениям (20.4), то видно, что могут быть утеряны компоненты решения для нагрузок, самоуравновешенных внутри фрагмента, поскольку такие нагрузки в загрубленной модели приводятся к нулевым.

Известно, что локально действующие самоуравновешенные нагрузки вносят в решение добавку, затухающую обычно по мере удаления от места их приложения. В этом, собственно, и состоит принципа Сен-Венана и для систем, где этот принцип соблюдается (имеются и такие системы, где он не справедлив [28, c.62]) ошибка локализации будет быстро убывать по мере удаления от источника самоуравновешенных сил. К таким источникам принадлежит и самоуравновешенная часть реакции по границам фрагмента, которая соответствует решению однородной задачи с левой частью уравнений (20.5).

Для оценки скорости убывания ошибки можно рассмотреть задачу о действии самоуравновешенной группы сил (-0,5; +1,0; -0,5), расположенных с шагом s на границе полуплоскости. Точки приложения этих сил соответствуют узлам загрубленной расчетной схемы и характерное расстояние между ними s - шагу расчетной сетки в этой схеме. В точке, расположенной под единичной силой на глубине х, напряжение на горизонтальной площадке будет равно

xx = -2/(x)[1 - 1/(1 + 22 + 4)], (20.9)

где  = s/x, а величина в квадратных скобках быстро убывает с ростом значения х и уже при х = 3s становится пренебрежимо малой.
^ 20.2.3. Конструирование стыка
При использовании метода фрагментации на стыке фрагмента с основной схемой может оказаться, что узлы фрагмента не имеют соответствующих им узлов по другую сторону стыка (рис.20.6). Возможна и такая ситуация, когда возникает несовпадение сеток разбиения на двухмерных и трехмерных конечных элементах, расположенных по разные стороны стыка. Таким образом возникает проблема создания специальных конечных элементов для заполнения стыков на границе между фрагментом и остальной системой или использования других специальных приемов стыковки [31]. В комплексе SCAD роль таких элементов могут играть элементы типа 20, 30 и 50, у которых предусмотрена возможность расстановки узлов по сторонам четырехугольника.

По-видимому важную роль может сыграть оптимизация сглаживания сетки (постепенное изменение размеров ее элементов).




Рис.20.6. Конструкция стыка


20.3. Наложение связей
^ 20.3.1. Парирование изменяемости
В практических расчетах довольно часто случаются ошибки следующего характера — расчетчик, прекрасно понимая, что схема работает по вполне определенному закону деформирования (например, в одной плоскости) забывает, что системе сообщен другой признак типа схемы (например, пространственная система общего положения). Тогда конструкция оказывается изменяемой, и могут возникнуть некоторые неприятные явления. Типичным примером, где такая ошибка была допущена, является расчетная схема по рис. 20.7, где представлена фундаментная плита с примыкающими к ней стенами. Схема была геометрически изменяемой, в ней были возможны следующие перемещения:

а) повороты всех узлов, расположенных в плоскостях стен, вокруг нормалей к этим плоскостям (это связано с тем, что конечный элемент плиты не воспринимает соответствующих крутящих моментов);

б) смещения системы в целом, как жесткого тела по направлениям осей X и Y.

Результаты расчета изменяемой системы показали ошибку контроля точности решения 99%. Это связано с тем, что несмотря на то, что комплекс SCAD устраняет геометрическую изменяемость самостоятельно в процессе решения, такая процедура может привести к потере точности за счет неудачной стратегии устранения неизменяемости. Лучше изменяемость устранить аккуратно, например, в рассматриваемом случае:

наложить связи на повороты узлов стенки вокруг нормали - UX для узлов на стенках, параллельных плоскости YOZ, и UY на стенках, параллельных плоскости XOZ;

запретить перемещения системы как жесткого целого, для чего рекомендуется использовать внешне статически определимую систему закреплений.

После внесения указанных изменений в расчетную схему никаких проблем с точностью решения не возникло.




Рис. 20.7. Расчетная схема

Процедура наложения узловых связей с точки зрения техники ее выполнения несложна. Проблемой могут стать рациональное назначение тех связей, необходимость учета которых связана с изменяемостью рассматриваемой расчетной схемы или ее фрагмента. Типичным примером может служить расчет плиты на упругом основании, которая вполне достаточно раскреплена из плоскости изгиба, но в плоскости может перемещаться как жесткое тело. Расчетчик понимает, что закрепление такой плиты в плоскости является необходимым, но не всегда верно выбирается удачный вариант такого раскрепления.

