Реферат: 1. Множества

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
доц. А.В. Дорофеева

философский факультет,

для студентов отделений “Философия”, “Религиоведение”, “ИТМК”
Введение.
Структура современной математики и основные тенденции ее развития. Применение математики в различных областях человеческой деятельности. Основные пути становления математики.

Тема 1. Множества.

Множества. Подмножества. Сумма, произведение, дополнение к множеству. Свойства операций. Прямое произведение множеств. Бинарные отношения. Разбиение множества на классы.

Тема 2. Отображения.

Отображения. Свойства однозначности и инъективности. Операция суперпозиции. Числовые функции. Различные способы задания, графическое изображение. Класс элементарных функций. Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами. Равномощность множеств. Счетные множества и теоремы о них. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел. Континуум-гипотеза.

Тема 3. Алгебры.

Алгебраические структуры. Алгебраическая операция. Группоид. Коммутативный и ассоциативный законы. Нейтральный элемент. Группа, кольцо, поле. Поле рациональных чисел. Полей действительных чисел.

Тема 4. Комплексные числа и векторы.

Комплексные числа. Векторы. Алгебраические операции с комплексными числами и их геометрическая интерпретация. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции возведения в степень и извлечения корня. Операции с векторами. Геометрия n-мерных и бесконечномерных пространств.

Тема 5. Математический анализ.

Метрическое пространство. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел функции и его свойства. Непрерывность функции. Производная и ее приложения. Дифференциал функции. Его геометрический смысл и правила вычисления. Связь дифференцируемости и непрерывности. Построение графиков. Неопределенный интеграл. Методы вычисления. Определенный интеграл. Теорема Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы.

Тема 6. Теория вероятностей.

Классическое и статистическое определение теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Дискретная случайная величина и ее закон распределения. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства. Закон больших чисел и его приложения.

Тема 7. Основания математики.

Парадоксы теории множеств. Система аксиом Цермело-Френкеля. Континуум-гипотеза. Аксиоматический метод в математике. Аксиомы геометрии. Геометрия Евклида. Неевклидовы геометрии.


Литература

1. Дорофеева А.В. Учебник по высшей математике для философских факультетов университетов. М., изд-во МГУ, 1971.

2. Дорофеева А.В. Высшая математикаю Гуманитарные специальности. М., изд-во “Дрофа”, 2003.

3. Дорофеева А.В. Множества. Функции. Структуры. Сборник задач для философских факультетов университетов. М., изд-во МГУ, ЦПИ при мех-мат. факультете МГУ, 2000.

4. Дорофеева А.В. Математический анализ. Теория вероятностей. Сборник задач для философских факультетов университетов. М., изд-во МГУ, ЦПИ при мех-мат. факультете МГУ, 2002.

5. Дорофеева А.В., Кудряшова Л.В. Основы высшей математики. Методические указания. М., изд-во МГУ, 1977.

6. Дорофеева А.В., Кудряшова Л.В. Элементы теории вероятностей. Учебно-ме­то­ди­чес­кие материалы по курсу Высшей математики для студентов 1 курса философского факультета. М., изд-во МГУ, 1984.

7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М., Наука, любое издание.

8. Рыбников А.К. История математики. М., изд-во МГУ, 1994.

Дополнительная литература

1. Математика в современном мире. М., Мир, 1967.

2. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М., Просвещение, 1967.

3. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М., Просвещение, 1985.

4. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М., Наука, 1985.

5. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М., Наука, 1991.