Реферат: Теория разностных схем

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

проф. К.В. Брушлинский

1 год

1. О численных методах решения задач механики и физики. Роль линейных уравнений математической физики в моделировании нелинейных процессов. Уравнения струны, теплопроводности, Пуассона, система уравнений акустики, линейное уравнение переноса, постановки задач (краткий обзор). Разностные схемы – основной инструмент приближенного решения задач с уравнениями математической физики.

2. Исчисление конечных разностей. Конечные и разделенные разности, их роль в анализе табличных функций. Уравнения в конечных разностях. Постановки задач. Теория линейных уравнений.

3. Основные понятия теории разностных схем: сходимость приближенного решения задачи к точному, аппроксимация, устойчивость. Теорема о сходимости.

4. Исследование аппроксимации дифференциальных уравнений разностными. Примеры разностных схем для одномерных уравнений переноса, теплопроводности и системы уравнений акустики.

5. Устойчивость разностной схемы и ее анализ в задачах с линейными эволюционными уравнениями. Оценки нормы оператора перехода. Принцип максимума. Области зависимости решений дифференциальных и разностных уравнений, условие Куранта-Фрид­рих­са-Леви. Примеры.

6. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем в одномерных задачах с эволюционными уравнениями на бесконечной прямой, на полупрямой и на конечном отрезке. Принцип Гельфанда-Бабенко. Энергетический метод исследования устойчивости разностных схем и его связь со спектральным методом.

7. Неявные разностные схемы для эволюционных уравнений. Метод прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, анализ условий его эффективности.

8. Квазилинейное уравнение типа бегущей волны. Образование разрывов в решении. Консервативная форма уравнения. Обобщенное решение. Соотношения на разрывах. Уравнение Бюргерса.

9. Уравнения газовой динамики. Простейшая и консервативная формы. Эйлеровы и лагранжевы координаты. Ударные волны и волны разрежения. Роль вязкости и теплопроводности в сглаживании разрывов.

10. О расчетах разрывных решений. Выделение разрыва и методы сквозного счета. Три типа “вязкости”: физическая, схемная и искусственная. Консервативность разностной схемы и приближенное выполнение законов сохранения в интегральной форме. Понятие о полностью консервативных схемах.

11. Разностная схема Лакса-Вендроффа – пример схемы второго порядка точности, эффект Гиббса.

12. Разностная схема Годунова для решения уравнений газодинамики. Монотонность схемы. Развитие и реализация идей монотонности в схемах TVD, в методе коррекции потоков и др.

13. Искусственная вязкость Неймана-Рихтмайера в разностных схемах сквозного счета.

14. Двумерные и трехмерные задачи с уравнениями акустики и теплопроводности. Типы симметрии задач. Примеры разностных схем и особенности исследования устойчивости. Геометрический смысл условия Куранта.

15. Неявные разностные схемы и проблема решения систем линейных уравнений на слое. Матричная прогонка. Продольно-поперечная прогонка. Методы расщепления.

16. Стационарные задачи с уравнением Пуассона. Разностные аналоги. Итерационные методы решения, метод установления. Анализ скорости сходимости методов. Схемы с переменными “шагами”. Чебышевский набор параметров.

17. Дискретное преобразование Фурье для табличных функций. Быстрое преобразование Фурье. Его применение к решению линейных стационарных задач с постоянными коэффициентами. Понятие о насыщении численных методов.

18. Вариационные методы решения краевых задач математической физики. Метод Ритца и его обоснование. Проекционные методы. Метод Галеркина. Понятие о методе конечных элементов.