Во-первых, раскрепление желательно сконструировать таким образом, чтобы система была внешне статически определимой (в плоскости плиты следует расположить три связи). Если это удастся сделать, то реакции в дополнительно наложенных связях должны оказаться нулевыми, из-за того, что отсутствуют нагрузки в плоскости плиты. Это рассуждение верно лишь теоретически, поскольку не учитывает неизбежную погрешность численного решения. Накопление ошибок округления приводит к тому, что вместо нулевой реакции мы получаем малые, но все же ненулевые значения реакций. Это свидетельствует о том, что в реальном численном представлении дело обстоит так, как если бы имела место некоторая небольшая ненулевая сила, действующая в плоскости плиты.

а)

б)

Рис. 20.8. Наложение связей, парирующих изменяемость:

а - рекомендуемая схема; б - неудачное раскрепление


Поскольку упомянутая сила воспринимается условно наложенными связями, то значения полученных реакций оказываются зависящими от способа наложения связей. Если такие связи расположить по возможности далеко друг от друга (рис. 20.8.а), реакции окажутся малыми и не внесут заметного возмущения в напряженное состояние. Если же, например, закрепить плиту в одной точке (рис. 20.8.б) от двух смещений и поворота, что теоретически является возможным, что возмущение может оказаться заметным, и результаты расчета в окрестности такого узла окажутся искаженными.

Все сказанное выше относится к любому случаю раскрепления свободного (имеющего свободу перемещений как жесткого тела) фрагмента системы.
^ 20.3.2. Учет особенностей работы конечных элементов
При создании расчетной схемы необходимо тщательно следить за тем, какие внутренние усилия могут возникать в применяемых конечных элементах и как эти усилия согласуются друг с другом в общих узлах. Так, например, при примыкании стержневого элемента (ригеля) к балке-стенке отсутствует момент в ригеле на опоре (в месте примыкания) при задании вертикальных и горизонтальных нагрузок на ригеле (рис. 20.9.а).

В качестве общего правила следует считать, что если какое либо усилие (в приведенном выше примере — момент) не воспринимается конечным элементом, то такой элемент по отношению к указанному усилию примыкает к узлу «шарнирно».

Для учета момента в точке примыкания необходимо запретить угловое перемещение путем наложения соответствующей связи. Это соответствует предположению о том, что изгибная жесткость балки-стенки на несколько порядков превышает изгибную жесткость ригеля. Результаты расчета (рис. 20.9.б) оказываются другими — в месте примыкания ригеля возникает момент.


а)



б)




в)




Рис. 20.9. Результаты расчета:

а - до введения связей;

б - после введения связей;

в - фрагмент уточненной схемы



Конечно, введение защемления моделирует работу системы не очень точно. Более корректным было бы другое изменение расчетной схемы, при котором ригель продлевался бы далее, заходил на балку-стенку на один ряд конечных элементов и крепился не в одном, а в двух узлах (рис. 20.9.в). Такое решение в большей мере соответствует конструкции здания, в которой ригель заводится внутрь стенки для опирания.

Аналогичные приемы используются во всех случаях, когда возникает необходимость рассмотреть сопряжение элементов различной размерности   стержней (одномерные) с пластинами (двумерными) или объемными (трехмерными) элементами, пластин и оболочек с массивами и т.п. На рис. 20.10 показан пример такого сопряжения, в котором цилиндрическая оболочка стенки и сферическая оболочка крышки защитной конструкции атомного реактора сопрягается с массивным кольцом. Необходимо заметить, что в месте взаимопроникновения конструкций появляется некоторое возмущение жесткостных параметров, которое следует учесть при назначении их величин.






Рис. 20.10. Сопряжение стенки и крышки защитной оболочки реактора с массивным кольцом
^ 20.3.3. Эффекты объединения перемещений
Стеснение свободы узловых перемещений в форме объединения перемещений, т.е. принудительного навязывания значений перемещений одного узла другому, используется чаще всего для того, чтобы промоделировать пренебрежение некоторыми деформациями системы. Так, например, если объединить горизонтальные перемещения узлов в местах примыкания ригеля к колоннам одноэтажной рамы, то это будет эквивалентно использованию гипотезы об абсолютной жесткости ригеля по отношению к деформациям растяжения-сжатия.

Для многоэтажного каркаса часто можно пренебречь податливостью перекрытий, считая их абсолютно жесткими дисками. Если в такой схеме объединить горизонтальные компоненты перемещений всех узлов каждого перекрытия, то идея абсолютно жесткого диска будет реализована. Однако следует обратить внимание на то, что при этом окажутся невозможными и закручивания перекрытий, которые смогут получать только поступательные перемещения. Такой эффект может оказаться неприятной неожиданностью для расчетчика, особенно в случае здания несимметричной структуры.

Полезно обратить внимание еще на один вариант ошибки. В одной из практических задач (рис. 20.10) оказалось, что по результатам расчета плиты в ядре жесткости по направлению симметрии (Y) отсутствуют поперечные силы, а в другом направлении (Х) они есть. Сам факт наличия ядра жесткости моделировался путем объединения перемещений в узлах примыкания ядра жесткости к плите, при этом объединялись перемещения по Z (прогибы плиты) и углы поворота Ux, Uy.





Рис. 20.10. Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà ïëèòû Расчетная схема плиты (фрагмент)


Объяснение этого результата связано с достаточно часто повторяющейся ошибкой — не учитывается разница между наложением связи (запретом перемещения) и объединением перемещений различных узлов. При объединенных перемещениях Z соответствующая часть плиты может перемещаться только горизонтально и создается впечатление, что и все углы поворота будут отсутствовать. Однако даже их объединение не может гарантировать равенство углов поворота нулю. Это иллюстрируется простой схемой на рис. 20.11, где узлы 1, 2, 3 … имеют одинаковое перемещение и одинаковые, но не равные нулю углы поворота.











Рис. 20.11. Объединение углов поворота


В задаче по рис. 20.10 более правильным было бы задать в зоне расположения ядра жесткости связи, запрещающие повороты Ux и Uy, и объединить перемещения Z.




Рис. 20.12. Плита с цилиндрическим шарниром


Возможность объединения не всех, а только части перемещений может использоваться для формирования некоторых специальных типов граничных условий в конструкциях нестержневого типа, для которых, в отличие от стержневых систем, не могут быть описаны "неполные" присоединения к узлам (шарниры). Так, например, если возникает необходимость описать конструкцию опертой по контуру плиты ABCD, две половины которой шарнирно соединены по линии EF (рис. 20.12), то для этого достаточно, чтобы вдоль этой линии имелось две системы узлов (…, 6, 10, 42, … и …, 7, 11, 43, …), к которым примыкают левая (ABEF) и правая (FECD) половины конструкции, и для смежных пар узлов объединить все перемещения, кроме поворота вокруг оси Y.


20.4. Конструкции на упругом основании
^ 20.4.1. Использование законтурных элементов упругого основания
При расчете конструкций на упругом основании возникают проблемы учета распределительных свойств основания, которые игнорируются в простейшем случае винклерова основания (клавишная модель). Большинство реальных грунтов обладают распределительной способностью, когда, в отличие от винклеровой расчетной схемы, в работу вовлекаются не только непосредственно нагруженные части основания. Следовательно, для учета распределительной способности основания необходимо, во-первых, использовать отличные от винклеровой модели основания и, во-вторых, ввести в расчетную схему те части основания, которые расположены за пределом фундаментной конструкции.

Учет части основания, расположенной за областью , занимаемой самой конструкцией, в SCAD может выполняться с использованием "бесконечных" конечных элементов [9] типа клина или полосы. Эти элементы позволяют смоделировать все окружение области , если она является выпуклой и многоугольной (рис. 20.13).

Многоугольность области практически всегда обеспечивается с той или иной степенью точности. Если же область  является невыпуклой или неодносвязной, то она должна быть дополнена до выпуклой области конечными элементами ограниченных размеров. При этом в дополняемых частях толщина плиты принимается равной нулю.




Рис.20.13. Расположение законтурных конечных элементов типа клина и полосы:

1 - плита; 2 - дополнение области  до выпуклой; 3 - элемент-полоса; 4 - элемент-клин


Использование только имеющихся конечных элементов на упругом основании (стержней, плит, оболочек) и специальных законтурных элементов не позволяет создать произвольную расчетную схему конструкции, расположенной на упругом основании. В частности, могут возникнуть сложности, например, при попытке построить расчетную модель плотины, работающей в условиях плоской деформации, поскольку элементов типа балки-стенки на упругом основании комплекс SCAD не имеет.

Проблема решается очень просто путем включения между контуром плотины и грунтом элементов стержневого типа на упругом основании. При этом жесткость такого стержня может быть задана нулевой. Аналогично можно “подстелить” плиту с нулевой жесткостью на упругом